第2章 點、直線、平面的投影

1、教學(xué)大綱規(guī)教學(xué)大綱規(guī)定的知識點定的知識點（1） 投影法基本知識（2） 點的投影（3） 直線的投影（4） 平面的投影（5） 點、線、面的相對位置4學(xué)時教學(xué)目的和教學(xué)目的和要求要求 本章通過介紹點、直線和平面的投影特點，使學(xué)生熟悉和掌握繪制、閱讀工程圖樣以及圖解空間幾何問題所需的理論基礎(chǔ)。 重點難點重點難點本章的重點就是三視圖的形成及其投影規(guī)律，點、直線和平面的投影特點，難點是點、線、面的相對位置，以及相關(guān)的畫法幾何題目。學(xué)習(xí)指導(dǎo)學(xué)習(xí)指導(dǎo) 在學(xué)習(xí)點、直線和平面的投影時，要和立體的投影結(jié)合起來，要用“長對正、高平齊、寬相等”的規(guī)律研究幾何元素的投影，反過來用幾何元素的投影規(guī)律研究立體的投影。可結(jié)合生

2、產(chǎn)上的管道圖研究直線的投影及其應(yīng)用，生產(chǎn)上的板金圖研究平面的投影及其應(yīng)用。 教學(xué)安排教學(xué)安排教學(xué)內(nèi)容習(xí)題第一講（1） 投影法基本知識（2） 點的投影（3） 直線的投影（4） 平面的投影習(xí)題集2-1至2-132-17至2-20第二講（5） 點和線的相對位置（6） 直線和直線的相對位置（7） 點和平面的相對位置（8） 直線和平面的相對位置（9） 平面和平面的相對位置習(xí)題集2-14至2-162-21至2-33第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影第一講第一講 投影法及點、直線、平面的投影投影法及點、直線、平面的投影 【知識要點】（1） 中心投影的概念（2） 斜投影的概念（3） 正投影的

3、概念（4） 點、直線、平面的投影【教學(xué)指導(dǎo)】首先介紹投影法的基本概念和分類，然后介紹點、直線、平面的投影，在介紹點線面的投影時要結(jié)合立體來講。（1） 點：重點講三個點，三個坐標(biāo)均不為0的點、一個坐標(biāo)為0的點、兩個坐標(biāo)為0的點。（2） 直線：先講投影面垂直線，再講投影面平行線，最后講一般位置直線。（3）平面：先講投影面平行面，再講投影面垂直面，最后講一般位置平面。點與直線、直線與直線的相對位置放在下一講進行?！菊n前準(zhǔn)備】熟悉作業(yè)內(nèi)容，上課前試做習(xí)題集中的作業(yè)。 （1）投影法的分類中心投影法平行投影法斜投影法正投影法2-1 投影法的基本知識一、投影法的分類（2）中心投影法中心投影法的投射線自一點發(fā)

4、出，物體投影的大小取決于到投影面的距離d和物體相對于投影面的距離L，當(dāng)d一定時，物體離光源越近，投影越大。（3）斜投影和正投影投射線為平行線時的投影稱為平行投影。若投射線與投影面傾斜，則為斜投影；若投射線與投影面垂直，則為正投影。正投影的特性如下：實形性：當(dāng)物體上的平面圖形（或棱線）與投影面平行時，其投影反映實形（或?qū)嶉L）；積聚性：當(dāng)物體上的平面圖形（或棱線）與投影面垂直時，其投影積聚為一條直線（或一個點）；類似性：當(dāng)物體上的平面圖形（或棱線）與投影面傾斜時，其投影與原形狀類似，但平面圖形變小了，線段變短了。（4）三視圖的形成【一個視圖的不定性】物體的一個視圖只能反映出兩個方向的尺寸情況，不同

5、形狀物體的某一視圖可能會相同。所以，一個視圖不能準(zhǔn)確的表達(dá)物體的形狀。在機械圖樣上有時也采用一個視圖表達(dá)機械零件的形狀，但是，這是必須附加說明，圓柱的直徑標(biāo)注“”，球體的直徑標(biāo)注“S”，板的厚度標(biāo)注“t”等。在裝配圖上大家都非常熟悉的標(biāo)準(zhǔn)件，如螺栓、軸承等也只畫一個視圖?！窘虒W(xué)建議】教材中該部分內(nèi)容在6-1，建議在講點、線、面的投影前介紹，用研究三視圖的辦法研究點、線、面的投影，將點、線、面的投影和立體的投影結(jié)合起來。（4）三視圖的形成【兩個視圖的不定性】 用互相垂直的兩個平面作投影面，得到的兩個正投影能表達(dá)物體長、寬、高三個方向的尺寸，所以，一般情況下兩個視圖能表達(dá)清楚物體的形狀，但有些物體

6、用兩個視圖也不能準(zhǔn)確的表達(dá)其形狀，這時要用三個視圖來表達(dá)物體的形狀。（4）三視圖的形成將物體放入由V、H、W面組成的投影體系中，用正投影的方法分別得到物體的三個投影，在V面上的投影稱為主視圖，在H面上的投影稱為俯視圖，在W面上的投影稱為左視圖。將三個視圖面展平到一個平面內(nèi)，并調(diào)整三個視圖的相對位置，即得到物體的三視圖。（5）三視圖的投影規(guī)律因為主視圖反映了物體長度方向（方向）和高度方向（Z方向）的尺寸；俯視圖反映了寬度方向（Y方向）和長度方向的尺寸；左視圖反映了高度方向和寬度方向的尺寸。又因為俯視圖繞X軸向下旋轉(zhuǎn)90左視圖繞Z軸向后旋轉(zhuǎn)90，所以三個視圖存在如下規(guī)律：(1)主、俯視圖長度相等-

7、長對正；(2)主、左視圖高度相等-高平齊；(3)俯、左視圖寬度相等-寬相等。“長對正、高平齊、寬相等長對正、高平齊、寬相等”反映了三個視圖的內(nèi)在聯(lián)系，不僅物體的總體尺寸要符合上述規(guī)律,物體上的每一個形體、平面、直線、點都遵從上述規(guī)律。2-2 點的投影空間點對于由V、H和W面組成的投影體系有三種位置關(guān)系：（1）當(dāng)點的x、y、z坐標(biāo)均不為零時，點的三面投影均落在投影面內(nèi)；（2）當(dāng)點的x、y、z坐標(biāo)有一個為零時，空間點在投影面上，其兩個投影落在投影軸上，特別值得注意的是，當(dāng)點在H面上時，其W面的投影落在Y軸上，當(dāng)按三視圖的形成方法展開投影體系時，其W面投影隨Y軸一起繞Z軸向后旋轉(zhuǎn)落在YW軸上。（3）

8、當(dāng)點的x、y、z坐標(biāo)均有兩個為零時，空間點在投影軸上，其一個投影與原點重合。2-3 直線的投影一、投影面垂直線空間直線對投影面有三種位置關(guān)系：平行、垂直和傾斜。若空間直線垂直于一個投影面，則必平行于其他兩個投影面，這樣的直線稱之為投影面垂直線，對于垂直于V、H、W面的直線分別稱之為正垂線、鉛垂線和側(cè)垂線。投影面垂直線在其垂直的投影面上的投影積聚為一個點。二、投影面平行線 若空間直線平行于一個投影面，傾斜于其他兩個投影面，這樣的直線稱之為投影面平行線，按其平行于V、H、W面分別稱之為正平線、水平線和側(cè)平線。投影面平行線在其平行的投影面上的投影反映實長，其他兩個投影面上投影平行（或垂直）于投影軸，

9、且投影線段的長小于空間線段的實長。三、一般位置直線 一般位置直線和三個投影面均處于傾斜位置，其三個投影和投影軸傾斜，且投影線段的長小于空間線段的實長。從投影圖上也不能直接反映出空間直線和投影平面的夾角。2-6 平面的投影一、投影面平行面空間平面對投影面有三種位置關(guān)系：平行、垂直和一般位置。若空間平面平行于一個投影面，則必垂直于其他兩個投影面，這樣的平面稱之為投影面平行，對平行于V、H、W面的平面分別稱之為正平面、水平面和側(cè)平面。投影面平行面在其平行的投影面上的投影反映實形，其他兩個投影面上投影積聚成一條直線。二、投影面垂直面若空間平面垂直于一個投影面，而傾斜于其他兩個投影面，這樣的平面稱之為投

10、影面垂直面，按垂直于V、H、W面的平面分別稱之為正垂面、鉛垂面和側(cè)垂面。投影面垂直面在其垂直的投影面上的投影積聚成一條直線，該直線和投影軸的夾角反映了空間平面和其他兩個投影面所成的二面角，其他兩個投影面上的投影為類似形。三、一般位置平面若空間平面和三個投影面均處于傾斜位置，稱之為一般位置平面。一般位置平面在三個投影面上的投影均為類似形，在投影圖上不能直接放映空間平面的實形和投影面所成的二面角。第二講第二講 點、直線、平面的相對位置點、直線、平面的相對位置 【知識要點】（1） 點和線的相對位置（2） 直線和直線的相對位置（3） 點和平面的相對位置（4） 直線和平面的相對位置（5） 平面和平面的相

11、對位置【教學(xué)指導(dǎo)】要明確研究點、直線、平面的相對位置的目的，其目的是解決空間幾何元素的度量和定位問題，開發(fā)學(xué)生的空間想象能力。所以教學(xué)中要盡可能用投影圖研究幾何元素的相對位置問題?！菊n前準(zhǔn)備】熟悉作業(yè)內(nèi)容，上課前試做習(xí)題集中的作業(yè)。 點和直線的相對位置點在直線上（點分線段成比例）點不在直線上直線與直線的位置關(guān)系平行（三個投影對應(yīng)平行）相交（交點符合點的投影規(guī)律）交叉（重影點可以判斷遮擋關(guān)系）點與平面的位置關(guān)系點在平面內(nèi)（在平面內(nèi)的一條已知直線上）點在平面外直線與平面的位置關(guān)系垂直（有垂直相交、垂直交叉兩種情況，直角投影定理）直線在平面內(nèi)（兩點在平面內(nèi)）直線與平面平行（直線平行于平面內(nèi)的一條直線

12、）直線與平面相交（有一個公共點）平面與平面的位置關(guān)系平行（在平面內(nèi)的兩條相交直線對應(yīng)平行）相交（有一條公共交線）知識點關(guān)系圖2-4 直線與點、兩直線的位置關(guān)系一、點和直線的位置關(guān)系點和直線的位置關(guān)系有兩種：點在直線上和點不在直線上。若點在直線上，點的三面投影必落在直線的三面投影上，且點分空間線段所成的比等于點的投影所分線段的投影所成的比；若點不在直線上，則點的三個投影至少有一個投影不在直線的投影上。二、兩直線的位置關(guān)系（1）兩直線平行直線和直線的位置關(guān)系有平行、相交和異面（交叉）。若空間兩直線平行，則其三投影必平行。如右圖所示的直線中，L1和L2、K1和K2、M1和M2、AB和CD四對直線中只

13、有一對直線不平行，你能斷定是哪對直線嗎？（2）兩直線相交若空間兩直線相交，則三個投影必相交，且交點符合點的投影規(guī)律。上圖中，L1和L2、K1和K2、M1和M2、AB和CD四對直線中只有一對直線不相交，你能斷定是哪對直線嗎？（3）兩直線交叉異面若其投影線段相交，則交點對應(yīng)于異面直線上的不同點，稱之為重影點，對重影點可見性的判斷，可以幫助判斷兩直線的交叉關(guān)系。如右圖所示直線中，四對直線中只有一對直線不是異面直線，你能斷定是哪對直線嗎？（4）兩直線垂直（垂直相交、垂直交叉）直線和直線垂直可分為垂直相交和垂直異面。當(dāng)兩條直線中至少有一條直線平行于投影面時，兩直線在該投影面上的投影垂直。如圖所示四對直線

14、中只有一對直線不垂直，你能斷定是哪對直線嗎？2-7 平面內(nèi)的直線和點（1）平面內(nèi)的點 點和平面的位置關(guān)系有兩種：點在平面上和點不在平面上。若點在平面內(nèi)的一條已知直線上，則點必在平面內(nèi)。如右圖（a）所示，已知平面ABC的兩投影，且K點在平面ABC上，K的V面投影k已知，求作K點的H面投影。這個基本作圖非常有用，圖（b）所示的三棱錐，當(dāng)鉆出一個三棱柱孔時，三棱柱孔的兩端面三角形在三棱錐的前后側(cè)面上，可利用點在平面上的基本作圖求出其H面投影和W面投影。（2）平面內(nèi)的直線直線和平面的位置關(guān)系有平行、相交和直線在平面內(nèi)三種位置關(guān)系。 若直線上的兩點在平面內(nèi)，則直線在平面內(nèi)；過平面內(nèi)的一個已知點，作平面內(nèi)

15、的一條已知直線的平行線，則直線在平面內(nèi)。上圖（a）為基本作圖過程，圖（b）中，三棱柱孔的端面三角形在四棱錐的前后側(cè)面上，三棱柱孔的主視圖已知，可用上述基本作圖求出三棱柱孔的俯視圖和左視圖。2-9 直線與平面、兩平面的位置關(guān)系（1）直線和平面平行 直線與平面平行的判定定理是直線平行與平面內(nèi)的一條已知直線。過空間一點可以作無數(shù)條直線和已知平面平行，但過空間一點作已知平面的投影面平行線只能作一條。如圖所示，K點可能在平面ABC內(nèi)，也可能不在平面ABC內(nèi)，若K點在平面ABC內(nèi)，則KL在平面ABC內(nèi)；若K點不在平面ABC內(nèi)，則KL和平面ABC平行。（2）直線和平面相交 直線和平面相交時,交點為直線和平面的公共點,直線和平面兩者中有一個對投影面處于垂直位置,則交點可直接求出，如圖所示；若兩者對投影面均處于一般位置，則不能直接求出，我們不討論這種情況。右圖為三棱柱和三棱柱相交時的三視圖，三棱柱和三棱柱的交線可理解為小三棱柱的三個側(cè)棱和大三棱柱的兩個側(cè)面相交，用上述基本作圖可求出其交點，然后根據(jù)可見性連線，即可得到三棱柱和三棱柱的交線。（3）平