建筑力學彎曲應力

1、彎曲應力彎曲應力abcd1 引言引言 2 平面平面彎曲時梁橫截面上的正應力彎曲時梁橫截面上的正應力3 梁橫截面上的剪應力梁橫截面上的剪應力4 梁的正應力和剪應力強度條件梁的正應力和剪應力強度條件 梁的合理截面梁的合理截面彎曲應力彎曲應力 引言引言1、彎曲構件橫截面上的（內(nèi)力）應力、彎曲構件橫截面上的（內(nèi)力）應力內(nèi)力剪力Q 剪應力t t彎矩M 正應力s s一、純彎曲時梁橫截面上的正應力一、純彎曲時梁橫截面上的正應力LaaFFFFF圖QF(+)(-)-F(+)純彎曲純彎曲梁彎曲變形時，梁彎曲變形時，橫截面上只有彎矩而無剪橫截面上只有彎矩而無剪力（力（ ）。）。0, 0QFM0, 0QFM橫力彎曲橫

2、力彎曲梁彎曲變形梁彎曲變形時，橫截面上既有彎矩又時，橫截面上既有彎矩又有剪力（有剪力（ ）。）。純彎曲純彎曲橫力橫力彎曲彎曲橫力橫力彎曲彎曲彎曲應力彎曲應力/純彎曲時梁橫截面上的正應力純彎曲時梁橫截面上的正應力M1 1、研究對象：、研究對象：等直細長對稱截面梁等直細長對稱截面梁2 2、前提、前提: :(a)(a)小變形小變形在彈性變形范圍內(nèi)，在彈性變形范圍內(nèi)，(b)(b)滿足平面彎曲條件，滿足平面彎曲條件， （c c）純彎曲。）純彎曲。3 3、實驗觀察、實驗觀察: :MM凹邊縮短凹邊縮短凸邊伸長凸邊伸長長度保持長度保持不變的縱不變的縱向纖維向纖維橫截面上橫截面上只有正應只有正應力無剪應力無剪應

3、力力縱向纖維間無擠壓作用縱向纖維間無擠壓作用彎曲應力彎曲應力/純彎曲時梁橫截面上的正應力純彎曲時梁橫截面上的正應力中性層中性層桿件彎曲變形時，其縱向線段既不伸長又不桿件彎曲變形時，其縱向線段既不伸長又不 縮短的曲面?？s短的曲面。中性軸中性軸中性層與橫截面的交線。中性層與橫截面的交線。4 4、平面截面假設、平面截面假設橫截面變形后保持為平面，只是橫截面變形后保持為平面，只是 繞中性軸旋轉(zhuǎn)了一角度。繞中性軸旋轉(zhuǎn)了一角度。彎曲應力彎曲應力/純彎曲時梁橫截面上的正應力純彎曲時梁橫截面上的正應力中性軸中性軸中性層中性層中性軸中性軸5 5、理論分析、理論分析（1 1）變形分布規(guī)律）變形分布規(guī)律變形后變形后

4、o o曲率中心，曲率中心，y任意縱向纖維至任意縱向纖維至中性層的距離中性層的距離 中性層中性層 的曲率半徑，的曲率半徑，21oo縱向纖維縱向纖維bb:變形前變形前 dxooab21d變形后變形后 ba dy)( 彎曲應力彎曲應力/純彎曲時梁橫截面上的正應力純彎曲時梁橫截面上的正應力ob a mmnndx1o2oaby所以縱向纖維所以縱向纖維ab的應變?yōu)榈膽優(yōu)?ababdxddy)(dydy橫截面上距中性軸為橫截面上距中性軸為y y處的軸向變形規(guī)律。處的軸向變形規(guī)律。曲率曲率),(1);(則則曲率曲率),(1);(則則.,1yC當當；時0,0y.,maxmax時yy(a)ob a mmnndx

5、1o2oaby（2 2）應力分布規(guī)律）應力分布規(guī)律在線彈性范圍內(nèi)，應用胡克定律在線彈性范圍內(nèi)，應用胡克定律(b)sEyE對一定材料，對一定材料，E為常數(shù)為常數(shù)；對一定截面，對一定截面，.1Cys橫截面上某點處的應力與此點距中性軸的距離橫截面上某點處的應力與此點距中性軸的距離y y成比例。成比例。當當；時0,0sy.,maxmaxss時yy應力為零的點的連線。應力為零的點的連線。彎曲應力彎曲應力/純彎曲時梁橫截面上的正應力純彎曲時梁橫截面上的正應力M（3 3）由靜力平衡方程確定中性軸的位置及應力計算公式）由靜力平衡方程確定中性軸的位置及應力計算公式z(中性軸中性軸)y(對稱軸對稱軸)xMMdAd

6、Ass由由 得得0 xFdAsA=0將將 代入，得代入，得0AdAyE0AydAE0zSE0zS因此因此z z軸通過截面形心軸通過截面形心，即，即中性軸通過形心中性軸通過形心。(c)彎曲應力彎曲應力/純彎曲時梁橫截面上的正應力純彎曲時梁橫截面上的正應力yEsAydA圖形對圖形對z軸的靜矩軸的靜矩zSAyScz靜力平衡條件靜力平衡條件, 0yF, 0zF0 xM自動滿足。自動滿足。考慮平衡條件考慮平衡條件0yM0yzI(d)zyxMdAdAss由于由于y y軸為截面的對稱軸軸為截面的對稱軸zdAMAy)(sAdAyzEAyzdAEAyzyzdAI圖形對圖形對y、z兩軸的慣性積兩軸的慣性積 可可

7、0； 0； 0；yzI若若y 和和z有一個對稱軸，則有一個對稱軸，則慣性積為零慣性積為零0考慮平衡條件考慮平衡條件MMzydAMAz)(sAdAyE2MdAyEA2MIEzzIzI為截面對中性軸的慣性矩。為截面對中性軸的慣性矩。(e)彎曲應力彎曲應力/純彎曲時梁橫截面上的正應力純彎曲時梁橫截面上的正應力zyxMdAdAss可得可得撓曲軸的曲率方程撓曲軸的曲率方程：zEIM1zEI抗彎剛度抗彎剛度。正應力的計算公式為正應力的計算公式為zIMys橫截面上最大正應力為橫截面上最大正應力為zIMymaxmaxsmax/ yIMzzWM彎曲應力彎曲應力/純彎曲時梁橫截面上的正應力純彎曲時梁橫截面上的正應

8、力,zEI 越大 梁的彎曲程度就越小maxyIWzz截面的截面的抗彎截面模量，抗彎截面模量，反映了截面反映了截面的幾何形狀、尺寸對強度的影響。的幾何形狀、尺寸對強度的影響。矩形、圓形截面對中性軸的慣性矩及抗彎截面模量：矩形、圓形截面對中性軸的慣性矩及抗彎截面模量：zz 豎放：豎放：,1213bhIz,1213hbIz261bhWzbhhb261hbWz平放：平放：若若hb, 則則 。zzWW 彎曲應力彎曲應力/純彎曲時梁橫截面上的正應力純彎曲時梁橫截面上的正應力zd,644dIz,323dWzdzD)(6444dDIz)1 (6444D)(Dd)1 (3243DWz彎曲應力彎曲應力/純彎曲時梁

9、橫截面上的正應力純彎曲時梁橫截面上的正應力由由純彎曲純彎曲推導得到的結(jié)果可推廣到推導得到的結(jié)果可推廣到橫力彎曲橫力彎曲的梁：的梁：(b) (b) 對對R/ /h55的曲率梁，可使用直梁公式。的曲率梁，可使用直梁公式。非純彎曲時的撓曲軸的曲率方程為：非純彎曲時的撓曲軸的曲率方程為：EIxMx)()(1正應力計算公式為正應力計算公式為yIxMx)()(s(a) 橫力彎曲的細長梁，即梁的寬高比橫力彎曲的細長梁，即梁的寬高比: :L/ /h55時，時， 其誤差不大；其誤差不大；彎曲應力彎曲應力/純彎曲時梁橫截面上的正應力純彎曲時梁橫截面上的正應力hR 注意注意：（1 1）在計算正應力前，）在計算正應力

10、前，必須弄清楚所要求的是哪個截必須弄清楚所要求的是哪個截面上的正應力面上的正應力，從而確定該截面上的彎矩及該截面對中從而確定該截面上的彎矩及該截面對中性軸的慣性矩性軸的慣性矩；以及；以及所求的是該截面上哪一點的正應力所求的是該截面上哪一點的正應力，并并確定該點到中性軸的距離確定該點到中性軸的距離。（2 2）要特別注意）要特別注意正應力在橫截面上沿高度呈線性分布正應力在橫截面上沿高度呈線性分布的規(guī)律的規(guī)律，在中性軸上為零，而，在中性軸上為零，而在梁的上下邊緣處正應力在梁的上下邊緣處正應力最大最大。彎曲應力彎曲應力/純彎曲時梁橫截面上的正應力純彎曲時梁橫截面上的正應力（4 4）必須熟記矩形截面、圓

11、形截面對中性軸的慣性矩）必須熟記矩形截面、圓形截面對中性軸的慣性矩 的計算式。的計算式。（3 3）梁在中性軸的兩側(cè)分別受拉或受壓，）梁在中性軸的兩側(cè)分別受拉或受壓，正應力的正正應力的正 負號（拉或壓）可根據(jù)彎矩的正負及梁的變形狀態(tài)來負號（拉或壓）可根據(jù)彎矩的正負及梁的變形狀態(tài)來 確定確定。彎曲應力彎曲應力/純彎曲時梁橫截面上的正應力純彎曲時梁橫截面上的正應力6 6、彎曲正應力強度條件：、彎曲正應力強度條件：maxmaxsszWM可解決三方面問題：可解決三方面問題：（1 1）強度校核強度校核，即已知，即已知 檢驗梁是否安全；檢驗梁是否安全；, ,maxzWMs（2 2）設計截面設計截面，即已知，

12、即已知 可由可由 確定確定 截面的尺寸；截面的尺寸；, ,maxsMmaxsMWz（3 3）求許可載荷求許可載荷，即已知，即已知 可由可由 確定。確定。, ,sZWmaxszWM彎曲應力彎曲應力/純彎曲時梁橫截面上的正應力純彎曲時梁橫截面上的正應力L=4mABq=0.5KN/m例例1 一簡支梁受力如圖所示。已知一簡支梁受力如圖所示。已知 ，空心圓截面，空心圓截面的內(nèi)外徑之比的內(nèi)外徑之比 ，試選擇截面直徑，試選擇截面直徑D；若外徑；若外徑D增加增加一倍，比值一倍，比值 不變，則載荷不變，則載荷 q 可增加到多大？可增加到多大？8 . 0DdMPa12s圖M(+)281qL彎曲應力彎曲應力/純彎曲

13、時梁橫截面上的正應力純彎曲時梁橫截面上的正應力解：解：2max81qLMmN.100 . 13由強度條件由強度條件)1 (3243DWzmaxsMmD113. 0若外徑若外徑D增加一倍，則增加一倍，則,226. 0mD 仍由強度條件，得仍由強度條件，得2max81qLMszW)1 (3243sDmKNq.0 . 4彎曲應力彎曲應力/純彎曲時梁橫截面上的正應力純彎曲時梁橫截面上的正應力例例2 已知已知 材料的材料的 ，已知：，已知： ，試校核其強度。，試校核其強度。mNM.102 . 15maxMPa70ss16281448解：解：（1 1）確定中性軸的位置）確定中性軸的位置CzyAS28 16

14、 14 8 10 (14 5)28 16 8 10 ASyzCcm13（2 2）求）求zW彎曲應力彎曲應力/純彎曲時梁橫截面上的正應力純彎曲時梁橫截面上的正應力zCzCy單位：單位：cm)1319(1018108121)1314(281628161212323zI426200 cm（3）正應力校核）正應力校核3max1748)1328(26200cmyIWzzMPaWMz65.68101748102 . 165maxs所以結(jié)構安全。所以結(jié)構安全。彎曲應力彎曲應力/純彎曲時梁橫截面上的正應力純彎曲時梁橫截面上的正應力對于對于T字形截面，字形截面，,max2max1yy則則,max11yIWzz1

15、maxmaxzWMs,2maxmaxzWMs對于對于低碳鋼低碳鋼等材料，等材料，,ss因此只需計算因此只需計算1maxmaxsszWM對于對于鑄鐵鑄鐵材料，材料，,ss因此需計算因此需計算1maxmaxsszWM,2maxmaxsszWM彎曲應力彎曲應力/純彎曲時梁橫截面上的正應力純彎曲時梁橫截面上的正應力zmax2ymax1ymax22yIWzz二、彎曲時的剪應力二、彎曲時的剪應力s 在有剪應力存在的情形下，在有剪應力存在的情形下， 彎曲正應力公式依然存在彎曲正應力公式依然存在s 剪應力方向與剪力的方向相同剪應力方向與剪力的方向相同( (與與截面截面?zhèn)冗吰叫袀?cè)邊平行)，并沿截面寬度方向切應力

16、均勻，并沿截面寬度方向切應力均勻分布分布（對于狹長的矩形截面適用）（對于狹長的矩形截面適用） 彎曲應力彎曲應力/彎曲時的剪應力彎曲時的剪應力彈性力學的研究表明當截面高度大于寬度時，材料力學彈性力學的研究表明當截面高度大于寬度時，材料力學關于切應力分布的假定是基本正確的。關于切應力分布的假定是基本正確的。（一）矩形截面（一）矩形截面LABF(+)(-)圖QFbh分析方法（截面法）：分析方法（截面法）：1 1、沿、沿 mm,nn 截面截開，截面截開， 取微段取微段dxdx。mmnndxmmnnQFQFMM+dMmmnntt1s2skl彎曲應力彎曲應力/彎曲時的剪應力彎曲時的剪應力zIMysM 圖m

17、nt1s2sklt2 2、沿、沿 kl 截面截開：截面截開：dx很小，在很小，在 kl 面上可認為均布。面上可認為均布。1NF2NFQF021NQNFFF3、列平衡方程，由、列平衡方程，由 ：0 xF即即0)(2121AAdAbdxdAsts彎曲應力彎曲應力/彎曲時的剪應力彎曲時的剪應力,11zIMyszIydMM12)(s代入得：代入得：01111AzAzdAyIdMMbdxdAyIMt11AzdAyIdMbdxt*zSzzbISdxdM*tQFzzQbISF*s sxyzs s1 1t t1 1t tb根據(jù)剪應力的互等定理根據(jù)剪應力的互等定理剪剪應力互等定理應力互等定理：微元體互垂平面上與

18、平面交線垂直的：微元體互垂平面上與平面交線垂直的切應力數(shù)值相等，方向為同時指向或離開交線。切應力數(shù)值相等，方向為同時指向或離開交線。ttSz 為y點以外的面積對中性軸之靜矩；0)(2121AAdAbdxdAstszzQbISF*tt（儒拉夫斯基公式）（儒拉夫斯基公式）式中符號意義：式中符號意義：t t：截面上距中性軸：截面上距中性軸y處的剪應力處的剪應力 ：y以外面積對中性軸的靜矩以外面積對中性軸的靜矩*zS ：整個截面對中性軸的慣性矩：整個截面對中性軸的慣性矩zIb：y處的寬度處的寬度bhzy 對于矩形：對于矩形：czyAS*cyc22)2(yhyyhb)4(222yhb彎曲應力彎曲應力/彎

19、曲時的剪應力彎曲時的剪應力3121bhIz而而)4(6223yhbhFQtt因此矩形截面梁橫截面上的因此矩形截面梁橫截面上的剪應力的大小沿著梁的高度按剪應力的大小沿著梁的高度按拋物線拋物線規(guī)律分布。規(guī)律分布。并且并且;0,2thybhFyQ23,0maxttAFQ23彎曲應力彎曲應力/彎曲時的剪應力彎曲時的剪應力實心截面梁的彎曲切應力誤差分析實心截面梁的彎曲切應力誤差分析FQ Sz*bIz彎曲應力彎曲應力/彎曲時的剪應力彎曲時的剪應力（四）（四）切應力強度條件切應力強度條件)(maxmax,maxttzzQISF對于等寬度截面，對于等寬度截面， 發(fā)生在中性軸上；對于寬度變化的截面，發(fā)生在中性軸

20、上；對于寬度變化的截面， 不一定發(fā)生在中性軸上。不一定發(fā)生在中性軸上。maxtmaxt在進行梁的強度計算時，需注意以下問題在進行梁的強度計算時，需注意以下問題：（1 1）對于細長梁的彎曲變形，正應力的強度條件是主要的，剪應）對于細長梁的彎曲變形，正應力的強度條件是主要的，剪應 力的強度條件是次要的。但對于較粗短的梁，當集中力較大力的強度條件是次要的。但對于較粗短的梁，當集中力較大 時，截面上的剪力較大而彎矩較小，或是薄壁截面梁時，也時，截面上的剪力較大而彎矩較小，或是薄壁截面梁時，也 需要較核剪應力強度。需要較核剪應力強度。彎曲應力彎曲應力/彎曲時的剪應力彎曲時的剪應力例例3 鑄鐵梁的截面為鑄

21、鐵梁的截面為T字形，受力如圖。已知材料許用拉應力字形，受力如圖。已知材料許用拉應力為為 ，許用壓應力為，許用壓應力為 ， 。試校核梁的正應力強度和剪應力強度。若將梁的截面倒置，情試校核梁的正應力強度和剪應力強度。若將梁的截面倒置，情況又如何？況又如何？MPa35tMPa100sMPa40sAB2m1m3mP=20KNECDq=10KN/m200mm30200mmyczzcyAyFByF約束反力：約束反力：,30KNFAy,10KNFBy200mm30200mmyczzcy解：解：（1 1）確定中性軸的位置）確定中性軸的位置CzyAS2320102035 .21203ASyzCcm75.1546

22、013 cm23)1075.15(203203121zI23 5 . 1)75.1520(320320121最大靜矩：最大靜矩：88. 775.153max,zS3372 cmAB2m1m3mP=20KNCDq=10KN/m（2 2）繪剪力圖、彎矩圖）繪剪力圖、彎矩圖AyFByF約束反力：約束反力：圖QF(+)(-)(-)20KN10KN10KN10KN.m圖QF圖M由由 、 知：知：,20max,KNFFQAQ左,.20mKNMAmKNMD.10,30KNFAy,10KNFBy（3）正應力強度校核）正應力強度校核對于對于A A截面：截面：A)(maxsA)(maxsz82max10013.

23、610) 325. 4()(AAMsMPa1 .24MPa1 .2482max10013. 61075.15)(AAMsMPa4 .52MPa4 .52200mm30200mmyczzcy對于對于D D截面：截面：82max10013. 61075.15)(DDMsMPa2 .2682max10013. 61025. 7)(DDMsMPa12D)(maxsD)(maxszMPa2 .26MPa12200mm30200mmyczzcyA)(maxsA)(maxszMPa1 .24MPa4 .52MpaMPaD402 .26)(maxmaxsssMpaMPaD1004 .52)(maxmaxsss

24、正應力強度足夠正應力強度足夠。因此因此（4 4）剪應力強度校核）剪應力強度校核在在A A截面：截面：zzQISFtmax,max,max56310013. 603. 0103721020MPa12. 4t剪應力強度足夠剪應力強度足夠。（5 5）若將梁的截面倒置，則）若將梁的截面倒置，則4 .52)(maxmaxsssMPaA此時強度不足會導致破壞。此時強度不足會導致破壞。yczzcyA)(maxszMPa1 .24A)(maxsMPa4 .52三、提高彎曲強度的一些措施三、提高彎曲強度的一些措施一般而言，彎曲一般而言，彎曲正應力對梁強度起主導作用，正應力對梁強度起主導作用，彎曲正應力強度條件：

25、彎曲正應力強度條件：maxmaxsszWM在在s s一定時，提高彎曲強度的主要途徑：一定時，提高彎曲強度的主要途徑：max,MWz（一）、選擇合理截面（一）、選擇合理截面（1 1）矩形截面中性軸附近的材）矩形截面中性軸附近的材 料未充分利用，工字形截料未充分利用，工字形截 面更合理。面更合理。1、根據(jù)應力分布的規(guī)律選擇：、根據(jù)應力分布的規(guī)律選擇：z（2 2）為降低重量，可在中性軸附近開孔。）為降低重量，可在中性軸附近開孔。彎曲應力彎曲應力/提高彎曲強度的一些措施提高彎曲強度的一些措施2、根據(jù)截面模量選擇：、根據(jù)截面模量選擇： 為了比較各種截面的合理性，以為了比較各種截面的合理性，以 來衡量。來

26、衡量。 越大，越大，截面越合理。截面越合理。AWzAWzAWz截面形狀截面形狀矩形矩形圓形圓形槽鋼槽鋼工字鋼工字鋼0.167h0.125d(0.270.31)h (0.270.31)h(d=h)彎曲應力彎曲應力/提高彎曲強度的一些措施提高彎曲強度的一些措施應該將材料盡可能分布在距中性軸較遠的地方應該將材料盡可能分布在距中性軸較遠的地方2、根據(jù)材料特性選擇：、根據(jù)材料特性選擇：塑性材料：塑性材料：,ss宜采用中性軸為對稱軸的截面。宜采用中性軸為對稱軸的截面。脆性材料：脆性材料：,ss宜采用中性軸為非對稱軸的截面，宜采用中性軸為非對稱軸的截面，例如例如T T字形截面：字形截面：ycz1y2y拉邊拉邊壓邊壓邊zzIMyIMy21maxmaxss21yyss即使最大拉、壓應力同時達到許用應力值。即使最大拉、壓應力同