保險(xiǎn)精算人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值

1、第四章第四章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值(躉繳純保費(fèi)厘定) 人壽保險(xiǎn)簡(jiǎn)介什么是人壽保險(xiǎn)狹義的人壽保險(xiǎn)是以被保險(xiǎn)人在保障期是否死亡作為保險(xiǎn)標(biāo)的的一種保險(xiǎn)。 廣義的人壽保險(xiǎn)是以被保險(xiǎn)人的壽命作為保險(xiǎn)標(biāo)的的一種保險(xiǎn)。它包括以保障期內(nèi)被保險(xiǎn)人死亡為標(biāo)的的狹義壽險(xiǎn)，也包括以保障期內(nèi)被保險(xiǎn)人生存為標(biāo)底的生存保險(xiǎn)和兩全保險(xiǎn)。壽險(xiǎn)產(chǎn)品介紹壽險(xiǎn)產(chǎn)品介紹傳統(tǒng)個(gè)人壽險(xiǎn)和年金產(chǎn)品傳統(tǒng)個(gè)人壽險(xiǎn)和年金產(chǎn)品1投資類(lèi)保險(xiǎn)產(chǎn)品投資類(lèi)保險(xiǎn)產(chǎn)品2附加保險(xiǎn)附加保險(xiǎn)3團(tuán)體保險(xiǎn)團(tuán)體保險(xiǎn)4傳統(tǒng)壽險(xiǎn)和年金產(chǎn)品傳統(tǒng)壽險(xiǎn)和年金產(chǎn)品人身險(xiǎn)定期壽險(xiǎn)意外險(xiǎn)終身壽險(xiǎn)兩全保險(xiǎn)健康保險(xiǎn)生存年金投資類(lèi)保險(xiǎn)產(chǎn)品投資類(lèi)保險(xiǎn)產(chǎn)品 常見(jiàn)附加險(xiǎn)產(chǎn)品疾病保險(xiǎn)醫(yī)療

2、費(fèi)用住院津貼收入補(bǔ)償收入補(bǔ)償意外險(xiǎn)意外險(xiǎn)Cycle name主險(xiǎn)附加產(chǎn)品主險(xiǎn)附加產(chǎn)品團(tuán)體保險(xiǎn)概念團(tuán)體：團(tuán)體：5人以上人以上用一張保單用一張保單對(duì)一團(tuán)體的人提供保障對(duì)一團(tuán)體的人提供保障同一險(xiǎn)種同一險(xiǎn)種團(tuán)體保險(xiǎn)特點(diǎn)團(tuán)體保險(xiǎn)特點(diǎn) 精算方法不同費(fèi)率不同管理方式和費(fèi)用不同團(tuán)險(xiǎn)種類(lèi)團(tuán)險(xiǎn)種類(lèi)團(tuán)體年金團(tuán)體年金團(tuán)體意外險(xiǎn)團(tuán)體意外險(xiǎn)團(tuán)體壽險(xiǎn)團(tuán)體壽險(xiǎn)團(tuán)體健康險(xiǎn)團(tuán)體健康險(xiǎn)人壽保險(xiǎn)的性質(zhì)保障的長(zhǎng)期性這使得從投保到賠付期間的投資受益（利息）成為不容忽視的因素。保險(xiǎn)賠付金額和賠付時(shí)間的不確定性人壽保險(xiǎn)的賠付金額和賠付時(shí)間依賴于被保險(xiǎn)人的生命狀況。被保險(xiǎn)人的死亡時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量。這就意味著保險(xiǎn)公司的賠付額也是一個(gè)隨機(jī)變量，

3、它依賴于被保險(xiǎn)人剩余壽命分布。被保障人群的大數(shù)性這就意味著，保險(xiǎn)公司可以依靠概率統(tǒng)計(jì)的原理計(jì)算出平均賠付并可預(yù)測(cè)將來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。一、保費(fèi)繳納的形式躉繳保費(fèi) 一次性繳清的保費(fèi)。均衡保費(fèi) 分期繳納的保費(fèi)。二、純保費(fèi)只考慮死亡給付，不考慮費(fèi)用的保費(fèi)。三、保險(xiǎn)金特點(diǎn)1、支付的數(shù)量是確定的，但給付的時(shí)間不能確定；2、保險(xiǎn)金的給付是在將來(lái)，簽單時(shí)在現(xiàn)在；3、保險(xiǎn)金的兩種給付：死亡立即給付；死亡年末給付。四、常見(jiàn)的險(xiǎn)種1、定期壽險(xiǎn)2、終身壽險(xiǎn)3、兩全保險(xiǎn)4、生存保險(xiǎn)（以生存為給付條件）5、遞增型壽險(xiǎn)6、遞減型壽險(xiǎn)五、計(jì)算原理原則保費(fèi)凈均衡原則躉繳純保費(fèi)=未來(lái)給付在簽單時(shí)的期望值 =（死亡給付的精算現(xiàn)值）解釋所謂

4、凈均衡原則，即保費(fèi)收入的期望現(xiàn)時(shí)值正好等于將來(lái)的保險(xiǎn)賠付金的期望現(xiàn)時(shí)值。它的實(shí)質(zhì)是在統(tǒng)計(jì)意義上的收支平衡。是在大數(shù)場(chǎng)合下，收費(fèi)期望現(xiàn)時(shí)值等于支出期望現(xiàn)時(shí)值 躉繳純保費(fèi)的厘定假定條件:假定一：同性別、同年齡、同時(shí)參保的被保險(xiǎn)人的剩余壽命是獨(dú)立同分布的。假定二：被保險(xiǎn)人的剩余壽命分布可以用經(jīng)驗(yàn)生命表進(jìn)行擬合。假定三：保險(xiǎn)公司可以預(yù)測(cè)將來(lái)的投資受益（即預(yù)定利率）。第四章第四章 人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值4.1 死亡即付的人壽保險(xiǎn)死亡即付的人壽保險(xiǎn)4.2 死亡年末給付的人壽保險(xiǎn)死亡年末給付的人壽保險(xiǎn)4.3 死亡即付與死亡年末付人壽保險(xiǎn)死亡即付與死亡年末付人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值的關(guān)系的精算現(xiàn)值的關(guān)

5、系4.4 遞增型人壽保險(xiǎn)與遞減型人壽保遞增型人壽保險(xiǎn)與遞減型人壽保險(xiǎn)險(xiǎn)精算現(xiàn)值的概念精算現(xiàn)值的概念精算現(xiàn)值即精算現(xiàn)值即躉繳純保費(fèi)躉繳純保費(fèi)， 未來(lái)保險(xiǎn)金給付在簽單時(shí)的現(xiàn)值，即一次未來(lái)保險(xiǎn)金給付在簽單時(shí)的現(xiàn)值，即一次性繳清的純保費(fèi)，它是以預(yù)定利率和預(yù)定死性繳清的純保費(fèi)，它是以預(yù)定利率和預(yù)定死亡率為基礎(chǔ)計(jì)算的。亡率為基礎(chǔ)計(jì)算的。4.1 死亡即付的人壽保險(xiǎn)死亡即刻賠付的含義死亡即刻賠付的含義指如果被保險(xiǎn)人在保障期內(nèi)發(fā)生指如果被保險(xiǎn)人在保障期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡的死亡 ，保險(xiǎn)公司將在死亡事件發(fā)生之后，立，保險(xiǎn)公司將在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險(xiǎn)賠付。它是在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合，保險(xiǎn)公刻給

6、予保險(xiǎn)賠付。它是在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合，保險(xiǎn)公司通常采用的理賠方式。司通常采用的理賠方式。由于死亡可能發(fā)生在被保險(xiǎn)人投保之后的任意時(shí)刻，所以死亡即付時(shí)刻是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量，它距保單生效日的時(shí)期長(zhǎng)度就等于被保險(xiǎn)人簽約時(shí)的剩余壽命?；痉?hào) 投保年齡。投保年齡。 保險(xiǎn)金給付函數(shù)。保險(xiǎn)金給付函數(shù)。 貼現(xiàn)函數(shù)。貼現(xiàn)函數(shù)。 從簽單到死亡的時(shí)間長(zhǎng)度。從簽單到死亡的時(shí)間長(zhǎng)度。 未來(lái)給付保險(xiǎn)金在保單生效時(shí)的現(xiàn)值。未來(lái)給付保險(xiǎn)金在保單生效時(shí)的現(xiàn)值。)(xtbtvtztttvbzt精算現(xiàn)值計(jì)算精算現(xiàn)值計(jì)算考慮到死亡即付的保險(xiǎn)金在余命考慮到死亡即付的保險(xiǎn)金在余命 未來(lái)保險(xiǎn)金在簽單時(shí)的現(xiàn)值為未來(lái)保險(xiǎn)金在簽單時(shí)的現(xiàn)值為 ：未來(lái)

7、保險(xiǎn)金給付在簽單時(shí)的精算現(xiàn)值。：未來(lái)保險(xiǎn)金給付在簽單時(shí)的精算現(xiàn)值。 凈均衡原則，即保費(fèi)收入的期望現(xiàn)值正好等于將凈均衡原則，即保費(fèi)收入的期望現(xiàn)值正好等于將來(lái)的保險(xiǎn)賠付金的期望現(xiàn)值。它的實(shí)質(zhì)是來(lái)的保險(xiǎn)賠付金的期望現(xiàn)值。它的實(shí)質(zhì)是在統(tǒng)計(jì)意義在統(tǒng)計(jì)意義上的收支平衡。是在大數(shù)場(chǎng)合下，收費(fèi)期望現(xiàn)值等于上的收支平衡。是在大數(shù)場(chǎng)合下，收費(fèi)期望現(xiàn)值等于支出期望現(xiàn)值支出期望現(xiàn)值 。)(xTTTTvbZ )(TZE這一時(shí)刻給付，這一時(shí)刻給付，主要險(xiǎn)種的精算現(xiàn)值（躉繳純保費(fèi)）主要險(xiǎn)種的精算現(xiàn)值（躉繳純保費(fèi)） n年期定期壽險(xiǎn)年期定期壽險(xiǎn) 終身壽險(xiǎn)終身壽險(xiǎn) 延期壽險(xiǎn)延期壽險(xiǎn) 延期延期m年的終身壽險(xiǎn)年的終身壽險(xiǎn)/延期延期m

8、年的年的n年定期壽險(xiǎn)年定期壽險(xiǎn) n年期生存保險(xiǎn)年期生存保險(xiǎn) n年期兩全保險(xiǎn)年期兩全保險(xiǎn)定義定義保險(xiǎn)人只對(duì)被保險(xiǎn)人在投保后的保險(xiǎn)人只對(duì)被保險(xiǎn)人在投保后的n年內(nèi)發(fā)生的保險(xiǎn)年內(nèi)發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種，又稱為責(zé)任范圍內(nèi)的死亡給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種，又稱為n年年期死亡保險(xiǎn)。期死亡保險(xiǎn)。假定假定: : (x x) 投保投保n年定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額年定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額1元。元?；竞瘮?shù)關(guān)系基本函數(shù)關(guān)系 , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtnzbvtnbtntn4.1.2 n年定期壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值年定期壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值簽單時(shí)保險(xiǎn)金給付現(xiàn)值隨機(jī)變量為簽單時(shí)保險(xiǎn)金給付現(xiàn)值隨機(jī)變量為

9、設(shè)設(shè) 的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為 ，則，則 表示表示n年期死亡保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值。年期死亡保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值。TTvbZ nTnTvT, 0,T)(ZE)(tfTnTtdttfv0)(1:nxA ev方差公式：方差公式：記為記為（相當(dāng)于利息力翻倍以后求（相當(dāng)于利息力翻倍以后求n年期壽險(xiǎn)的躉繳保費(fèi)）年期壽險(xiǎn)的躉繳保費(fèi)）所以方差為所以方差為 )(ZVar22)()(ZEZE21|:2)()(nxAZEnTtdttfzZE022)()(nTtnTtdttfedttfv0202)()()(ZVar例例1 設(shè)生存函數(shù)為設(shè)生存函數(shù)為 ，計(jì)算（保險(xiǎn)金額為，計(jì)算（保險(xiǎn)金額為1元）元）（1）躉繳純保費(fèi)）躉繳純保費(fèi)

10、解：解：)1000(1001)(xxxs1 . 0i1|10:30A)()2(ZVar，年利率，年利率)()()(xstxstfT10011001xx100130 x題中701)(tfT) 1 . 01ln( 又有1001|10:30)( dttfeATt100100) 1 . 1 (1 . 1ln1701) 1 . 1 (701ttdt099092. 01|10:302A1002)( dttfeTt1002) 1 . 1 (1 . 1ln21701t803063. 0)(ZVar21|10:301|10:302)(AA321055. 04.1.3 終身壽險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)終身壽險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)定義

11、定義保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人在投保后任何時(shí)刻發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人在投保后任何時(shí)刻發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種。任范圍內(nèi)的死亡均給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種。假定：假定：(x x)投保終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額投保終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額1元。元。基本函數(shù)關(guān)系基本函數(shù)關(guān)系 , 0 , 01 , 0 tttttttvvtzbvvtbtTTvbZ 0tvT 表示終身壽險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)。表示終身壽險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)。方差為方差為xA)(ZExA0)( dttfzTt0dtpvtxxtt0dtpetxxtt)(ZVar例例2設(shè)設(shè) (x x)要投保終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額要投保終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額1元，簽單時(shí)其未元，簽單時(shí)其未來(lái)

12、壽命來(lái)壽命利息強(qiáng)度為利息強(qiáng)度為 變量為變量為T(mén)其他，0600601)(ttfT)0(ZxA) 1 (，在簽單時(shí)的保險(xiǎn)金給付現(xiàn)值隨機(jī)，在簽單時(shí)的保險(xiǎn)金給付現(xiàn)值隨機(jī)，試計(jì)算：，試計(jì)算：的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為)()2(ZVar.9 . 0)()3(9 . 09 . 0的滿足ZP例例2答案答案解：解：0)( dttfzTt0,60160e)() 1 (ZEAx)()2(ZVar600601dtet0,6011201260120 ee例例2答案答案解：解：)(hTP即.9 . 0)()3(9 . 09 . 0的滿足ZP)(9 . 0ZP)(9 . 0TvP)lnln(9 . 0vTP)lnln

13、(9 . 0vTPvhlnln9 . 0令hTdttf)(60601hdt)60(601h9 . 06hvln6ln9 . 0有669 . 0ev運(yùn)用中心極限定理，運(yùn)用中心極限定理，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)業(yè)務(wù)量來(lái)確定保險(xiǎn)公司的最初投資的基金。根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)業(yè)務(wù)量來(lái)確定保險(xiǎn)公司的最初投資的基金。例例3 假設(shè)有假設(shè)有100個(gè)相互獨(dú)立的年齡為個(gè)相互獨(dú)立的年齡為x x歲的被保險(xiǎn)人都?xì)q的被保險(xiǎn)人都投保了保險(xiǎn)金額投保了保險(xiǎn)金額10元的終身壽險(xiǎn)，隨機(jī)變量元的終身壽險(xiǎn)，隨機(jī)變量T的概率密的概率密度是度是保險(xiǎn)金于被保險(xiǎn)人死亡時(shí)給付，保險(xiǎn)金給付是從某項(xiàng)保險(xiǎn)金于被保險(xiǎn)人死亡時(shí)給付，保險(xiǎn)金給付是從某項(xiàng)基金中按利息強(qiáng)度基金中按利息強(qiáng)度 試

14、計(jì)算這項(xiàng)基金在最初（試計(jì)算這項(xiàng)基金在最初（t t =0）時(shí)的數(shù)額至少為多少）時(shí)的數(shù)額至少為多少時(shí)，才能保證從這項(xiàng)基金中足以支付每個(gè)被保險(xiǎn)人的時(shí)，才能保證從這項(xiàng)基金中足以支付每個(gè)被保險(xiǎn)人的死亡給付的概率達(dá)到死亡給付的概率達(dá)到95%？)0,04. 0()(tetftT06. 0計(jì)息支付。計(jì)息支付。4.1.4 延期壽險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)延期壽險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi) 例如，例如， 一個(gè)一個(gè)26歲的人考慮用保險(xiǎn)金支付他退休之后死亡時(shí)歲的人考慮用保險(xiǎn)金支付他退休之后死亡時(shí) 的喪葬費(fèi)用，于是，他投保了一份延期的喪葬費(fèi)用，于是，他投保了一份延期34年的終身年的終身 壽險(xiǎn)。如果人在退休前死亡，他工作期間的豐厚收壽險(xiǎn)。如果人在

15、退休前死亡，他工作期間的豐厚收 入會(huì)解決其喪葬費(fèi)用，如果在退休之后死亡，則保入會(huì)解決其喪葬費(fèi)用，如果在退休之后死亡，則保 險(xiǎn)公司會(huì)為他的一個(gè)很體面的葬禮支付保險(xiǎn)金。這險(xiǎn)公司會(huì)為他的一個(gè)很體面的葬禮支付保險(xiǎn)金。這 就是一份終身壽險(xiǎn)，但延期了就是一份終身壽險(xiǎn)，但延期了34年。年。定義定義保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人在投保保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人在投保m年后發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任年后發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種。范圍內(nèi)的死亡均給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種。假定假定: (x x)投保延期投保延期m年的終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額年的終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額1元。元。 基本函數(shù)關(guān)系基本函數(shù)關(guān)系 , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttt

16、tvvtvtmzbvtmbtmtm延期延期m年的終身壽險(xiǎn)年的終身壽險(xiǎn)簽單時(shí)保險(xiǎn)金給付現(xiàn)值隨機(jī)變量為簽單時(shí)保險(xiǎn)金給付現(xiàn)值隨機(jī)變量為 表示延期表示延期m年的終身壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值。年的終身壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值。 TTvbZ mTvmTT,0 xmA |tmxTmAv ft dt tTmeft dt延期延期m年的年的n年定期壽險(xiǎn)年定期壽險(xiǎn)若若(x x)投保延期投保延期m年的年的n年定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額年定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額1元。元。 表示其躉繳純保費(fèi)，表示其躉繳純保費(fèi)，m nttxx tmepdt00m nmtttxx ttxx tepdtepdt()為常數(shù)時(shí)1|nxmA：1|:|nxmA1|1|mxnmxAA：

17、例例4(x x)投保延期投保延期10年的終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額年的終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額1元，保險(xiǎn)金元，保險(xiǎn)金在死亡時(shí)立即給付，在死亡時(shí)立即給付，Z表示簽單時(shí)死亡給付的現(xiàn)值隨機(jī)表示簽單時(shí)死亡給付的現(xiàn)值隨機(jī)變量，已知利息強(qiáng)度變量，已知利息強(qiáng)度試求：試求：解：解：。0,)(,06. 004. 0 xexsxxA|10) 1 ()()2(ZVar。中位數(shù)5 . 0)3()() 1 (tfT)()(xstxsxtxeedtd04. 0)(04. 0 xtxee04. 0)(04. 004. 0te04. 004. 0例例4答案答案0104. 004. 0dteett01)( dttfvTtxA|10)()2(ZVar求xA2|1004. 004. 0)04. 0(10e14 . 0e102)( dttfeTt04. 0204. 0)04. 02(10e6 . 125. 0e)(ZVar2|102|10)(xxAA 26 . 116. 025. 0ee例例