第五章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析.

1、信號(hào)與系統(tǒng) 第五章第五章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析【內(nèi)容摘要內(nèi)容摘要】 本章介紹連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)、周期信號(hào)本章介紹連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)、周期信號(hào)的頻譜，非周期信號(hào)的傅里葉變換、典型信號(hào)的頻譜函數(shù)、的頻譜，非周期信號(hào)的傅里葉變換、典型信號(hào)的頻譜函數(shù)、傅里葉變換的性質(zhì)。傅里葉變換的性質(zhì)。 時(shí)域分析是將信號(hào)分解成時(shí)域分析是將信號(hào)分解成 (t)的移位加權(quán)和，只討論系統(tǒng)對(duì)的移位加權(quán)和，只討論系統(tǒng)對(duì) (t)的響應(yīng)，然后利用系統(tǒng)的線性時(shí)不變特性進(jìn)行輸出相應(yīng)的響應(yīng)，然后利用系統(tǒng)的線性時(shí)不變特性進(jìn)行輸出相應(yīng)進(jìn)行求解。進(jìn)行求解。頻域分析是將信號(hào)分解成頻域分析是將

2、信號(hào)分解成以不同正弦信號(hào)以不同正弦信號(hào)的和，只討論系統(tǒng)的和，只討論系統(tǒng)對(duì)對(duì)正弦信號(hào)正弦信號(hào)的響應(yīng)，然后利用系統(tǒng)的線性時(shí)不變特性進(jìn)行輸?shù)捻憫?yīng)，然后利用系統(tǒng)的線性時(shí)不變特性進(jìn)行輸出相應(yīng)進(jìn)行求解。出相應(yīng)進(jìn)行求解。 將信號(hào)表示為不同頻率正弦分量的線性組合將信號(hào)表示為不同頻率正弦分量的線性組合 (1) (1) 從信號(hào)分析的角度從信號(hào)分析的角度，將信號(hào)表示為不同頻率正弦，將信號(hào)表示為不同頻率正弦分量的線性組合，為不同信號(hào)之間進(jìn)行比較提供了途分量的線性組合，為不同信號(hào)之間進(jìn)行比較提供了途徑。徑。 (2) (2) 從系統(tǒng)分析角度從系統(tǒng)分析角度，已知單頻正弦信號(hào)激勵(lì)下的，已知單頻正弦信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng)，利用迭加特

3、性可求得多個(gè)不同頻率正弦信號(hào)響應(yīng)，利用迭加特性可求得多個(gè)不同頻率正弦信號(hào)同時(shí)激勵(lì)下的總響應(yīng)而且每個(gè)正弦分量通過(guò)系統(tǒng)后同時(shí)激勵(lì)下的總響應(yīng)而且每個(gè)正弦分量通過(guò)系統(tǒng)后，是衰減還是增強(qiáng)一目了然。，是衰減還是增強(qiáng)一目了然。連續(xù)周期信號(hào)的頻域分析連續(xù)周期信號(hào)的頻域分析意義：意義：5-1 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的表示式為周期信號(hào)的表示式為)()(Ttftf（5-1-1）式中式中T為為f(t)的基波周期，其倒數(shù)的基波周期，其倒數(shù)Tf/10是信號(hào)的基波頻率是信號(hào)的基波頻率 若周期信號(hào)若周期信號(hào)f(t)滿足狄利克雷條件：滿足狄利克雷條件：（1）在一個(gè)周期內(nèi)如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目

4、是有限個(gè)；）在一個(gè)周期內(nèi)如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目是有限個(gè)； （2）在一個(gè)周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目是有限個(gè)；）在一個(gè)周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目是有限個(gè)；（3）在一個(gè)周期內(nèi)，信號(hào)是絕對(duì)可積的，即）在一個(gè)周期內(nèi)，信號(hào)是絕對(duì)可積的，即 Tttdttf00| )(|則則f(t)可以展開(kāi)為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)可以展開(kāi)為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù) 對(duì)任一個(gè)周期為對(duì)任一個(gè)周期為T的信號(hào)的信號(hào)f(t)均可以表示成三角函數(shù)的線性組合均可以表示成三角函數(shù)的線性組合式中，式中， T/20是基波角頻率，有時(shí)也稱基波頻率。是基波角頻率，有時(shí)也稱基波頻率。 一般取一般取 2/0Tt（5-1-2）)2sin()2co

5、s()sin()cos()(020201010tbtatbtaatf )sin()cos(00tnbtnann )sin()cos(0010tnbtnaannn TttdttfTa00)(10（5-1-3） TttndttntfTa00)cos()(20 （5-1-4） TttndttntfTb00)sin()(20 （5-1-5）若若對(duì)對(duì)ci分分解解為為付付里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為： ntItItIIic cos2coscoscmncm1cm1coicccic1ic2ic3IcoIcmax22ncnnba nnnabtannnnacoscnnnbsinc若將式若將式(5-1-2)中同頻率項(xiàng)合并，

6、可以寫(xiě)成另一種形式中同頻率項(xiàng)合并，可以寫(xiě)成另一種形式 比較式（比較式（5-1-2）和）和(5-1-6)，可以看出傅里葉級(jí)數(shù)中各個(gè)量之間，可以看出傅里葉級(jí)數(shù)中各個(gè)量之間有如下關(guān)系有如下關(guān)系 100)cos(cc)(nnntntf (5-1-6)00ac 5.1.2 指數(shù)形式的傅里葉變換指數(shù)形式的傅里葉變換利用歐拉公式利用歐拉公式 tjntjneetn0021cos0 tjntjneejtn0021sin0 將三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)表示為復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)將三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)表示為復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù) 100022)(ntjnnntjnnnejbaejbaatf （5-1-8） 令令 nnj

7、banF 21)(0 （n=1,2,） （5-1-9） 考慮到考慮到 na是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， nb是是n的奇函數(shù)，的奇函數(shù)， 由式（由式（5-1-9）可知）可知 nnjbanF 21)(0 將上述結(jié)果代入（將上述結(jié)果代入（5-1-8），得到），得到 100000)()()(ntjntjnenFenFatf 物理含義：周期信號(hào)物理含義：周期信號(hào)f(t)可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號(hào)之和?？梢苑纸鉃椴煌l率虛指數(shù)信號(hào)之和。令令 0)0(aF考慮到考慮到 110000)()(nntjntjnenFenF 得到得到f(t)的指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)為的指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)為tjnnnetf0nF)(（5

8、-1-10） TtttjndtetfT000)(1Fn（5-1-11） （5-1-2）)(tf)sin()cos(tnbtnaannn0010 100)cos(cc)(nnntntf (5-1-6)tjnnnetf0nF)(（5-1-10） Tttt jndte t fT000) (1Fn（5-1-11） 指數(shù)形式和三角形式系數(shù)之間的關(guān)系：指數(shù)形式和三角形式系數(shù)之間的關(guān)系： nnnnnnnnnnnnjnnnjnnjnnnjnnbFFjaFFabcFFecjbaeFFecjbaeFFcaFnnnn)(arctan21|21)(21|21)(21|000 （5-1-12） 縱軸對(duì)稱信號(hào)縱軸對(duì)稱信號(hào)

9、2/0002/2/00000d)cos()( 4d)cos()(2TTTnttntxTttntxTa0d)sin()(22/2/0000TTnttntxTb 縱軸對(duì)稱周期信號(hào)縱軸對(duì)稱周期信號(hào)其其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中只含中只含有有直流項(xiàng)直流項(xiàng)與與余弦項(xiàng)余弦項(xiàng)。T0 / 2T0 / 2t0A)(txT0 T0 )()(txtx若周期信號(hào)波形具有某種對(duì)稱性，則其傅里葉級(jí)數(shù)也將呈現(xiàn)一定若周期信號(hào)波形具有某種對(duì)稱性，則其傅里葉級(jí)數(shù)也將呈現(xiàn)一定的特性。的特性。原點(diǎn)對(duì)稱信號(hào)原點(diǎn)對(duì)稱信號(hào) 原點(diǎn)對(duì)稱周期信號(hào)原點(diǎn)對(duì)稱周期信號(hào)其其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式式中只含有中只含有正弦項(xiàng)正弦項(xiàng)。0d)co

10、s()(22/2/0000TTnttntxTa2/0002/2/00000d)sin()( 4d)sin()(2TTTnttntxTttntxTb)()(txtxt0A-AT0 / 2T0 / 2)(tx半波重迭信號(hào)半波重迭信號(hào) 半波重疊周期信號(hào)半波重疊周期信號(hào)只含有只含有正弦正弦與與余弦余弦的的偶次諧波分量偶次諧波分量，而無(wú)奇次諧波分量。，而無(wú)奇次諧波分量。T0 / 2T0 / 2A0tT0T0)(tx)2/()(0Ttxtx 半波鏡像周期信號(hào)半波鏡像周期信號(hào)只含有只含有正弦正弦與與余弦余弦的的奇奇次諧波分量次諧波分量，而無(wú)直流分量與偶次諧波分量。，而無(wú)直流分量與偶次諧波分量。)2/()(0

11、TtxtxT0/2T00tA-A)(tx半波鏡像信號(hào)半波鏡像信號(hào) 周期信號(hào)可以分解為周期信號(hào)可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號(hào)不同頻率虛指數(shù)信號(hào)之和之和tnnntxC0j.=e )(|nC周期信號(hào)可分解為各次諧波頻率分量的疊加，周期信號(hào)可分解為各次諧波頻率分量的疊加，反映了不同諧波分量的幅度反映了不同諧波分量的幅度.而傅里葉系數(shù)而傅里葉系數(shù) 100)cos(cc)(nnntntf Cn是頻率的函數(shù)，它反映了組成信號(hào)各次諧波是頻率的函數(shù)，它反映了組成信號(hào)各次諧波的幅度和相位隨頻率變化的規(guī)律，稱的幅度和相位隨頻率變化的規(guī)律，稱頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)。 不同的時(shí)域信號(hào)，只是不同的時(shí)域信號(hào)，只是傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)傅

12、里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)Cn不同，不同，因此通過(guò)研究傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)來(lái)研究信號(hào)的特性。因此通過(guò)研究傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)來(lái)研究信號(hào)的特性。例例1 試計(jì)算圖示周期矩形脈沖信號(hào)試計(jì)算圖示周期矩形脈沖信號(hào) 的的傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。展開(kāi)式。解：將信號(hào)解：將信號(hào)f(t)分解成傅里葉級(jí)數(shù)分解成傅里葉級(jí)數(shù) 分別計(jì)算分別計(jì)算nnbaa，0由由于于信信號(hào)號(hào)為為偶偶函函數(shù)數(shù)0bn 22012201)cos(2)cos()(211 dttnETdttntfTaTTn11112211sin2sin2)2cos(E2TnTnTETnnEdttTnT 221122101)(111 TEEdtTdttfTaTTxxsin( )aS

13、x這里函數(shù)這里函數(shù)稱為稱為“樣本函數(shù)樣本函數(shù)”，用符號(hào)，用符號(hào)表示表示sin( )axSxx( )aSx函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)， 0 x ( )1aSx 當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，xk( )0aSx 當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)， 其波形如圖其波形如圖5-2所示所示圖圖 5-2因此因此na可以寫(xiě)為可以寫(xiě)為112TnSaTEan所以所以tnTnSaTETEtfn01111cos2)(展開(kāi)為指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。展開(kāi)為指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。 將信號(hào)將信號(hào)f(t)按式（按式（5-1-10）分解成傅里葉級(jí)數(shù)，并按式（）分解成傅里葉級(jí)數(shù)，并按式（5-1-11）、計(jì)算出）、計(jì)算出Fn 21012210nSaTEdtEeTFt

14、jnnntjnenFtf0)()(0ntjnenSaTE0201 【例例5-1】 試將圖試將圖5-1所示的周期矩形信號(hào)所示的周期矩形信號(hào)f(t)展開(kāi)為三角形式的傅展開(kāi)為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)。里葉級(jí)數(shù)。 )(tf2 t1T1T E2 O圖圖5-1 周期矩形信號(hào)的波形周期矩形信號(hào)的波形解：將信號(hào)解：將信號(hào)f(t)分解成傅里葉級(jí)數(shù)分解成傅里葉級(jí)數(shù) 分別計(jì)算分別計(jì)算nnbaa，0由由于于信信號(hào)號(hào)為為偶偶函函數(shù)數(shù)0bn 22012201)cos(2)cos()(211 dttnETdttntfTaTTn11112211sin2sin2)2cos(E2TnTnTETnnEdttTnT 221122101)

15、(111 TEEdtTdttfTaTT例例2 2 試計(jì)算圖示周期三角脈沖信號(hào)的試計(jì)算圖示周期三角脈沖信號(hào)的傅傅里葉級(jí)數(shù)里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。展開(kāi)式。解解: 該周期信號(hào)顯然滿足該周期信號(hào)顯然滿足狄里赫勒狄里赫勒的三個(gè)條件，的三個(gè)條件，Cn存在存在)dede(21de )(110j01j2/2/j000000ttttttxTCtntnTTtnn)deedee(j2110j10j01j01j00000ttttntntntntn) 1(cos)(12nn200T例例2 2 試計(jì)算圖示周期三角脈沖信號(hào)的試計(jì)算圖示周期三角脈沖信號(hào)的傅傅里葉級(jí)數(shù)里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。展開(kāi)式。tnnn0j=2e)(2 21tnnnCtx

16、0j=e )(0, 2/1,)/(2) 1(cos)(122nnnnnCn為奇數(shù)周期三角脈沖信號(hào)的周期三角脈沖信號(hào)的指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為展開(kāi)式為200T為奇數(shù)n例例2 2 試計(jì)算圖示周期三角脈沖信號(hào)的試計(jì)算圖示周期三角脈沖信號(hào)的傅傅里葉級(jí)數(shù)里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。展開(kāi)式。周期三角脈沖信號(hào)的周期三角脈沖信號(hào)的三角形式傅里葉級(jí)數(shù)三角形式傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為展開(kāi)式為) e Re(2)(0j10tnnnCCtx由由tnntxn0121cos4 )(=2ttt0202025cos2543cos94cos421200T為奇數(shù)n 求求 Cn 。)4cos(3)(0ttx)4( j)4( j00

17、ee213tttt00j4 jj4 jee23ee2341412323jje,eFF1, 0nCn)4cos(3)(0ttx根據(jù)指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的定義可得根據(jù)指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的定義可得2 2、頻譜的表示、頻譜的表示直接畫(huà)出信號(hào)各次諧波對(duì)應(yīng)的直接畫(huà)出信號(hào)各次諧波對(duì)應(yīng)的Fn、 n線線狀分布圖形，這種圖形稱為信號(hào)的頻譜圖。狀分布圖形，這種圖形稱為信號(hào)的頻譜圖。njnneFF幅頻特性幅頻特性相頻特性相頻特性 各次諧波的振幅與頻率的關(guān)系稱為振幅頻譜；相位與頻率的關(guān)各次諧波的振幅與頻率的關(guān)系稱為振幅頻譜；相位與頻率的關(guān)系稱為相位頻譜。振幅頻譜和相位頻譜合稱為周期信號(hào)頻譜圖。系稱為相位頻譜。振幅頻譜和相

18、位頻譜合稱為周期信號(hào)頻譜圖。 信號(hào)可以是連續(xù)的，也可以是離散的。相應(yīng)的信號(hào)頻譜也有離信號(hào)可以是連續(xù)的，也可以是離散的。相應(yīng)的信號(hào)頻譜也有離散頻譜和連續(xù)頻譜之分。散頻譜和連續(xù)頻譜之分。 這種圖形清晰地表征了周期信號(hào)的頻域特性，從頻域特性說(shuō)明了這種圖形清晰地表征了周期信號(hào)的頻域特性，從頻域特性說(shuō)明了該信號(hào)攜帶的全部信息。該信號(hào)攜帶的全部信息。njnneFF幅頻特性幅頻特性相頻特性相頻特性【例例5-35-3】已知已知，42coscos2sin1)(111ttttf畫(huà)出其單邊和雙邊幅度譜和相位譜畫(huà)出其單邊和雙邊幅度譜和相位譜。解：將信號(hào)解：將信號(hào)f(t)化為余弦形式：化為余弦形式：42cos)15.

19、0cos(51)(11tttf三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)譜系數(shù)三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)譜系數(shù)25. 0 , 1c ;15. 0 ,236. 25c ; 0 , 1221100c舉例說(shuō)明單邊頻譜和雙邊頻譜；舉例說(shuō)明單邊頻譜和雙邊頻譜；所以信號(hào)所以信號(hào)f(t)的單邊頻譜如圖的單邊頻譜如圖5-3所示：所示：22ncnnba nnnabtan1 1c0c2c12 O24.211nc12 25.015.0 O1 n 圖5-3 例5-3信號(hào)的單邊頻譜 4j24j2jjjj111111ee21ee22eej211)(tttttttf tttttf11112j4j2j4jjjee21ee21ej211ej2111)(t

20、nnnF1j221e)(整理 指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)：15. 0 j1e12. 1j211F1)0(F4j1e212F15. 0 j112. 1j211eF 所以信號(hào)f(t)的雙邊頻譜如圖5-4所示 12 5 . 0O1 1 12. 112 12. 15 . 01 1 nF12 25. 0 15. 0 O1 1 15. 012 25. 0 n 圖5-4 例5-3信號(hào)的雙邊頻譜畫(huà)頻譜圖時(shí)必須注意以下幾點(diǎn)：畫(huà)頻譜圖時(shí)必須注意以下幾點(diǎn)：00cF 0n2|nncF （1）但當(dāng)?shù)?dāng)時(shí)，時(shí)，（2）三角型傅里葉級(jí)數(shù)必須統(tǒng)一用余弦函數(shù)來(lái)表示；）三角型傅里葉級(jí)數(shù)必須統(tǒng)一用余弦函數(shù)來(lái)表示；nc0nc（3）由于）

21、由于表示振幅，故表示振幅，故（5）為了使圖形清晰，采用豎線代替點(diǎn)的辦法來(lái)表示幅度或相位）為了使圖形清晰，采用豎線代替點(diǎn)的辦法來(lái)表示幅度或相位的數(shù)值，稱為譜線，譜線只在基波的整數(shù)倍處出現(xiàn)。的數(shù)值，稱為譜線，譜線只在基波的整數(shù)倍處出現(xiàn)。|nF0nn0n（4）當(dāng)）當(dāng)f( (t) )為實(shí)信號(hào)時(shí)，雙邊幅度頻譜為實(shí)信號(hào)時(shí)，雙邊幅度頻譜是是的偶函數(shù)，的偶函數(shù)，是是的奇函數(shù)；的奇函數(shù)；雙邊相位頻譜雙邊相位頻譜5-2-3 周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜22,2202)(11TttTtEtf周期矩形脈沖信號(hào)如圖周期矩形脈沖信號(hào)如圖5-1所示所示 ，圖圖5-1 其中其中E為脈沖幅度，為脈沖幅度， 為脈

22、沖寬度，為脈沖寬度， 1T為脈沖重復(fù)周期（假設(shè)為脈沖重復(fù)周期（假設(shè))51T則信號(hào)在一周期內(nèi)的表達(dá)式為：則信號(hào)在一周期內(nèi)的表達(dá)式為：2/2/12/2/1110110E1)(1TTtjnTTtjnndteTdtetfTF式中，2|01nSaTEFn2/)2/sin(00nnTE0222200jneeTEjnjnnjn0eF)2(nsTEa（5-2-1）xxxSasin)(其中：其中：如下圖如下圖 稱為稱為“取樣取樣”函函數(shù)數(shù).2, 1, 0)(1)(lim0kkSaxSax2)()()(00dxxSadxxSaxSaxxxSasin)(其中：其中：如下圖如下圖 稱為稱為“取樣取樣”函函數(shù)數(shù)其性質(zhì)：

23、其性質(zhì)： 偶函數(shù)偶函數(shù) 2|01nSaTEFn是是 使使 020nSa的的 nF的零點(diǎn)。的零點(diǎn)。) 2 1( 2200， kknkn（5-2-2）3 3頻譜的特性頻譜的特性v(1)(1)離散頻譜特性離散頻譜特性周期信號(hào)的頻譜是由周期信號(hào)的頻譜是由 間隔為間隔為0的譜線組成的譜線組成 信號(hào)周期信號(hào)周期T越大，越大，0就越小，則譜線越密。就越小，則譜線越密。反之，反之，T越小，越小，0越大，譜線則越疏。越大，譜線則越疏。3 3頻譜的特性頻譜的特性(2)(2)幅度衰減特性幅度衰減特性v當(dāng)周期信號(hào)的幅度頻譜當(dāng)周期信號(hào)的幅度頻譜 隨著諧波隨著諧波n 0增大增大 時(shí)，時(shí)，幅度頻譜幅度頻譜|Fn|不斷衰減不

24、斷衰減，并最終趨于零。，并最終趨于零。 v若信號(hào)若信號(hào)時(shí)域波形變化越平緩時(shí)域波形變化越平緩，高次諧波成分就，高次諧波成分就越少，越少，幅度頻譜衰減越快幅度頻譜衰減越快；若信號(hào)時(shí)域波形變；若信號(hào)時(shí)域波形變化跳變?cè)蕉?，高次諧波成分就越多，幅度頻譜化跳變?cè)蕉啵叽沃C波成分就越多，幅度頻譜衰減越慢。衰減越慢。 v (3)(3)信號(hào)的有效帶寬信號(hào)的有效帶寬v 02 / 這段頻率范圍稱為周期矩形脈沖這段頻率范圍稱為周期矩形脈沖信號(hào)的有效頻帶寬度信號(hào)的有效頻帶寬度,即即 2B 信號(hào)的有效帶寬與信號(hào)時(shí)域的持續(xù)時(shí)間信號(hào)的有效帶寬與信號(hào)時(shí)域的持續(xù)時(shí)間 成反比。成反比。 即即 越大，其越大，其B越??；反之，越??；反

25、之， 越小，其越小，其B越大越大。 說(shuō)明：當(dāng)信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)時(shí)，信號(hào)與系統(tǒng)的有效帶寬說(shuō)明：當(dāng)信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)時(shí)，信號(hào)與系統(tǒng)的有效帶寬 必須必須“匹配匹配”。 物理意義：物理意義：在信號(hào)的有效帶寬內(nèi)，集中了信在信號(hào)的有效帶寬內(nèi)，集中了信號(hào)絕大部分諧波分量。若信號(hào)丟失有效帶寬以號(hào)絕大部分諧波分量。若信號(hào)丟失有效帶寬以外的諧波成分，不會(huì)對(duì)信號(hào)產(chǎn)生明顯影響。外的諧波成分，不會(huì)對(duì)信號(hào)產(chǎn)生明顯影響。nnCtxCtx2211)( , )( 若nnCaCatxatxa22112211)()( 則有| nnCC則nn若 為實(shí)信號(hào))(tx )( nCtx若ntnCttx 00j0e)( 則有MntMCtx0je )(則有

26、 )( nCtx若nnCtxCtx2211)( , )(nnCCTtxtx21021)(*)( 則有 )( nCtx若nCntx 0j)( 則有若若 均是周期為均是周期為T0的周期信號(hào)，且的周期信號(hào)，且)()(21txtx和求圖示周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求圖示周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù))2cos()2(Sa5 . 0)(12tnntxn)cos()(Sa.)(22511tnntxn)()()(txtxtx215.2.7 周期信號(hào)的功率譜周期信號(hào)的功率譜周期信號(hào)屬于功率信號(hào)。周期信號(hào)屬于功率信號(hào)。如果如果)(tf是實(shí)信號(hào)，定義為是實(shí)信號(hào)，定義為周期信號(hào)周期信號(hào))(tf在在1電阻上消耗的平均功率，電阻上消耗

27、的平均功率，稱為歸一化平均功率。稱為歸一化平均功率。 式中，式中，T1為周期信號(hào)的周期。為周期信號(hào)的周期。 )(tf的指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)為的指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)為若若222111)(1TTdttfTP（5-2-6） 221110)(1TTtjnndtetfTF ntjnneFtf0)( （5-2-7） 將式（將式（5-2-7）代入式（）代入式（5-2-6）可得）可得222111)(1TTdttfTP221110)(1TTntjnndteFtfT（5-2-8） 把上式的求和與積分的次序交換，得2221|)(1110nnnnnTTtjnnnFFFdtetfTFP簡(jiǎn)稱功率譜。簡(jiǎn)稱功率譜。上式也可以寫(xiě)成

28、1220212022|2|nnnnnnccFFFP該式稱為帕什瓦爾（該式稱為帕什瓦爾（Parseval）功率守恒定理。）功率守恒定理。 物理意義：物理意義：任意周期信號(hào)的平均功率等于信號(hào)所任意周期信號(hào)的平均功率等于信號(hào)所包含的直流、基波以及各次諧波的平均功率之和。包含的直流、基波以及各次諧波的平均功率之和。周期信號(hào)的功率頻譜：周期信號(hào)的功率頻譜： |Fn|2 隨隨n 0 分布情況稱分布情況稱為周期信號(hào)的功率頻譜，簡(jiǎn)稱為周期信號(hào)的功率頻譜，簡(jiǎn)稱功率譜功率譜?！纠?-4】 試求如圖試求如圖5-1所示周期矩形脈沖信號(hào)所示周期矩形脈沖信號(hào)f(t)的功率譜，并計(jì)算的功率譜，并計(jì)算 在其有效帶寬在其有效

29、帶寬 )/20(內(nèi)諧波分量所具有的平均功率占整個(gè)信號(hào)內(nèi)諧波分量所具有的平均功率占整個(gè)信號(hào)平均功率的百分比。平均功率的百分比。 其中，其中， E=1 , 20/1, 4/11T解：解： 周期矩形脈沖信號(hào)周期矩形脈沖信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)復(fù)系數(shù)為的傅里葉級(jí)數(shù)復(fù)系數(shù)為22sin001nnTEFn將將E=1 20/1, 4/11T和和 8210 T代入上式得代入上式得5/2 . 040/2 . 00nSanSaFn)5/(04. 022nSaFn畫(huà)出畫(huà)出 2nF隨隨 0n變化的圖形即得周期矩形脈沖信號(hào)的功率譜，變化的圖形即得周期矩形脈沖信號(hào)的功率譜，如圖如圖5-6所示。所示。 )(tf2 t1T1T

30、 E2 O2512nF40400圖圖 5-6顯然，在有效頻帶寬度顯然，在有效頻帶寬度)/20(內(nèi)，包含了一個(gè)直流分量和內(nèi)，包含了一個(gè)直流分量和四個(gè)諧波分量。四個(gè)諧波分量。 信號(hào)的平均功率為信號(hào)的平均功率為 2222012201212 . 01411)(1dtdttfTP而包含在有效帶寬而包含在有效帶寬 )/20(內(nèi)的各諧波平均功率為內(nèi)的各諧波平均功率為1806. 02412204421nnnnFFFP 從上式可以看出，周期矩形脈沖信號(hào)包含在有效帶寬內(nèi)的各次從上式可以看出，周期矩形脈沖信號(hào)包含在有效帶寬內(nèi)的各次諧波平均功率之和占整個(gè)信號(hào)平均功率的諧波平均功率之和占整個(gè)信號(hào)平均功率的90%。因此，

31、若用直流分。因此，若用直流分量、基波、二次、三次、四次諧波來(lái)近似周期矩形脈沖信號(hào)，可以量、基波、二次、三次、四次諧波來(lái)近似周期矩形脈沖信號(hào)，可以達(dá)到很高的精度。由此可見(jiàn)，周期矩形脈沖信號(hào)的有效帶寬的定義達(dá)到很高的精度。由此可見(jiàn)，周期矩形脈沖信號(hào)的有效帶寬的定義為零至第一個(gè)零點(diǎn)的合理性。為零至第一個(gè)零點(diǎn)的合理性。%90200. 01806. 01PP周期信號(hào)的頻域分析小結(jié)周期信號(hào)的頻域分析小結(jié)v分析問(wèn)題使用的數(shù)學(xué)工具為傅里葉級(jí)數(shù)分析問(wèn)題使用的數(shù)學(xué)工具為傅里葉級(jí)數(shù)v最重要概念：最重要概念：頻譜函數(shù)頻譜函數(shù) v要點(diǎn)要點(diǎn)v1. 頻譜的定義、物理意義頻譜的定義、物理意義 v2. 頻譜的特點(diǎn)頻譜的特點(diǎn) v

32、3. 頻譜的性質(zhì)，應(yīng)用性質(zhì)分析復(fù)雜信號(hào)的頻頻譜的性質(zhì)，應(yīng)用性質(zhì)分析復(fù)雜信號(hào)的頻譜譜 v4. 功率譜的概念及在工程中的應(yīng)用功率譜的概念及在工程中的應(yīng)用連續(xù)非周期信號(hào)的頻譜v從從傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉變換傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉變換v頻譜函數(shù)與頻譜密度函數(shù)的區(qū)別頻譜函數(shù)與頻譜密度函數(shù)的區(qū)別 v傅里葉反變換傅里葉反變換 v非周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜分析非周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜分析1 1從傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉變換從傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉變換討論周期討論周期T增加對(duì)離散譜的影響：增加對(duì)離散譜的影響： 周期為周期為T寬度為寬度為 的周期矩形脈沖的的周期矩形脈沖的Fourier系數(shù)為系數(shù)為)2(Sa0nTAFn1 1從傅立葉

33、級(jí)數(shù)到傅立葉變換從傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉變換討論周期討論周期T增加對(duì)離散譜的影響：增加對(duì)離散譜的影響： 周期為周期為T寬度為寬度為 的周期矩形脈沖的的周期矩形脈沖的Fourier系數(shù)為系數(shù)為 221110)(1TTtjnndtetfTF ntjnneFtf0)( （5-2-7） 5.3.2 非周期信號(hào)的傅里葉變換非周期信號(hào)的傅里葉變換 上式是用周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)通過(guò)極限的方法導(dǎo)出的非周期上式是用周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)通過(guò)極限的方法導(dǎo)出的非周期信號(hào)頻譜的表示式，稱為傅里葉變換。信號(hào)頻譜的表示式，稱為傅里葉變換。 為書(shū)寫(xiě)方便，習(xí)慣上采用如下符號(hào)：為書(shū)寫(xiě)方便，習(xí)慣上采用如下符號(hào)： 傅里葉正變換傅里葉正變

34、換() ( )( )jtF jFT f tf t edt傅里葉逆變換傅里葉逆變換11( ) ()()2j tf tFTF jF jed傅里葉正變換傅里葉正變換() ( )( )jtF jFT f tf t edt物理意義物理意義: F(j )是單位頻率所具有的信號(hào)頻譜，是單位頻率所具有的信號(hào)頻譜， 稱之為非周期信號(hào)的頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱頻譜函數(shù)。稱之為非周期信號(hào)的頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱頻譜函數(shù)。傅里葉逆變換傅里葉逆變換11( ) ()()2j tf tFTF jF jedtnTejF0 j0=n2)(limdejFtftj)(21)(物理意義：非周期信號(hào)可以分解為無(wú)物理意義：非周期信號(hào)可以分解為無(wú)數(shù)

35、個(gè)頻率為數(shù)個(gè)頻率為 ， 復(fù)振幅為復(fù)振幅為F(j )/2 d 的復(fù)指數(shù)信號(hào)的復(fù)指數(shù)信號(hào)ej t的線性組合。的線性組合。T , 記記n 0= , 0=2 /T=d , dejFtftj)(21)(dtetfjFt j)()(傅立葉正變換：傅立葉正變換：傅立葉反變換：傅立葉反變換：符號(hào)表示：符號(hào)表示：)()()()(1jFFtftfFjF)()(jFtfF或例題例題 試求圖示非周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜函數(shù)試求圖示非周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜函數(shù)22tA)(tf解解 非周期矩形脈沖信號(hào)非周期矩形脈沖信號(hào)f(t)的時(shí)域表示式為的時(shí)域表示式為2/| 02/| )(ttAtf，由由傅立葉正變換定義式，傅立葉正變換

36、定義式，可得可得dteAdtetfjFtt22 j j)()()2(SaA 22A)(F分析：分析：2. 周期信號(hào)的離散頻譜可以通過(guò)對(duì)非周期信號(hào)的周期信號(hào)的離散頻譜可以通過(guò)對(duì)非周期信號(hào)的 連續(xù)頻譜等間隔取樣求得連續(xù)頻譜等間隔取樣求得3. 信號(hào)在信號(hào)在時(shí)域有限時(shí)域有限，則在，則在頻域頻域?qū)o(wú)限無(wú)限延續(xù)。延續(xù)。4. 信號(hào)的頻譜分量主要集中在信號(hào)的頻譜分量主要集中在零頻到第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)零頻到第一個(gè)過(guò)零點(diǎn) 之間，工程中往往將此寬度作為之間，工程中往往將此寬度作為有效帶寬有效帶寬。5. 脈沖寬度脈沖寬度 越窄，有限帶寬越寬，高頻分量越多。越窄，有限帶寬越寬，高頻分量越多。 即信號(hào)信息量大、傳輸速度快，傳

37、送信號(hào)所占用即信號(hào)信息量大、傳輸速度快，傳送信號(hào)所占用 的頻帶越寬。的頻帶越寬。1. 非周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜是連續(xù)頻譜，其形狀非周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜是連續(xù)頻譜，其形狀 與周期矩形脈沖信號(hào)離散頻譜的包絡(luò)線相似。與周期矩形脈沖信號(hào)離散頻譜的包絡(luò)線相似。5.3.3常見(jiàn)非周期信號(hào)的傅里葉變換常見(jiàn)非周期信號(hào)的傅里葉變換1.沖激函數(shù)沖激函數(shù))(t()F j單位沖激函數(shù)的傅里葉變換是 j() ( )ed1tF jFT f ttt（5-3-9） 可見(jiàn)，單位沖激函數(shù)的頻譜等于常數(shù)，也就是說(shuō)，在整個(gè)頻率范圍內(nèi)頻譜是均勻分布的。因此，這種頻譜通常稱為“均勻譜”或“白色譜”如圖5-7所示。Ot)(t O1)( F

38、 圖5-7 單位沖激信號(hào)的波形及其頻譜2矩形脈沖信號(hào)矩形脈沖信號(hào)22)(tutuEtfj22edtFjEt22jej tE已知矩形脈沖信號(hào)的表達(dá)式為其中E為脈沖幅度，為脈沖寬度。矩形脈沖信號(hào)的傅里葉變換為：j2ee.22j2j E22sin E2 SaE所以，矩形脈沖信號(hào)的頻譜為()Sa2F jE因此，矩形脈沖信號(hào)的幅度譜和相位譜分別為Sa2FjE 2 21 4 00,1,2,2 21 2 22 nnnnn 因?yàn)?()F j是實(shí)函數(shù)，通常用一條 曲線同時(shí)表示幅度譜 )(F和相位譜 )(如圖5-8所示。EO tft2 2 F E 2O 4 2 圖5-8 矩形脈沖信號(hào)的波形及頻譜通常認(rèn)為這種信號(hào)所

39、占有的頻率范圍（頻帶）B近似為1，即 頻率而非角頻率）頻率而非角頻率）（此處頻帶指的是信號(hào)（此處頻帶指的是信號(hào) 1B 直流信號(hào)直流信號(hào)直流信號(hào)的表達(dá)式為t tf, 1)(由傅里葉反變換公式得 dettj21)(由于)(t是t的偶函數(shù)，所以上式可等價(jià)為1( )()2j ttted作變量代換 t，則上式可寫(xiě)為 11( )122j tj tedtedt 因此有()112( )j tF jFTedt O)2()(jF221)(jF其相頻特性)arctan()(已知單邊指數(shù)信號(hào)的表示式為 FjO E O 2 2 tfOtE圖5-10 單邊指數(shù)信號(hào)的波形及頻譜單邊指數(shù)信號(hào)的波形、幅度頻譜和相位頻譜如圖5-

40、10所示。0)()(tuetft（5-3-15） jdteedtetfjFtjttj1)()(0 (5-3-16)5、符號(hào)函數(shù)、符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)不滿足Dirichlet條件 ttt esgnlim)sgn(0先求乘積信號(hào) tettf sgn1的頻譜1()F jdtetfjFtj)()(1100ttttttdeedeejj 222jj1j1010001tttt , , ,)sgn(符號(hào)函數(shù)sgn(t)定義為 可以借助符號(hào)函數(shù)與雙邊指數(shù)衰減函數(shù)相乘，先得乘積信號(hào)的頻譜，然后取極限，從而得到符號(hào)函數(shù)的頻譜。幅度頻譜 )sgn(2|2| )(|jF相位頻譜 sgn22/2/)(0 0 符號(hào)函數(shù)的幅度頻

41、譜和相位頻譜如圖5-11所示 12200j 22jlimlimFjFj 2 ()F jOO 22 圖5-11 符號(hào)函數(shù)的幅度頻譜和相位頻譜符號(hào)函數(shù)的頻譜為 6、單位階躍信號(hào)、單位階躍信號(hào)u(t)sgn(2121)()(21)()(21)(ttututututu1 ( )( )FT u tj 單位階躍信號(hào)的幅度頻譜和相位頻譜如圖5-12所示。 單位階躍信號(hào)也不滿足Dirichlet條件，但其傅里葉變換同樣存在。可以利用符號(hào)函數(shù)和直流信號(hào)的頻譜來(lái)求單位階躍信號(hào)的頻譜。 單位階躍信號(hào)可用直流信號(hào)和符號(hào)函數(shù)表示為 OFj O 22 圖5-12 階躍信號(hào)的幅度頻譜和相位頻譜 5.4 傅里葉變換的基本性質(zhì)

42、傅里葉變換的基本性質(zhì)一、線性性質(zhì)一、線性性質(zhì)若若)()(11jwFtfFT)()(22jwFtfFT同時(shí)，同時(shí)，a a1 1 a a2 2 時(shí)兩個(gè)任意常數(shù)時(shí)兩個(gè)任意常數(shù)則則)()()()(22112211jwfajwFatfatfaFT 【例例5-5】 已知信號(hào)已知信號(hào)f(t)的波形所示，試求信號(hào)的波形所示，試求信號(hào)f(t)的傅里葉變換。的傅里葉變換。 解：解： f(t)可看成兩個(gè)方波疊加，所以由線性性質(zhì)可得可看成兩個(gè)方波疊加，所以由線性性質(zhì)可得 ( )f tt2244012)4(2)2()(SaSajF)4(2)(1SajF)2()(2SajF可得：可得：故：故：)j ()( FtfF若若)

43、j(*)(* FtfF則則)j (*)(* FtfF 當(dāng)當(dāng)x(t)為實(shí)偶函數(shù)時(shí)，有為實(shí)偶函數(shù)時(shí)，有X(j ) = X*(j ) ， X(j )是是 的的實(shí)偶實(shí)偶函數(shù)函數(shù) 當(dāng)當(dāng)x(t)為實(shí)奇函數(shù)時(shí)，有為實(shí)奇函數(shù)時(shí)，有X(j ) = X*(j ) ， X(j )是是 的的虛奇虛奇函數(shù)函數(shù) 3、時(shí)移性質(zhì)、時(shí)移性質(zhì)若若)()(jFtfFT則則)()(00jFettftjFT試求圖示延時(shí)矩形脈沖信號(hào)試求圖示延時(shí)矩形脈沖信號(hào)x1(t)的頻的頻譜函數(shù)譜函數(shù)X1(j )。解：解： 無(wú)延時(shí)且寬度為無(wú)延時(shí)且寬度為 的的矩形脈沖信號(hào)矩形脈沖信號(hào)x(t) 如圖，如圖，)2(Sa)j ( AFTXX j1e )j ()

44、j ( )()(1TtxtxTAje )2(Sa因?yàn)橐驗(yàn)楣剩晒?，由延時(shí)特性延時(shí)特性可得可得其對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)為其對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)為)(tf0的頻的頻 【例例5-105-10】 脈沖寬度為脈沖寬度為，脈沖高度為，脈沖高度為E E的的單矩形脈沖單矩形脈沖譜為譜為 0()2F jE Sa求三矩形脈沖信號(hào)求三矩形脈沖信號(hào))()()()(TtfTtftftf000的頻譜。的頻譜。 解解: 利用傅里葉變換的線性和時(shí)移特性有利用傅里葉變換的線性和時(shí)移特性有00()()(1)()12 cos()()12 cos()2j Tj TF jF jeeF jTE SaT圖圖5-16 單脈沖、三脈沖信號(hào)的波形及頻譜單脈沖

45、、三脈沖信號(hào)的波形及頻譜E)(tf0t02 2 E)(tft02 2 T-T其頻譜如圖所示。其頻譜如圖所示。 4、尺度變換、尺度變換若若)()( jFtfFT （a為非零的實(shí)函數(shù)）為非零的實(shí)函數(shù)） 則則)(1)(ajFaatfFT X(j)x(t)x(t)X(j)tt0.50.511 尺度特性說(shuō)明，信號(hào)在時(shí)域中壓縮（尺度特性說(shuō)明，信號(hào)在時(shí)域中壓縮（|a|1），頻域中擴(kuò)展；反），頻域中擴(kuò)展；反之，信號(hào)在時(shí)域中擴(kuò)展之，信號(hào)在時(shí)域中擴(kuò)展(|a|1)，在頻域中一定壓縮；即信號(hào)的脈寬，在頻域中一定壓縮；即信號(hào)的脈寬與頻寬成反比。一般時(shí)寬有限的信號(hào)，其頻寬無(wú)限，反之亦然。在與頻寬成反比。一般時(shí)寬有限的信號(hào)

46、，其頻寬無(wú)限，反之亦然。在通信系統(tǒng)中，常需要增加通信速度，這就要求相應(yīng)地?cái)U(kuò)展通信設(shè)備通信系統(tǒng)中，常需要增加通信速度，這就要求相應(yīng)地?cái)U(kuò)展通信設(shè)備的有效帶寬。的有效帶寬。其波形和頻譜如圖所示。其波形和頻譜如圖所示。1t)(tf02)(F0222（a）)21(tf01t2)2(2F0（b）1t)2(tf0442)2(21F044（c）圖圖5-15 【例例5-9】 已知已知2)(SatfF求求f(2t)和和f(t/2)的頻譜函數(shù)。的頻譜函數(shù)。解：根據(jù)傅里葉變換的尺度變換特性解：根據(jù)傅里葉變換的尺度變換特性 42)2(SatfFSatfF2)2/(后語(yǔ)音信號(hào)的變化后語(yǔ)音信號(hào)的變化 f (t) f (1.

47、5t) f (0.5t)00.050.4-0.5-0.4-0.3-0.2-一段語(yǔ)音信號(hào)一段語(yǔ)音信號(hào)(“對(duì)了對(duì)了”) 。抽樣頻率。抽樣頻率 = 22050Hzx(t)x(t/2)x(2t)5、對(duì)稱性（互易性）、對(duì)稱性（互易性）若若 ( )()Ff tF j則則 ()2()FF jtf【例例5-75-7】試求函數(shù)試求函數(shù)ttsin的傅里葉變換。的傅里葉變換。 ( )2FT f tE Sa2,02)(t t ,Etf解：解： 因?yàn)橐驗(yàn)榈母道锶~變換為的傅里葉變換為， () ( )2F jFT f tSa1|,01|,1)(

48、t t tf所以所以的傅里葉變換為的傅里葉變換為。 xxxSasin)( xxsin2 根據(jù)傅里葉變換的對(duì)稱性根據(jù)傅里葉變換的對(duì)稱性若若 ( )()Ff tF j則則 ()2()FF jtf可得：可得：() ( )2F jFT f tSa 1| , 01| , 1)(tttf的傅里葉變換為的傅里葉變換為212sin ( )2( )01tFT f tFTft兩邊同乘以兩邊同乘以12，得，得)1(u)1(u101tsintFT對(duì)應(yīng)的變換圖如圖對(duì)應(yīng)的變換圖如圖5-14所示：所示： 圖圖5-14若若)()( jFtfFT則則)()(00 jFetfFTtj 式中，式中， 0為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。 cos)(0ttfF e )(21e )(2100jjtttfFtfF 信號(hào)信號(hào)f(t)與與余弦信號(hào)余弦信號(hào)cos 0 t相乘后，其頻譜是將相乘后，其頻譜是將原來(lái)信號(hào)頻譜向左右搬移原來(lái)信號(hào)頻譜向左右搬移 0，幅度減半。幅度減半。sin)(0ttfF )( j 21)( j 2100 FF)( j 2j)( j 2j00 FF同理同理 e )(j21e )(j2100jjtttfFtfF 例例2 2 試求矩形脈沖信號(hào)試求矩形脈沖信號(hào)f(t)與余弦