橢圓的簡單幾何性質(一)

1、主講：李小梅主講：李小梅橢圓的定義橢圓的定義圖形圖形標準方程標準方程a,b,c的關系的關系 1 12 2yoFFPx1oFyx2FP22221 0 xyabab22221 0yxabab 橢橢圓落在圓落在x=x=a,ya,y= = b b組成的矩形組成的矩形中：中： oyB1B2A1A2F1F2cab一、范圍：一、范圍：觀察觀察: :橢圓橢圓 22221xyab 222222221010 xyyxabba 由，22221,1xyab,axabyb x2212516xy練習練習1 1、口答下列橢圓的范圍?？诖鹣铝袡E圓的范圍。YXOP（x，y）P2（-x，y）P3（-x，-y）P1（x，-y）22

2、221(0)xyabab關于x軸對稱關于y軸對稱關于原點對稱二、橢二、橢圓對稱性圓對稱性橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。222222.2.40.45. 94A xyB yxC xyxDxy練習練習2 2、D下列方程所表示的曲線中，關下列方程所表示的曲線中，關于原點對稱的是（于原點對稱的是（ ）三、橢圓的頂點三、橢圓的頂點22221(0)，xyabab在中令 x=0，得 y=？，說明橢圓與 y軸的交點（ ）， 令 y=0，得 x=？, 說明橢圓與 x軸的交點（ ） oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1(-a,0)A2(a,0)0, ba, 0* *長軸：線段長軸：線段A A1 1A A

3、2 2 ，等于，等于2a2aa a叫做橢圓的叫做橢圓的長半軸長長半軸長；b b叫做橢圓的叫做橢圓的短半軸長短半軸長。* *短軸短軸: : 線段線段B B1 1B B2 2 ，等于，等于2b2b14922yx標及長軸和短軸長。口答下列橢圓的頂點坐練習練習3 3、( 3,0),(3,0),(0, 2),(0,2)64頂點是：長軸長是: 短軸長是: 練習練習4 4、 畫出下列橢圓的草圖畫出下列橢圓的草圖1162522yx142522yx（1）（2）B2 123-1-2-3-44yA1 A2 B1 1 2 345-1-5-2-3-4x0123-1-2-3-44yB1 A2 B2 A1 1 2 345-

4、1-5-2-3-4x0問題：圓的形狀都是相同的，而橢圓 卻有些比較“扁”，有些比較 “圓”，用什么樣的量來刻畫 橢圓“扁”的程度呢？四四、橢圓的離心率、橢圓的離心率ace 離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：叫做橢圓的離心率。 2e2e對對橢圓形狀的影響：橢圓形狀的影響：ac0,1 0，即0ee e越小，橢圓越圓越小，橢圓越圓。1.求橢圓 16 x2 + 25y2 =400的長軸和短軸的長、離心率、 焦點和頂點坐標。解：把已知方程化成標準方程1452222yx31625,4,5cba橢圓的長軸長是:離心率:30.65cea焦點坐標是:12(3, 0),(3, 0)FF四個頂點坐標是:1212( 5

5、,0),(5,0),(0,4),(0,4)AABB橢圓的短軸長是:2a=102b=8鞏固練習：鞏固練習：12422yx2 2、點、點 在在 的內部，則的內部，則a a的取值范圍的取值范圍 是是（ ）1 ,aA.22.2AaDa 2.22. 1B aaDa或 - 13. 3. 中心在原點，焦點在中心在原點，焦點在x x軸上，長軸、短軸的軸上，長軸、短軸的長長 分分別為別為8 8和和6 6的橢圓方程為的橢圓方程為 （ ） 4.4.如果一個橢圓短軸上的一個頂點與兩個焦點構如果一個橢圓短軸上的一個頂點與兩個焦點構 成一個正三角形，則這個橢圓的離心率為成一個正三角形，則這個橢圓的離心率為 （ ）A221

6、169xy125.已知橢圓 的離心率 ， 求 的值. 19822ykx21ek6.橢圓的一個頂點為 ,其長軸長是短軸長 的2倍，求橢圓的標準方程02，A5.已知橢圓 的離心率 ，求 的值 。19822ykx21ek21e4k由由 ，得：得：解解：1 1）當）當橢圓的焦點橢圓的焦點在在x x軸上時，軸上時，得得 82 ka92b12 kc 2)2)當當橢圓的焦點橢圓的焦點在在y y軸上時，得軸上時，得 92a82 kbkc1221e4191 k45k由由 ，得得 ，即即 滿足條滿足條件件k k的的為為 或或 4k45k6.橢圓的一個頂點為 ,其長軸長是短軸長 的2倍，求橢圓的標準方程02，A分析

7、：題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置. 橢圓的標準方程為：橢圓的標準方程為： 11422yx橢圓的標準方程為：橢圓的標準方程為： 116422yx綜上所述，橢圓的標準方程是綜上所述，橢圓的標準方程是 或或 . . 11422yx116422yx解解: :（1 1）當）當A(2,0)A(2,0)為長軸端點時為長軸端點時, a=2,b=1, a=2,b=1（2 2）當）當A(2,0)A(2,0)為短軸端點時為短軸端點時, b=2,a=4, b=2,a=4定定 義義圖圖 形形方方 程程范范 圍圍對稱性對稱性頂頂 點點離心率離心率22221 0 xyabab22221 0yxabab(a,0)、(0,b)|x| a |