qhdx1_5 極限運算法則

1、4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 101111.5 1.5 極限運算法則極限運算法則一、一、 無窮小運算法則無窮小運算法則二、二、 極限的四則運算法則極限的四則運算法則三、三、 復合函數(shù)的極限運算法則復合函數(shù)的極限運算法則Page 2時時, 有有,min21一、一、 無窮小運算法則無窮小運算法則定理定理1. 有限個無窮小的和還是無窮小有限個無窮小的和還是無窮小 .證證: 考慮兩個無窮小的和考慮兩個無窮小的和 . 設設,0lim0 xx,0lim0 xx,0,01當當100 xx時時 , 有有2, 02當當200 xx時時 , 有有2取取則當則當00 xx2

2、2因此因此.0)(lim0 xx這說明當這說明當0 xx 時時,為無窮小量為無窮小量 .Page 3說明說明: 無限個無窮小之和不一定是無窮小無限個無窮小之和不一定是無窮小 !例如，例如，nnnnnn2221211lim1類似可證類似可證: 有限個有限個無窮小之和仍為無窮小無窮小之和仍為無窮小 . Page 4定理定理2 . 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . 證證: 設設, ),(10 xxMu 又設又設,0lim0 xx即即,0,02當當),(20 xx時時, 有有M取取,min21則當則當),(0 xx時時 , 就有就有uuMM故故,0lim0uxx即即u是

3、是0 xx 時的無窮小時的無窮小 .推論推論 1 . 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 .推論推論 2 . 有限個無窮小的乘積是無窮小有限個無窮小的乘積是無窮小 .Page 5oyx例例1. 求求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理利用定理 2 可知可知.0sinlimxxxxxysin說明說明 : y = 0 是是xxysin的漸近線的漸近線 .Page 6二、二、 極限的四則運算法則極限的四則運算法則,)(lim,)(limBxgAxf則有則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證證: 因因,)(lim,)(limBxgAxf則有則

4、有BxgAxf)(,)(其中其中,為無窮小為無窮小) 于是于是)()()()(BAxgxf)()(BA由定理由定理 1 可知可知也是無窮小也是無窮小, 再利用極限與無窮小再利用極限與無窮小BA的關系定理的關系定理 , 知定理結論成立知定理結論成立 .定理定理 3 . 若若Page 7推論推論: 若若,)(lim,)(limBxgAxf且且),()(xgxf則則.BA)()()(xgxfx利用保號性定理證明利用保號性定理證明 .說明說明: 定理定理 3 可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形 .提示提示: 令令Page 8定理定理 4 . 若若,)(lim,)(limB

5、xgAxf則有則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf提示提示: 利用極限與無窮小關系定理及本節(jié)定理利用極限與無窮小關系定理及本節(jié)定理2 證明證明 .說明說明: 定理定理 4 可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形 .推論推論 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 為常數(shù)為常數(shù) )推論推論 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 為正整數(shù)為正整數(shù) )例例2. 設設 n 次多項式次多項式,)(10nnnxaxaaxP試證試證).()(lim00 xPxPnnxx證證:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPnB

6、APage 9為無窮小為無窮小B2B1)(1xg)(0 xx定理定理 5 . 若若,)(lim,)(limBxgAxf且且 B0 , 則有則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證證: 因因,)(lim,)(limBxgAxf有有,)(,)(BxgAxf其中其中,設設BAxgxf)()(BABA)(1BB)(AB無窮小無窮小有界有界BA因此因此由極限與無窮小關系定理由極限與無窮小關系定理 , 得得BAxgxf)()(lim)(lim)(limxgxfBAxgxf)()(為無窮小為無窮小,Page 10定理定理6 . 若若lim, lim,nnnnxAyB 則有則有(1) lim(

7、)nnnxy (2) limnnnx y (3)00,nyB 當當且且時時limnnnxAyB AB AB 提示提示: 因為數(shù)列是一種特殊的函數(shù)因為數(shù)列是一種特殊的函數(shù) , 故此定理故此定理 可由可由定理定理3 , 4 , 5 直接得出結論直接得出結論 .Page 11 x = 3 時分母為時分母為 0 !31lim3xxx例例3. 設有分式函數(shù)設有分式函數(shù),)()()(xQxPxR其中其中)(, )(xQxP都是都是多項式多項式 ,0)(0 xQ試證試證: . )()(lim00 xRxRxx證證: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0

8、 xR說明說明: 若若,0)(0 xQ不能直接用商的運算法則不能直接用商的運算法則 .例例4.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231 若若Page 12例例5 . 求求.4532lim21xxxx解解: x = 1 時時3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母分母 = 0 , 分子分子0 ,但因但因Page 13例例6 . 求求.125934lim22xxxxx解解: x時時,分子分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以分子分母同除以,2x則則54分母分母“ 抓大頭抓大頭”原式原式Page 14一般有如

9、下結果：一般有如下結果：為非負常數(shù)為非負常數(shù) )nmba,0(00mn 當mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 當mn 當Page 15三、三、 復合函數(shù)的極限運算法則復合函數(shù)的極限運算法則定理定理7. 設設,)(lim0axxx且且 x 滿足滿足100 xx時時,)(ax 又又,)(limAufau則有則有 )(lim0 xfxxAufau)(lim證證: Aufau)(lim,0,0當當au0時時, 有有 Auf)(axxx)(lim0,0,02當當200 xx時時, 有有ax)(對上述對上述取取,min21則當則當00 xx時時ax )(au 故故0

10、( )fxA Auf)(,因此因此式成立式成立.Page 16定理定理7. 設設,)(lim0axxx且且 x 滿足滿足100 xx時時,)(ax 又又,)(limAufau則有則有 )(lim0 xfxxAufau)(lim 說明說明: 若定理中若定理中,)(lim0 xxx則類似可得則類似可得 )(lim0 xfxxAufu)(limPage 17例例7. 求求解解: 令令.93lim23xxx932xxu已知已知ux3lim61 原式原式 =uu61lim6166Page 18例例8 . 求求解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 則則, 1lim1ux令令11112uuxx1

11、u 原式原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2Page 19內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 極限運算法則極限運算法則(1) 無窮小運算法則無窮小運算法則(2) 極限四則運算法則極限四則運算法則(3) 復合函數(shù)極限運算法則復合函數(shù)極限運算法則注意使用條件注意使用條件2. 求函數(shù)極限的方法求函數(shù)極限的方法(1) 分式函數(shù)極限求法分式函數(shù)極限求法0) 1xx 時時, 用代入法用代入法( 分母不為分母不為 0 )0)2xx 時時, 對對00型型 , 約去公因子約去公因子x)3時時 , 分子分母同除最高次冪分子分母同除最高次冪 “ 抓大頭抓大

12、頭”(2) 復合函數(shù)極限求法復合函數(shù)極限求法設中間變量設中間變量Page 20思考及練習思考及練習1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在是否存在 ? 為什么為什么 ?答答: 不存在不存在 . 否則由否則由)()()()(xfxgxfxg利用極限四則運算法則可知利用極限四則運算法則可知)(limxg存在存在 , 與已知條件與已知條件矛盾矛盾.?321lim2222nnnnnn解解: 原式原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.問問Page 213. 求求. )1(lim2xxxx解法解法 1 原式原式 =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令令,1xt tttt1111lim2021則則原式原式 =22011limttt111lim20tt 0tPage 224. 試確定常數(shù)試確定常數(shù) a 使使.0)1(lim33xaxx解解 : 令令,1xt 則則tatt33011lim001