極大線性無關(guān)組實用教案

1、定理5.向量組 線性相關(guān) ,()ss 122(線性無關(guān)(wgun)(任一向量都不能由其余(qy)向量線性表示)其中至少有一個(y )(y )向量是其余向量的線性組合定理3.部分相關(guān) 整體相關(guān)；整體無關(guān) 部分無關(guān)定理4. 短無關(guān) 長無關(guān)；長相關(guān) 短相關(guān). .定理6. 線性無關(guān)， 線性相關(guān) ,12s ,s 12 可由 唯一線性表示. ,s 12定理1. n個n維向量線性相關(guān)(線性無關(guān))(不為0)定理2. .向量個數(shù)向量維數(shù)，其排成的行列式值為0向量組線性相關(guān).第1頁/共19頁第一頁，共20頁。第2頁/共19頁第二頁，共20頁。一、極大一、極大(j d)線性無關(guān)組線性無關(guān)組 i) 12,iiir線性

2、無關(guān)； 極大(j d)(j d)線性無關(guān)組，簡稱極大(j d)(j d)無關(guān)組. . 一個部分組12,iiir若滿足 定義(dngy)(dngy)12,s 為nP中的一個向量組，它的設線性表出；12,iiir(1)jjs ii) 對任意的 , 可經(jīng)j 則稱 12,iiir為向量組 12,s 的一個第3頁/共19頁第三頁，共20頁。注: :(2)線性無關(guān)向量(xingling)組的極大無關(guān)組向量(xingling)(xingling)組含有非零向量(xingling)(xingling)(1)向量組有極大無關(guān)組(3) 為Rn的一個極大(j d)無關(guān)組 .,n 12(4)向量組的極大無關(guān)組可能不止

3、一個. 例：( , ),( , ),( , ),( , ). 12341 00 11 10 2( 5 )向量組的所有極大無關(guān)組含向量個數(shù)相同線性無關(guān), 而3個二維向量必線性相關(guān). 故 12, 12,是 的一個極大無關(guān)組, 1234 13,和 等也是 的極大無關(guān)組. ., 1234 34,就是該向量組.第4頁/共19頁第四頁，共20頁。定義向量(xingling)(xingling)組 的極大無關(guān)組所含向量(xingling)(xingling)個數(shù)稱為這個向量(xingling)(xingling)組的秩. . 性質(zhì)(xngzh)(xngzh)：一個(y )(y )向量組線性相關(guān)的充要條件是它

4、的秩與它所含向量個數(shù)相同；它的秩它所含向量個數(shù).二二、向量組的秩、向量組的秩 1）一個向量組線性無關(guān)的充要條件是,12s ,12sRr ,12s ,12sRs 線性無關(guān),12s ,12sRs 線性相關(guān)第5頁/共19頁第五頁，共20頁。2）若向量組12,s 可經(jīng)向量組 12,t 線性表出，則秩 12,s 秩 12,t 3）等價向量(xingling)組必有相同的秩.第6頁/共19頁第六頁，共20頁。例1 求向量組( , , ),( , , ) 122 4 21 1 0( , , ), 32 3 1( , , ) 43 5 2的一個極大無關(guān)組，將其余向量用此極大無關(guān)組線性表示，并寫出向量組的秩.,

5、1232122014134130201201TTT,12 對應分量不成比例，線性無關(guān),123 線性相關(guān),1242132024154150202202TTT,124 線性相關(guān),12 為極大無關(guān)組繁！繁！解1第7頁/共19頁第七頁，共20頁。2022-5-118( , , ),( , , ) 122 4 21 1 0,( , , ),( , , )342 3 13 5 2 重要結(jié)論(jiln)：行變換不改變列向量間的線性關(guān)系.()1234212341352012TTTT 2123011101112 0 120 1 1100 00 1101201110000 線性無關(guān)(wgun),12 為極大無關(guān)組

6、31241212(,)12342R 第8頁/共19頁第八頁，共20頁。例2 求向量(xingling)組( , , , ),( ,) 121 2 1 34156(,), 31347( , , ) 42 11 0的一個極大無關(guān)(wgun)組，將其余向量用此極大無關(guān)(wgun)組線性表示，并寫出向量組的秩.()12341412213115413670TTTT 14120913093301846 1412091300200020 210031010300100000(,)12343R , 123為 4122133第9頁/共19頁第九頁，共20頁。例2 求向量(xingling)組( , , , ),

7、( ,) 121 2 1 34156(,), 31347( , , ) 42 11 0的一個極大(j d)無關(guān)組，將其余向量用此極大(j d)無關(guān)組線性表示，并寫出向量組的秩.()12341412213115413670TTTT 14120913093301846 1412091300200020 1402090300100000 1200030100100000 (,)12343R ,134 為21423 第10頁/共19頁第十頁，共20頁。例4 設有兩個向量組(I)的秩為r1, 向量組(II)的秩為r2 ,且向量組(I)可由向量組(II)線性表示，則r1與r2 的關(guān)系為r1 r2D例3 若向量組 的秩為r，則( ),12s (A)必定 r 向量維數(shù)，。(4)向量組的極