“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)

1、“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)【教材分析】“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)是全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)人教A 版選修 2-3 第1 章第 3 節(jié)第 2 課時(shí)。 教科書(shū)將二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的討論與“楊輝三角”結(jié)合起來(lái)， 是因?yàn)椤皸钶x三角”蘊(yùn)含了豐富的內(nèi)容， 由它可以直觀看出二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)， “楊輝三角”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)重要成就之一，顯示了我國(guó)古代人民的卓越智慧和才能，應(yīng)抓住這一題材，對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育，激勵(lì)學(xué)生的民族自豪感。本節(jié)內(nèi)容以前面學(xué)習(xí)的二項(xiàng)式定理為基礎(chǔ)，由于二項(xiàng)式系數(shù)組成的數(shù)列就是一個(gè)離散函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的角度研究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，便于建立知識(shí)的前后聯(lián)系，使學(xué)生體會(huì)用函數(shù)知識(shí)研究問(wèn)題的方

2、法，可以畫(huà)出它的圖象，利用幾何直觀、數(shù)形結(jié)合、特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行思考，這對(duì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，形成證明思路等都有好處。 這一過(guò)程不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、理性精神和實(shí)踐能力，也有利于學(xué)生理解本節(jié)課的核心數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)展其數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。研究二項(xiàng)式系數(shù)這組特定的組合數(shù)的性質(zhì)， 對(duì)鞏固二項(xiàng)式定理， 建立相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)組合數(shù)、 進(jìn)行組合數(shù)的計(jì)算和變形都有重要的作用， 對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)微分方程等也具有重要地位。【學(xué)情分析】知識(shí)結(jié)構(gòu)：學(xué)生已學(xué)習(xí)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理和二項(xiàng)式定理，再讓學(xué)生課前探究“楊輝三角”包含的規(guī)律，結(jié)合“楊輝三角”，并從函數(shù)的角度研究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。心理特征：高二的學(xué)生已經(jīng)具備了一

3、定的分析、探究問(wèn)題的能力，恰時(shí)恰點(diǎn)的問(wèn)題引導(dǎo)就能建立知識(shí)之間的相互聯(lián)系，解決相關(guān)問(wèn)題?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：體會(huì)用函數(shù)知識(shí)研究問(wèn)題的方法，理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。難點(diǎn)：結(jié)合函數(shù)圖象，理解增減性與最大值時(shí)，根據(jù)n 的奇偶性確定相應(yīng)的分界點(diǎn)；利用賦值法證明二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。關(guān)鍵：函數(shù)思想的滲透?！窘虒W(xué)目標(biāo)】1通過(guò)課前組織學(xué)生開(kāi)展“了解楊輝三角、探究與發(fā)現(xiàn)楊輝三角包含的規(guī)律”的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生感受我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就及其數(shù)學(xué)美，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感。2通過(guò)學(xué)生從函數(shù)的角度研究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，建立知識(shí)的前后聯(lián)系，體會(huì)用函數(shù)知識(shí)研究問(wèn)題的方法，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和歸納推理能力。3通過(guò)體驗(yàn)“發(fā)現(xiàn)規(guī)律、尋找聯(lián)系、

4、探究證明、性質(zhì)運(yùn)用”的學(xué)習(xí)過(guò)程，使學(xué)生掌握二項(xiàng)式系數(shù)的一些性質(zhì)， 體會(huì)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、特殊到一般進(jìn)行歸納、賦值法等重要數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的“再創(chuàng)造”過(guò)程。4通過(guò)恰時(shí)恰點(diǎn)的問(wèn)題引入、引申，采用學(xué)生課前自主探究、課上合作探究、課下延伸探究的學(xué)習(xí)方式， 培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)， 提高學(xué)生思維能力， 孕育學(xué)生創(chuàng)新精神， 激發(fā)學(xué)生探索、研究我國(guó)古代數(shù)學(xué)的熱情?！窘虒W(xué)過(guò)程】一、展示成果話楊輝課前開(kāi)展學(xué)習(xí)活動(dòng)：了解“楊輝三角”的歷史背景、 地位和作用，探究與發(fā)現(xiàn)“楊輝三角”包含的規(guī)律。（1）學(xué)生從不同的角度暢談“楊輝三角”，對(duì)它有何了解及認(rèn)識(shí)。（2）各小組展示探究與發(fā)現(xiàn)的成果“楊輝三角”包含的一些規(guī)律。設(shè)計(jì)意圖：

5、引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展課外學(xué)習(xí)，了解“楊輝三角”，探究與發(fā)現(xiàn)“楊輝三角”包含的規(guī)律，弘揚(yáng)我國(guó)古代數(shù)學(xué)文化；展示探究與發(fā)現(xiàn)的楊輝三角的規(guī)律，為學(xué)習(xí)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)埋下伏筆。二、 感知規(guī)律悟性質(zhì)通過(guò)課外學(xué)習(xí)，同學(xué)們觀察發(fā)現(xiàn)了楊輝三角的一些規(guī)律，并且知道楊輝三角的第n 行就是(ab) n 展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，(ab)n 展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)具有楊輝三角同行中的規(guī)律對(duì)稱性和增減性與最大值。設(shè)計(jì)意圖：尋找二項(xiàng)式系數(shù)與楊輝三角的關(guān)系，從而讓學(xué)生理解二項(xiàng)式系數(shù)具有楊輝三角同行中的規(guī)律。三、聯(lián)系舊知探新知問(wèn)題提出：怎樣證明(ab)n 展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)具有對(duì)稱性和增減性與最大值呢？探究：（1） ( ab)n 展開(kāi)式的二項(xiàng)

6、式系數(shù) Cn0 ,C 1n ,Cn2 , ,C nn，Cnr 可以看成是以 r為自變量的函數(shù)域是什么？f (r )Crn 嗎？它的定義（2）畫(huà)出 n6 和 7 時(shí)函數(shù) f (r )Crn的圖象，并觀察分析他們是否具有對(duì)稱性和增減性與最大值。（3）結(jié)合楊輝三角和所畫(huà)函數(shù)圖象說(shuō)明或證明二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等。CnmCnn m 。kn (n1)(n2)(nk 1)k 1 (nk 1)kk 1的增減情增減性與最大值：Cn( k1)!kCn，所以 Cn 相對(duì)于 C nk況由 ( n k 1) 決定。由 (nk 1)1kn1 可知，當(dāng) kn1 時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐

7、漸增大的。kk22由對(duì)稱性知它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取得最大值。當(dāng)n 的偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取n 1n 2得最大值；當(dāng)n 是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng) C n 2 ， Cn 2 相等，且同時(shí)取得最大值。設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)思想探究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，學(xué)生畫(huà)圖并觀察分析圖象性質(zhì)；運(yùn)用特殊到一般、 數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想歸納二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，升華認(rèn)識(shí)；通過(guò)分組討論、自主探究、合作交流，說(shuō)明或證明二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性和增減性與最大值，提高學(xué)生合作意識(shí)。四、合作交流議方法繼續(xù)探究：?jiǎn)栴}：( a b)n 展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和是多少？探究：（1）計(jì)算 (ab)n 展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的和（n =1，2，

8、3，4，5，6）。（2）猜想 (ab)n 展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的和。（3）怎樣證明你猜想的結(jié)論成立？賦值法：已知(1x) nC.n0C1n x Cn2 x2Cnr xrCnn xn ，令 x 1，則 2nC0nC1nCn2Cnn 。這就是說(shuō)， ( ab)n 的展開(kāi)式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于 2n 。n 元集合子集的個(gè)數(shù)（兩個(gè)計(jì)數(shù)原理） 。分類計(jì)數(shù)原理：012nCnCnCnCn分步計(jì)數(shù)原理： n 個(gè) 2 相乘，即 2 n 。所以 Cn0C1nCn2Cnn2n 。問(wèn)題拓展：你能求 Cn0C1n Cn2C3n Cn4Cn5嗎？在展開(kāi)式 (ab)nCn0 anC1n a n 1b Cn2a n 2 b2

9、Cnnbn 中，令 a1, b 1 ，n0123n n，則得 (1 1) CnCnCnCn( 1) Cn即 0 (Cn0Cn2)(C 1nCn3) ，所以 Cn0Cn2C1n Cn3，在 ( a b)n 的展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生歸納猜想各二項(xiàng)式系數(shù)的和，引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證猜想結(jié)論是否正確；同時(shí)為了突破利用賦值法證明二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從模型化的角度出發(fā)，多角度的分析問(wèn)題、探究問(wèn)題、解決問(wèn)題，將學(xué)生思維推向高潮，既加深學(xué)生對(duì)前后知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系的理解，又從深度和廣度上讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)的串聯(lián)和呼應(yīng)。五、 反饋升華撥思路練 1練 2(ab)

10、n 的展開(kāi)式中的第四項(xiàng)和第八項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則n 等于。(2 x3 y)11 的展開(kāi)式中前項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大，后半部分逐漸減小，二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值的是第項(xiàng)。練 3已知 (12 x)7a0 a1 xa2 x2a7 x7 ，求：（1） a1 a2a7 ；（2） a1a3a5 a7 。設(shè)計(jì)意圖：促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，學(xué)會(huì)用賦值法解決問(wèn)題，促進(jìn)其有意識(shí)的運(yùn)用。六、 懸念小結(jié)再求索課堂小結(jié)： 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲和體會(huì)（從數(shù)學(xué)和生活的角度）？還有什么疑問(wèn)嗎？課堂延伸：今天同學(xué)們展示了一些楊輝三角的規(guī)律，但是作為我國(guó)古代數(shù)學(xué)重要成就之一的楊輝三角還有更多有趣的規(guī)律， 相信大家一定有極高的熱情和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度去探究與發(fā)現(xiàn)楊輝三角的奧妙之處。課外活動(dòng)：（研究性學(xué)習(xí)）活動(dòng)主題：楊輝三角中的奧妙?；顒?dòng)目標(biāo)：探究與發(fā)現(xiàn)楊輝三角中的更多奧妙?；顒?dòng)方案步驟：查閱資料，收集信息；獨(dú)立思考，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想證明；合作探究，小組討論，形成初步結(jié)論；與指導(dǎo)老師及其他小組成員交流展示；撰寫(xiě)研究性學(xué)習(xí)報(bào)告。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課堂的整理