靜態(tài)電場及恒定電場

1、第二章：靜態(tài)電場與恒定電場主要內容: 理解電場強度和電位的定義、電場強度與電位間的關系；了解靜電場中的導體和電介質；掌握靜電場的基本方程及電場強度、電位在不同媒質分界面的邊界條件，泊松方程和拉斯方程。 了解電場強度和電流密度的概念，掌握恒定電場的基本方程；并了解恒定電流場的邊界條件，理解導電媒質中恒定電場和靜電場的比擬。Coulomb定律與靜電場定律與靜電場真空中任意兩個靜止點電荷真空中任意兩個靜止點電荷q q1 1 和和q q2 2之間作用力的大小與兩電之間作用力的大小與兩電荷的電荷量成正比，與兩電荷荷的電荷量成正比，與兩電荷距離的平方成反比；方向沿距離的平方成反比；方向沿q q1 1 和和

2、q q2 2 連線方向，同性電荷相互連線方向，同性電荷相互排斥，異性電荷相互吸引。排斥，異性電荷相互吸引。31201221124RFRqqq1q2R12F121 Coulomb1 Coulomb定律定律 實驗還證明：真空中多個點電荷構成的電荷體系，兩兩間實驗還證明：真空中多個點電荷構成的電荷體系，兩兩間 的作用力，不受其它電荷存在與否的影響。的作用力，不受其它電荷存在與否的影響。ijijijjiiRqq304RFqiqjiq多個電荷體系中電荷多個電荷體系中電荷 受到的作用力是系統(tǒng)受到的作用力是系統(tǒng)中除中除 以外的電荷與該電荷單獨存在時作用以外的電荷與該電荷單獨存在時作用力之矢量代數(shù)和，滿足線性

3、疊加原理。力之矢量代數(shù)和，滿足線性疊加原理。iq電場與電場強度實驗證明，任何電荷在其所 處的空間中激發(fā)出對置于其 中別的電荷有力作用的物 質，稱為電場。由靜止電荷 激發(fā)的電場稱為靜電場。電場靜電場：自由空間中相對于觀察者靜止、并且不隨時間變化的靜電場：自由空間中相對于觀察者靜止、并且不隨時間變化的 電荷產生的電場稱為靜電場。電荷產生的電場稱為靜電場。電場強度電場強度 空間某點電場強度定義為置于該點的單位空間某點電場強度定義為置于該點的單位 點電荷（又稱點電荷（又稱試驗電荷試驗電荷）受到的作用力：）受到的作用力： 00qqrFlimrE0Coulomb定律與靜電場定律與靜電場點電荷：對于無界自由

4、空間中，位于坐標原點的點電荷點電荷：對于無界自由空間中，位于坐標原點的點電荷q q在相在相距距r r處引起的電場，相當于將電荷量處引起的電場，相當于將電荷量q q想象集中在幾何點上。想象集中在幾何點上。6QqQqqQqQqerQqFEqQerQqFqQ2020441點的場強在的作用力對解：用庫侖定理：。、求點電荷的電場分布例qQr真空中靜止點電荷真空中靜止點電荷Q 激發(fā)的電場：激發(fā)的電場： 如果電荷是連續(xù)分布，密度為 ,它在空間任意一點產生的電場為： )(r30V301i3i0iiiR4RdqdVR4R)(rR4RV)(rE(r)iiV)(r小體積元中的電荷產生的電場8LlSSVVdLrqlq

5、rdSrqSqrdVrqmCVqr) (lim) () (lim) () (;/lim) (0030；線分布總電量：線電荷分布：；面分布總電量：面電荷分布：某體積中的總電量：體電荷分布：R LR LR SR SedLR) r(eRdq)r(EedSR) r(eRdq)r(E) r() r(dLdSdVdq2020202041414141和產生的電場分布為：、線電荷由面電荷，因此自由空間中對于理想的電荷分布9例1:真空中一線密度 沿z軸均勻分布長為l的線電荷，求其中垂面上的場分布。2/ ldzdEdEdEzdEzdERaz z)larctan(esine) z(dzdE),(Ee) z(dzec

6、osRdzcosdEdEeRdqdEdzdql/l/l/R224200444000202322022232202020其中，解：。，從而，則有若為無限長的線電荷，的點電荷產生的電場。相當于電量為。，則有很大時，很小或，即若aaeElllelElll0020022)2arctan(1242sin1210rSSSnSSerq)r(ErqEq(*)rEdsEEdsdseEdSE(*)E(*)qdSE)c(2020020444左邊左邊射狀從原點向外輻射。線呈放無關，和標的方位角產生的電場分布與球坐標原點時，稱性，當點電荷位于坐點電荷的結構具有球對、高斯定理：高斯面rEr德國數(shù)學家和物理學家高斯曾從理論

7、上證明，靜電場中任一閉德國數(shù)學家和物理學家高斯曾從理論上證明，靜電場中任一閉合曲面上所通過的電通量與這一閉合曲面內所包圍的電荷電量合曲面上所通過的電通量與這一閉合曲面內所包圍的電荷電量間存在著確定的量值關系，這一關系被稱為高斯定理。間存在著確定的量值關系，這一關系被稱為高斯定理。11例2：求球狀電荷源的場分布。rrSrrVeerrrErrErqrEdSErddrdrrdVdqqarEdEdEdq02020220202220 0 0202142)(24242sin11) 3()2() 1 ( :時，內部總電荷、斯定理有：建立球坐標系，利用高對稱。布，空間場分布也呈球給定電荷源按球對稱分。在源上積

8、分，得對。，計算元電場取元電荷擇適當坐標系。依據(jù)場源結構特點，選一般步驟)(0)0(1) (:ararrr已知電荷分布體密度a高斯面r12rSaVaVera)r(EarEaqrEdSEa)r(d)r(drdqdqqar20202202022330224242340341212面，則高斯面內時，在球外做同心高斯、布。的帶電球體的空間場分，半徑為、求帶電量為。，求其在真空中場分布的球體，半徑為、均勻電荷體密度為練習：，如何求若已知總結：aqa?) r()r(E)ar(era)ar(e)r(Err212021202013000011EdVEdVdSEdSAdV)A(dVdSEqdSEVVSSVSVS

9、又有散度定理：高斯定理描述的是一個閉合面電場強度的通量與閉合面內電荷間高斯定理描述的是一個閉合面電場強度的通量與閉合面內電荷間的關系。要分析一個點的情形，需要用微分形式。如果閉合面內的關系。要分析一個點的情形，需要用微分形式。如果閉合面內的電荷是密度為的電荷是密度為的體分布電荷，則高斯定理可以寫為：的體分布電荷，則高斯定理可以寫為：體積V是任意微分形式的高斯定理靜電場是有散場14例例 3： 已知半徑為a的球內、 外的電場強度為 )ar(ararEeE)ar(raEeErr3302202325求電荷分布。 15解：解：由高斯定理的微分形式 ， 得電荷密度為 0 EE0用球坐標中的散度公式 ArA

10、rrArrArsin1)(sinsin1)(122可得 )ar)(ra(aE)ar(o2230215016+qOr1r2r-qer),(rP場分布：基于位函數(shù)場分布：基于位函數(shù) 的分析：的分析：高斯定理30R4RdqE(r)場源場分布例：求真空中電偶極子的空間場分布。？+q在P點引起的電場為：-q在P點引起的電場為：1r210qer4qE22r20qer4qE則合成電場為：qqpEEE17BA0BA20LrBA20BALr20BArr4qdrr4qe ,ecosldr4qldeer4qLdEqW1111點時，電場力做功點移到從沿任意路徑將單位電荷BA與路徑無關qABArBrrLdLdrr Lr

11、e ,e18011AA0LAArr4qLdELdEW當移動電荷一周，即積分路徑閉合時，靜電場中，沿閉合路徑移動電荷，電場力不做功。應用斯托克斯公式：00EdLEdlAdS)A(LlS靜電場是無旋場靜電場的性質靜電場的性質 性質性質1 1 靜電場是有散矢量場，電荷是靜電場的靜電場是有散矢量場，電荷是靜電場的 通量源。通量源。 0rrE 直接求散度：直接求散度：SqdSE0靜電場的靜電場的GaussGauss定律表明：定律表明：靜電場的力線發(fā)源于正電荷，終止于負電荷。在靜電場的力線發(fā)源于正電荷，終止于負電荷。在沒有電荷的空間中，靜電場的力線是連續(xù)的。沒有電荷的空間中，靜電場的力線是連續(xù)的。 014

12、141030dVRdVRVVrrRrE， 性質2 靜電場是無旋矢量場22任意一個標量函數(shù)的梯度的旋度恒等于零。因此，靜電場E可以表示為一個標量函數(shù)的梯度的形式。即：)r()r(E電場力做功。定義為移動單位正電荷電位差代入上式將點時，電場力做功點移到從沿任意路徑將單位電荷BAdLEqWqdllqdlerqdLrqWrrEdLEqWBAABBAABBAABBABABALBABAAB)()()()()(:。，且點為參考點，則：規(guī)定電位零點。如取，即必須選擇電位的參考點絕對高度、壓強一樣，絕對電位無意義，如同0BBBBAAdLEdLEB23又方便計算。為零，符合理論分析，因此取無限遠處電位間的距離源點

13、可知電位反比于場點與，但從參考點的選擇是任意的 rrdV rr) r(V410dV rr) r()r(R4RdqE(r)V30410的空間分布。求，而后根據(jù)求標量電位方向不易判斷時，可先不成；或由于其矢量性的積分又成立；直接求特殊結構，高斯定理不如果給定源分布不滿足產生的電位表達式為：則點電荷在自由空間中。產生的電場坐標原點的點電荷無界自由空間中，位于E)r(E)r(ErqdleerqdLerqdLE)r(erq)r(EqPrrPrPPr4444020202024例：adddSdq)()()()(44)(4)(000rrErdrrddrdSrdrqraZeEa02面的場分布。則等同于無限大帶電

14、平無限大平面，即電荷分布擴展為一特例，當za rdaddad25例：+q在P點引起的電位為：-q在P點引起的電位為：rqr04)(104rq204rq電偶極距則有：，三者近似平行，有：和、很大時，對遠區(qū)場，點的總電位為：qdpreprqdrrrrqrrrdrrrrrrrrrrqrrqPrPP20202101222112212101221044cos4)(cos4)(114+qOr1r2r-qer),(rP26233020202101211)sincos2(4)1(44cos4)(rErEeerpererEreprqdrrrrqrrrP點電荷：有關且與方位角電偶極子：27導體和電介質導體和電介質

15、靜電場中的導體靜電場中的導體受電場力的作用，導體內可自由移動的電荷將反電場方向產生受電場力的作用，導體內可自由移動的電荷將反電場方向產生宏觀定向運動，使電荷從新分布，出現(xiàn)靜電感應現(xiàn)象。宏觀定向運動，使電荷從新分布，出現(xiàn)靜電感應現(xiàn)象。特征：特征：媒質導體：擁有大量可以自由移動的電荷。電介質：擁有大量電荷，但由于受力的作用， 不能自由移動，稱為束縛電荷。+q-+-+E4 4、電荷以電荷面密度分布于導體表面。、電荷以電荷面密度分布于導體表面。1 1、導體內部、導體內部E=0E=0。2 2、導體是一等勢體。、導體是一等勢體。3 3、導體表面與其外側的電場線正交。、導體表面與其外側的電場線正交。28n導

16、體殼內表面帶電量與腔內電荷的代數(shù)和為0。n導體殼內表面沒有電荷，電荷只分布于外表面。n空腔內沒有電場，腔內電勢處處相等。q導體殼：中空的導體。(1)(1)殼內無電荷殼內無電荷(2)(2)殼內有電荷殼內有電荷結論：若給導體帶電，電荷只分布在外表面。殼外電場間接反映殼內電荷的作用，殼外電荷對殼內空間無作用。外殼接地，則殼內、殼外相互不影響。導體殼與靜電屏蔽導體殼與靜電屏蔽E29理想電介質電導為零。束縛電荷-帶電粒子受原子內在、分子力或分子間作用力束縛。電介質極化：通常，束縛電荷不能自由活動，內部合成電偶極矩 的矢量和等于零，對外不表現(xiàn)電性；外電場作用時， 束縛電荷會有微小位移，從而使束縛電荷的分布

17、發(fā) 生變化，宏觀上表現(xiàn)出一定的導電性。靜電場中的電介質，電介質的極化靜電場中的電介質，電介質的極化極化電荷：因極化產生的面、體分布的束縛電荷。位移極化：在外電場作用下正負電荷中心發(fā)生位移，形成電偶極矩取向極化：不規(guī)則的電偶極矩在外電場作用下形成規(guī)則排列3031ViVpP0limpi = pP = n p極化強度矢量極化強度矢量P: :定義為單位體積中分子或原子團的電偶定義為單位體積中分子或原子團的電偶 極矩的疊加極矩的疊加. .極化電荷極化電荷: :由于極化，分子或原子的正負電荷發(fā)生位移，體積元內一部分電荷因極化而遷移到外部，同時外部也有電荷遷移到體積元內部。因此體積元內部有可能出現(xiàn)凈余的電荷

18、。32（2）不均勻介質或由多種不同結構 物質混合而成的介質，可出現(xiàn) 極化電荷。（1）線性均勻介質中，極化遷出的 電荷與遷入的電荷相等，不出 現(xiàn)極化電荷分布。（3）在兩種不同均勻介質交界面上 的一個很薄的層內，由于兩種 物質的極化強度不同，存在極 化面電荷分布。33同時，實驗又表明：電介質被極化時，其電極化強度P與介質中的合成場強成正比。即：極化電荷體密度：電介質中電場 = 自由電荷激發(fā)電場 + 極化電荷激發(fā)電場VpPV0limEPe0PP極化電荷外電場極化極化電場相互作用電介質(束縛電荷)面分布體分布電極化強度：描述電介質被極化的程度34真空中，高斯定理微分形式為：自由電荷場源電介質中，場源

19、= 自由電荷 + 極化電荷，電介質中高斯定理的微分形式為：電介質中的電場，介電常數(shù)，擊穿場強電介質中的電場，介電常數(shù)，擊穿場強0E00)()(PEPEPPEDEEEDEPPEDeeee)1 ()1 (000000令，則用于任何空間。若定義電位移PEDDPE00)(35解：理想平板電容器電場可看作平行平面場，內部場強處處相等。建立如圖直角坐標系(坐標系不同，結果可以不一樣)：- - -+ + + + +- - -xydE0P(x,y)S例：dyUEydyEPedUEDedUEdEdyEUPPyyd0000000000000001電位：考點，則極板間任一點取負極板電位為電位參，、插入介質前：一理想

20、平板電容器有直流電源一理想平板電容器有直流電源U U0 0充電后斷開，充電后斷開，后在極板間插入厚度為后在極板間插入厚度為d d的均勻介質板，介電的均勻介質板，介電常數(shù)常數(shù)r r=6=6，忽略極板效應，求，忽略極板效應，求插入介質板前插入介質板前后平板間各點的電場強度后平板間各點的電場強度E E，電位移矢量，電位移矢量D D及及電位，及極板上電荷分布電位，及極板上電荷分布。362、電容器充電后電源切斷，則插入介質前后極板上自由電荷的總量不發(fā)生變化，極板上電荷仍為均勻分布，板間電場仍為均勻電場。插入介質后：不變，高斯定理仍然使用。由高斯定理，作圓柱形高斯面S，如圖虛線所示，底面為S，則有：dUE

21、SSEqdSES0000000右左)6(66)(0020200002220022UUdydyUyEdyEedUdUEEDdUDSqdSDPPyS時，板方向從正極板指向負極37思考：一理想平板電容器有直流電源U0供電，后在極板間插入厚度為d的均勻介質板，介電常數(shù)r=6，忽略極板效應，求插入介質板前后平板間各點的電場強度E，電位移矢量D及電位 。dUdyUedUDedUEdUdyUedUDedUEPyyPyy000000000000000066插入介質后插入介質前38恒定電場的基本方程和場的特性靜止電荷靜電場電流強度-I-標量，描述導體中通過某一截面的電流的整體特性不能表示出導體內電流的分布情況。

22、電流密度：矢量，方向定義為該點電流方向，量值等于通過該點處與電流方向垂直的單位面積的電流強度。電流形成條件：自由電荷電場電荷的定向運動I II I電流強度：單位時間內通過導體任一橫截面的電量。即：dq/dt。恒定電流：電流大小與方向都不隨時間變化的電流。39設通過S的電流為I，則該點處的電流密度 J為 nnSedSdIeSIlimJ0 可以從電流密度J求出流過任意面積S的電流強度。一般情況下， 電流密度J和面積元dS的方向并不相同。此時，通過面積S的電流就等于電流密度J在S上的通量，即 SSdSJdSJIcos40ndldInlIlimKS0有時，電流僅僅分布在導體表面的一個薄層內，為此，引入

23、面有時，電流僅僅分布在導體表面的一個薄層內，為此，引入面電流密度。任一點面電流密度的方向為該點正電荷移動的方向，電流密度。任一點面電流密度的方向為該點正電荷移動的方向，大小等于通過垂直于電流方向單位長度上的電流強度。大小等于通過垂直于電流方向單位長度上的電流強度。41導電媒質的恒定電場，有任意閉合面凈流出的電流等于0。恒定電流電荷守恒定律：021212121電流密度電流線側SJSJdSeJdSeJdSJdSJdSJdSJdtdSdqdSdIJccSncSncScScScScc。0tq恒定電流:任一閉合面內沒有自由電荷增減的變化，即：00dSJtqtqdSJScScJcdS1vtt+tdS2en

24、enI42歐姆定律的微分形式恒定電流J恒定電場E電荷lSJIRU EJlESlSJSldSJIRlEdlEU43ABdlE0ldlElABdlEEdlE) (電動勢在電源內部搬運單位正電荷從負極到正極時非靜電力做功。靜電場非靜電場恒定電場：442)()(EJEVPpVJESLJESJLEIUtqUtWP電功率：電功率：電功率電場力做功SJILEUIUtqUtWPqUWVVVJdVEpdVdPP體積V內總功率：功率體密度450)()()()(000:000020恒定電場也可表示為：數(shù)的梯度表示，即：無旋場可以用一標量函靜電場的有散無旋性電導率導電特性電流連續(xù)性方程：rrErrEEEEEEJEdL

25、EJdSJcLcSc無散無旋46不同媒質分界面上的邊界條件求場分布時，空間僅限單一媒質。實際各種電磁裝置中是多種媒質共存。場源自由電荷+極化電荷場自由空間0 0 電介質1 12 2E E1 1E2 = ? 方向？ 光的傳播，波的反射和折射1 1 2 2不同，導致波在兩種不同媒質中傳播速度等物理量發(fā)生變化，但變化滿足一定條件。1 12 21 12 2 = ? = ? 471、兩種不同介質分界面上的邊界條件enetl1l2E1E1tE1nE2E2tE2n12lP P即：兩種介質分界面上，電場強度的切向分量連續(xù)。即：兩種介質分界面上，電場強度的切向分量連續(xù)。LdLEE。成立，積分形式為：方程組的微分

26、形式有：麥克斯韋靜電場為無旋場，相應00ttttttLLLLLEElElElElEdLEdLEdLEdLEdLE211211121121000001112 48為分界面上可能存在的自由電荷的面密度，通常情況下=0。 D2n = D1n 在兩種介質分界面上，電位移的法向分量連續(xù)在兩種介質分界面上，電位移的法向分量連續(xù)。SqdSD高斯定理積分形式：enetlD1D1tD1nD2D2tD2n12P PS SSlSSqdSqdSDdSDqdSD0nnnnDDSSDD1212)(49靜電場的折射定律：總結：總結：在兩種不同媒質分界面上，電場強度的切向分量連續(xù)，在兩種不同媒質分界面上，電場強度的切向分量連

27、續(xù)，電位移的法向分量連續(xù)。電位移的法向分量連續(xù)。2121221122211122112121tantancoscossinsinaaaaaaEEEEDDEEnntt，即：及各向同性，有若兩種介質均為線性且50表明：表明：導體與電介質表面相鄰處的電場強度導體與電介質表面相鄰處的電場強度E E及電位移及電位移D D都垂都垂直于導體表面，且電位移的值等于該點的電荷面密度。直于導體表面，且電位移的值等于該點的電荷面密度。2、導體和電介質分界面上的邊界條件22212112111211111111221000000021nnnnntttntttntntnnttEEDDDDDDEEEEEEDDEEDEDED

28、DEE能分布在導體表面。則及導體帶電時其電荷只中導體有特性：為電介質，并且靜電場為導體，媒質如果媒質的邊界條件為：兩種不同媒質分界面上513、有電位描述的邊界條件nCnnDDEEnDnEEeEereErrEdLErnnttnnnnnnPP22211122211221)()()()(表示：邊界條件用導體與電介質的分界面表示：，用：介質分界面的邊界條件電位連續(xù)。，不同介質分界面兩側5212d1d2U0+-E1E2導體例求：兩種絕緣材料中的電場強度及極板上的電荷面密度。分界條件nnnddDDDdLEdLEUEEUEdEd121210221102211)(1253邊值問題 靜電場中關于電位的方程-泊松

29、方程、拉普拉斯方程a)()(00ararPU0ABEEEDD為常數(shù)均勻介質，的泛定方程：靜電場關于位函數(shù)E)(54拉普拉斯算子拉普拉斯算子靜電場電位靜電場電位的的泊松方程泊松方程泊松方程拉普拉斯方程即22)()(靜電場關于靜電場關于的的泛定方程泛定方程00)(22222222，則布的區(qū)域，對于場中無自由電荷分。直角坐標系下，zyx20255以靜電場電位為待求場函數(shù)的邊值問題的構造，首先需要知道泛定方程，即由靜電場的基本方程導出的電位函數(shù)應滿足的式子；其次，要得到的確定解還需要給出的定解條件。f(x) = 2x = f(x)=x2 + C (泛定方程)若再給出f(x)|x=0= 0 = C =

30、0 從而 f(x)= x2定解條件56PU0ABa0)()(00arar002220),(0UDdda例例1 100)(01)0(101221121212222012212rararararrrrrardrdrdrdrardrdrdrdr例例2 257不同媒質分界面上的邊界條件(1) (1) 兩種不同導電媒質分界面上的邊界條件兩種不同導電媒質分界面上的邊界條件ttLEEdLE21058恒定電場折射定律21212112tantan0aattnnScEEEJJJdSJ59(2) (2) 良導體與不良導體分界面上的邊界條件良導體與不良導體分界面上的邊界條件(3) (3) 導體與理想介質導體與理想介質

31、(2 2=0)=0)分界面上的邊界條件分界面上的邊界條件(4) (4) 兩種有損介質分界面上的邊界條件兩種有損介質分界面上的邊界條件)(0tantan2212121不良導體電流總是垂直界面流入aaa000112222nnnnJJJJEJttEE21模擬靜電場邊界。，存在有自由電荷分布；否則，當0021122212112112222111212nnnnnnnnnJEEEEDDJJ60例：求：(1)兩層非理想介質中的電場。 (2)單位體積中的電場能量及 功率損耗。 (3)兩層介質分界面上的自 由電荷面密度。(1)：(2)：(3)：D E2112221102211,)(EEJJEEUEdEdnn22

32、2222211111222212211211EJEPEJEPEEee能量密度：.22121122212112JJn61 例例 3-2 設一同心球形電容器，內導體半徑為a, 外導體的內半徑為b，內、 外導體間填充電導率為的導電媒質，如圖所示，求該電容器的漏電電導。62 解：解：媒質內的漏電電流沿徑向從內導體流向外導體， 設流過半徑為p的任一同心球面的漏電電流為I，則媒質內任一點的電流密度和電場為 2244erIEerIJ內、外導體間的電壓為 baIdEUba114漏電電導為 ababUIG463例：計算導電片內電流場分布及兩端面間的電阻。.)(000baSdSJURdtdSdSJUIURrEJ?0)(0002UD，電電 容容電容器 (Capacitor)定義：儲存電荷的容器，是一種儲能元件構成：相互接近而又相互絕緣的任意形狀的導導體體分類： 孤立導體的電容 雙導體系統(tǒng)的電容 其他多導體系統(tǒng)的電容導體 b導體 aEU任意形狀導體構成的電容 紙質電容器陶瓷電容器電解電容器鉭電容器可變電容器電容：一個導體上的電荷量與此導體相對相對于另一導體 的電位電位比22aQQQE U0 U=dr = 4r4r4aC4aQCU abQCC(F/)UV例1：計算一個孤立導體球的電容（假設帶電為Q，半徑為R）(1) 孤立導體孤立導體注：注：孤立導體是指附近無其它帶電體