基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則

1、1.2.2基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則導數(shù)的運算法則公式二公式二: :1()()xx 是常數(shù)公式一公式一: : = 0 (C為常數(shù)為常數(shù))C算一算：求下列函數(shù)的導數(shù)算一算：求下列函數(shù)的導數(shù)(1) y=x4 ;(2) y=x-5 ;)3(xy ;1)4(2xy 注意公式中注意公式中,n的任意性的任意性.4x3-5x-62121 x-2x-3公式三公式三: :公式四公式四: :xxcos)(sinxxsin)(cos公式五公式五: :對數(shù)函數(shù)的導數(shù)對數(shù)函數(shù)的導數(shù)1(1 ) (log )(0,1 ).lnaxaax a1(2) (ln ).xx公式六公式六: :指數(shù)

2、函數(shù)的導數(shù)指數(shù)函數(shù)的導數(shù)(2)().xxee (1 ) ( )ln (0 ,1 ).xxaa aaa.cos)(sin3xx公式.sin)(cos4xx 公式公式aaaxxln)(5 公式公式xxee )(6公式公式17(1)lnaog xxa公式xnx1)1(8 公式公式記記 一一 記記0()CC 公式1 為常數(shù)1()xx公式2 為常數(shù) 點評運算的準確是數(shù)學能力高低的重要標志，要從思想上提高認識，養(yǎng)成思維嚴謹、步驟完整的解題習慣，要形成不僅會求，而且要求對、求好的解題標準 求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)yx2；(2)ycosx；(3)ylog3x；(4)ye0. 解析由求導公式得法則法則1:兩個

3、函數(shù)的和兩個函數(shù)的和(差差)的導數(shù)的導數(shù),等于這兩等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和個函數(shù)的導數(shù)的和(差差),即即:f(x) g(x) = f(x) g(x);應(yīng)用應(yīng)用1: 求下列函數(shù)的導數(shù)求下列函數(shù)的導數(shù)(1)y=x3+sinx(2)y=x3-2x+3.xxycos32232yx一、導數(shù)的運算法則一、導數(shù)的運算法則法則法則2:兩個函數(shù)的積的導數(shù)兩個函數(shù)的積的導數(shù),等于第一個函等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個函數(shù)數(shù)的導數(shù)乘第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘第加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù)二個函數(shù)的導數(shù) ,即即:應(yīng)用應(yīng)用2:求下列函數(shù)的導數(shù)求下列函數(shù)的導數(shù)(1)y=(2x(1)y=(2x2 2+3)(3x-2)+

4、3)(3x-2)(2)y=(1+x(2)y=(1+x6 6)(2+sinx)(2+sinx)9818)23()32()23)(32(222xxxxxxyxxxxycos)1 ()sin2(665)()()()()()(xgxfxgxfxgxf法則法則3:兩個函數(shù)的商的導數(shù)兩個函數(shù)的商的導數(shù),等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個函數(shù)第二個函數(shù),減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù)減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù) ,再再除以第二個函數(shù)的平方除以第二個函數(shù)的平方.即即:2)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf應(yīng)用應(yīng)用3:求下列函數(shù)的導數(shù)求下列函數(shù)的導數(shù)33)2(2xxy(

5、1)y=tanxxxxxxxy2222cos1cossincos)cossin(222)3(36xxxy 點評1.多項式的積的導數(shù)，通常先展開再求導更簡便 2含根號的函數(shù)求導一般先化為分數(shù)指數(shù)冪，再求導例例2:求下列函數(shù)的導數(shù)求下列函數(shù)的導數(shù):322224(1)2312(2);(3);1(4)tan ;(5)(23) 1;1(6);(7);yxxyxxxyxyxyyxyxxx x答案答案:2(1)32;yx22 21(3);(1)xyx21(4);cosyx 326(5);1xxyx2314(2);yxx54(6);yx3(7);2yx題型一：導數(shù)公式及導數(shù)運算法則的應(yīng)用題型一：導數(shù)公式及導數(shù)

6、運算法則的應(yīng)用(1)求下列函數(shù)的導數(shù)求下列函數(shù)的導數(shù)yx2sinxyx2(x21)練一練：練一練：（1）下列各式正確的是）下列各式正確的是（ ）6551).(cos).(sinsin)cos.(cos).(sin xxDxxCxxBA（為常數(shù)）為常數(shù)） C（2）下列各式正確的是（）下列各式正確的是（ ）3ln3)3.(3)3.(10ln).(log1).(logxxxxaxaDxCxBxA D(3) f(x)=80，則，則f (x)=_;(4)( ),( )_;(1)_xf xefxf則等于等于0 xee(5)(1)_aog xaxln1 假設(shè)某國家在假設(shè)某國家在20年期間的年通貨膨脹年期間的

7、年通貨膨脹率為率為5，物價，物價p（單位：元）與時間（單位：元）與時間t（單（單位：年）有函數(shù)關(guān)系位：年）有函數(shù)關(guān)系 ，其，其中中 為為t=0時的物價時的物價.假定某商品的假定某商品的 那么在第那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲個年頭，這種商品的價格上漲的速度的大約是多少（精確到的速度的大約是多少（精確到0.01）？）？ 01 5%tp tp0p01p 解解:根據(jù)根據(jù)基本初等函數(shù)導數(shù)公式表基本初等函數(shù)導數(shù)公式表,有有05. 1ln05. 1)(ttp)/(08. 005. 1ln05. 1)10(10年元 p所以所以tptp%)51 ()(0因此因此,在第在第10個年頭個年頭,這種商品的價

8、格這種商品的價格約以約以0.08元元/年的速度上漲年的速度上漲. 三、解答題 6求下列函數(shù)的導數(shù) (1)yx43x25x6； (2)yxtanx； (3)y(x1)(x2)(x3)； (3)解法1：y(x1)(x2)(x3) (x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3) (x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2) (2x3)(x3)x23x23x212x11； 解法2：(x1)(x2)(x3)(x23x2)(x3) x36x211x6， y(x1)(x2)(x3)(x36x211x6)3x212x11；例3已知拋物線yax2bxc通過點(1

9、,1)，且在點(2，1)處與直線yx3相切，求a、b、c的值分析分析題中涉及三個未知量，已知中有三個獨立條題中涉及三個未知量，已知中有三個獨立條件，因此，要通過解方程組來確定件，因此，要通過解方程組來確定a、b、c的值的值解析解析因為因為yax2bxc過點過點(1,1)，所以所以abc1. y2axb，曲線過點，曲線過點P(2，1)的切線的斜率為的切線的斜率為 4ab1.又曲線過點又曲線過點(2，1)，所以，所以4a2bc1.點評本題主要考查了導數(shù)的幾何意義，導數(shù)的運算法則及運算能力例例2.2.日常生活中的飲用水通常是通過凈化的。隨著水純?nèi)粘Ｉ钪械娘嬘盟ǔＪ峭ㄟ^凈化的。隨著水純凈度的提高，

10、所需凈化費用不斷增加。已知將凈度的提高，所需凈化費用不斷增加。已知將1噸水噸水凈化到純凈度為凈化到純凈度為 時所需費用時所需費用(單位單位:元元)為：為：5284( )(80100)100c xxx 求凈化到下列純凈度時求凈化到下列純凈度時 , 所需凈化費用的瞬時所需凈化費用的瞬時變化率：變化率： (1)90% (2)98%x解解：252845284 (100) 5284 (100)( )()100(100)xxc xxx 220 5284 ( 1)5284(100)(100)xx (90)52.84()(98)1321()cc 元元/ /噸噸 元元/ /噸噸1.2.3復合函數(shù)求導復合函數(shù)求導

11、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)的導數(shù)公式11.( ),( )0;2.( ),( );3.( )sin ,( )cos ;4.( )cos ,( )sin ;5.( ),( )ln (0);6.( ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.nnxxxxaf xcfxf xxfxnxf xxfxxf xxfxxf xafxaa af xefxef xxfxaaxa 公式 若則公式 若則公式 若則公式 若則公式 若則公式 若則公式 若則且公式 若1( )ln ,( );f xxfxx則導數(shù)的運算法則：導數(shù)的運算法則：法則法則1:兩個函數(shù)的和兩個函數(shù)的和(差差)的導數(shù)的導數(shù),等于這

12、兩個函數(shù)的等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和導數(shù)的和(差差),即即:( )( )( )( )f xg xf xg x法則法則2:兩個函數(shù)的積的導數(shù)兩個函數(shù)的積的導數(shù),等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個函數(shù)第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù)加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù) ,即即:( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x法則法則3:兩個函數(shù)的商的導數(shù)兩個函數(shù)的商的導數(shù),等于第一個函數(shù)的導數(shù)等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個函數(shù)乘第二個函數(shù),減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù)減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù) ,再除以第二個函數(shù)的平方再除以第二個函數(shù)的平方

13、.即即:2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x練習練習1、求下列函數(shù)的導數(shù)。、求下列函數(shù)的導數(shù)。(1) y= 5(2) y= x 4(3) y= x - -2(4) y= 2 x(5) y=log3x0 y34xy 3ln1xy 3322xxy2ln2xy ?2ln的導數(shù)呢如何求函數(shù)思考xy.,22ln2ln.ln,22的函數(shù)表示為自變量可以通過中間變量即的得到復合經(jīng)過和看成是由可以從而則若設(shè)xuyxxuuyxyuyxxu .2ln,xxgfufyxguxuufyuy過程可表示為復合那么這個的關(guān)系記作和的關(guān)系記作與如果把.

14、,3232,22等等而成復合和由函數(shù)例如得到的復合經(jīng)過可以看成是由兩個函數(shù)我們遇到的許多函數(shù)都xuuyxy指出下列函數(shù)是怎樣復合而成：指出下列函數(shù)是怎樣復合而成：2(1)sin2(2)31(3)cos(sin )(4)()1(5)sin(1).n myxyxxyxya bxyx ； ； ；練習練習1sin ,2yuux2,31yuuxx ,.mnyuuabxcos ,sinyuux1sin ,1yuux 二、復合函數(shù)的概念二、復合函數(shù)的概念三三. .復合函數(shù)的導數(shù)法則復合函數(shù)的導數(shù)法則: :即復合函數(shù)即復合函數(shù)y y對對x x的導數(shù)等于的導數(shù)等于: :y y對對u u的導數(shù)的導數(shù) 與與 u u

15、對對x x的導數(shù)的導數(shù) 的乘積的乘積. .復合函數(shù)復合函數(shù) 的導數(shù)與函數(shù)的導數(shù)與函數(shù) 和和 的導數(shù)間關(guān)系為：的導數(shù)間關(guān)系為：( )( )xyf ug x xuxyyu( ( )yf g x( )ug x( )yf u或或 復合函數(shù)求導步驟復合函數(shù)求導步驟:第一步，分層（從外向內(nèi)分解成基本函第一步，分層（從外向內(nèi)分解成基本函 數(shù)用到中間變量數(shù)用到中間變量u u）；）；第二步，層層求導（將分解所得的基本第二步，層層求導（將分解所得的基本函數(shù)進行求導）；函數(shù)進行求導）；第三步，做積還原（將各層基本函數(shù)的第三步，做積還原（將各層基本函數(shù)的導數(shù)相乘，并將中間變量導數(shù)相乘，并將中間變量u u還原為原來的還

16、原為原來的自變量自變量x x）。）。.復合而成與由2uy 23 xu其實，其實， 是一個復合函數(shù)，是一個復合函數(shù)，2) 23 ( xy問題：問題：的導數(shù)？如何求2)23(xyyxy2(32) x24129xx1218 x;xu3uyu2;46 x分析三個函數(shù)解析式以及導數(shù)分析三個函數(shù)解析式以及導數(shù) 之間的關(guān)系之間的關(guān)系:,xxuyuyxuxuyyy 例例1：求：求xy2sin的導數(shù)的導數(shù)分析：分析：解解1：(sin 2)(2 sinc o s)yxxxx )sinsincos(cos2xxxx解解2：xy2sin可由y=sinu,u=2x復合而成2,cosxuuuyxuuyxy=2cos2xx

17、uxuuy2cos2cos2.x2cos2xxxx2cos)2(sincos)(sin?練習練習設(shè)設(shè) y = (2x + + 1 1)5，求求 y 解解把把 2x + + 1 看成中間變量看成中間變量 u，函數(shù)函數(shù) y = u5，和，和 u = 2x + + 1復合而成，復合而成，,5)(45uuyu . 2)12( xux所以所以.)12(102544 xuuyyxux將將 y = (2x + + 1)5 看成是由看成是由由于由于例例2設(shè)設(shè) y = sin2 x，求求 y 解解這個函數(shù)可以看成是這個函數(shù)可以看成是 y = sin x sin x, 可利可利用乘法的導數(shù)公式，用乘法的導數(shù)公式，

18、將將 y = sin2 x 看成是由看成是由 y = u2，u = sin x 復合而成復合而成. 而而,2)(2uuyu .cos)(sinxxux 所以所以.cossin2cos2xxxuuyyxux 這里，這里，我們用復合函數(shù)求導法我們用復合函數(shù)求導法.求求 y ,12xy 設(shè)設(shè)解解將中間變量將中間變量 u = 1 - - x2 記在腦子中記在腦子中.211() .22 (1)uyuux 也也在在心心中中運運算算這樣可以直接寫出下式這樣可以直接寫出下式221(1)2 (1)xxyxx .12xx 例例 3練習練習3 3：設(shè)：設(shè) f f ( (x x) ) = sin= sinx x2 2

19、 ，求求 f f ( (x x).).解解22( )cos()xfxxx 22 cosxx 【解析】103311(25 )(2)sinsin1yxyxxx求下列函數(shù)的導數(shù)（）例解：(2)y=(sin3x+sinx3)=(sin3x)+(sinx3)=3sin2x(sinx)+cosx3(x3)=3sin2xcosx+3x2cosx3. 103311(25 )(2)sinsin1yxyxxx求下列函數(shù)的導數(shù)（）例【解析】233(31)142yx求曲線在點（， ）處的例切線方程。復習檢測復習檢測復習檢測復習檢測當堂檢測當堂檢測1函數(shù)函數(shù)y=(5x4)3的導數(shù)是（的導數(shù)是（ ） （A）y3(5x4)

20、2 （B）y9(5x4)2 （C）y15(5x4)2 （D）y12(5x4)2C2函數(shù)函數(shù) yAcos(x+)（A0）的導數(shù)）的導數(shù)是（是（ ） （A）y=Asin(x+) （B）y=Asin(x+) （C）y=Acos(x+) （D）y=Asin(x+)D3函數(shù)函數(shù)y=sin(x2+1)cos3x的導數(shù)是的導數(shù)是（ ） （A）y=cos(x2+1)sin3x （B）y=2xcos(x2+1)3sin3x （C）y=2xcos(x2+1)+3sin3x （D）y=cos(x2+1)+sin3xB4函數(shù)函數(shù)y=(1+cosx)3是由是由 兩兩個函數(shù)復合而成個函數(shù)復合而成y=u3, u=1+cosx 5函數(shù)函數(shù)y=3sin2xl在點在點(，1)處的切線方處的切線方程是程是 .y=1 6求求 的導數(shù)的導數(shù) 32yaxbxc2233221()(2)3(2) 3()yaxbxxaxbaxbaxbxcax