第6次課換面法求實長與實形02

1、一、問題的提出一、問題的提出 P58P58 如何求一般位置直線的實長？如何求一般位置直線的實長？ 如何求一般位置平面的真實大小？如何求一般位置平面的真實大小？ 換換 面面 法：法： 物體本身在空間的位置不動，而用某物體本身在空間的位置不動，而用某一新投影面（輔助投影面）代替原有投影一新投影面（輔助投影面）代替原有投影面，使面，使物體相對新的投影面處于解題所需物體相對新的投影面處于解題所需要的有利位置要的有利位置，然后將物體向新投影面進，然后將物體向新投影面進行投射。行投射。解決方法：更換投影面。解決方法：更換投影面。VHAB a b ab二、新投影面的選擇原則二、新投影面的選擇原則1. 新投影

2、面必須對空間物體處于新投影面必須對空間物體處于最有利的解最有利的解 題位置，題位置，一次只能更換一個投影面一次只能更換一個投影面。 平行于空間物體平行于空間物體 垂直于空間物體垂直于空間物體2. 新投影面必須新投影面必須垂直于垂直于不變不變投影面，以構成投影面，以構成 一個相互垂直的兩投影面的新體系。一個相互垂直的兩投影面的新體系。V1a 1b 1不變投影面不變投影面新投影面新投影面舊投影面舊投影面舊軸舊軸X新軸新軸X1 1VHA a a axX 更換一次投影面更換一次投影面 舊投影體系舊投影體系 X VH 新投影體系新投影體系V1HX1 A點的兩個投影：點的兩個投影：a，a A點的兩個投影：

3、點的兩個投影：a ，a 1 新投影體系的建立新投影體系的建立三、點的投影變換規(guī)律三、點的投影變換規(guī)律X1V1a 1ax1 V1HX1a 1 VHX a aaxax1.點的一次變換點的一次變換展開動畫展開動畫a1X1 V1a1X1HV1 V1a1ax1 VHXV1HX1 a aa 1VHA a axXX1V1a 1ax1 aa 1 X1 a 1ax1 = a ax 點的新投影到新軸的距離等于舊投影到舊軸的距離。點的新投影到新軸的距離等于舊投影到舊軸的距離。axa 一般規(guī)律：一般規(guī)律： 點的新投影和不變投影的連線，必垂直于新投影軸。點的新投影和不變投影的連線，必垂直于新投影軸。.新投影面新投影面舊

4、投影面舊投影面不變投影面不變投影面舊軸舊軸新軸新軸X1 1不變投影不變投影舊投影舊投影新投影新投影H1X1 ：即：即點在點在V / H1體系中的投影體系中的投影 X1H1Va1a1 XVHaa ax更換更換H面面 求新投影的作圖方法求新投影的作圖方法 VHXV1HX1 由點的不變投影向新投影軸作垂線，由點的不變投影向新投影軸作垂線，并在垂線上量取一段距離，使這段距離等并在垂線上量取一段距離，使這段距離等于舊投影到舊軸的距離。于舊投影到舊軸的距離。aa X1H1V a1axax1ax1更換更換V面面a 1作圖規(guī)律：作圖規(guī)律：. 更換兩次投影面更換兩次投影面先把先把V面換成平面面換成平面V1， V

5、1 H，得到中間新投影體系，得到中間新投影體系:V1HX1 再把再把H面換成平面面換成平面H2， H2 V1，得到新投影體系，得到新投影體系: X2 V1 H2 新投影體系的建立新投影體系的建立按次序更換按次序更換AaVH a axXX1V1a 1ax1H2X2ax2a2 注意：第二次換面時：舊軸為注意：第二次換面時：舊軸為X1；新軸為；新軸為X2；舊投影為；舊投影為 a ;不變投影為不變投影為a 1 ;新投影為新投影為a 2。與原與原X軸及軸及V投影投影 已無關了，已無關了，在量取新投影到新軸的距離時應注意。在量取新投影到新軸的距離時應注意。ax2 a aXVH 求新投影的作圖方法求新投影的

6、作圖方法a2X1HV1X2V1H2 作圖規(guī)律作圖規(guī)律 a2a 1 X2 軸軸 a2ax2 = aax1a 1 axax1 .變換路徑：變換路徑：V1HV1H2VHVHAB a b ab用用V1面代替面代替V面，在面，在V1/H投影體系中，投影體系中，AB/V1。X1HV1V1a 1b 1空間分析空間分析： 換換H面行嗎？面行嗎？不行！不行！作圖：作圖：例：求直線例：求直線AB的實長及與的實長及與H面的夾角面的夾角。 a b abXVH新投影軸的位置？新投影軸的位置？a 1b 1與與ab平行。平行。 .為什么？為什么？a 1b 1VH a aXB b bA空間分析：空間分析：a b abXVHX

7、1H1V1V1H2X2作圖：作圖：X1V1a 1b 1X2H2二次換面把投影面平行線變成投影面垂直線二次換面把投影面平行線變成投影面垂直線。X2軸的位置？軸的位置？a2b2ax2a2b2 .與與a1b1垂直垂直一次換面把直線變成投影面平行線；一次換面把直線變成投影面平行線； 一般位置直線變換一般位置直線變換成投影面垂直線，需經(jīng)成投影面垂直線，需經(jīng)幾次變換？幾次變換？ a b c abcdVHABCDX d 如果把平面內的一條直線變換成新投影面的垂如果把平面內的一條直線變換成新投影面的垂直線，那么該平面則變換成新投影面的垂直面。直線，那么該平面則變換成新投影面的垂直面。 V1X1c 1b 1 a

8、 1d 1空間分析：空間分析： 在平面內在平面內取一條取一條投影面平行線投影面平行線，經(jīng)一，經(jīng)一次換面后變換成新投次換面后變換成新投影面的垂直線，則該影面的垂直線，則該平面變成新投影面的平面變成新投影面的垂直面。垂直面。作圖方法：作圖方法：兩平面垂直需滿足什么條件？兩平面垂直需滿足什么條件？能否只進行一次變換？能否只進行一次變換？ 思考：思考：若變換若變換H面，需在面面，需在面內取什么位置直線？內取什么位置直線？正平線！正平線！ a b c acbXVH例：把例：把三角形三角形ABC變變換換成投影面垂直面。成投影面垂直面。HV1X1作作 圖圖 過過 程：程： 在平面內取一條水平在平面內取一條水

9、平 線線AD。d d 將將AD變換成新投影變換成新投影 面的垂直線。面的垂直線。d 1a 1d 1c 1 反映平面對哪反映平面對哪個投影面的夾角？個投影面的夾角？.a 1b 1需經(jīng)幾次變換？需經(jīng)幾次變換？一次換面一次換面, 把一般位置平面變換成新投影面的垂直面；把一般位置平面變換成新投影面的垂直面；二次換面，再變換成新投影面的平行面。二次換面，再變換成新投影面的平行面。X2V1H2ab a c b XVHc作作 圖：圖：AB是水平是水平線線空間分析：空間分析：a2c2b2c 1X2軸的位置？軸的位置？平面的實形平面的實形.X1HV1.與其平行與其平行b 1 距離距離dd 1X1HV1X2V1H

10、2c2 d 例例1：求點：求點C到直線到直線AB的距離，并求垂足的距離，并求垂足D。c c b a abXVH 如下圖：當直線如下圖：當直線AB垂直于投影面時，垂直于投影面時，CD平平行于投影面，其投影反映行于投影面，其投影反映實長。實長。AH 2BDCcabd作圖作圖: 求求C點到直線點到直線AB的距離，的距離，就是求垂線就是求垂線CD的實長。的實長?？臻g及投影分析：空間及投影分析：c 1 a 1 a2b2d2 過過c1作線平行于作線平行于x2軸軸。.如何確定如何確定d 1點的位點的位置？置？b a abcdc 例例2：已知兩交叉直線：已知兩交叉直線AB和和CD的公垂線的長度為的公垂線的長度

11、為MN， 且且AB為水平線，求為水平線，求CD及及MN的投影。的投影。MNm d a 1b 1m 1n 1c 1d 1n空間及投影分析：空間及投影分析：VHXHV1X1圓半徑圓半徑=MNn m 當直線當直線AB垂直于投影垂直于投影面時，面時，MN平行于投影面，平行于投影面，這時它的投影這時它的投影m 1n 1=MN,且且m 1n 1c 1d 1。V1ACDNMc 1d 1a 1m 1b 1n 1B作圖：作圖：請注意各點的投請注意各點的投影如何返回？影如何返回？求求m點是難點。點是難點。.空間及投影分析空間及投影分析：AB與與CD都平行于投影面時，其投影都平行于投影面時，其投影的夾角才反映實大（

12、的夾角才反映實大（60），因此需將），因此需將AB與與C點所確定的點所確定的平面變換成投影面平行面。平面變換成投影面平行面。例例3: 過過C點作直線點作直線CD與與AB相交成相交成60角。角。 d X1HV1X1V1H2ab a c b XVHc作作 圖：圖：c2c 1a 1b 1a2d2db2 幾個解？幾個解？兩個解！兩個解！ 已知點已知點C是等邊三角形的頂點，另兩個頂點是等邊三角形的頂點，另兩個頂點在直線在直線AB上，求等邊三角形的投影。上，求等邊三角形的投影。思考：思考：如何解？如何解？解法相同！解法相同！60D點的投影點的投影如何返回？如何返回？.H2V1X2H V1X1c d b a

13、 dacbd 1c 1a 1d2b 1c2a2 b2VHX例例4：求平面：求平面ABC和和ABD的兩面角。的兩面角。空間及投影分析空間及投影分析： 由幾何定理知：兩面角為兩平面同時與第三平面垂直相交由幾何定理知：兩面角為兩平面同時與第三平面垂直相交時所得兩交線之間的夾角。時所得兩交線之間的夾角。 在投影圖中在投影圖中, 兩平面的交線垂直于投影面時，則兩平面兩平面的交線垂直于投影面時，則兩平面垂直于該投影面，它們的投影積聚成直線，直線間的夾角為垂直于該投影面，它們的投影積聚成直線，直線間的夾角為所求。所求。.一、一、 換面法就是換面法就是改變投影面的位置改變投影面的位置，使它與所給物，使它與所給

14、物 體或其幾何元素處于體或其幾何元素處于解題所需的特殊位置解題所需的特殊位置。二、二、 換面法的關鍵是要注意換面法的關鍵是要注意新投影面的選擇條件新投影面的選擇條件， 即必須使即必須使新投影面與不變投影面保持垂直關系新投影面與不變投影面保持垂直關系， 同時同時又有利于解題需要，又有利于解題需要，這樣才能使正投影規(guī)這樣才能使正投影規(guī) 律繼續(xù)有效。律繼續(xù)有效。三、三、點的變換規(guī)律是換面法的作圖基礎，點的變換規(guī)律是換面法的作圖基礎，“四個基本四個基本 問題問題”是解題的基本作圖方法，必需熟練掌握。是解題的基本作圖方法，必需熟練掌握。 小小 結結 重點掌握：重點掌握：換面法的四個基本問題：換面法的四個

15、基本問題： 2. 把一般位置直線變成投影面垂直線把一般位置直線變成投影面垂直線1. 把一般位置直線變成投影面平行線把一般位置直線變成投影面平行線3. 把一般位置平面變成投影面垂直面把一般位置平面變成投影面垂直面4. 把一般位置平面變成投影面平行面把一般位置平面變成投影面平行面變換一次投影面變換一次投影面變換一次投影面。條件：變換一次投影面。條件：需先在需先在平面內作一條投影面的平行線平面內作一條投影面的平行線變換兩次投影面變換兩次投影面變換兩次投影面變換兩次投影面四、解題時一般要注意下面幾個問題：四、解題時一般要注意下面幾個問題： 分析已給條件的空間情況，弄清原始條件中分析已給條件的空間情況，

16、弄清原始條件中 物體與原投影面的相對位置物體與原投影面的相對位置，并把這些條件，并把這些條件 抽象成幾何元素（點、線、面等）。抽象成幾何元素（點、線、面等）。 根據(jù)要求得到的結果，確定出有關幾何元根據(jù)要求得到的結果，確定出有關幾何元 素素對新投影面應處于什么樣的特殊位置對新投影面應處于什么樣的特殊位置（垂（垂 直或平行），據(jù)此選擇正確的解題思路與方直或平行），據(jù)此選擇正確的解題思路與方 法。法。 在具體作圖過程中，要注意新投影與原投影在具體作圖過程中，要注意新投影與原投影 在變換前后的關系，在變換前后的關系， 既要在新投影體系中正既要在新投影體系中正 確無誤地求得結果，又能將結果確無誤地求得結果，又能將結果