高斯投影-第7章__地圖投影與高斯投影

1、第七章第七章 地圖投影與高斯投影地圖投影與高斯投影7.1 高斯投影概述7.2 正形投影的一般條件7.3 高斯平面直角坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系 7.4 橢球面上觀測(cè)成果歸化到高斯平面上計(jì)算7.5 工程測(cè)量投影面與投影帶選擇 習(xí)題習(xí)題 本章介紹從橢球面上大地坐標(biāo)系到平面上直角坐標(biāo)系的正形投影過(guò)程。研究如何將大地坐標(biāo)、大地線長(zhǎng)度和方向以及大地方位角等向平面轉(zhuǎn)化的問(wèn)題。重點(diǎn)講述高斯投影的原理和方法，解決由球面到平面的換算問(wèn)題，解決相鄰帶的坐標(biāo)坐標(biāo)換算。討論在工程應(yīng)用中，工程測(cè)量投影面與投影帶選擇。 知識(shí)點(diǎn)及學(xué)習(xí)要求知識(shí)點(diǎn)及學(xué)習(xí)要求 1高斯投影的基本概念；2正形投影的一般條件；3高斯平面直角坐標(biāo)與大地坐標(biāo)的相

2、互轉(zhuǎn)換高斯投影的正算與反算4橢球面上觀測(cè)成果（水平方向、距離）歸化到高斯平面上的計(jì)算；5高斯投影的鄰帶換算；6工程測(cè)量投影面與投影帶的選擇。難點(diǎn)在對(duì)本章的學(xué)習(xí)中，首先要理解和掌握高斯投影的概念。高斯正算和反算計(jì)算；方向改化和距離改化計(jì)算；高斯投影帶的換算與應(yīng)用；工程測(cè)量中投影面與投影帶的選擇。返回本章首頁(yè)7.1 7.1 高斯投影概述高斯投影概述1 投影與變形 地圖投影：就是將橢球面各元素（包括坐標(biāo)、方向和長(zhǎng)度）按一定的數(shù)學(xué)法則投影到平面上。研究這個(gè)問(wèn)題的專門學(xué)科叫地圖投影學(xué)?？捎孟旅鎯蓚€(gè)方程式（坐標(biāo)投影公式）表示：),(),(21BLFyBLFx式中L,B是橢球面上某點(diǎn)的大地坐標(biāo)，而是x,y該

3、點(diǎn)投影后的平面直角坐標(biāo)。等角投影投影前后的角度相等，但長(zhǎng)度和面積有變形；等距投影投影前后的長(zhǎng)度相等，但角度和面積有變形;等積投影投影前后的面積相等，但角度和長(zhǎng)度有變形。地圖投影的方式投影變形：橢球面是一個(gè)凸起的、不可展平的曲面。將這個(gè)曲面上的元素（距離、角度、圖形）投影到平面上，就會(huì)和原來(lái)的距離、角度、圖形呈現(xiàn)差異，這一差異稱為投影變形。投影變形的形式：角度變形、投影變形的形式：角度變形、長(zhǎng)度變形和面積變形。長(zhǎng)度變形和面積變形。1 投影與變形2 控制測(cè)量對(duì)地圖投影的要求應(yīng)當(dāng)采用等角投影（又稱為正形投影）采用正形投影時(shí)，在三角測(cè)量中大量的角度觀測(cè)元素在投影前后保持不變；在測(cè)制的地圖時(shí)，采用等角投

4、影可以保證在有限的范圍內(nèi)使得地圖上圖形同橢球上原形保持相似。在采用的正形投影中，要求長(zhǎng)度和面積變形不大，并能夠應(yīng)用簡(jiǎn)單公式計(jì)算由于這些變形而帶來(lái)的改正數(shù)。能按分帶投影3 高斯投影的基本概念（1）基本概念：）基本概念：如下圖所示，假想有一個(gè)橢圓柱面橫套在地球橢球體外面，并與某一條子午線（此子午線稱為中央子午線或軸子午線）相切，橢圓柱的中心軸通過(guò)橢球體中心，然后用一定投影方法，將中央子午線兩側(cè)各一定經(jīng)差范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將此柱面展開即成為投影面，此投影為高斯投影。高斯投影是正形投影的一種。（2）分帶投影）分帶投影高斯投影 帶：自 子午線起每隔經(jīng)差 自西向東分帶，依次編號(hào)1,2,3,。

5、我國(guó) 帶中央子午線的經(jīng)度，由 起每隔 而至 , 共計(jì)11帶（1323帶），帶號(hào)用 表示，中央子午線的經(jīng)度用 表示，它們的關(guān)系是 ,如下圖所示。高斯投影 帶：它的中央子午線一部分同 帶中央子午線重合，一部分同 帶的分界子午線重合，如用 表示 帶的帶號(hào)， 表示 帶中央子午線經(jīng)度，它們的關(guān)系 下圖所示。我國(guó) 帶共計(jì)22帶（2445帶）。6066756135n0L360 nL366n3nL 33L3在投影面上，中央子午線和赤道的投影都是直線，并且以中央子午線和赤道的交點(diǎn) 作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以中央子午線的投影為縱坐標(biāo) 軸，以赤道的投影為橫坐標(biāo) 軸。OxyABBByxyAAxxyByxBByAxAAxy500

6、Km（3）高斯平面直角坐標(biāo)系）高斯平面直角坐標(biāo)系在我國(guó) 坐標(biāo)都是正的， 坐標(biāo)的最大值（在赤道上）約為330km。為了避免出現(xiàn)負(fù)的橫坐標(biāo)，可在橫坐標(biāo)上加上500 000m。此外還應(yīng)在坐標(biāo)前面再冠以帶號(hào)。這種坐標(biāo)稱為國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)。例如，有一點(diǎn) =19 123 456.789m，該點(diǎn)位在帶內(nèi)，其相對(duì)于中央子午線而言的橫坐標(biāo)則是：首先去掉帶號(hào)，再減去500000m,最后得 =-376 543.211m。xyYy（3）高斯平面直角坐標(biāo)系）高斯平面直角坐標(biāo)系（4）高斯平面投影的特點(diǎn)：）高斯平面投影的特點(diǎn)：（5） 橢球面三角系化算到高斯投影面橢球面三角系化算到高斯投影面將橢球面三角系歸算到高斯投影面的主要內(nèi)

7、容是：將橢球面三角系歸算到高斯投影面的主要內(nèi)容是：將起始點(diǎn)的大地坐標(biāo)歸算為高斯平面直角坐標(biāo)；為了檢核還應(yīng)進(jìn)行反算，亦即根據(jù)反算。通過(guò)計(jì)算該點(diǎn)的子午線收斂角及方向改正，將橢球面上起算邊大地方位角歸算到高斯平面上相應(yīng)邊的坐標(biāo)方位角。通過(guò)計(jì)算各方向的曲率改正和方向改正，將橢球面上各三角形內(nèi)角歸算到高斯平面上的由相應(yīng)直線組成的三角形內(nèi)角。通過(guò)計(jì)算距離改正，將橢球面上起算邊的長(zhǎng)度歸算到高斯平面上的直線長(zhǎng)度。當(dāng)控制網(wǎng)跨越兩個(gè)相鄰?fù)队皫?，需要進(jìn)行平面坐標(biāo)的鄰帶換算。返回本章首頁(yè)7.2 7.2 正形投影的一般條件正形投影的一般條件高斯投影首先必須滿足正形投影的一般條件。圖a為橢球面，圖2為它在平面上的投影。在

8、橢球面上有無(wú)限接近的兩點(diǎn)和 ，投影后為和 ，其坐標(biāo)均已注在圖上， 為大地線的微分弧長(zhǎng)，其方位角為 。在投影面上，建立如圖b所示的坐標(biāo)系， 的投影弧長(zhǎng)為 。1P2p2pdSAdSds圖a圖b橢球面到平面的正形投影一般公式稱柯西-黎曼條件：qylxlyqx平面正形投影到橢球面上的一般條件：yqxlylxq返回本章首頁(yè)7.3 7.3 高斯平面直角坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系高斯平面直角坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系1 高斯投影坐標(biāo)正算公式（1）高斯投影正算高斯投影正算：已知橢球面上某點(diǎn)的大地坐標(biāo) ，求該點(diǎn)在高斯投影平面上的直角坐標(biāo) ，即 的坐標(biāo)變換。（2）投影變換必須滿足的條件：投影變換必須滿足的條件： 中央子午線投影后

9、為直線； 中央子午線投影后長(zhǎng)度不變； 投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。（3）投影過(guò)程投影過(guò)程 在橢球面上有對(duì)稱于中央子午線的兩點(diǎn) 和 ,它們的大地坐標(biāo)分別為（ ）及（ ），式中 為橢球面上 點(diǎn)的經(jīng)度與中央子午線 的經(jīng)度差： , 點(diǎn)在中央子午線之東, 為正，在西則為負(fù)，則投影后的平面坐標(biāo)一定 為 和。 BL,yx,),(,yxBL1P2PBL,Bl,lP)(0L0LLlPl),(1yxP),(2yxP（4）計(jì)算公式）計(jì)算公式 5425532234223422)185(cos120)1 (6cos)95(cossin2sin2lttBNltBNlBNyltBBNlBNXx當(dāng)要求轉(zhuǎn)換精度精確至0.

10、00lm時(shí)，用下式計(jì)算 52224255322336425644223422)5814185(cos720)1 (cos6cos)5861(cossin720)495(cossin24sin2ltttBNltBNlBNylttBBNltBBNlBNXx（1）高斯投影反算：已知某點(diǎn)的高斯投影平面上直角坐標(biāo) ，求該點(diǎn)在橢球面上的大地坐標(biāo) ，即 的坐標(biāo)變換。（2）投影變換必須滿足的條件 坐標(biāo)軸投影成中央子午線，是投影的對(duì)稱軸； 軸上的長(zhǎng)度投影保持不變； 投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。yx,BL,),(,BLyxxx（3）投影過(guò)程根據(jù)計(jì)算縱坐標(biāo)在橢球面上的投影的底點(diǎn)緯度 ，接著按 計(jì)算（ ）及經(jīng)差

11、 ,最后得到 、 。fBfBBBfl)(BBBBfflLL02 高斯投影坐標(biāo)反算公式（4）計(jì)算公式5222425322364254222332)8624285(cos1201)21(cos61cos1)459061(720)935(242ytttBNytBNyBNlyttNMtyttNMtyNMtBBfffffffffffffffffffffffffffff當(dāng)要求轉(zhuǎn)換精度至 時(shí)，可簡(jiǎn)化為下式：10 . 0 542532234222232)24285(cos1201)21(cos61cos1)935(242yttBNytBNyBNlyttNMtyNMtBBffffffffffffffffffff

12、f3 高斯投影相鄰帶的坐標(biāo)換算（1）產(chǎn)生換帶的原因 高斯投影為了限制高斯投影的長(zhǎng)度變形，以中央子午線進(jìn)行分帶，把投影范圍限制在中央子午線東、西兩側(cè)一定的范圍內(nèi)。因而，使得統(tǒng)一的坐標(biāo)系分割成各帶的獨(dú)立坐標(biāo)系。在工程應(yīng)用中，往往要用到相鄰帶中的點(diǎn)坐標(biāo)，有時(shí)工程測(cè)量中要求采用 帶、 帶或任意帶，而國(guó)家控制點(diǎn)通常只有 帶坐標(biāo)，這時(shí)就產(chǎn)生了 帶同 帶（或 帶、任意帶）之間的相互坐標(biāo)換算問(wèn)題，如下圖所示：35 . 16635 . 1把橢球面上的大地坐標(biāo)作為過(guò)渡坐標(biāo)。首先把某投影帶（比如帶）內(nèi)有關(guān)點(diǎn)的平面坐標(biāo) ，利用高斯投影反算公式換算成橢球面上的大地坐標(biāo)，進(jìn)而得到；然后再由大地坐標(biāo) 利用投影正算公式換算成

13、相鄰帶的（第帶）的平面坐標(biāo)。在這一步計(jì)算時(shí)，要根據(jù)第帶的中央子午線來(lái)計(jì)算經(jīng)差，亦即此時(shí)I),(yx),( BllLLI0),(lBII),(yxII0LlII0LLl（2）應(yīng)用高斯投影正、反算公式間接進(jìn)行換帶計(jì)算計(jì)算過(guò)程：計(jì)算步驟計(jì)算步驟：根據(jù),利用高斯反算公計(jì)算換算,，得到 ，。采用已求得的,，并顧及到第帶的中央子午線，求得，利用高斯正算公式計(jì)算第帶的直角坐標(biāo) , 。為了檢核計(jì)算的正確性，要求每步都應(yīng)進(jìn)行往返計(jì)算1x1y1B1L4902.4383511 B2136.13201261 L1B1L129II0L486.46752 lIIxIIy算例算例在中央子午線 的帶中，有某一點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)

14、，現(xiàn)要求計(jì)算該點(diǎn)在中央子午線 的第帶的平面直角坐標(biāo)。 123I0Lm726.57283741xm193.2101981y129II0L4 子午線收斂角公式（1）子午線收斂角的概念 如右圖所示，、 及 分別為橢球面點(diǎn)、過(guò)點(diǎn)的子午線 及平行圈 在高斯平面上的描寫。由圖可知，所謂點(diǎn) 子午線收斂角就是 在 上的切線 與 坐標(biāo)北之間的夾角，用 表示。 在橢球面上，因?yàn)樽游缇€同平行圈正交，又由于投影具有正形性質(zhì)，因此它們的描寫線 及 也必正交，由圖可見，平面子午線收斂角也就是等于 在 點(diǎn)上的切線同平面坐標(biāo)系橫軸 的傾角。 pNpQppppNpQpNppnp tp NpQpQppqp y （2）由大地坐標(biāo)

15、計(jì)算平面子午線收斂角公式),(BL)2(cossin151)231 (cossin31sin2544232tlBBlBBlB（3）由平面坐標(biāo)計(jì)算平面子午線收斂角的公式),(yx )1(31tan2232ffffftNyByN上式計(jì)算精度可達(dá)1。如果要達(dá)到0.001計(jì)算精度，可用下式計(jì)算：)352(15)1 (342552232fffffffffftttNyttNyytN （4）實(shí)用公式已知大地坐標(biāo) 計(jì)算子午線收斂角),(BL BlBllBBsincos)0067. 0cos2 . 0()cos00674. 033333. 0(122222已知平面坐標(biāo)已知平面坐標(biāo)計(jì)算子午線收斂角),(yx ff

16、fBZZZBBsin)cos067. 02 . 0()cos00225. 033333. 0(12224返回本章首頁(yè)7.4 7.4 橢球面上觀測(cè)成果歸化到高斯平面上計(jì)算橢球面上觀測(cè)成果歸化到高斯平面上計(jì)算1 概述由于高斯投影是正形投影，橢球面上大地線間的夾角與它們?cè)诟咚蛊矫嫔系耐队扒€之間的夾角相等。為了在平面上利用平面三角學(xué)公式進(jìn)行計(jì)算，須把大地線的投影曲線用其弦線來(lái)代替。控制網(wǎng)歸算到高斯平面上的內(nèi)容有：起算點(diǎn)大地坐標(biāo)的歸算將起算點(diǎn)大地坐標(biāo) 歸算為高斯平面直角坐標(biāo)。起算方向角的歸算。距離改化計(jì)算橢球面上已知的大地線邊長(zhǎng)（或觀測(cè)的大地線邊長(zhǎng)）歸算至平面上相應(yīng)的弦線長(zhǎng)度。方向改計(jì)算橢球面上各大地

17、線的方向值歸算為平面上相應(yīng)的弦線方向值。),(BL),(yx 2 方向改化（1）概念如圖所示，若將橢球面上的大地線方向改化為平面上的弦線ab方向，其相差一個(gè)角值,即稱為方向改化值。ABab（2）方向改化的過(guò)程 如圖所示，若將大地線 方向改化為弦線ab方向。過(guò)A,B點(diǎn)，在球面上各作一大圓弧與軸子午線正交，其交點(diǎn)分別為D,E，它們?cè)谕队懊嫔系耐队胺謩e為ad和be。由于是把地球近似看成球，故和都是垂直于x軸的直線。在a,b點(diǎn)上的方向改化分別為 和 。當(dāng)大地線長(zhǎng)度不大于10km，y坐標(biāo)不大于l00km時(shí)，二者之差不大于0.05,因而可近似認(rèn)為 =ABabbaabba（3）計(jì)算公式球面角超公式為：2)(

18、)(2babayyyxR 適用于三、四等三角測(cè)量的方向改正的計(jì)算公式： )(2)(222bambabamabxxyRxxyR式中 ，為a、b兩點(diǎn)的y坐標(biāo)的自然的平均值。)(21bamyyy（1）概念如右圖所示，設(shè)橢球體上有兩點(diǎn) 及其大地線 ，在高斯投影面上的投影為 及 。是一條曲線，而連接 兩點(diǎn)的直線為 D如前所述由 S化至D所加的改正，即為距離改正 。21,PPS21,PPs21PP S3 距離改化（2）長(zhǎng)度比和長(zhǎng)度變形長(zhǎng)度比 :指橢球面上某點(diǎn)的一微分元素 ，其投影面上的相應(yīng)微分元素 ，則 稱為該點(diǎn)的長(zhǎng)度比。長(zhǎng)度變形:由于長(zhǎng)度比恒大于1，故稱為長(zhǎng)度變形。mdSdsdSdsm mdSdsdSd

19、sm 式中： 表示按大地線始末兩端點(diǎn)的平均緯度計(jì)算的橢球的平均曲率半徑。 為投影線兩端點(diǎn)的平均橫坐標(biāo)值。mR)(21bamyyy（4）長(zhǎng)度比和長(zhǎng)度變形的特點(diǎn)當(dāng)y=0(或l=0)時(shí)，m=1，即中央子午線投影后長(zhǎng)度不變；當(dāng)y0(或l0)時(shí)，即離開中央子午線時(shí)，長(zhǎng)度設(shè)形（m-1）恒為正，離開中央子午線的邊長(zhǎng)經(jīng)投影后變長(zhǎng)。長(zhǎng)度變形（ ）與 （或 ）成比例地增大，對(duì)于在橢球面上等長(zhǎng)的子午線來(lái)說(shuō)，離開中央子午線愈遠(yuǎn)的那條，其長(zhǎng)度變形愈大。1m2y2l（5）距離改化計(jì)算公式:2221mmRySD22222421mmmRyRySD或（3）長(zhǎng)度比m的計(jì)算公式:2221mRym返回本章首頁(yè)7.5 7.5 工程測(cè)量

20、投影面與投影帶選擇工程測(cè)量投影面與投影帶選擇對(duì)于工程測(cè)量，其中包括城市測(cè)量，既有測(cè)繪大比例尺圖的任務(wù)，又有滿足各種工程建設(shè)和市政建設(shè)施工放樣工作的要求。如何根據(jù)這些目的和要求合適地選擇投影面和投影帶，經(jīng)濟(jì)合理地確立工程平面控制網(wǎng)的坐標(biāo)系，在工程測(cè)量是一個(gè)重要的課題。1 概述2 工程測(cè)量中選擇投影面和投影帶的原因（1）有關(guān)投影變形的基本概念 平面控制測(cè)量投影面和投影帶的選擇，主要是解決長(zhǎng)度變形問(wèn)題。這種投影變形主要是由于以下兩種因素引起的： 實(shí)測(cè)邊長(zhǎng)歸算到參考橢球面上的變形影響，其值為：1sRsHsm1式中：為歸算邊高出參考橢球面的平均高程，為歸算邊的長(zhǎng)度，為歸算邊方向參考橢球法截弧的曲率半徑。

21、歸算邊長(zhǎng)的相對(duì)變形：mHsRRHssm1值是負(fù)值，表明將地面實(shí)量長(zhǎng)度歸算到參考橢球面上，總是縮短的；值與 ,成正比，隨 增大而增大。1s1smHmH 將參考橢球面上的邊長(zhǎng)歸算到高斯投影面上的變形影響，其值為： 02221sRysmm2s式中： ， 即為投影歸算邊長(zhǎng)， 為歸算邊兩端點(diǎn)橫坐標(biāo)平均值， 為參考橢球面平均曲率半徑。投影邊長(zhǎng)的相對(duì)投影變形為10sss0smymR20221mmRyss 值總是正值，表明將橢球面上長(zhǎng)度投影到高斯面上，總是增大的；值隨著 平方成正比而增大，離中央子午線愈遠(yuǎn)，其變形愈大。2s2smy（2）工程測(cè)量平面控制網(wǎng)的精度要求工程測(cè)量控制網(wǎng)不但應(yīng)作為測(cè)繪大比例尺圖的控制基

22、礎(chǔ)，還應(yīng)作為城市建設(shè)和各種工程建設(shè)施工放樣測(cè)設(shè)數(shù)據(jù)的依據(jù)。為了便于施工放樣工作的順利進(jìn)行，要求由控制點(diǎn)坐標(biāo)直接反算的邊長(zhǎng)與實(shí)地量得的邊長(zhǎng)，在長(zhǎng)度上應(yīng)該相等，這就是說(shuō)由上述兩項(xiàng)歸算投影改正而帶來(lái)的長(zhǎng)度變形或者改正數(shù)，不得大于施工放樣的精度要求。一般來(lái)說(shuō)，施工放樣的方格網(wǎng)和建筑軸線的測(cè)量精度為1/5 0001/20 000。因此，由投影歸算引起的控制網(wǎng)長(zhǎng)度變形應(yīng)小于施工放樣允許誤差的1/2，即相對(duì)誤差為1/10 0001/40 000，也就是說(shuō)，每公里的長(zhǎng)度改正數(shù)不應(yīng)該大于102.5cm。通過(guò)改變 從而選擇合適的高程參考面，將抵償分帶投影變形，這種方法通常稱為抵償投影面的高斯正形投影；通過(guò)改變，從

23、而對(duì)中央子午線作適當(dāng)移動(dòng)，來(lái)抵償由高程面的邊長(zhǎng)歸算到參考橢球面上的投影變形，這就是通常所說(shuō)的任意帶高斯正形投影；通過(guò)既改變 （選擇高程參考面），又改變 （移動(dòng)中央子午線），來(lái)共同抵償兩項(xiàng)歸算改正變形，這就是所謂的具有高程抵償面的任意帶高斯正形投影。mHmymHmy3 投影變形的處理方法4 工程測(cè)量中幾種可能采用的直角坐標(biāo)系（1）國(guó)家30帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系 當(dāng)測(cè)區(qū)平均高程在l00m以下，且值不大于40km時(shí)，其投影變形值及均小于2.5cm，可以滿足大比例尺測(cè)圖和工程放樣的精度要求。，在偏離中央子午線不遠(yuǎn)和地面平均高程不大的地區(qū)，不需考慮投影變形問(wèn)題，直接采用國(guó)家統(tǒng)一的帶高斯正形投影平面

24、直角坐標(biāo)系作為工程測(cè)量的坐標(biāo)系。my1s2s（2）抵償投影面的30帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系 在這種坐標(biāo)系中，依然采用國(guó)家30帶高斯投影，但投影的高程面不是參考橢球面而是依據(jù)補(bǔ)償高斯投影長(zhǎng)度變形而選擇的高程參考面。在這個(gè)高程參考面上，長(zhǎng)度變形為零。 021222sssRHRysmmm令當(dāng)一定時(shí)，可求得： myRyHm22則投影面高為： HHHm投 某測(cè)區(qū)海拔=2 000（m），最邊緣中央子午線100（km），當(dāng) =1000（m）時(shí)，則有mHs)m(313. 01sRHsmm)m(123. 0221222sRysmm而 超過(guò)允許值（102.5cm）。這時(shí)為不改變中央子午線位置，而選擇一個(gè)合適的

25、高程參考面， 經(jīng)計(jì)算得高差： 將地面實(shí)測(cè)距離歸算到：)m(19. 021ss)m(780H)m(12207802000算例：算例：在這種坐標(biāo)系中，仍把地面觀測(cè)結(jié)果歸算到參考橢球面上，但投影帶的中央子午線不按國(guó)家30帶的劃分方法，而是依據(jù)補(bǔ)償高程面歸算長(zhǎng)度變形而選擇的某一條子午線作為中央子午線。保持 不變，于是求得mHmmHRy2（3）任意帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系 某測(cè)區(qū)相對(duì)參考橢球面的高程 =500m，為抵償?shù)孛嬗^測(cè)值向參考橢球面上歸算的改正值，依上式算得mH)km(805 . 063702y 即選擇與該測(cè)區(qū)相距80km處的子午線。此時(shí)在=80km處，兩項(xiàng)改正項(xiàng)得到完全補(bǔ)償。算例：算例：但

26、在實(shí)際應(yīng)用這種坐標(biāo)系時(shí)，往往是選取過(guò)測(cè)區(qū)邊緣，或測(cè)區(qū)中央，或測(cè)區(qū)內(nèi)某一點(diǎn)的子午線作為中央子午線，而不經(jīng)過(guò)上述的計(jì)算。my（4）具有高程抵償面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系 在這種坐標(biāo)系中，往往是指投影的中央子午線選在測(cè)區(qū)的中央，地面觀測(cè)值歸算到測(cè)區(qū)平均高程面上，按高斯正形投影計(jì)算平面直角坐標(biāo)。由此可見，這是綜合第二、三兩種坐標(biāo)系長(zhǎng)處的一種任意高斯直角坐標(biāo)系。顯然，這種坐標(biāo)系更能有效地實(shí)現(xiàn)兩種長(zhǎng)度變形改正的補(bǔ)償。（5）假定平面直角坐標(biāo)系 當(dāng)測(cè)區(qū)控制面積小于100km2時(shí)，可不進(jìn)行方向和距離改正，直接把局部地球表面作為平面建立獨(dú)立的平面直角坐標(biāo)系。這時(shí)，起算點(diǎn)坐標(biāo)及起算方位角，最好能與國(guó)家網(wǎng)聯(lián)

27、系，如果聯(lián)系有困難，可自行測(cè)定邊長(zhǎng)和方位，而起始點(diǎn)坐標(biāo)可假定。這種假定平面直角坐標(biāo)系只限于某種工程建筑施工之用。返回本章首頁(yè) 1為什么要研究投影？我國(guó)目前采用的是何種投影？ 2控制測(cè)量對(duì)投影提出什么樣的基本要求？為什么要提出這種 要 求？ 3橢球是一個(gè)不可展曲面，將此曲面上的測(cè)量要素轉(zhuǎn)換到平面 上 去，必然會(huì)產(chǎn)生變形，此種變形一般可分為哪幾類？我們 可采取什么原則對(duì)變形加以控制和運(yùn)用? 4高斯投影應(yīng)滿足哪些條件？6帶和 3帶的分帶方法是什 么？如何計(jì)算中央子午線的經(jīng)度？習(xí)習(xí) 題題5為什么在高斯投影帶上，某點(diǎn)的y坐標(biāo)值有規(guī)定值與自然 值之分，而x坐標(biāo)值卻沒有這種區(qū)分?在哪些情況下應(yīng)采用 規(guī)定值？

28、在哪些情況下應(yīng)采用自然值？6正形投影有哪些特征？何謂長(zhǎng)度比？7投影長(zhǎng)度比公式的導(dǎo)出有何意義？導(dǎo)出該公式的基本思 路是什么8寫出正形投影的一般公式，為什么說(shuō)凡是滿足此式的函 數(shù)，皆能滿足正形投影的條件？ 9學(xué)習(xí)了正形投影的充要條件和一般公式之后，你對(duì)高斯投影的 實(shí)質(zhì)是怎樣理解的？10設(shè)ABC為橢球面上三等三角網(wǎng)的一個(gè)三角形，試問(wèn)：(1)依正形投影A、B、C三點(diǎn)處投影至平面后的長(zhǎng)度比是否相 等? (2)如若不等，還能保持投影的等角性質(zhì)和圖形相似嗎？如若 相等，豈不是長(zhǎng)度比和點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)嗎?11寫出按高斯平面坐標(biāo)計(jì)算長(zhǎng)度比的公式，并依公式闡述高 斯投影的特點(diǎn)和規(guī)律。13在討論高斯投影時(shí)提出了正形投影

29、的充要條件(又稱柯西黎 曼條件)，它對(duì)問(wèn)題的研究有什么作用？這個(gè)條件是如何導(dǎo)出 的？14高斯投影坐標(biāo)計(jì)算公式包括正算公式和反算公式兩部分，各解 決什么問(wèn)題？15試述建立高斯投影坐標(biāo)正算公式的基本思路及主要過(guò)程。1fx 2fy 12已知投影公式（B、L），（B、L），求一點(diǎn)附近任意方向上長(zhǎng)度比的計(jì)算公式，并寫出主方向的長(zhǎng)度比(提示：)。dBdlMrtg16高斯投影正算是已知 求 ，由于 值不 大，故此公式可以認(rèn)為是在 點(diǎn)上展開 的冪級(jí) 數(shù)；反算公式中底點(diǎn)緯度Bf 是指 ，由于 值 不大，故此公式可認(rèn)為是在 點(diǎn)上展開 的 冪級(jí)數(shù)。17試證明高斯投影所求得的經(jīng)線投影影像向中央子午線彎曲 （凹向中央于

30、午線），平行圈投影像向兩極彎曲（凸向赤 道）。18某點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)x、y是否等于橢球面上該點(diǎn)至赤道 和中央子午線的距離?為什么?19什么是平面子午線收斂角？試用圖表示平面子午線收 斂角之下列特性： (1)點(diǎn)在中央子午線以東時(shí)， 為正，反之為負(fù)； (2)點(diǎn)與中央子午線的經(jīng)差愈大， 值愈大； (3)點(diǎn)所處的緯度愈高， 值愈大。20高斯投影既然是正形投影，為什么還要引進(jìn)方向改正？21高斯投影既然是一種等角投影，而引入方向改正 后，豈不破壞了投影的等角性質(zhì)嗎？22試推導(dǎo)方向改正計(jì)算公式并論證不同等級(jí)的三角網(wǎng) 應(yīng)使用不同的方向改正計(jì)算公式。23怎樣檢驗(yàn)方向改正數(shù)計(jì)算的正確性？其實(shí)質(zhì)是什 么？24橢球面

31、上的三角網(wǎng)投影至高斯平面，應(yīng)進(jìn)行哪幾項(xiàng) 計(jì)算？并圖示說(shuō)明為什么？25試推導(dǎo)城市三、四等三角網(wǎng)計(jì)算方向改正值的計(jì) 算公 式，并分析所用概略坐標(biāo)的精度。26已知距離改化計(jì)算公式為： 若要求改正數(shù)的精度為，問(wèn)坐標(biāo)的精度為多少（已 知R=6370km， 300km）？27回答下列問(wèn)題： (1)試述高斯正形投影的定義； (2)繪圖說(shuō)明平面子午線收斂角，方向改化和距離改化的幾 何意義； (3)寫出大地方位角和坐標(biāo)方位角的關(guān)系式； (4)估算（用最簡(jiǎn)公式和兩位有效數(shù)字）高斯投影六度帶邊 緣一條邊長(zhǎng)50KM的最大長(zhǎng)度變形，己知sRysDm222Km330mymy 。28在高斯投影中，為什么要分帶？我國(guó)規(guī)定小于一萬(wàn)分之一 的測(cè)圖采用6投影帶，一萬(wàn)分之一或大于一萬(wàn)分之一的 測(cè)圖采用3投影帶，其根據(jù)何在？29如果不論測(cè)區(qū)的具體位置如何，僅為了限制投影變形，統(tǒng) 稱采用3帶投影優(yōu)于6帶投影，你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論正確 嗎？為什么？30高斯投影的分帶會(huì)帶來(lái)什么問(wèn)題？31高斯投影的換帶計(jì)算共有幾種方法？各有什么特點(diǎn)？32利用高斯投影正、反算公式間接進(jìn)行換帶計(jì)算的實(shí)質(zhì) 是什么？已知某點(diǎn)在6帶內(nèi)的坐標(biāo)為 、 ，求該點(diǎn) 在3帶內(nèi)第40帶的坐標(biāo)。mx608.19443591my456.20740455133在推導(dǎo)坐標(biāo)換帶表的換帶公式中