數(shù)學(xué)模型報告

1、匯報人：何平安數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院應(yīng)數(shù)15-5班A題 系泊系統(tǒng)的設(shè)計 近淺海觀測網(wǎng)的傳輸節(jié)點由浮標(biāo)系統(tǒng)、系泊系統(tǒng)和水聲通訊系統(tǒng)組成（如圖1所示）。某型傳輸節(jié)點的浮標(biāo)系統(tǒng)可簡化為底面直徑2m、高2m的圓柱體，浮標(biāo)的質(zhì)量為1000kg。系泊系統(tǒng)由鋼管、鋼桶、重物球、電焊錨鏈和特制的抗拖移錨組成。錨的質(zhì)量為600kg，錨鏈選用無檔普通鏈環(huán)，近淺海觀測網(wǎng)的常用型號及其參數(shù)在附表中列出。鋼管共4節(jié)，每節(jié)長度1m，直徑為50mm，每節(jié)鋼管的質(zhì)量為10kg。要求錨鏈末端與錨的鏈接處的切線方向與海床的夾角不超過16度，否則錨會被拖行，致使節(jié)點移位丟失。水聲通訊系統(tǒng)安裝在一個長1m、外徑30cm的密封圓柱形鋼桶內(nèi)

2、，設(shè)備和鋼桶總質(zhì)量為100kg。鋼桶上接第4節(jié)鋼管，下接電焊錨鏈。鋼桶豎直時，水聲通訊設(shè)備的工作效果最佳。若鋼桶傾斜，則影響設(shè)備的工作效果。鋼桶的傾斜角度（鋼桶與豎直線的夾角）超過5度時，設(shè)備的工作效果較差。為了控制鋼桶的傾斜角度，鋼桶與電焊錨鏈鏈接處可懸掛重物球。圖1 傳輸節(jié)點示意圖（僅為結(jié)構(gòu)模塊示意圖，未考慮尺寸比例） 問題1 某型傳輸節(jié)點選用II型電焊錨鏈22.05m，選用的重物球的質(zhì)量為1200kg?，F(xiàn)將該型傳輸節(jié)點布放在水深18m、海床平坦、海水密度為1.025103kg/m3的海域。若海水靜止，分別計算海面風(fēng)速為12m/s和24m/s時鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜角度、錨鏈形狀、浮標(biāo)的吃水

3、深度和游動區(qū)域。 問題2 在問題1的假設(shè)下，計算海面風(fēng)速為36m/s時鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜角度、錨鏈形狀和浮標(biāo)的游動區(qū)域。請調(diào)節(jié)重物球的質(zhì)量，使得鋼桶的傾斜角度不超過5度，錨鏈在錨點與海床的夾角不超過16度。問題分析 問題1分析：題目要求我們在已知水深和重物球質(zhì)量等的情況下分別求出風(fēng)速為12m/s和24m/s時鋼管的傾斜角度和錨鏈形狀以及浮標(biāo)游動區(qū)域和吃水深度，為解決該問題，我們以鋼桶下端為界將該系統(tǒng)分為兩部分來分析。錨及錨鏈作為一部分，我們通過建立懸鏈線模型和優(yōu)化模型并利用遺傳算法求出錨鏈的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)；鋼桶及以上物體作為第二部分，我們通過受力分析建立物理模型，從而求出鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜

4、角度、浮標(biāo)的吃水深度和游動范圍。 問題2分析：題目要求我們在問題一的基礎(chǔ)上計算出風(fēng)速為36m/s時鋼管的傾斜角度和錨鏈的形狀以及浮標(biāo)游動區(qū)域和吃水深度，當(dāng)僅有風(fēng)速增大為另一數(shù)值時，首先可以利用問題一中的模型求出上述物體的狀態(tài)；另外，當(dāng)要求改變重物球的質(zhì)量以使通訊設(shè)備傳輸效果良好時，我們采用問題一中模型計算鋼桶傾斜角為5度和錨與錨鏈之間的夾角為16度時這個臨界狀態(tài)下重物球的質(zhì)量，當(dāng)浮標(biāo)剛好沉下去時所求的質(zhì)量是重物球質(zhì)量的上界，當(dāng)重物球質(zhì)量在這兩個臨界狀態(tài)之間時均符合要求。模型假設(shè)（1）假設(shè)忽略錨鏈的伸縮性。 （2）假設(shè)錨鏈、鋼桶、鋼管的質(zhì)量分布均勻。 （3）假設(shè)忽略錨、錨鏈、鋼桶、重物球、浮標(biāo)在

5、水中的浮力。（4）假設(shè)風(fēng)向水平向右、河床平坦、用輕繩懸掛重物球。符號說明模型建立與求解 在本問題中，我們采用了三個模型： (1)懸鏈線模型：用于描繪錨鏈的形狀。 (2)優(yōu)化模型：可以簡單卻又比較精確地計算出錨鏈的關(guān)鍵參數(shù)。 (3)物理模型：主要采用整體法和隔離法，通俗易懂的計算出了鋼管、鋼桶的傾斜角度和浮標(biāo)的吃水深度。模型準(zhǔn)備 當(dāng)風(fēng)速為0時，該模型處于靜止?fàn)顟B(tài)(如下圖所示),對該系統(tǒng)進行受力可知浮標(biāo)所受浮力等于鋼管、鋼桶和重物球的重力之和。由此可得以下方程組：(設(shè)鋼管長度為a米，錨鏈被拉起的部分為l米,浮標(biāo)吃水深度為d米)模型一 懸鏈線模型 通過文獻可知，對于錨鏈形狀，一般采用懸鏈線模型或二次

6、曲線模型來擬合。經(jīng)過分析比較，當(dāng)錨鏈與水平面的夾角大于16度時，用二次曲線模擬比較粗糙，因此我們選用了精度較高的懸鏈線模型來擬合錨鏈形狀，因不清楚錨鏈?zhǔn)欠裼信c地面相切的部分，故如上圖所示，設(shè)L為與地面相切的部分的長度，以O(shè)點為原點建立直角坐標(biāo)系。并設(shè)錨鏈的方程為(表示錨鏈的線密度,H表示錨受到的水平向左的拉力大小,Fn是風(fēng)給浮標(biāo)的力)： 因不清楚錨鏈?zhǔn)欠裼信c地面相切的部分，故如上圖所示，設(shè)L為與地面相切的部分的長度，以O(shè)點為原點建立直角坐標(biāo)系。并設(shè)錨鏈的方程為：簡單對整個傳輸節(jié)點系統(tǒng)進行受力分析，在水平方向上錨所受的水平向左的摩擦力和浮標(biāo)受到的向右的風(fēng)力平衡即H=F，再將=7(kg/m),g代

7、入方程。又顯然有x=0,y=0，故錨鏈的形狀方程為: 在錨鏈伸縮不計的假設(shè)前提下，顯然有錨鏈的總長度(22.05m)減去錨鏈與地面相切部分的長度L等于懸鏈線在區(qū)間0,x$_0$上的弧微分，即為了方便計算我們把以錨鏈、x軸以及懸掛重物球的輕繩所在直線圍成的封閉圖形近似看做直角三角形。而后我們將近似情況與真實情況下錨鏈的長度進行對比，如下圖：模型二物理模型 模型的建立與求解為了求出鋼桶和各鋼管之間的傾斜角度，我們采用隔離法對上半部分物體之間結(jié)點的受力情況進行分析,發(fā)現(xiàn)它們的受力情況相似,均只受到拉力和重力的作用,于是我們就采用迭代的思想來解出鋼桶和各鋼管之間的傾斜角度。1.隔離法首先我們對浮標(biāo)和各

8、鋼管之間的節(jié)點以及鋼桶兩端的節(jié)點進行受力分析，如下圖，可以得出： 其次，以鋼桶與鋼管處的節(jié)點為研究對象進行受力分析，如下圖，可以得出： 再以鋼桶和和錨鏈處的節(jié)點為研究對象進行受力分析，如下圖，可以得出： 2.整體法模型三優(yōu)化模型 通過以上分析，一方面，我們只得到了關(guān)于x0和L的一個的等式（3），無法精確求出兩者的值；另一方面，由題目中所給的條件，可以得到目標(biāo)和約束條件。因此，我們采用了單目標(biāo)多約束非線性規(guī)劃模型。在該優(yōu)化模型中，目標(biāo)為鋼桶與豎直方向的夾角盡可能小。由題意，我們可以得到約束條件如下： (1)問題一中得到的公式三。 (2)錨鏈末端與錨的鏈接處的切線方向與海床的夾角小于16度。 (3)浮標(biāo)不能完全沉入海平面以下，錨鏈長度不能小于13米。 該數(shù)學(xué)模型可描述為：模型的求解 首先中我們可以采用lingo軟件中的順序線性規(guī)劃法（SLP）求解，但根據(jù)結(jié)果可知該方法求出為局部最優(yōu)解，并不是很精確。因此，我們又采用matlab中的遺傳算法，利用這一算法，解出了全局最優(yōu)解。 同時，通過編程驗證，我們還得出了結(jié)果的穩(wěn)定性（下面僅以風(fēng)速為12m/s時為例） 最后，將兩種方法所得到的結(jié)果比較，可以得出用遺傳算法得出的值更為精確。模型的分析和檢驗為了檢驗?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性和穩(wěn)定度，我們建立了一個合理的指標(biāo)體系。在該體系中，以鋼桶為研究對象，利用所得到的數(shù)據(jù)，逆向