“兩個基本計數(shù)原理”教學設計及教學反思Word版

1、“兩個基本計數(shù)原理”教學設計及教學反思江蘇省蘇州中學 劉 華（215007）在新課標教材中，“兩個基本計數(shù)原理”是高中數(shù)學選修2-3第1章“計數(shù)原理”的起始課，在原大綱版教材中，這個章節(jié)的標題是“排列、組合與二項式定理”，新課標教材的內(nèi)容與原人教版教材是一致的，但新課標的理念卻有了很大的不同，如何在教學設計以及教學過程中充分展現(xiàn)新課程對數(shù)學教學的新要求？這使我在著手教學設計之時就面臨挑戰(zhàn)1.如何處理教材1.1目標定位教材提供了教學的素材原理、范例、練習（習題），如何將素材整合成一個有機的教學內(nèi)容？首先要分析教學內(nèi)容在教材體系（乃至數(shù)學知識體系）中的地位，并確立教學的目標課程標準對本章的教學側(cè)重

2、點做了界定：“計數(shù)問題是數(shù)學中的重要研究對象之一，分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理是解決計數(shù)問題的最基本、最重要的方法，也稱為基本計數(shù)原理，它們?yōu)榻鉀Q很多實際問題提供了思想和工具1”這說明，本章的教學重點是兩個基本計數(shù)原理，而排列、組合、二項式定理則是兩個基本計數(shù)原理的應用實例根據(jù)上述分析，結(jié)合課程標準對本章的目標定位，我認為，“計數(shù)原理”這一章研究的對象是計數(shù)問題，研究的方法是“問題解決”，研究的過程是“建構(gòu)方法”，在本課的學習過程中，師生將面對實際計數(shù)問題（可能是已加工過的）并加以解決，這一“問題解決”過程的目標是建構(gòu)方法兩個基本計數(shù)原理因此，將本節(jié)課的教學目標擬定為：1 通過實例分析，

3、讓學生自主建構(gòu)分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，并弄清它們的區(qū)別2 能初步運用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的計數(shù)問題1.2重難點分析對學生而言，“計數(shù)”是其學習數(shù)學的基本能力之一，簡單的計數(shù)問題，其解決方法就是“數(shù)”數(shù)，但復雜的問題呢？因此，要使學生意識到，只會機械地“數(shù)”是不夠的，必須從簡單的、已能解決的計數(shù)問題中，抽象出能夠解決一“類”問題的方法，并明確界定適用該方法的問題的“類”由此可知，本節(jié)課教學的重點與難點為：1 本節(jié)課的重點是經(jīng)歷對實際問題進行方法建構(gòu)的過程，從而掌握解決實際計數(shù)問題的流程，即：分析問題構(gòu)造方法選擇原理解決問題2 本節(jié)課的難點是在具體問題解

4、決中，區(qū)別使用計數(shù)原理1.3課題引入由于本節(jié)課是本章的起始課，還承擔著本章引入的教學任務，通過本章引入，我們將帶領(lǐng)學生走進本章的數(shù)學學習，使學生明白本章的學習主體內(nèi)容與學習任務，為學生創(chuàng)設良好的數(shù)學學習環(huán)境本章的引入采用了以下的問題（情境）：l 問題情境1：擲一顆骰子，出現(xiàn)點數(shù)小于3的概率是多少？l 問題情境2：中新社蘇州2006年12月31日電(天榮 姚靜)記者今天從有關(guān)部門獲悉，截至目前，蘇州市城鄉(xiāng)機動車總數(shù)已達2 / 855.53萬輛， 比去年同期凈增10萬余輛，平均每天新增300輛，成為近幾年來該市新增機動車數(shù)量最多的一年，全市機動車保有總量僅次于上海和北京蘇州市汽車牌照形式為“蘇EX

5、Xzzz”，其中“蘇E”為地區(qū)代碼，XX可以是數(shù)字與字母的組合，zzz是數(shù)字的組合，如果按此牌照方式編排，理論上汽車數(shù)量最多為多少？l 問題情境3：下圖是某城市的街道西北角是某同學的家，東南角是學校從家經(jīng)東西4條街，南北5條街到學校（最短距離），有幾種不同的走法？通過以上的問題（情境）的引入，揭示本章的研究課題：教學片斷：師：先看一個問題，擲一顆骰子出現(xiàn)點數(shù)小于3的概率是多少？生齊：.師：好!怎么算的? 我請一位同學來回答。生1：擲骰子一共有6種等可能的基本事件，然后小于3的有1和2（出現(xiàn)1或2點），那么扔到1和2的概率就是。師：謝謝，請坐！我們知道，古典概型中，A事件發(fā)生概率的計算公式是P(

6、A)= 。那么，現(xiàn)在我們的問題改為： m和n怎么計算？師：（我們發(fā)現(xiàn)）這個問題，本來是一個概率問題，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)它轉(zhuǎn)化成一個計數(shù)的問題了，那么，如何計數(shù)呢？當然，這個問題很簡單，遇到復雜的問題我們怎么樣來計數(shù)呢？這就是我們今天要開始學習的新的一章計數(shù)原理。設計意圖：從古典概型中引入計數(shù)問題，設計思想是根據(jù)學生的最近發(fā)展區(qū)學生已經(jīng)學過了概率（古典概型），他們知道在古典概型中，計算一個事件的概率可以用P(A)= 來計算，而由n和m的計算就可以引入計數(shù)的問題。師：（見PPT）這是一則新聞，講什么呢？蘇州的汽車比較多，我們（蘇州）現(xiàn)在的機動車總數(shù)是55.53萬輛，至少說目前路比較擠，你們騎自行車要讓著點。

7、（問題是）什么意思呢？我們現(xiàn)在的牌照是什么樣子的？蘇EXXzzz，蘇E是地區(qū)代碼，XX可以是數(shù)字或字母的組合，z是數(shù)字的組合。如果按此牌照方式編排，理論上蘇州汽車數(shù)量總量是多少？這是個什么問題？（生：是計數(shù)問題）師：這里有張圖，表示某城市的街道，西北角是同學的家，東南角是學校，那么現(xiàn)在的問題是：從家里經(jīng)東西四條街南北五條街到學校，按照最短距離走的話，有幾種不同的走法？師：（指著PPT）這是最短路線的一種（演示），它對應著這張圖（PPT）。有沒有其他的最短路線？誰上來比劃一下？師：請這位同學上來，在圖上指出一條與原圖不同的最短路線！請?。ㄉ?上來指出了一條最短路線。）師：這也是最短路線是不是？（

8、繼續(xù)問生2）好！你說他是怎么經(jīng)過了怎么樣一種方式走的最短路線？生2：（在最短路線中）他要么往東面走，要么往南面走，往東面走四格，往南面走三格（就能到了）。師：好，謝謝你！請坐！師：這個學生他往東（實際上就是往右）走四段，往南走三段就可以完成這件事，那么，一共要走幾段？（停頓，讓學生思考）一共要走七段是不是就走到學校了？那么大學能否算出有幾種不同的走法？師：這是一個什么樣的問題？S齊：計數(shù)問題師：我們組合學中一開始先研究計數(shù)問題，來看書，書上說“我們在社會生活的各個方面”，我還要再補充一句“我們在數(shù)學中實際上也要涉及到計數(shù)的問題”。師：本章的問題就是利用怎樣的模型刻畫和解決計數(shù)問題。設計意圖：這

9、節(jié)課是高中數(shù)學新課程標準教科書選修2-3第一章計數(shù)原理的起始課，這節(jié)課除了要完成兩個基本計數(shù)原理（加法原理、乘法原理）的教學任務之外，還承擔著引領(lǐng)學生進入新的一章進行數(shù)學學習的作用。1.4例習題處理在本章引入完成后，進入“兩個基本計數(shù)原理”的教學環(huán)節(jié)，為了通過實例建構(gòu)方法，本課采用了以下的問題（情境）：1 （課例延用）行程方法計數(shù)問題（1）如圖（1），從甲地到乙地有3條公路、2條鐵路，某人要從甲地到乙地共有多少種不同的方法？（2）如圖（2），從甲地到乙地有3條道路從乙地到內(nèi)地有2條道路那么從甲地經(jīng)乙地到丙地共有多少種不同的方法？l 上述兩個問題有什么區(qū)別？l 由這兩個問題分別可以得到怎樣的數(shù)學

10、模型？2 （自編新例）擲骰子計數(shù)問題l （1）擲一顆骰子兩次，出現(xiàn)點數(shù)之和小于5的情況有多少種？l （2）擲一顆骰子兩次，共可出現(xiàn)多少種情況？其中，“擲骰子計數(shù)”問題的創(chuàng)設很好地呼應了“從古典概型中引入計數(shù)問題”的過程，也使學生明白數(shù)學知識之間的聯(lián)系，雖然教學使用的是線性的順序，但數(shù)學知識體系本身是“網(wǎng)狀”的，古典概型問題的真正解決，依賴于計數(shù)方法通過以上計數(shù)問題建構(gòu)出兩個基本原理后，在教學中使用了以下的例題與練習，并提出了拓展思考題：1 （課例延用）從兩個不同群體中選一名代表，各選一名代表，有多少種不同的方法？例1 某班共有男生28名、女生20名，從該班選出學生代表參加校學代會（1）若學校分

11、配給該班1名代表，有多少種不同的選法？（2）若學校分配給該班2名代表，且男、女生代表各1名，有多少種不同的選法？2 （補充題組）（1）滿足x + y 5的有序正整數(shù)組(x,y)共有多少組？（2）集合1，2，3，4，5的二元子集有多少個？（3）集合1，2，3，4，5的子集有多少個？3 （課內(nèi)練習）課后練習題2題（1）手表廠為了供應更多新穎款式的手表，為統(tǒng)一的機芯設計了4種形狀的外殼、2種顏色的表面及3種形式的數(shù)字，問：共有幾種不同的款式？（2）如圖，從甲地到乙地有3條公路可走，從乙地到丙地有2條公路可走，又從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有2條水路可走從甲地經(jīng)乙地到丙地有多少種不同的走法？從甲地到丙地共有

12、多少種不同的走法？4 （課后·拓展思考）已知集合M=1，2，3，P=4，5，6（1）以M為定義域，P為值域的不同函數(shù)有幾個？（2）從M到P不同的映射有多少個？2.如何引導學生2.1學情及知識準備的分析由于是在外校借班上課，雖然事先也有過對學生情況的側(cè)面了解，班主任也特地準備了一份名單，但是，實際上我對學生原有的數(shù)學學習能力還是一無所知我必須將“入門”的起點“放低”，并通過課堂教學中學習的即時反饋，生成完整的教學過程從學生的知識準備來看，由于在數(shù)學必修3中已學習過概率（古典概型），而且當時也有過爭議不學排列組合，怎么解決古典概型？現(xiàn)在看來，課程標準所倡導的是知識與技能的“螺旋式上升”，

13、我要做的就是建立起兩者之間的聯(lián)系，因此，我計劃從一個古典概型問題引出計數(shù)問題，找準學生的“最近發(fā)展區(qū)”來組織教學2.2突破難點“計數(shù)”幾乎是人類一種“天生”的能力，對于簡單的計數(shù)問題，最常用的方法就是“數(shù)”計數(shù)原理這一章的存在，不是要讓學生掌握一種新的技能，而是要發(fā)展學生這種“與生俱來”的能力，使之能合理地應用于復雜的計數(shù)問題當然，在問題解決的過程中，學生需要不斷地歸納、總結(jié)，形成解決計數(shù)問題的方法和技能按以往的教學經(jīng)驗，本節(jié)課的難點是在解題中區(qū)別所使用的基本計數(shù)原理學生在面對問題時，往往不知是使用哪個原理，他們會嘗試著先用分類加法計數(shù)原理（或分步乘法計數(shù)原理），然后看教師的反應（反饋），有時

14、教師一個皺眉，就會讓學生意識到在原理的選用上產(chǎn)生了謬誤，從而改用另一個（原理）；而教師在面對學生的錯誤時，也常常會“斷喝”“想一想，到底是分類，還是分步？”這會給學生一個強烈的暗示：“我的方法選擇錯了”在這種教學模式下，學生是否能真正地掌握兩個基本計數(shù)原理呢？答案是否定的，我們常?？吹?，學生在教師的“幫助”下（通常我們認可這種幫助是善意的），解決課堂上的計數(shù)問題沒有困難，可一旦自主面對問題，就往往會陷入兩難：“到底是分類、還是分步？”從歷年高考對排列、組合問題的考查結(jié)果分析中發(fā)現(xiàn)，這類問題的得分情況并不理想，原因可能就在于學生對于“模式套代”的依賴過強，并沒有能真正掌握計數(shù)原理的實質(zhì)當學生面對

15、題組滿足x + y 5的有序正整數(shù)組(x,y)共有多少組？集合1，2，3，4，5的二元子集有多少個？子集有多少個？時，顯然遇到了困難，很明顯這些問題都需要“計數(shù)”，但又無法從題意中區(qū)別是使用哪一個計數(shù)原理，但這并不影響他們的解題，大多數(shù)學生通過“數(shù)”的方法，得到了正確的結(jié)果，以“集合1，2，3，4，5的二元子集有多少個？”為例，學生通過列下表子集計數(shù)含有1的子集1,2，1,3，1,4，1,54不含1且含有2的子集2,3，2,4，2,53不含1，2且含有3的子集3,4，3,52不含1，2，3且含有4的子集4,51合計10可以知道按上述方法來計數(shù)，使用的是分類加法計數(shù)原理，該方法的要點是將計數(shù)對象

16、（集合）分成若干類，每一類可看作一個集合，滿足特征“兩兩交集為空，所有集合的并為全集”實際上，這也是分類加法計數(shù)原理中類的基本要求然而，如果我們將表變造一下：子集計數(shù)含有1的子集1,2，1,3，1,4，1,54含有2的子集2,1，2,3，2,4，2,54含有3的子集3,1，3,2，3,4，3,54含有4的子集4,1，4,2，4,3，4,54含有5的子集5,1，5,2，5,3，5,44合計20我們會發(fā)現(xiàn)其中蘊含著乘法式5×4=20，實際上，借助這個表，我們將寫二元子集的步驟改為：往格子“,”中不重復地填入1，2，3，4，5這五個數(shù)字；對照集合中元素的互異性，除去重復的情形很顯然，步驟的

17、做法數(shù)為5×4，按步驟，應當除去2，因為a,b與b,a在中都出現(xiàn)了，但它們是相同的集合，這樣，二元子集的個數(shù)應為 =10（個）顯然，這個做法在計數(shù)時就應當使用分步乘法計數(shù)原理由此看來，教師不應在學生面對問題時問“到底是分類、還是分步？”，而應當引導學生構(gòu)建方法，根據(jù)方法的特征來選擇所適用的原理，這樣做，是不是事半功倍呢？3.如何組織教學3.1教學流程的準備本課教學流程：問題情境建構(gòu)數(shù)學數(shù)學理論數(shù)學運用回顧反思通常一種教學流程往往對應著一種教學策略的設計，包括合理完善的教學環(huán)節(jié)，以及為完成每個環(huán)節(jié)而分配有效的教學時間方法建構(gòu)過程并非是純理論的演繹，而是結(jié)合實例、建構(gòu)方法、并歸納抽象出數(shù)

18、學原理學生通過經(jīng)歷這一過程，完善了對解決問題過程的認識，這也是數(shù)學課力圖體現(xiàn)的過程性目標之一本節(jié)課是章起始課，情境的輔墊要為全章的教學服務，方法的建構(gòu)也需要學生自主地完成，因此，前三個環(huán)節(jié)預設的時間是比較多的，大約占到2530分鐘如果用很短的時間介紹兩個基本原理，將大量的時間花在習題演練過程，也許短期內(nèi)會取得較好的效果學生通過解題既鞏固了方法，又鍛煉了技能，可這種“熟能生巧”型的教學為什么不能使學生真正地掌握計數(shù)方法？因為“熟未必生巧”，為解題而解題這種以“習題為中心，訓練為核心，應考為重心”的教學模式，無法促進學生的自覺學習，是不能令學生得到真正高效的學習過程的3.2學生主體觀課堂教學過程是在教學目標的指引下，由師生共同動態(tài)“生成”的其中，學生的反饋是重要的，它決定了教學的進程聆聽學生是教師的必備技能，不要將學生作為“答案發(fā)生器”，不要沉浸在“我的學生都會做了”這種虛假的成功喜悅中，而應該讓學生關(guān)注解決問題的過程、策略及思想方法，讓他們充分地展示思想，完整地、數(shù)學地表達自己的想法，甚至于應該給予他們犯錯的機會，也幫助他們提高分析錯誤、更正錯誤的能力學生在解題時，往往對答案很在意，也很在行例如在問題“集合1，2，3，4，5的二元子集有多少個？”的解決中，學生極快地報出了答案“10”，但在敘述他的解題過程時，卻說不太