北師大七年級(jí)上-第14講-一元一次方程的應(yīng)用水箱變高了

1、一元一次方程的應(yīng)用(水箱變高了)知識(shí)點(diǎn)一：等體積變形問題1 .等體積變形，即物體的外形或形態(tài)發(fā)生變化，但變化前后的體積不變，一利用體積不變這一等量關(guān)系，可列方程解決等積變形問題.2 .常見幾何體的體積公式：(1)圓柱體體積V=nr2h;(2)長方體體積V=abc;3(3)正萬體體積V=a；1 2(4)圓錐體的體積V=nrh.3例1如圖所示，將一個(gè)底面直徑為10cm,高為36cm的瘦長”形圓柱鍛壓成底面直徑為20cm的矮胖”形圓柱.假設(shè)在鍛壓過程中圓柱的體積保持不變，那么高變成了多少？分析：在鍛壓過程中，圓柱由瘦”變胖”，形狀發(fā)生了變化，但它的體積始終保持不變，所以在這個(gè)問題中有如下等量關(guān)系：鍛

2、壓前的體積=鍛壓后的體積.解：設(shè)鍛壓后圓柱的高為xcm,填寫下表：鍛壓前鍛壓后底面半徑5cm10cm高36cmxcm體積n父52M36,-2nM10Mx根據(jù)相等關(guān)系，列出方程：n乂52父36=冗M(jìn)102x：x,解得x=9.答：高變成了9cm.例2有一個(gè)長、寬、高分別是20cm、15cm、40cm的長方體鋼錠，現(xiàn)將它鍛壓成一個(gè)底面為正方形且正方形邊長為20cm的長方體鋼錠，高變成了多少？(忽略鍛壓過程中的損耗)分析：此題的相等關(guān)系：鍛壓前的體積=鍛壓后的體積.解：設(shè)高變成了xcm,依題意得2020次=2015X40.解方程，得x=30.答：高變成了30cm.變式訓(xùn)練1 .將一個(gè)底面積為36cm2

3、,高為30cm的金屬圓柱熔鑄成一個(gè)底面長8cm,寬5cm的長方體，求該長方體的高.這個(gè)問題的等量關(guān)系是，如果設(shè)長方體的高是xcm則可列方程解.圓柱體的體積=長方體的體積，8M5Mx=36父30.2.用一個(gè)長、寬、高分別是16cm、10cm、5cm的小長方體容器向一個(gè)底面為20cmX20cm的大長方體容器注水，當(dāng)小長方體容器的水全部注入大長方體容器中時(shí)，大長方體中的水面高度是多少？解：設(shè)大長方體中的水面高度為xcm.依題意，得16父10父5=20父10Mx.解之得x=2.答：大長方體中水面的高度為2cm.知識(shí)點(diǎn)二：等長變形問題1 .等長變形，即用物體(通常是鐵絲等)圍成不同的圖形，圖形的形狀、面

4、積發(fā)生了變化，但周長不變.利用周長不變列出方程.2 .常用平面圖形的周長、面積公式：(1)長方形周長C=2(a+6),面積S=ab,2(2)正方形的周長C=4a,面積S=a;一一i1.(3)三角形的面積S=ah;2(4)平行四邊形的面積S=ah;,一c1，、，(5)梯形的面積S=(a+b)h;22(6)圓的周長C=2n面積S=nr(r表不圓的半徑).例3用一根鐵絲可圍成邊長為9cm的正方形，若用這根鐵絲圍成長比寬多2cm的長方形，則長方形的面積是多少？分析：圖形的形狀改變了，但是周長不變，始終等于鐵絲的長度，故此題的相等關(guān)系是：正方形的周長=長方形的周長.解：設(shè)長方形的長為xcm,則寬為(x-

5、2)cm.依題意得2x+2(x-2)=9X4.2解得x=10.x-2=8.故x(x-2)=80.答：長方形的面積為80cm.例4墻上釘著一個(gè)由一根彩繩圍成的梯形形狀的飾物，如下圖實(shí)線所示(單位：cm),小明將梯形下底的釘子去掉，并將這條彩繩釘成一個(gè)長方形，如下圖虛線所示.求小明所釘長方形的長、寬各為多少厘米？分析：從梯形變成長方形，形狀變了，但周長不變，可根據(jù)這一等量關(guān)系建立方程，長方形的寬為8cm.解：設(shè)長方形白長為xcm.由題意，得2(8+x)=8+15+10+8+5+13,.x=21.5.答：長方形的長為21.5cm,寬為8cm.變式訓(xùn)練1.一根繩子剛好可以圍成一個(gè)邊長為6cm的正方形.

6、如果用這根繩子圍成一個(gè)長8cm的長方形，這個(gè)長方形2的范為cm,面積是cm.解.432提示：設(shè)長方形的寬為xcm,則有6父4=2(8+x).解得x=4.則長方形的面積為8父4=32/一2、(cm).一、專題精講題型一：形積變化一一體積不變例1在一個(gè)內(nèi)部長、寬、高分別為3m、3m、80cm的長方體水箱內(nèi)裝滿水，然后倒入一個(gè)底面直徑是2m,高是12m的圓柱形容器中，問水是否會(huì)溢出？若不溢出，請求出水面離容器口的距離.(支取3.14,結(jié)果精確到0.01m)分析：先分別求出兩容器的體積，然后通過比較大小，確定水是否會(huì)溢出，解：長方體的體積Vi=330.8=7.2(m3).2223、圓柱形容器的體積V2

7、fW2h=爪0)212=12二(m).因?yàn)?.2s2C.=S2D.無法確定分析：通過移動(dòng)陰影部分，將所有陰影部分合在一起后，利用陰影部分面積知面積相等，解：C變式訓(xùn)練=長方形面積一空白部分面積，可1.一個(gè)長方形如圖所示，恰分成六個(gè)正方形，其中最小的正方形面積是1cm2,求這個(gè)長方形的面積.解：設(shè)最大正方形B的邊長為xcm,則C的邊長為（x-1）cm,D的邊長為（x-2）cm,E的邊長為（x-3）cm,F的邊長也是（x-3）cm.根據(jù)長方形對邊相等得2（x-3）+（x-2）=x+（x-1）.解得x=7.則C的邊長為6cm,2、D的邊長為5cm,E和F的邊長都為4cm.長方形面積為（7+6）區(qū)（7

8、+4）=143（cm）.題型三：形積變化一一周長不變例3小剛家打算靠墻（墻長14m）修建一個(gè)長方形的養(yǎng)雞場（靠墻的一邊作為長），另三邊用35m長的籬笆圍成.小剛的爸爸打算讓雞場的長比寬多2m,小剛的媽媽打算讓雞場的長比寬多5m.你認(rèn)為他們誰的設(shè)計(jì)合理？按照這種設(shè)計(jì)，雞場的面積是多少？分析：此題中的墻長14m”是一個(gè)限制條件，故所建的雞場的長不能大于14m.解：設(shè)雞場的寬為xm.按小剛爸爸的設(shè)計(jì)，其長應(yīng)為（x+2）m.根據(jù)題意，得x+2+2x=35.解得x=11.因?yàn)?1+2=13m墻長14m,所以小剛爸爸的設(shè)計(jì)合理，這時(shí)雞場的面積為13M11=143（m2）.按小剛媽媽的設(shè)計(jì)，其長應(yīng)為（x+5

9、）m.依題意，得x+5+2x=35.解得x=10.因?yàn)?0+5=15m墻長14m,所以小剛媽媽的設(shè)計(jì)不符合實(shí)際.故小剛爸爸的設(shè)計(jì)合理，此時(shí)雞場的面積為143m2.點(diǎn)撥：運(yùn)用一元一次方程解決實(shí)際問題時(shí)，要注意解的合理性，即所得結(jié)果必須符合實(shí)際情況，變式訓(xùn)練1 .已知兩個(gè)長方形的長和寬的比都是2:1,大長方形的寬比小長方形的寬多3cm,大長方形的周長是小長方形周長的2倍，求這兩個(gè)長方形的面積.解：設(shè)小長方形的寬為xcm,則大長方形的寬為(x+3)cm,依題意，得2(x+2x)=x+3+2(x+3).2、 2解之得x=3.則小長萬形的面積為3M(3M2)=18(cm),大長方形的面積為6M(6黑2)

10、=72(cm).能力培養(yǎng)1 .一根內(nèi)徑為3cm的圓柱形長試管中裝滿了水.現(xiàn)把試管中的水逐漸滴人一個(gè)內(nèi)徑為8cm、高為1.8cm的圓柱形玻璃器皿中.當(dāng)玻璃器皿裝滿水時(shí)，試管中水的高度下降了多少厘米？3282一.一解：設(shè)試官中水的圖度下降了xcm.依題息有n.()x=nM()m1.8.解得x=12.8.22答：試管中水的高度下降了12.8cm.2.如果用16m長的籬笆圍成一個(gè)長方形養(yǎng)雞場，長、寬各是多少米時(shí)，其面積最大？22解：只有當(dāng)長、寬均為4m,即圍成一個(gè)正方形時(shí)，養(yǎng)雞場面積最大，S最大=42=16(m2).達(dá)標(biāo)測試：21.長萬形的長是寬的3倍，如果寬增加了4m而長減少了5m,那么面積增加15

11、m.長萬形原來的寬為xm,所列方程是().2_2A.(x4)(3x5)15=3x2B.(x4)(3x-5)-15=3x2C.(x-4)(3x5)-15-3x2D.(x-4)(3x5)15-3x22 .已知內(nèi)徑為120mm的圓柱形玻璃杯和內(nèi)徑為300mm、內(nèi)高為32mm的圓柱形玻璃盆可以盛同樣多的水，則玻璃杯的內(nèi)高為().A.150mmB.200mmC.250mmD.300mm3 .三角形的周長是84cm,三邊長的比為17:13:12,則這個(gè)三角形最短的一邊長為一4 .要鍛造一個(gè)直徑20cm,高16cm的圓柱形毛坯，應(yīng)截取直徑16cm的圓鋼cm.5.一張覆蓋在圓柱形罐頭側(cè)面的商標(biāo)紙，展開是一個(gè)周

12、長為88cm的正方形(不計(jì)接口部分)，這個(gè)罐頭的容積是(精確到1cm3,支取3.14)436 .把一個(gè)半徑為3cm的鐵球熔化后，能鑄造個(gè)半徑為1cm的小鐵球上.(球的體積為nR)7 .在一個(gè)內(nèi)徑為20cm,高為110cm的圓柱形鐵桶中裝有30cm深的水，現(xiàn)把棱長為8cm的正方體鐵塊慢慢放到桶中，鐵桶中的水位大約上升了()cm.(支取3.14,精確到0.1)A.1.6B,1.7C.3.2D.3.38 .長方體甲的長、寬、高分別為260mm、150mm、325mm,長方體乙的底面積為130M130mm2.已知甲的體積是乙的體積的2.5倍，求乙的高.參考答案1.B2.B3.24cm4.253115.

13、848cm提木：圓枉圖為22cm,底面半徑為一cm.TL43436. 27提不：一冗父3=一n父1n,解得n=27.33一20237. A提不：冗父(一)2，h=83,解得h-1.6.28. 解：設(shè)乙的高為xmm,依題意得260M150M325=130父130MxM2.5.解之得x=300.答：乙的高為300mm.課后作業(yè)：一.選擇題1.已知半徑為5厘米，高為7厘米的圓柱體的體積是直徑為4厘米，高為x厘米的圓柱體的體積的5倍，則下列方程正確的是（）A.5兀&2?x=兀102?7B.412?x=5兀102?7C.5兀？（一）2?x=%?（-）2?7D.5兀？（一）2?x=Tt方2?7解答：解：由

14、題意可得：5兀？（_）2?x=ti?（_）2?7.故選：C.二.填空題2 .一個(gè)長方形的周長是42,寬比長少3,如果設(shè)長為x,那么根據(jù)題意列方程為2（x+x-3）=42.,求每塊地磚的長和寬，設(shè)每塊131M31平方毫米、高為81毫x毫米，則可列方程3 .如圖，8塊相同的長方形地磚拼成了一個(gè)長方形圖案（地磚間的縫隙忽略不計(jì)）4x=604 .一只直徑為90毫米的圓柱形玻璃杯中裝滿了水，把杯中的水倒入一個(gè)底面性為米的長方體鐵盒中，當(dāng)鐵盒裝滿水時(shí)，玻璃杯中水的高度大約下降了多少設(shè)大約下降了2x=131281.5 .水池有一進(jìn)水管，5時(shí)可注滿空池；池底有一出水管，8時(shí)可放完滿池水.如果同時(shí)打開進(jìn)水管和出水管，1時(shí)后，水池的水是滿池的,若同時(shí)打開進(jìn)水管和出水管剛好x時(shí)注滿空池，可列方程是一一.6.三個(gè)直立于水平面上的形狀完全相同的幾何體（下底面為圓面，單