第五章-曲線擬合(數(shù)值分析)

1、第五章第五章 曲線擬合法曲線擬合法一、什么是曲線擬合一、什么是曲線擬合)(xp 已知nnyyyyxxxx1010要求出一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù) ，使)2 , 1 , 0)(niyxpii（很接近與，這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為曲線擬合法。xyo曲線擬合和函數(shù)插值的區(qū)別： 曲線擬合法求出的函數(shù)p(x)不必通過(guò)給定的點(diǎn)，但和給定點(diǎn)很接近。如何衡量接近程度？一、什么是最小二乘原理一、什么是最小二乘原理是衡量接近程度的一種方法用最小二乘原理進(jìn)行曲線擬合的方法稱(chēng)為最小二乘法。最小二乘原理最小二乘原理nnxaxaaxp10)(設(shè) 已知nnyyyyxxxx1010noiniiiiyxPR022)(最小。naaa,10求 使由此可見(jiàn)，最

2、小二乘問(wèn)題需要兩個(gè)條件： 1.已知一組數(shù)據(jù) 2.一個(gè)擬合多項(xiàng)式（經(jīng)驗(yàn)公式）例：例：已給出j1234567Tj19.125.030.136.040.045.150.0Rj76.3077.8079.2580.8082.3583.9085.10電阻R和溫度T的關(guān)系畫(huà)草圖畫(huà)草圖tr1020304050758085近似為一直線，設(shè)方程為： rp(t)a+bt （a,b待定）712)(),(ijjrbtaba使最小)72 , 1()(jrtpRjjj則0)(),(0)(),(712712jjjjjjrbtabbbarbtaaaba29. 057.70ba所求擬合曲線是： r=p(t)=70.57+0.29

3、t 由此得二乘法的一般定義maaa,0定義：定義：設(shè)有n對(duì)數(shù)據(jù)（xj,yj)(j=1,2,n)，從這些數(shù)據(jù)中找一個(gè)m次近似 多項(xiàng)式 這里（mn時(shí)，稱(chēng)為超定方程。), 2 , 1(1mibxanjijiji設(shè) minjijijmiinbxaxxx111221)(),（問(wèn)題變成使最小 minjikijijkabxak110)(2 minjmiiikikjijbaaxa111)(用矩陣形式給出即：bAAxATT法方程組思路思路例例34871204812121212121xxxxxxxxx用最小二乘法解下列超定方程組的近似解01141472820417124812192525137AAT0114147

4、282bAT38101872464. 119272. 021xx8192572251372121xxxx0417124812A=解：解：正交多項(xiàng)式的曲線擬合正交多項(xiàng)式的曲線擬合一、一、 廣義最小二乘擬合多項(xiàng)式廣義最小二乘擬合多項(xiàng)式1.）定義：）定義：設(shè)函數(shù)族)(),(),(:)(210 xPxPxPxP線性無(wú)關(guān)，則其線性組合 稱(chēng)為P(x)的基函數(shù)。)(),(),(210 xPxPxPniiixPaxP0)()(稱(chēng)為廣義多項(xiàng)式2.) 最小二乘問(wèn)題最小二乘問(wèn)題miiimmxPaxPaxPaxPaxP01100)()()()()(設(shè)給定一組數(shù)據(jù)), 2 , 1(),(njyxjj求一個(gè)廣義多項(xiàng)式最小

5、使njjjjnjjjmyxPRaaa121210)(),(3.) 廣義最小二乘原理算法廣義最小二乘原理算法), 1 , 0(0mkakmijkjjiinjjxPyxPa010)()( njjjkjmiinjjkjijyxPaxPxP101)( )()(njjjkjkyxPc1)(njjkjijikxPxPc1)()(令).1 , 0(0mkcacmikiik寫(xiě)成方程組形式mmmmmmmmmmcacacaccacacaccacacac11001111101000101000二、正交多項(xiàng)式的曲線擬合二、正交多項(xiàng)式的曲線擬合1.) 概念：概念：定義定義1：TnTnyyyyxxxx),(),(2121

6、niiiTyxyxyx10),(如果則稱(chēng)x,y正交。定義定義2:設(shè)有一個(gè)函數(shù)族.)1 , 0()(kxPk對(duì)其中任意兩個(gè)多項(xiàng)式 )()(xPxPsl及使得在某一組數(shù) 中有).,2 , 1(njxjnjjsjljslslslxPxPxxPxP100)()()()(),(（稱(chēng) 關(guān)于節(jié)點(diǎn) 帶權(quán) 的正交多項(xiàng)式族， 稱(chēng)為權(quán)函數(shù)，且)(xPk).,2 , 1(njxj)(x)(x0)(x而 稱(chēng)為關(guān)于節(jié)點(diǎn),.)1 , 0()(kxPk帶權(quán)正交多項(xiàng)式。).,2 , 1(njxj定義定義3:設(shè)有一個(gè)函數(shù)族.)1 , 0()(kxPk其中任意兩個(gè)多項(xiàng)式 )()(xPxPsl及有下式成立：nmnmdxxxbam常數(shù)

7、0)()(稱(chēng)此函數(shù)為在a,b內(nèi)關(guān)于權(quán)函數(shù) 的正交函數(shù)族。)(x2.) 舉例舉例.2sin,2cos,sin,cos, 1xxxx在區(qū)間，上正交。xmxxx) 1sin(.3sin,2sin,sin在點(diǎn)集上正交。,.1 , 0,mimixi3.) 勒讓特多項(xiàng)式勒讓特多項(xiàng)式1)(x當(dāng)區(qū)間-1,1，權(quán)函數(shù) 時(shí)，由.)2 , 1() 1(!21)(1)(20nxdxdnxPxPnnnnn所表示的多項(xiàng)式，稱(chēng)勒讓特多項(xiàng)式。111220)()(nmnnmdxxPxPmn且) 33135(81)()35(21)() 13(21)()(1)(244332210 xxxPxxxPxxPxxpxp如：4.) 等距節(jié)

8、點(diǎn)上的正交多項(xiàng)式等距節(jié)點(diǎn)上的正交多項(xiàng)式設(shè)m次正交多項(xiàng)式具有如下形式：) 1).(2)(1(.) 1(1)(21,mxxxxaxxaxaxpmnm)()2(2)1(1,.1)(mmnmxaxaxaxp或) 1).(2)(1()(kxxxxxk其中稱(chēng)為階乘積。假設(shè)節(jié)點(diǎn)為nxxxxn.2, 1, 0210共n+1個(gè)整數(shù)點(diǎn)，現(xiàn)在通過(guò)這些節(jié)點(diǎn)去構(gòu)造一族正交多項(xiàng)式滿足正交條件。nxnmmnxnmnmnxnmnxnnmnxnmnxnnmxPxxPxPxPxxPxPxPxPxP0,)1(0, 1,0,)1(0, 1,0,0, 0,0)(0)()(0)(0)()(0)(0)()(使013) 1,.1 , 0(2

9、11)()2(2)1(1mknaknamkknakmm)(1) 1(kkmkkmkkncca等距節(jié)點(diǎn)的正交多項(xiàng)式作曲線擬合步驟：1. 設(shè)等距節(jié)點(diǎn) 作變換：nuuuu.,210)(10uuhx2. 取 作為正交多項(xiàng)式系數(shù)。)(),.(),(, 1, 0 xPxPxPnmnn3. 經(jīng)驗(yàn)公式：)(.)()()(, 11, 00 xPaxPaxPaxPnmmnnkkkkcca njjnkknjjjnkkxPcyxPc0,20,)()(其中總結(jié)：總結(jié)：對(duì)函數(shù)近似表達(dá)式的方法泰勒展開(kāi)插值法最小二乘法度為例，討論表達(dá)式的精以arctgx2146. 0| 11|)(.5353arctgxRxarctgxxxxarctgx取泰勒展開(kāi)0711. 0) 1()1 ()(7854. 0101001012xxxRx