大學物理 力矩 轉動定律 轉動慣量

1、第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動4 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量Pz*OFdFrMsinMFrd : 力臂力臂d 剛體繞剛體繞 O z 軸旋轉軸旋轉 , 力力 作用在剛體上點作用在剛體上點 P , 且在轉動且在轉動平面內平面內, 為由點為由點O 到力的到力的作用點作用點 P 的徑矢的徑矢 . FrFrM 對轉軸對轉軸 Z 的力矩的力矩 F0,0iiMF0,0iiMFFFFF 一一 力矩力矩(Torque) M第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動4 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量zOkFr討論討論FFFzFrkMzsin rFMzzFF 1）若力若力 不在轉

2、動平面內，把力分解為平行和垂不在轉動平面內，把力分解為平行和垂直于轉軸方向的兩個分量直于轉軸方向的兩個分量 F2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和321MMMM 其中其中 對轉軸的力對轉軸的力矩為零，故矩為零，故 對轉軸的對轉軸的力矩力矩zFF第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動4 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量3） 剛體內作用力和剛體內作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動4 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量Ormz二二 轉動定律轉動定律(

3、Law of Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis)FtFnFsinrFM mrmaFFttsin2iejjjjrmMM2）剛體剛體質量元受質量元受外外力力 ，內內力力jFejFiM 1）單個質點單個質點 與轉與轉軸剛性連接軸剛性連接m外外力矩力矩內內力矩力矩2tmrrFMOzjmjrjFejFi第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動4 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量 剛體定軸轉動的角加速度與它所受的剛體定軸轉動的角加速度與它所受的合外力矩合外力矩成成正比正比 ，與剛體的，與剛體的轉動慣量轉動慣量成反比成反比 .rmMMjjjjj

4、j2ie0jijjiijMMM)rmMjjjj2e( 轉動定律轉動定律JM 2jjjrmJ定義轉動慣量定義轉動慣量(Moment of Inertia)mrJd2OzjmjrjFejFi第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動4 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量mrJrmJjjjd,22三三 轉動慣量轉動慣量 物理物理意義意義：轉動慣性的量度：轉動慣性的量度 . 質量離散分布剛體的轉動慣量質量離散分布剛體的轉動慣量2222112rmrmrmJjjj轉動慣性的計算方法轉動慣性的計算方法 質量連續(xù)分布剛體的轉動慣量質量連續(xù)分布剛體的轉動慣量mrrmJjjjd22：質量元：質量元mdJM

5、第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動4 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量 1、轉動慣量的大小取決于剛體的、轉動慣量的大小取決于剛體的質量及其分布質量及其分布、形形狀及轉軸的位置狀及轉軸的位置 .注意注意2、轉動慣量是描述剛體在轉動中的慣性大小的物、轉動慣量是描述剛體在轉動中的慣性大小的物理量。地位等同于質點力學中質點的質量。理量。地位等同于質點力學中質點的質量。3、轉動慣量的單位是、轉動慣量的單位是 ，量綱是，量綱是ML22mkg第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動4 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量lO O 解解 設棒的線密度為設棒的線密度為 ，取一距離轉軸，取一

6、距離轉軸 OO 為為 處的質量元處的質量元 rrmddlrrJ02drd32/2/2121dlrrJll231mlrrrmrJddd22 例例1 一一質量為質量為 、長為長為 的的均勻細長棒，求均勻細長棒，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉動慣量通過棒中心并與棒垂直的軸的轉動慣量 .mlrd2l2lO O2121ml如轉軸過端點垂直于棒如轉軸過端點垂直于棒第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動4 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量OROR4032d2RrrJRr dr 例例2 一質量為一質量為 、半徑為、半徑為 的均勻圓盤，求通的均勻圓盤，求通過盤中心過盤中心 O 并與盤面垂直的軸的轉動

7、慣量并與盤面垂直的軸的轉動慣量 .mR 解解 設圓盤面密度為設圓盤面密度為 ，在盤上取半徑為在盤上取半徑為 ，寬為，寬為 的圓環(huán)的圓環(huán)rrd2()mR而而rrmd2d圓環(huán)質量圓環(huán)質量221mRJ 所以所以rrmrJd2dd32圓環(huán)對軸的轉動慣量圓環(huán)對軸的轉動慣量第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動4 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量 例例3 質量為質量為 的物體的物體 A 靜止在光滑水平面上，靜止在光滑水平面上，和一質量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為和一質量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為 R、質、質量為量為 的圓柱形滑輪的圓柱形滑輪 C，并系在另一質量為，并系在另一質量為

8、 的物的物體體 B 上上. 滑輪與繩索間沒有滑動，滑輪與繩索間沒有滑動， 且滑輪與軸承間的摩且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計擦力可略去不計. 問：（問：（1） 兩物體的線加速度為多少？兩物體的線加速度為多少？水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（2）物體）物體 B 從從BmCm靜止落下距離靜止落下距離 時，時，其速率是多少？其速率是多少？（若水平面不光滑又（若水平面不光滑又如何？）如何？）yAmABCAmBmCm第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動4 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量ABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyOT2FB

9、PBm21,2caRJm RamFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2 解解 （1）隔離物體分）隔離物體分別對物體別對物體A、B 及滑輪作及滑輪作受力分析，取坐標如圖，受力分析，取坐標如圖，運用牛頓第二定律運用牛頓第二定律 、轉、轉動定律列方程動定律列方程 . T2FT1FCPCF第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動4 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF如令如令 ，可得，可得0CmBABAT2T1mmgmmFF（2） B由靜止出發(fā)作勻加速直線運動，下落的速率由靜止出發(fā)作勻加速直線運動，

10、下落的速率2/22CBABmmmgymayvABCAmBmCmT1FT2F第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動4 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量 例例4 一長為一長為 質量為質量為 勻質細桿豎直放置，其勻質細桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈下端與一固定鉸鏈 O 相接，并可繞其轉動相接，并可繞其轉動 . 由于此由于此豎直放置的細桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當其受到微小豎直放置的細桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當其受到微小擾動時，細桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈擾動時，細桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O 轉轉動動 .試計算細桿轉動到與豎直線成試計算細桿轉動到與豎直線成 角時的角加速度角時的角加

11、速度和角速度和角速度 .lm 解解 細桿受重力和細桿受重力和鉸鏈對細桿的約束力鉸鏈對細桿的約束力作用，由轉動定律得作用，由轉動定律得NFJmglsin21第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動4 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量式中式中231mlJ ddddddddtt得得sin23lg由角加速度的定義由角加速度的定義dsin23dlg代入初始條件積分代入初始條件積分 得得)cos1 (3lgJmglsin21第四章第四章 剛體的轉動剛體的轉動4 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量225ImR證明：如圖所示，在坐標證明：如圖所示，在坐標z處取高為處取高為dz的小圓柱作的小圓柱作為質元為質元23,43mdmr dzR222232423()4331()45RRRRmJz dmzRzdzRzzmd