南寧市優(yōu)秀教研成果課例評(píng)比

1、開發(fā)教材，開發(fā)學(xué)習(xí)空間基本不等式課例分析南寧市第八中學(xué) 馬錦蓮 2013年，廣西高中數(shù)學(xué)課程改革優(yōu)質(zhì)課評(píng)選活動(dòng)中，我以基本不等式為參賽 課題獲區(qū)一等獎(jiǎng)由此撰寫本文，嘗試以課例分析的方式，對(duì)高中數(shù)學(xué)新課程教學(xué)的 實(shí)施，進(jìn)行一些個(gè)人的實(shí)踐探索和理性思考一、教學(xué)設(shè)計(jì)觀點(diǎn)新教材對(duì)基本不等式 這一內(nèi)容做了全新的編寫和詮釋， 突顯了其獨(dú)特的價(jià)值： 從知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值上看，基本不等式是解決最值問題的一個(gè)重要工具；探索證明 它所應(yīng)用到數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合、抽象歸納、演繹推理、分析法證明等，在各 種不等式的研究中又均有著廣泛的應(yīng)用從內(nèi)容的人文價(jià)值上看， 基本不等式是從大量數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)問題中抽象出來的一個(gè)模型，需

2、要學(xué)生觀察、分析、歸納，是嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性、思辨性等思維鍛煉的重要載 體；公式的探索具有多角度性，可以為學(xué)生合作交流創(chuàng)設(shè)很好的平臺(tái)；它廣泛親近現(xiàn) 實(shí)生活的實(shí)用特點(diǎn)，又使它成為學(xué)生感受數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的重要窗戶因此，我對(duì)本節(jié)課定位為不僅僅探索發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)學(xué)公式，還應(yīng)以探索發(fā)現(xiàn)這個(gè)公 式為載體，與我國(guó)新課程理念和國(guó)際先進(jìn)教育觀念相接軌，以更高端的眼光著力于培 養(yǎng)影響學(xué)生今后發(fā)展的各方面能力，如邏輯推理、探索發(fā)現(xiàn)以及合作交流的能力二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)知識(shí)與技能目標(biāo)： 理解基本不等式的代數(shù)背景和幾何背景，掌握基本不等式及其 簡(jiǎn)單應(yīng)用；過程與方法目標(biāo)： 經(jīng)歷問題的探究解決過程，在現(xiàn)實(shí)或數(shù)學(xué)背景中，發(fā)現(xiàn)著名的 基本不

3、等式，并成功地演繹或分析推證；在形數(shù)統(tǒng)一的思考過程中獲得對(duì)基本不等式 深層次的理解和感悟情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)： 在自主探究中培養(yǎng)敢于挑戰(zhàn)的思維品質(zhì)；在小組探討中 增強(qiáng)合作交流、大膽展現(xiàn)的學(xué)習(xí)意識(shí)；同時(shí)在數(shù)學(xué)史背景中感受數(shù)學(xué)的文化，在現(xiàn)實(shí) 生活背景中體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用三、教學(xué)背景及重難點(diǎn)分析教材分析教材首先通過趙爽弦圖中面積的直觀比較，抽象出重要不等式a2b22ab；然后從換元論證、分析法證明、幾何解釋三個(gè)不同的角度去引導(dǎo)學(xué)生探究認(rèn)識(shí)基本不等 式，使得 基本不等式的探索證明成為本節(jié)課的核心和重點(diǎn) 學(xué)情分析教材從趙爽的弦圖切入，以此作為學(xué)生探究的邏輯起點(diǎn)，意圖應(yīng)在于，在初中利 用面積相等關(guān)系證明勾股定

4、理的基礎(chǔ)上，通過分析面積不等關(guān)系抽象出重要不等式然而，我和我的備課組團(tuán)隊(duì)，通過多個(gè)班級(jí)的教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，對(duì)于教材提出的， 在弦圖中“找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系”這個(gè)探究問題，學(xué)生都不同程度出現(xiàn)了探 究方向不清、探究要領(lǐng)不準(zhǔn)的情況，造成探究效果難以達(dá)到最佳分析下來，主要就 是由于學(xué)生知識(shí)上的遺忘或模糊，而由于本章前面不等式的學(xué)習(xí)，學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的 思維起點(diǎn)更明顯表現(xiàn)為是不等式的性質(zhì)和作差比較法同時(shí)，由于沒有基礎(chǔ)，學(xué)生對(duì)分析法感到陌生，加上基本不等式幾何證明中線段 間的關(guān)系比較隱蔽， 學(xué)生不易發(fā)現(xiàn)，因而本 節(jié)課的難點(diǎn)仍然是基本不等式的探索證明因此，為了更有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和思維的發(fā)展，我根據(jù)我校

5、學(xué)生的實(shí)際， 以教材內(nèi)容為藍(lán)本，大膽地對(duì)教材實(shí)行“二次開發(fā)” ，從學(xué)生的最近邏輯思維起點(diǎn)入 手，開發(fā)一條更切合我校學(xué)生實(shí)際的知識(shí)學(xué)習(xí)路線四、教學(xué)方法設(shè)計(jì)“學(xué)案導(dǎo)學(xué)”教學(xué)方式，即：將所學(xué)知識(shí)編成具有探索性的問題，以導(dǎo)學(xué)案的 方式為學(xué)生導(dǎo)航，學(xué)生按照導(dǎo)學(xué)案的學(xué)習(xí)導(dǎo)航，在課前通過自主鉆研、小組合作探討 或閱讀預(yù)習(xí)等途徑，自主實(shí)踐學(xué)習(xí)的全過程，真正上課時(shí)，達(dá)到帶著問題進(jìn)入課堂并 以對(duì)話交流方式展開師生共同研究的目的實(shí)質(zhì)就是希望轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，通過 引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，讓學(xué)生真正成為課堂學(xué)習(xí)的主人五、課堂結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)六、教學(xué)過程歷史介紹引入香港中文大學(xué)教育學(xué)院陳宇航： “大概由人類懂得分辨數(shù)量的大小開始，

6、不等式的概念已經(jīng)誕生了很久以前，不等式就已被應(yīng)用來解決日常生活的問題， 許多著名的不等式應(yīng)運(yùn)而生，后來理所當(dāng)然地成為數(shù)學(xué)理論里的研究對(duì)象 ” 設(shè)計(jì)意圖：簡(jiǎn)潔介紹，牽出不等式的由來文化， 營(yíng)造學(xué)生學(xué)習(xí)不等式的親和氛圍 學(xué)習(xí)與思考導(dǎo)引通過導(dǎo)學(xué)案的探究學(xué)習(xí)，各個(gè)學(xué)習(xí)小組在課前已經(jīng)形成了小組研究成果，因此， 在實(shí)施課堂教學(xué)時(shí)，我倡導(dǎo)各個(gè)學(xué)習(xí)小組針對(duì)導(dǎo)學(xué)案中 4 個(gè)探究問題，采用了積極主 動(dòng)展示研究成果的學(xué)習(xí)方式，去展現(xiàn)學(xué)生的主體性；而我則采用了課前閱讀學(xué)生導(dǎo)學(xué) 案并組織課堂對(duì)話交流的教學(xué)方式，去發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用探究 1：甲、乙兩人切分一塊正方形蛋糕，切分方法如圖 1他們分得的蛋糕一樣大嗎？如果不一樣

7、， 誰(shuí)分得的蛋糕大一些？你能用代數(shù)的方法證明你的判斷嗎？并請(qǐng)用 a、b 表示你的結(jié)論設(shè)計(jì)意圖： 兩個(gè)不等式結(jié)論都有著非常豐富的代數(shù)和幾何背景，我專門挑選了一 個(gè)蛋糕切分問題作為整個(gè)探究學(xué)習(xí)過程的起始，除了因?yàn)樗婢咝闻c數(shù)的特點(diǎn)以外， 尤為重要的是它以作差比較面積大小的方法就可發(fā)現(xiàn)重要不等式a2 b2 2ab，更切合學(xué)生最近的邏輯思維起點(diǎn)，由此開啟學(xué)生的探究思維探究 2：（初中八年級(jí)下）趙爽設(shè)計(jì)了以下（圖 2）弦圖在我國(guó)最早證明了著名的 勾股定理即由 S 正方形 ABCD 4SRtS 正方形 EFGH，得 c22ab （ab）2 2aba22ab b2a2b2趙爽的弦圖是否也體現(xiàn)了探究 1 的結(jié)

8、論？設(shè)計(jì)意圖： 在探究 1的導(dǎo)引下，學(xué)生對(duì)趙爽弦圖的探究具備了方向性，并且通過 導(dǎo)學(xué)案中勾股定理證明的回顧，學(xué)生探究意識(shí)的生成顯得自然、合理而對(duì)于教材提 到的，弦圖中“相等關(guān)系和不等關(guān)系”探討，我則通過會(huì)標(biāo)涵義的介紹、學(xué)生成果展 示和幾何畫板演示，巧妙地把它蘊(yùn)含在學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)和領(lǐng)略數(shù)學(xué)文化中例，會(huì)標(biāo)歷史及涵義介紹：三國(guó)時(shí)期東吳數(shù)學(xué)家趙爽通過設(shè)計(jì)弦圖，運(yùn)用面積出 入相補(bǔ)原理，在我國(guó)最早給出了勾股定理的理論證明，反映了我國(guó)古代數(shù)學(xué)以形證數(shù) 的獨(dú)特風(fēng)格， 體現(xiàn)了我國(guó)古人的聰明才智 2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)采用了趙爽的弦圖 作為會(huì)標(biāo)， 會(huì)標(biāo)正方形各邊相等， 表示來賓各國(guó)地位平等； 四個(gè)直角三角形緊密相

9、連，表明各國(guó)數(shù)學(xué)家密切合作，共同完成人類難題探究 3： 已知 a>0、b>0，若 a、 b的等差中項(xiàng)為 Aa、b 的等比中項(xiàng)為 G（G >0）請(qǐng)判斷 A 和G 的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論設(shè)計(jì)意圖： 多個(gè)班的教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，更多的學(xué)生是以作差比較法作為思維起點(diǎn)， 依次采用最多的是平方后作差、直接作差的方法，分析法和換元法有非常少的學(xué)生初 步涉及，我順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知思維，設(shè)計(jì)了依上述證明方法順序，讓不同的同學(xué)予以展 示的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生上述證明方法順次遞階中體會(huì)數(shù)學(xué)的求簡(jiǎn)思維探究 4：如圖3，AB 是圓的直徑，點(diǎn) C是AB 上一點(diǎn)，ACa，BCb，過點(diǎn) C 作垂直于 AB 的弦 DE，連

10、接 AD 、BD通過比較 AB 和 DE 這兩條線段的長(zhǎng)度你能否 對(duì)探究 3 的結(jié)論給出一個(gè)幾何解釋設(shè)計(jì)意圖： 我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)基本不等式的幾何解釋存在較大的探究難度，因此， 我把探究 4的問題設(shè)定為“通過比較 AB 和 DE 這兩條線段的長(zhǎng)度你能否對(duì)探究 3的 結(jié)論給出一個(gè)幾何解釋” 通過多搭設(shè)一級(jí)臺(tái)階降低探究難度，達(dá)到活躍學(xué)生的探究 思維的目的思考導(dǎo)引 ：通過以上探究，你又能得出什么結(jié)論？對(duì)探索證明結(jié)論所用的方法你 有什么感悟？設(shè)計(jì)意圖 ：歸納兩個(gè)不等式結(jié)論，感悟形數(shù)統(tǒng)一研究數(shù)學(xué)問題的思想應(yīng)用導(dǎo)引你能否利用你的探究結(jié)論解釋以下數(shù)碼產(chǎn)品問題嗎？平板電腦的屏幕尺寸指的是其矩形屏幕對(duì)角線的長(zhǎng)度 例

11、如：屏幕尺寸為 9 英寸的平板電腦，通過單位換算，指的是其矩形屏 幕對(duì)角線的長(zhǎng)度約為 23cm那么當(dāng)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬滿足什么條件時(shí)，這個(gè)平板電 腦的屏幕面積最大？設(shè)計(jì)意圖 ：水到渠成應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值總結(jié)導(dǎo)引通過本節(jié)課學(xué)習(xí)， 請(qǐng)嘗試歸納、 反思自己有哪些收獲？并和大家一起交流、 分享 設(shè)計(jì)意圖 ：讓學(xué)生能再更好地體會(huì)小組交流合作對(duì)自己能力提升的幫助，讓大家 在交流中分享收獲，在分享中獲得提高并努力通過我的點(diǎn)評(píng)，幫助學(xué)生站在更高層 面上看待自己在知識(shí)、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)等方面上的收獲和感悟拓展導(dǎo)引1資源鏈接：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考 2004年 11 期：面對(duì)他們，我們驚嘆

12、不已均值不等 式定理的證明；數(shù)學(xué)博物館網(wǎng)站：趙爽、歐幾里得等相關(guān)介紹2課后思考： 如圖，梯形 ABCD 中，線段 M 1N1、M2N2、 M 3N3、M 4N4 均與梯形上下底邊 AB、CD 平行 M 1N1等分梯形 面積，M2N2 是 梯形 中位 線， M3N3 把梯形分成兩個(gè)梯形 AM3N3BM3DCN3，M4N4過梯形對(duì)角線 AC 與 BD 的交點(diǎn) O根據(jù)圖形，比較線段 M1N1、M2N2、M3N3、M4N4 長(zhǎng)度的大小，用關(guān)于 a、b的不等式表 示，并給出代數(shù)證明設(shè)計(jì)意圖 ：向?qū)W生推薦了相關(guān)文章和網(wǎng)站以進(jìn)一步拓寬學(xué)生的視野，利用梯形性 質(zhì)探究均值不等式鏈，即調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)算術(shù)平均

13、數(shù)平方平均數(shù)，進(jìn)一 步加深對(duì)兩個(gè)不等式結(jié)論的理解和數(shù)形結(jié)合思想的體會(huì)七、教學(xué)反思1、“二次開發(fā)”教材，轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，開發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的空間 增強(qiáng)數(shù)學(xué)課程實(shí)施能力是當(dāng)前數(shù)學(xué)教師專業(yè)化成長(zhǎng)的主要任務(wù) “課程實(shí)施的技 術(shù)化、程序化被徹底消除了，課程實(shí)施不再是原初的課程計(jì)劃按圖索驥的過程或稍事 修改的過程，而是一個(gè)真正的創(chuàng)造過程” 1，教師需結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況和需要，對(duì)教材 進(jìn)行調(diào)適和重新開發(fā)補(bǔ)充， 使之更適合學(xué)生的學(xué)習(xí)和學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變及學(xué)生學(xué)習(xí)方法 的培養(yǎng)；在具體的課程情境中，通過教師和學(xué)生的合作探究、自由對(duì)話和批判反思等 的創(chuàng)造，形成新的教育經(jīng)驗(yàn)，從而實(shí)現(xiàn)教師和學(xué)生個(gè)性持續(xù)的成長(zhǎng)和完善。因此，在本節(jié)課中，我大膽地根據(jù)學(xué)生認(rèn)識(shí)和成長(zhǎng)的需要，對(duì)教材實(shí)行了“二次 開發(fā)”的探索，以教材為藍(lán)本而又不局限于文本性資源，通過選擇、改編、拓展、整 合等方式對(duì)教材進(jìn)行了重新的詮釋，最終目的，轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，最優(yōu)化地開發(fā) 學(xué)生自主學(xué)習(xí)的空間2、對(duì)新課程