一輪復(fù)習(xí)之平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示模夾角(顏貞)

1、一輪復(fù)習(xí)之平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角教學(xué)目標(biāo)廣東省和平縣福和高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)組顏貞1. 知識(shí)與能力讓學(xué)生掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，并會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.能運(yùn)用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示去分析向量的模長、夾角等坐標(biāo)表示，并會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。能運(yùn)用本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)去解決模長，夾角等綜合性的具體問題。2. 過程與方法本節(jié)課將通過小組合作學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生主動(dòng)參與問題的探究討論，并通過分析、類比，發(fā)散等思維手段去掌握本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。3. 情感、態(tài)度與價(jià)值觀教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)通過師生互動(dòng)、生生互動(dòng)的教學(xué)活動(dòng)過程，幫助學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的成功與快樂，

2、培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的良好情感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，形成鍥而不舍的鉆研精神和合作交流的科學(xué)態(tài)度，并體會(huì)事物普遍聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系。重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及模長，夾角坐標(biāo)公式的運(yùn)算。教學(xué)方法與教學(xué)手段 難點(diǎn)：應(yīng)用坐標(biāo)表示去解決具體問題。教學(xué)方法：本節(jié)課的課型為高三第一輪“復(fù)習(xí)課”。課堂教學(xué)組織形式是“小組合作性學(xué)習(xí)”。本節(jié)課的內(nèi)容是在復(fù)習(xí)了平面向量數(shù)量積的概念基礎(chǔ)上，進(jìn)一步復(fù)習(xí)坐標(biāo)化問題。教學(xué)中通過引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系已有的知識(shí)，進(jìn)行分析、類比、發(fā)散等思維，自主得出運(yùn)算法則并能靈活應(yīng)用。使學(xué)生在通過小組合作學(xué)習(xí)的過程中，充分體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的“再發(fā)現(xiàn)”、“再運(yùn)用”，從而達(dá)到本節(jié)復(fù)習(xí)課的目標(biāo)。教

3、學(xué)手段：采用多媒體輔助教學(xué)，增強(qiáng)直觀性，加大課堂容量，提高教學(xué)效率；組織學(xué)生小組間交流合作學(xué)習(xí)，6人一小組，由三個(gè)層次高點(diǎn)的學(xué)生帶三個(gè)層次稍微弱一點(diǎn)的學(xué)生，學(xué)生和學(xué)生之間互相學(xué)習(xí)和激勵(lì)，從而提高學(xué)習(xí)效率。教學(xué)過程一、 復(fù)習(xí)引入老師：（提出問題）1、 平面向量數(shù)量積的概念？2、 由數(shù)量積公式你能推出夾角公式、模長公式嗎？3、 平面向量數(shù)量積的幾何意義是什么？學(xué)生：積極回憶，回答教師提出的問題。教師：總結(jié)并通過“數(shù)字化”意義以及共線向量坐標(biāo)公式引出本節(jié)要研究的主要問題坐標(biāo)化?！皵?shù)字化”就是將現(xiàn)實(shí)問題或信息轉(zhuǎn)化為數(shù)字，再通過二進(jìn)制代碼，讓計(jì)算機(jī)來處理，從而使問題快速得以解決，“數(shù)字化”概念的提出極大

4、的加快了社會(huì)發(fā)展的速度。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，也注重這種轉(zhuǎn)化.為什么我們說向量是溝通幾何與代數(shù)的橋梁了？因?yàn)橄蛄繂栴}可以轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)化處理。我們知道。那么平面向量數(shù)量積問題能不能進(jìn)行坐標(biāo)化表示呢？回答是肯定的。那么公式是如何推導(dǎo)了？【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生回憶學(xué)過的知識(shí)，有利于本節(jié)課的順利進(jìn)行。再通過進(jìn)一步的設(shè)問，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神。二、 坐標(biāo)表示的公式推導(dǎo)與發(fā)散老師：如何推導(dǎo)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式了？（這個(gè)問題師生一起完成）由平面向量基本定理，若，則根據(jù)向量坐標(biāo)表示的定義，即，.所以.【設(shè)計(jì)意圖】：這個(gè)分析的過程就是知識(shí)遷移的過程。大部分學(xué)生在老師的引導(dǎo)下，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是培養(yǎng)理性思維的學(xué)

5、科。過程是美妙的！數(shù)學(xué)分析具有思維嚴(yán)密性和抽象性的思維品質(zhì)。所以在接下來的公式推廣環(huán)節(jié)，讓學(xué)生自己做學(xué)習(xí)的主人，參與到這個(gè)過程中去，也就可以開始了。老師：下面請(qǐng)各組開始推導(dǎo)夾角公式、模長公式的坐標(biāo)表示公式。（布置任務(wù)）學(xué)生：在組長的主持下，各小組進(jìn)行公式探究。并讓小組學(xué)生代表給出公式結(jié)果。平面向量長度（模長）的坐標(biāo)表示：若若給出的，則平面向量夾角的坐標(biāo)表示：【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生體會(huì)坐標(biāo)公式的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力。三、公式應(yīng)用老師：請(qǐng)各小組快速解決下面兩道基礎(chǔ)題型，并由各組推薦代表上黑板板演。例一：已知向量(若時(shí)間充裕，可以讓學(xué)生探究這道題的幾何特征。)分析：設(shè)，建立方程組。很明

6、顯，又由于，所以與正方形的對(duì)角線共線。且。例二：設(shè)向量（ ） A . B. C . D . 分析：設(shè)，當(dāng)時(shí)，故；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，.綜上所述，.【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生及時(shí)鞏固所學(xué)知識(shí)，并對(duì)每一類題型進(jìn)行總結(jié)。第一題的探究一問要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想方法去分析，并讓學(xué)生體會(huì)代數(shù)，幾何，三角，向量之間的聯(lián)系，并能認(rèn)識(shí)到向量作為解題工具的功能以及它的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值。例二在例一的基礎(chǔ)上，能力要求更高，因?yàn)樗且坏缹W(xué)科內(nèi)綜合性稍強(qiáng)的題，須結(jié)合三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)來解決。這種層次分明的習(xí)題，可以滿足不同學(xué)生的知識(shí)需求，以達(dá)到提升每一位學(xué)生解題能力的目標(biāo)。四、公式進(jìn)一步推廣與應(yīng)用老師：上面我們已經(jīng)復(fù)習(xí)了向量（

7、平行）共線的坐標(biāo)表示，大家能夠推導(dǎo)出兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示嗎？學(xué)生：快速回答。當(dāng)。老師：我們也知道平面向量數(shù)量積的幾何意義是向量在向量方向上的投影與向量的長度的乘積。那么向量在向量方向上的投影坐標(biāo)表示又是什么了？【設(shè)計(jì)意圖】：上面兩個(gè)連續(xù)的問題，遵循先易后難的原則。學(xué)生在第二個(gè)問題中可能會(huì)遇到障礙，而這本身就是一種教學(xué)手段，這樣能讓一些思維開小差的學(xué)生，因?yàn)檫@個(gè)挑戰(zhàn)性問題而重新積極思考。學(xué)生：有部分學(xué)生在這里可能思維受阻，因?yàn)槿绻麤]有理解好投影的概念是無法作答的。老師：在這里，要進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)投影概念的重要性，因?yàn)樵谝院蟮牧讖?fù)習(xí)中更涉及到向量問題，所以須講清楚。并給出高考真題去得到及時(shí)的教學(xué)反饋

8、。例三：（07重慶）已知向量（ ）A . B . C . D .例四：（07湖北）設(shè)，則為（ ） A .（2，14） B. (2,) C. () D. ()【設(shè)計(jì)意圖】：答案略。通過高考真題的強(qiáng)化訓(xùn)練，不僅僅能讓學(xué)生體驗(yàn)高考考察的知識(shí)范圍以及高考的能力要求，還可以用來讓學(xué)生自我檢驗(yàn)所學(xué)效果，找出問題，及時(shí)彌補(bǔ)。同時(shí)也為了進(jìn)一步突出教學(xué)中的重難點(diǎn).五、 能力提高例五：（05天津）在直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A（0，1）和點(diǎn)B（3，4）。若點(diǎn)C在角AOB的平分線上，且_（用坐標(biāo)表示）分析：方法一 由于平分線對(duì)應(yīng)的方向向量為,從而,又=(0,1)+(,所以。因?yàn)榉椒? ：設(shè),即又.【設(shè)計(jì)意圖】：本題

9、可以用兩種方法解決。所以鼓勵(lì)小組間討論用多種角度去理解角平分線從而解題，培養(yǎng)其發(fā)散思維的能力，增強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用意識(shí)。例六：（學(xué)科整合）已知平面向量（1）證明：（2）若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)和，使，試求函數(shù)關(guān)系式.（3）若在上是增函數(shù)，試求的取值范圍。分析：（1）由題意知（2）由于，化簡整理有（3）導(dǎo)數(shù)分析：要使函數(shù)在已知區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，則即。顯然，【設(shè)計(jì)意圖】：學(xué)科整合題型可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的鏈接，也體現(xiàn)高考思維。將向量與函數(shù)結(jié)合，利用導(dǎo)數(shù)工具判斷單調(diào)性是本題的出發(fā)點(diǎn)。若時(shí)間不充裕，可以作為課后思考題，以滿足部分學(xué)生的求知欲.六、 課堂小結(jié)學(xué)生代表回答：1、平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示. 2、向量模長的坐標(biāo)表示 3、向量夾角的坐標(biāo)表示 4、向量共線與垂直坐標(biāo)表示 5、向量在向量方向上的投影坐標(biāo)表示 向量在向量方向上的投影坐標(biāo)表示【設(shè)計(jì)意圖】：學(xué)生反思總結(jié)，可以讓學(xué)生總結(jié)獲取知識(shí)的能力同時(shí)使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)更加完整，知識(shí)更