橢圓的教學(xué)設(shè)計

1、選修1-12.1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計北京市京源學(xué)校田娟一、指導(dǎo)思想與理論依據(jù)1. 新課程標(biāo)準(zhǔn)理念高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)指出： “強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化。高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)，讓學(xué)生體會蘊(yùn)涵在其中的思想方法。”在“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的引入與推導(dǎo)中，遵循學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，通過動手實踐、觀察思考、合作交流、應(yīng)用反思等過程，讓學(xué)生逐步將認(rèn)識由感性上升到理性，把學(xué)生學(xué)習(xí)知識當(dāng)作認(rèn)識事物的過程來進(jìn)行教學(xué)，努力揭示知識的發(fā)生、發(fā)展過程。2. 建構(gòu)主義理論建構(gòu)主義認(rèn)為：知識不是通過教師講授得到的，而是學(xué)習(xí)者在一定的情境即社會文化背景下，借助其他人（包括教

2、師和學(xué)習(xí)伙伴）的幫助，充分利用各種學(xué)習(xí)資源（包括文字教材、音像資料、多媒體課件、軟件工具以及從Internet上獲取的各種教學(xué)信息等等），通過意義建構(gòu)而獲得。由于學(xué)習(xí)是在一定的情境下借助其他人的幫助即通過人際間的協(xié)作活動而實現(xiàn)的意義建構(gòu)過程，因此建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為“情境創(chuàng)設(shè)”、“協(xié)作學(xué)習(xí)”、“會話交流”是學(xué)習(xí)環(huán)境的基本要素。二、教學(xué)背景分析1. 教材分析解析幾何是數(shù)學(xué)一個重要的分支，它溝通了數(shù)學(xué)內(nèi)數(shù)與形、代數(shù)與幾何等最基本對象之間的聯(lián)系。平面解析幾何問題，就是借助建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，科學(xué)合理地把幾何問題代數(shù)化，運(yùn)用代數(shù)的方法來研究幾何問題。在必修2中學(xué)生已初步掌握了解析幾何研究問題的主要方法，

3、并在平面直角坐標(biāo)系中研究了直線和圓這兩個基本的幾何圖形。在選修1中，教材利用三種圓錐曲線進(jìn)一步深化如何利用代數(shù)方法研究幾何問題。本章所研究的三種圓錐曲線都是重要的曲線，因為對這幾種曲線研究的問題基本一致，方法相同，所以教材對這三種圓錐曲線的學(xué)習(xí)的重點放在了橢圓上，通過求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是學(xué)生掌握推導(dǎo)出這一類軌跡方程的一般規(guī)律和化簡的常用方法。因此，“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”起到了承上啟下的重要作用。2. 學(xué)情分析知識方面（1）在必修2第二章里學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線和圓的方程，并初步熟悉了求曲線方程的一般方法和步驟，具備主動探究橢圓知識的基礎(chǔ)；（2）根據(jù)日常生活中的經(jīng)驗，學(xué)生對橢圓有了一定的認(rèn)識，但仍沒有

4、上升到成為“概念”的水平，將感性認(rèn)識理性化將會是對他們的一個挑戰(zhàn)；（3）在初中階段沒有涉及過含兩個字母、兩個根式的方程化簡問題；自身特征方面（1）我所教授的班級是文科班，他們普遍對數(shù)學(xué)有一定的畏難情緒，但是他們思維比較活躍，對新鮮事物有一定的好奇心和探索欲望，對老師的講授敢于質(zhì)疑，有自己的想法和主見，愿意自己去探索是什么和為什么。并且具備了初步的探索能力；（2）對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)只是停留在表面，對概念的形成過程不重視，所以無法深刻理解；（3）對于較復(fù)雜的計算問題，往往不知如何動手或懶得動手，計算能力較弱。但他們同時又樂于小組合作學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)氣氛濃厚；3. 教學(xué)方法及手段新課程倡導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，要求

5、教師成為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者、合作者和促進(jìn)者，使教學(xué)過程成為師生交流、積極互動、共同發(fā)展的過程。本節(jié)課采用讓學(xué)生動手實踐、自主探究、合作交流及教師啟發(fā)引導(dǎo)的教學(xué)方法，并以多媒體手段輔助教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷實踐、觀察、交流、分析、概括等理性思維的基本過程，切實改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點，教學(xué)過程中可充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，用幾何畫板的動態(tài)作圖優(yōu)勢為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持。三、教學(xué)目標(biāo)及重難點1. 教學(xué)目標(biāo)知識與技能（1）掌握橢圓的定義；（2）理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式，會運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；過程與方法（1）經(jīng)

6、歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程，逐步提高學(xué)生的觀察、分析、歸納、類比、概括能力；（2）通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，進(jìn)一步掌握求曲線方程的一般方法坐標(biāo)法，并滲透數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。情感、態(tài)度與價值觀在動手折紙得出橢圓的定義的學(xué)習(xí)過程中，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性；親身經(jīng)歷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的獲得過程，感受數(shù)學(xué)的對稱、簡潔、和諧美，同時養(yǎng)成扎實嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣，增強(qiáng)學(xué)生戰(zhàn)勝困難的意志品質(zhì)和鍥而不舍的鉆研精神。2. 教學(xué)重難點重點：橢圓的定義和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式難點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的建立和推導(dǎo)四、教學(xué)流程示意圖五、教學(xué)過程設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)教師為主活動學(xué)生為主活動設(shè)計意圖情景引入【折紙活動】請拿出預(yù)先

7、準(zhǔn)備的圓形紙片（圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)異于圓心的一點），將圓紙片翻折，使翻折上去的圓弧通過F點，將折痕用筆畫上顏色，繼續(xù)上述過程，繞圓心一周，觀察所得到的圖形。動畫演示折紙的過程?！咎釂枴吭谖覀兊娜粘Ｉ钪?，橢圓隨處可見。你能舉出橢圓形的例子嗎？在肯定學(xué)生的回答后，老師加以補(bǔ)充。比如：嫦娥二號繞月球運(yùn)行的是橢圓形的軌道；斜著切起出來的四色卷是橢圓的；裝飾品項鏈中間的飾物是橢圓形的； 由此可見，橢圓是我們生活中一種重要的曲線。引出課題橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程。動手實踐，課前完成學(xué)生展示成果學(xué)生踴躍回答通過折紙游戲充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的探究心理。為引出新知做鋪墊。通過舉例和展示生活中橢圓形的圖片，

8、讓學(xué)生認(rèn)識到橢圓和日常生活關(guān)系密切。概念形成概念形成 讓我們回到折紙活動中，看看得到的橢圓究竟是怎樣形成的。我們不妨來分析其中的一個折疊過程。此時圓周上的點A與點F重合，連結(jié)OA，交折痕BC于點M，那么點M的軌跡是什么？（動畫演示）【提問】也就是說，橢圓就是滿足一定條件的點M的軌跡，那么點M滿足什么條件呢？如學(xué)生有困難，可按如下提示鋪設(shè)認(rèn)知階梯：1. 如何用數(shù)學(xué)語言表達(dá)點A與定點F重合? 2. 線段垂直平分線上的點有什么幾何性質(zhì)?3. 動點M與定點之間有什么關(guān)系?【提問】你能否給橢圓下個定義？預(yù)設(shè)：與兩個定點的距離之和等于定長的點的軌跡叫做橢圓教師引導(dǎo)，學(xué)生補(bǔ)充“平面內(nèi)”。【提問】要成為橢圓的

9、定義，必須保證它足夠嚴(yán)謹(jǐn)，經(jīng)得起推敲。那么這個常數(shù)是任意實數(shù)嗎？有什么限制條件嗎？預(yù)設(shè)：學(xué)生可能會遇到障礙，此時教師提醒：如何體現(xiàn)點在圓的內(nèi)部？【提問】繼續(xù)深化問題：如果常數(shù)，常數(shù)時，將是什么樣的情形？回答：就是剛才得到的橢圓學(xué)生以組為單位，合作探究，教師巡視指導(dǎo)點A與定點F2關(guān)于折痕軸對稱，折痕即對稱軸是線段AF的垂直平分線到線段兩個端點距離相等與兩個定點O、F的距離之和等于半徑OA預(yù)設(shè)：點在定圓 的內(nèi)部即點到圓心的距離小于圓的半徑，也就是在定義中需要加上“常數(shù)”的限制。常數(shù)，軌跡是線段；常數(shù)，軌跡不存在；通過分析動點與定點的關(guān)系，使學(xué)生經(jīng)歷橢圓概念的生成和完善過程，提高其歸納概括能力，加深

10、對橢圓本質(zhì)的認(rèn)識，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性經(jīng)概括總結(jié)后得到：【板書】文字語言：平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于定長（大于）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。數(shù)學(xué)語言：概念深化1. 已知、是定點，動點滿足，則點M的軌跡是（ ）A橢圓 B. 直線 C.圓 D.線段2已知是兩個定點，以線段為一邊畫三角形，試問滿足條件“的周長為20”的頂點的軌跡是什么樣的圖形？為什么？認(rèn)真思考后回答學(xué)生初步理解了橢圓的概念，接下去還必須消化、鞏固。怎么消化鞏固？基于“雙基”和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，這里設(shè)計了兩道比較基礎(chǔ)的題目（第1題是自編題，第2道選自課本 2.1.1練習(xí)B第2題）。理解數(shù)學(xué)往

11、往不可能一次完成，通過這兩道題，學(xué)生來“做”數(shù)學(xué)，在“做”的過程中，認(rèn)識到對橢圓定義的理解，一要抓住橢圓上的點所滿足的條件，二要注意定義中對“常數(shù)”的限定，從而進(jìn)一步加深對橢圓概念的理解。方程推導(dǎo)我們已經(jīng)知道，在直角坐標(biāo)平面上直線和圓都有相應(yīng)的方程，從而就可以用代數(shù)的方法來研究它們的幾何性質(zhì)、位置關(guān)系等。那么如何求橢圓的方程呢？【提問】求圓的方程的一般步驟是什么？ 建系設(shè)點：【提問】根據(jù)簡單和優(yōu)化的原則，如何建立平面直角坐標(biāo)系？以兩定點、所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系（如圖）設(shè)，為橢圓上的任意一點，則、又設(shè)與、的距離的和等于 集合表示：由橢圓定義得：動點M的集合為： 坐標(biāo)化

12、：用含有動點坐標(biāo)的方程表示： 化簡：預(yù)案：移項后兩次平方法引導(dǎo)學(xué)生觀察橢圓圖形和推導(dǎo)出的橢圓方程的系數(shù)，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)實際上對應(yīng)圖形中的特殊線段，不妨令其為，則有，類比由化簡為截距式方程的方法將方程繼續(xù)化簡得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【板書】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1 焦點在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ，焦點是、這里。【提問】如果焦點在軸上，橢圓的方程又是什么呢？2 焦點在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： 焦點是、這里。引導(dǎo)學(xué)生比較歸納出兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)別?？偨Y(jié)歸納：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，因為,所以可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個坐標(biāo)軸上。【練習(xí)】人教B 版例2求下列方程表示的橢圓的焦點坐標(biāo)：（1） （2） 建系設(shè)點 集合表示

13、坐標(biāo)化 化簡 證明（一般省略）回答建立如圖坐標(biāo)系：小組交流，嘗試化簡觀察方程的特點，得出標(biāo)準(zhǔn)方程。記筆記思考交流，并回答思考交流，并回答通過對必修2中坐標(biāo)法研究曲線性質(zhì)方法的復(fù)習(xí)，讓學(xué)生認(rèn)識到本節(jié)課研究橢圓的一般方法和思路。在標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中，問題的設(shè)問讓學(xué)生認(rèn)識到在推導(dǎo)方程的過程中進(jìn)行等價變形的重要性，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)演算習(xí)慣。提高運(yùn)算能力，養(yǎng)成不怕困難的鉆研精神；感受數(shù)學(xué)的簡潔美、對稱美讓學(xué)生對橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程有個清晰的認(rèn)識，體會問題的本質(zhì)所在，只是位置的不同，圖形是一樣的，為后面的應(yīng)用做準(zhǔn)備本題是根據(jù)教學(xué)需要將課本的例2前置的一道題，目的是加深學(xué)生對橢圓的焦點位置與標(biāo)準(zhǔn)方程之間關(guān)系的

14、理解，明確不是標(biāo)準(zhǔn)方程的要先將方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定出，再求出c。從而進(jìn)一步認(rèn)清橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程兩種形式，再次突破本節(jié)課的重點橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式。初步應(yīng)用例1 根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（1） 兩個焦點的坐標(biāo)分別是（-3,0），（3,0），橢圓上一點P與兩焦點的距離的和等于8；（2） 兩個焦點的坐標(biāo)分別是（0，-4），（0,4），并且橢圓經(jīng)過點（）（3） 已知橢圓的焦距是6，橢圓上的一點到兩焦點距離的和等于10學(xué)生思考后回答例1（1）（2）小題是教材上的例題，設(shè)計目的：一是進(jìn)一步理解橢圓的焦點位置與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系（注意焦點在軸還是在軸上），掌握運(yùn)用待定系數(shù)法求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方

15、法；二是加深學(xué)生對橢圓定義的理解與運(yùn)用，學(xué)會運(yùn)用橢圓定義求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。（3）小題是對（1）（2）的變式題，其目的是對學(xué)生進(jìn)行分類討論數(shù)學(xué)思想的滲透，達(dá)到拓展知識、提高能力的目的。閱讀課本33頁內(nèi)容。閱讀課本橢圓的生成方式有多種，課本33頁給出了我們另外一種生成的方式，學(xué)生通過閱讀這部分內(nèi)容，再一次感受橢圓的形成過程。目標(biāo)檢測1. 已知橢圓的焦點坐標(biāo)為和，且經(jīng)過點，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（課本練習(xí)A 第1題（5）2. 設(shè)是橢圓上一點，是橢圓的焦點。如果點與焦點的距離為4，那么點與焦點的距離是多少？（課本練習(xí)A 第2題的改編題）學(xué)生獨(dú)立完成這兩道題考查的知識點和方法與本節(jié)課所講解的內(nèi)容完全一致，通

16、過這兩個小題對學(xué)生進(jìn)行檢測，一方面可以加深學(xué)生對本節(jié)課的理解，同時也能夠及時反饋出學(xué)生對本節(jié)課知識和方法的落實情況，便于及時調(diào)整。歸納小結(jié)【課堂總結(jié)】1 知識層面2 方法層面3 學(xué)習(xí)反思學(xué)生小結(jié)歸納，不足的地方老師補(bǔ)充說明。讓學(xué)生自己小結(jié)，不僅僅總結(jié)知識，更重要的是總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法，這樣可幫助學(xué)生自行構(gòu)建知識體系，理清知識脈絡(luò)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。作業(yè)布置1.必做題：課本練習(xí)A 1，練習(xí)A 1（1）（2）（3）（4）2. 思考題：（2）已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于M、N兩點，則的周長為 ;（3）若方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是 .分層次布置作業(yè)，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識；為學(xué)有余力的學(xué)生留有進(jìn)一步探索、發(fā)展的空間。六、學(xué)習(xí)效果評價設(shè)計1. 已知橢圓的焦點坐標(biāo)為和，且經(jīng)過點，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（課本練習(xí)A 第1題（5）2. 設(shè)是橢圓上一點，是橢圓的焦