自學(xué)考試線性代數(shù)

1、自考高數(shù)線性代數(shù)筆記第一章 行列式1.1行列式的定義（一）一階、二階、三階行列式的定義（1）定義：符號叫一階行列式，它是一個(gè)數(shù)，其大小規(guī)定為：。注意：在線性代數(shù)中，符號不是絕對值。例如，且；（2）定義：符號叫二階行列式，它也是一個(gè)數(shù)，其大小規(guī)定為：所以二階行列式的值等于兩個(gè)對角線上的數(shù)的積之差。（主對角線減次對角線的乘積）例如（3）符號叫三階行列式，它也是一個(gè)數(shù)，其大小規(guī)定為例如=0三階行列式的計(jì)算比較復(fù)雜，為了幫助大家掌握三階行列式的計(jì)算公式，我們可以采用下面的對角線法記憶方法是：在已給行列式右邊添加已給行列式的第一列、第二列。我們把行列式左上角到右下角的對角線叫主對角線，把右上角到左下角的

2、對角線叫次對角線，這時(shí)，三階行列式的值等于主對角線的三個(gè)數(shù)的積與和主對角線平行的線上的三個(gè)數(shù)的積之和減去次對角線三個(gè)數(shù)的積與次對角線的平行線上數(shù)的積之和。例如：（1）=159+267+348-357-168-249=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可見，在三階行列式中，三角形行列式的值為主對角線的三個(gè)數(shù)之積，其余五項(xiàng)都是0，例如例1a為何值時(shí)， 解因?yàn)樗?-3a=0，時(shí)例2當(dāng)x取何值時(shí)，答疑編號10010102：針對該題提問解：解得0x9所以當(dāng)0x1）： 答疑編號10010307：針對該題提問解將行列式按第一列展開

3、，得 （簡化的過程就是消階，次方也應(yīng)減少，為（N-1）等 例12計(jì)算范德蒙德（VanderMonde）行列式： 答疑編號10010308：針對該題提問（第一行乘（-X1）加到第二行上；第二行乘（-X1）加到第三行上）例13 計(jì)算 答疑編號10010309：針對該題提問（這是個(gè)定律） 例14計(jì)算 （解題規(guī)律：每行或是每列中的和是一樣的，故每行或是每列都乘“1”加到第一行或是第一列上去，再把這個(gè)數(shù)當(dāng)公因數(shù)提取，形成有一行或是列全為“1”的行列式，然后再化簡）答疑編號10010310：針對該題提問=（x+4a）（x-a）4 1.4克拉默法則由定理1.2.1和定理1.3.1合并有或 （一）二元一次方程

4、組（方程1、2左右同乘以一個(gè)數(shù)，上下對減） 由a22*-a12*得由a11-a21得 令 =D =D1=D2則有 A是常數(shù)項(xiàng)當(dāng)D0時(shí)，二元一次方程組有唯一解（二）三元一次方程組 令叫系數(shù)行列式， ， 由D中的A11+A21+A31得 即 由D中的A12+A22+A32得即 由D中的A13+A23+A33得即 當(dāng)D0時(shí)，三元一次方程組有唯一解一般地，有下面結(jié)果定理（克拉默法則） 在n個(gè)方程的n元一次方程組（1）中，若它的系數(shù)行列式0則n元一次方程組有唯一解。推論：在n個(gè)方程的n元一次齊次方程組（2）中（1）若系數(shù)行列式D0，方程組只有零解（2）若系數(shù)行列式D=0則方程組（2）除有零解外，還有非零

5、解（不證）例在三元一次齊次方程組中，a為何值時(shí)只有零解，a為何值時(shí)有非0解。答疑編號10010401：針對該題提問解： =2a-6+3-4-（-9）-a=a+2（1）a-2時(shí)，D0,只有零解（2）a=-2時(shí) ，D=0 ，有非零解。 本章考核內(nèi)容小結(jié)（一）知道一階，二階，三階，n階行列式的定義知道余子式，代數(shù)余子式的定義（二）知道行列式按一行（列）的展開公式（三）熟記行列式的性質(zhì)，會(huì)用展開公式或?qū)⑿辛惺交癁槿切蔚姆椒ㄓ?jì)算行列式重點(diǎn)是三階行列式的計(jì)算和各行（列）元素之和相同的行列式的計(jì)算（四）知道克拉默法則的條件和結(jié)論本章作業(yè)習(xí)題1.11.（1）（4）（5）（6）3.（1）（2）習(xí)題1.21、2

6、、3.（1）（2）（3），4.（1）習(xí)題1.31.（1）（2）（3）2.（1）（2）4.（1）（2）5、6.（1）（2）（3）（4）（5）（8）（11）（12）（14）習(xí)題1.43第二章 矩陣2.1矩陣的概念定義2.1.1由mn個(gè)數(shù)aij（i=1，2，m；j=1，2，n）排成一個(gè)m行n列的數(shù)表 用大小括號表示稱為一個(gè)m行n列矩陣。矩陣的含義是，這mn個(gè)數(shù)排成一個(gè)矩形陣列。其中aij稱為矩陣的第i行第j列元素（i=1，2，m；j=1，2，n），而i稱為行標(biāo)，j稱為列標(biāo)。第i行與第j列的變叉位置記為（i，j）。通常用大寫字母A，B，C等表示矩陣。有時(shí)為了標(biāo)明矩陣的行數(shù)m和列數(shù)n，也可記為A=（ai

7、j）mn或（aij）mn或Amn當(dāng)m=n時(shí)，稱A=（aij）nn為n階矩陣，或者稱為n階方陣。n階方陣是由n2個(gè)數(shù)排成一個(gè)正方形表，它不是一個(gè)數(shù)（行列式是一個(gè)數(shù)），它與n階行列式是兩個(gè)完全不同的概念。只有一階方陣才是一個(gè)數(shù)。一個(gè)n階方陣A中從左上角到右下角的這條對角線稱為A的主對角線。n階方陣的主對角線上的元素a11，a22，ann，稱為此方陣的對角元。在本課程中，對于不是方陣的矩陣，我們不定義對角元。元素全為零的矩陣稱為零矩陣。用Omn或者O（大寫字）表示。特別，當(dāng)m=1時(shí)，稱=（a1，a2，an）為n維行向量。它是1n矩陣。當(dāng)n=1時(shí)，稱為m維列向量。它是m1矩陣。向量是特殊的矩陣，而且它

8、們是非常重要的特殊矩陣。例如，（a，b，c）是3維行向量，是3維列向量。幾種常用的特殊矩陣：1.n階對角矩陣形如或簡寫為（那不是A，念“尖”）的矩陣，稱為對角矩陣，對角矩陣必須是方陣。 例如，是一個(gè)三階對角矩陣，也可簡寫為。2.數(shù)量矩陣當(dāng)對角矩陣的主對角線上的元素都相同時(shí)，稱它為數(shù)量矩陣。n階數(shù)量矩陣有如下形式：或。（標(biāo)了角標(biāo)的就是N階矩陣，沒標(biāo)就不知是多少的）特別，當(dāng)a=1時(shí)，稱它為n階單位矩陣。n階單位矩陣記為En或In，即或在不會(huì)引起混淆時(shí)，也可以用E或I表示單位矩陣。n階數(shù)量矩陣常用aEn或aIn表示。其含義見2.2節(jié)中的數(shù)乘矩陣運(yùn)算。3.n階上三角矩陣與n階下三角矩陣形如的矩陣分別稱

9、為上三角矩陣和下三角矩陣。對角矩陣必須是方陣。一個(gè)方陣是對角矩陣當(dāng)且僅當(dāng)它既是上三角矩陣，又是下三角矩陣。4.零矩陣 （可以是方陣也可以不是方陣）2.2矩陣運(yùn)算本節(jié)介紹矩陣的加法、減法、數(shù)乘、乘法和轉(zhuǎn)置等基本運(yùn)算。只有在對矩陣定義了一些有理論意義和實(shí)際意義的運(yùn)算后，才能使它成為進(jìn)行理論研究和解決實(shí)際問題的有力工具。2.2.1矩陣的相等（同）定義2.2.1設(shè)A=（aij）mn，B=（bij）kl，若m=k，n=l且aij=bij，i=1，2，m；j=1，2，n，則稱矩陣A與矩陣B相等，記為A=B。由矩陣相等的定義可知，兩個(gè)矩陣相等指的是，它們的行數(shù)相同，列數(shù)也相同，而且兩個(gè)矩陣中處于相同位置（i

10、，j）上的一對數(shù)都必須對應(yīng)相等。特別，A=（aij）mn=Oaij=0，i=1，2，m；j=1，2，n。注意行列式相等與矩陣相等有本質(zhì)區(qū)別，例如因?yàn)閮蓚€(gè)矩陣中（1，2）位置上的元素分別為0和2。但是卻有行列式等式 （因?yàn)樾辛惺绞菙?shù)，矩陣是表，表要求表里的每一個(gè)都一樣）2.2.2矩陣的加、減法定義2.2.2設(shè)A=（aij）mn和B=（bij）mn，是兩個(gè)mn矩陣。由A與B的對應(yīng)元素相加所得到的一個(gè)mn矩陣，稱為A與B的和，記為A+B，即A+B=（aij+ bij）mn。即若則當(dāng)兩個(gè)矩陣A與B的行數(shù)與列數(shù)分別相等時(shí)，稱它們是同型矩陣。只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，它們才可相加。例如注意：（1）矩陣的

11、加法與行列式的加法有重大區(qū)別例如 （階數(shù)相同，所有的行（列）中除某一行（列）不相同外，其余的行都一樣才可以相加，方法是除了這兩個(gè)不同的行（列）相加外，其它的不變。）（2）階數(shù)大于1的方陣與數(shù)不能相加。（階數(shù)大于1它就是一個(gè)表，不是一個(gè)數(shù)了）若A=（aij）為n階方陣，n1，a為一個(gè)數(shù)，則A+a無意義！但是n階方陣A=（aij）mn與數(shù)量矩陣aEn可以相加： （把數(shù)轉(zhuǎn)化為數(shù)量矩陣aEn就可以想加了）由定義2.2.2知矩陣的加法滿足下列運(yùn)算律：設(shè)A，B，C都是mn矩陣，O是mn零矩陣，則（1）交換律A+B=B+A.（乘法沒有交換律）（2）結(jié)合律（A+B）+C=A+（B+C）.（3）A+O=O+A=

12、A.（4）消去律A+C=B+CA=B.2.2.3數(shù)乘運(yùn)算（矩陣與數(shù)不能相加，但是可能想乘）定義2.2.3對于任意一個(gè)矩陣A=（aij）mn和任意一個(gè)數(shù)k，規(guī)定k與A的乘積為kA=（kaij）mn.（矩陣?yán)锏牡趥€(gè)原數(shù)都乘以數(shù)K）即若 則由定義2.2.3可知，數(shù)k與矩陣A的乘積只是A中的所有元素都要乘以k，而數(shù)k與行列式Dn的乘積只是用k乘Dn中某一行的所有元素，或者用k乘Dn中某一列的所有元素，這兩種數(shù)乘運(yùn)算是截然不同的。根據(jù)數(shù)乘矩陣運(yùn)算的定義可以知道，數(shù)量矩陣aEn就是數(shù)a與單位矩陣En的乘積。數(shù)乘運(yùn)算律（1）結(jié)合律（kl）A=k（lA）=klA，k和l為任意實(shí)數(shù)。（2）分配律k（A+B）=k

13、A+kB，（k+l）A=kA+lA，k和l為任意實(shí)數(shù)。例1已知求2A-3B。答疑編號：10020101針對該題提問解例2已知且A+2X=B，求X。答疑編號：10020102針對該題提問解：（注意是乘以矩陣?yán)锏拿總€(gè)元素）2.2.4乘法運(yùn)算定義2.2.4設(shè)矩陣A=（aij）mk，B=（bij）kn，令C=（cij）mn是由下面的mn個(gè)元素cij=ai1b1j+ai2b2j+aikbkj（i=1，2，m；j=1，2，n）構(gòu)成的m行n列矩陣，稱矩陣C為矩陣A與矩陣B的乘積，記為C=AB。由此定義可以知道，兩個(gè)矩陣A=（aij）和B=（bij）可以相乘當(dāng)且僅當(dāng)A的列數(shù)與B的行數(shù)相等。當(dāng)C=AB時(shí)，C的行

14、數(shù)=A的行數(shù)，C的列數(shù)=B的列數(shù)。C的第i行第j列元素等于矩陣A的第i行元素與矩陣B的第j列對應(yīng)元素的乘積之和。例3若且AB=C求矩陣C中第二行第一列中的元素C21答疑編號：10020103針對該題提問解：C21等于左矩陣A中的第二行元素與右矩陣B中第一列元素對應(yīng)乘積之和C21=21+ 13+ 00=5 例4設(shè)矩陣（列 行）求AB。答疑編號：10020104針對該題提問解：=這里矩陣A是33矩陣，而B是32矩陣，由于B的列數(shù)與A的行數(shù)不相等，所以BA沒有意義。例5求（1）A3E3（2）E3A3解：（1）答疑編號：10020105針對該題提問（2）答疑編號：10020106針對該題提問由本例可見

15、A3E3=E3A3=A3，并且可以推廣有它與代數(shù)中的1a=a1=a比較可見單位矩陣En在乘法中起單位的作用。例6設(shè)矩陣求AB和BA答疑編號：10020107針對該題提問解：現(xiàn)在，我們對矩陣乘法與數(shù)的乘法作一比較。數(shù)的乘法有交換律，矩陣乘法沒有普遍交換律。（差別）例7設(shè) 求（1）AB（2）AC解（1）答疑編號：10020108針對該題提問（2）答疑編號：10020109針對該題提問可見AB=AC眾所周知，兩個(gè)數(shù)的乘積是可交換的：ab=ba，因而才有熟知的公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，a2-b2=（a+b）（a-b），（ab）k=akbk.兩個(gè)非零數(shù)的乘積不可能為零。因此，當(dāng)ab=0時(shí)，

16、必有a=0或b=0。當(dāng)ab=ac成立時(shí)，只要a0，就可把a(bǔ)消去得到b=c。（這條只滿足數(shù)，不滿足矩陣）由矩陣乘法及上述例6、例7可知：（1）單位矩陣與任意一個(gè)同階方陣的乘積必可交換：EnA=AEn=A（2）數(shù)量矩陣與任意一個(gè)同階方陣的乘積必可交換：（aEn）A=A（aEn）.（3）在一般情形下，矩陣的乘法不滿足交換律，即一般ABBA。（4）當(dāng)AB=O時(shí)，一般不能推出A=O或B=O。這說明矩陣乘法不滿足消去律。（5）當(dāng)AB=AC時(shí)，一般不能推出B=C。（消去律）若矩陣A與B滿足AB=BA，則稱A與B可交換。此時(shí)，A與B必為同階方陣。矩陣乘法不滿足消去律，并不是說任意兩個(gè)方陣相乘時(shí)，每一個(gè)方陣都不

17、能從矩陣等式的同側(cè)消去。在下一節(jié)中我們將會(huì)看到，被稱為可逆矩陣的方陣一定可以從矩陣等式的同側(cè)消去。例8設(shè)矩陣，求出所有與A可交換的矩陣。（即AB=BA）答疑編號：10020201針對該題提問解因?yàn)榕cA可交換的矩陣必為二階矩陣，所以可設(shè)為與A可交換的矩陣，則由AX=XA，可推出x12=0，x11=x22，且x11，x21可取任意值，即得。（對角線必須一樣）例9解矩陣方程，X為二階矩陣。答疑編號：10020202針對該題提問解 設(shè)。由題設(shè)條件可得矩陣等式：由矩陣相等的定義得 （列出兩組方程式）解這兩個(gè)方程組可得x11=1，x21= -1，x12=1，x22=0。所以。 乘法運(yùn)算律（1）矩陣乘法結(jié)合

18、律（AB）C=A（BC）。（不改變順序）（2）矩陣乘法分配律（A+B）C=AC+BC，A（B+C）=AB+AC。（3）兩種乘法的結(jié)合律k（AB）=（kA）B=A（kB），k為任意實(shí)數(shù)。（4）EmAmn=Amn，AmnEn=Amn（其中Em，En分別為m階和n階單位矩陣）。矩陣乘法的結(jié)合律要用定義直接驗(yàn)證（證略），其他三條運(yùn)算律的正確性是顯然的。方陣的方冪設(shè)A為n階方陣，由于矩陣乘法滿足結(jié)合律，所以可以不加括號而有完全確定的意義。我們定義A的冪（或稱方冪）為由定義可知，n階方陣的方冪滿足下述規(guī)則：AkAl=Ak+l，（Ak）l=Akl，k，l為任意正整數(shù)。例10用數(shù)學(xué)歸納法證明以下矩陣等式：（1

19、）（2）。證（1）當(dāng)n=1時(shí)，矩陣等式顯然成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，矩陣等式成立，即則知道，當(dāng)n=k+1時(shí)，矩陣等式也成立。所以對任意正整數(shù)n，此矩陣等式成立。答疑編號：10020203針對該題提問（2）當(dāng)n=1時(shí)，矩陣等式顯然成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，矩陣等式成立，即則知道，當(dāng)n=k+1時(shí)，矩陣等式也成立。所以對任意正整數(shù)n，此矩陣等式都成立。答疑編號：10020204針對該題提問例11設(shè)n階方陣A和B滿足，證明：（解B平方為多少）。答疑編號：10020205針對該題提問證由可推出B=2A-En。再由B2=（2A-En）（2A-En）=4A2-4A+En （E等于1呀）證得例12前者是數(shù)，后者是n階

20、方陣，兩者不相等，即ABBA.（行乘列為數(shù)，列乘行為N階方陣）答疑編號：10020206針對該題提問因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律，所以對于n階方陣A和B，有以下重要結(jié)論：（1）（A+B）2=（A+B）（A+B）=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2 AB=BA。（2）（A+B）（A-B）=A2-AB+BA-B2=A2-B2AB=BA。（3）當(dāng)AB=BA時(shí)必有（AB）k=AkBk.（只有兩者兩等時(shí)成立）例如AB=BA時(shí)，（AB）2=（AB）（AB）=ABAB=A（BA）B=AABB=（AA）（BB）=A2B2但ABBA時(shí)，則上面結(jié)果不成立。例13設(shè)，則有答疑編號：10020207針對該題提問因

21、為矩陣乘法不滿足消去律，所以對于n階方陣A和B，有以下重要結(jié)論：（1）AB=O，AO不能推出B=O。例如時(shí)（兩個(gè)不等于零的方陣相乘或是一個(gè)數(shù)平方也可能等于零）（2）由A2=O不能推出A=O。例如則（3）由AB=AC，AO不能推出B=C。例如時(shí)（同系數(shù)兩個(gè)數(shù)或是兩個(gè)數(shù)的平方相等）即AB=AC，但BC（4）由A2=B2不能推出A=B。例如，取則2.2.5矩陣的轉(zhuǎn)置定義2.2.5設(shè)矩陣把矩陣的行與列互換得到的nm矩陣，稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT或A，即易見A與AT互為轉(zhuǎn)置矩陣。特別，n維行（列）向量的轉(zhuǎn)置矩陣為n維列（行）向量。例如，則若A=（a1，a2，an）則若則BT=（b1，b2，bn）例

22、14如果已知A為ln矩陣，BAT為rl矩陣，證明：B為rn矩陣。答疑編號：10020208針對該題提問證設(shè)B為x行y列的矩陣則有BxxyATnl=（BAT）xl根據(jù)可乘條件有y=n根據(jù)積的形狀有x=r所以B為Brn例15求（1）AB（2）（AB）T（3）ATBT（4）BTAT解：（1）答疑編號：10020209針對該題提問（2）答疑編號：10020210針對該題提問（3）答疑編號：10020211針對該題提問（4）答疑編號：10020212針對該題提問由本例可見（AB）T=BTAT，這一結(jié)果有普遍性（不證）轉(zhuǎn)置運(yùn)算律（1）（AT）T=A（2）（A+B）T=AT+BT（3）（kA）T=kAT，k

23、為實(shí)數(shù)。（4）（AB）T=BTAT，（A1A2An）T=AnTA n-1TA1T.定義2.2.6設(shè)A=（aij）為n階實(shí)方陣。若A滿足AT=A，也就是說A中元素滿足：aij=aji，i，j=1，2，n，則稱A為實(shí)對稱矩陣。若A滿足AT=-A，也就是說A中元素滿足：aij=-aji，i，j=1，2，n，此時(shí)必有aii=0，i=1，2，n，則稱A為實(shí)反對稱矩陣。實(shí)矩陣指的是元素全為實(shí)數(shù)的矩陣，在本課程中，我們只討論實(shí)對稱矩陣和實(shí)反對稱矩陣，因此，往往省略一個(gè)“實(shí)”字。例如，都是對稱矩陣；都是反對稱矩陣。例16證明：任意一個(gè)實(shí)方陣A都可以惟一地表示為一個(gè)對稱矩陣與一個(gè)反對稱矩陣之和。答疑編號：100

24、20213針對該題提問證：取則A=X+Y其中=XX是對稱陣。Y是反對稱陣。（注）舉例證明了下面結(jié)論，對任意方陣A都有（A+AT）是對稱陣（A-AT）是反對稱陣?yán)?7（1）設(shè)A為n階對稱矩陣，證明：對于任意n階方陣P，PTAP必為對稱矩陣。（2）如果已知PTAP為n階對稱矩陣，問A是否必為對稱矩陣？證（1）因?yàn)锳是對稱矩陣，必有AT=A（滿足這個(gè)條件），于是必有（PTAP）T=PTATP=PTAP 這說明PTAP必為對稱矩陣。答疑編號：10020214針對該題提問（2）反之，如果PTAP為n階對稱矩陣：（PTAP）T=PTAP，則有PTATP=PTAP，但是矩陣乘法不滿足消去律，在矩陣等式兩邊，

25、未必能把PT和P消去，所以不能推出AT=A，A未必是對稱矩陣。答疑編號：10020215針對該題提問2.2.6方陣的行列式 定義2.2.7由n階方陣A的元素按原來的順序構(gòu)成的行列式稱為方陣A的行列式，記作或det（A）。即，如果，則。例如，的行列式為。 注意（1）矩陣是一個(gè)數(shù)表，行列式是一個(gè)數(shù)，二者不能混淆，而且行列式記號“”與矩陣記號“（*）”也不同，不能用錯(cuò)。（2）矩陣的行數(shù)與列數(shù)未必相等，但行列式的行數(shù)與列數(shù)必須相等。（3）當(dāng)且僅當(dāng)為n階方陣時(shí)，才可取行列式。對于不是方陣的矩陣是不可以取行列式的。易見，上、下三角矩陣的行列式等于它的所有對角線元素的乘積。特別，。，例18 設(shè)且有。求答疑編

26、號：10020301針對該題提問解：所以由本例可見一般地應(yīng)有方陣的行列式有如下性質(zhì)：設(shè)A，B為n階方陣，k為數(shù)，則（1）；（2）；（3）。（行列式乘法規(guī)則）（1），（2）的證明可由方陣行列式的定義及行列式性質(zhì)直接得到。（3）的證明從略。例19 設(shè)，則答疑編號：10020302針對該題提問，。于是得，。例20 設(shè)A，B同為n階方陣。如果AB=O，則由答疑編號：10020303針對該題提問知道，必有或。但未必有A=O或B=O。例21 證明：任意奇數(shù)階反對稱矩陣的行列式必為零。答疑編號：10020304針對該題提問證：設(shè)A為2n-1階反對稱矩陣，則有。于是根據(jù)行列式性質(zhì)1和性質(zhì)2，得到，因?yàn)槭菙?shù)，所

27、以必有。2.2.7方陣多項(xiàng)式 任意給定一個(gè)多項(xiàng)式和任意給定一個(gè)n階方陣A，都可以定義一個(gè)n階方陣，稱f（A）為A的方陣多項(xiàng)式。注意：在方陣多項(xiàng)式中，末項(xiàng)必須是數(shù)量矩陣而不是常數(shù)。方陣多項(xiàng)式是以多項(xiàng)式形式表示的方陣。例22：設(shè)，求f（A）答疑編號：10020305針對該題提問解：例23：若A=B-C，其中，。證明答疑編號：10020306針對該題提問證：由 2.3方陣的逆矩陣我們知道，對于任意一個(gè)數(shù)a0，一定存在惟一的數(shù)b，使ab=ba=1，這個(gè)b就是a的倒數(shù)，常記為。而且a與b互為倒數(shù)。對于方陣A，我們可類似地定義它的逆矩陣。 定義2.3.1設(shè)A是一個(gè)n階方陣。若存在一個(gè)n階方陣B，使得（其中

28、是n階單位陣），（2.5）則稱A是可逆矩陣（或非奇異矩陣），并稱方陣B為A的逆矩陣。A的逆矩陣記為，即。若滿足（2.5）式的方陣B不存在，則稱A為不可逆矩陣（或奇異矩陣）。由逆矩陣的定義可見若B是A的逆矩陣。則反過來A也是B的逆矩陣。即若，則有 可逆矩陣的基本性質(zhì)設(shè)A，B為同階的可逆方陣，常數(shù)k0，則（1）為可逆矩陣，且（2）（3）證推廣有 （4）證 （5）證 （6）（7）若A可逆且AB=AC，則有消去律B=C證：如何判定一個(gè)給定方陣是否可逆呢？為了回答這個(gè)問題，我們先給出下面的概念。定義2.3.2設(shè)，為的元素的代數(shù)余子式（i,j=1,2,n），則矩陣稱為A的伴隨矩陣，記為。 由伴隨矩陣的定義

29、可以看出，在構(gòu)造A的伴隨矩陣時(shí)，必須放在中的第j行第i列的交叉位置上，也就是說，的第i行元素的代數(shù)余子式，構(gòu)成的第i列元素。由1.4節(jié)中的定理1.4.1可得 ，即（2.7）類似可得（2.8）現(xiàn)在我們來證明下面的重要定理。這個(gè)定理給出了判定一個(gè)n階方陣是否可逆的一個(gè)充要條件，以及方陣可逆時(shí)，求出其逆矩陣的一個(gè)方法。 定理2.3.2n階方陣A為可逆矩陣。證：必要性 設(shè)A是n階可逆矩陣，則存在n階方陣B，使。由方陣乘積的行列式法則，可得，于是必有。充分性 設(shè)為n階方陣且，構(gòu)造如下n階方陣：。則由（2.9）式可得矩陣等式，由矩陣可逆的定義可知A是可逆矩陣，而且還得到了求逆矩陣公式 推論：設(shè)A，B均為n

30、階矩陣，并且滿足，則A，B都可逆，且，。證：由，可得，因此且，故由定理2.3.2知A可逆，B也可逆。在兩邊左乘，得，在兩邊右乘，得，這個(gè)推論表明，以后我們驗(yàn)證一個(gè)矩陣是另一個(gè)矩陣的逆矩陣時(shí)，只需要證明一個(gè)等式或成立即可，而用不著按定義同時(shí)驗(yàn)證兩個(gè)等式。例1 若，求答疑編號：10020401針對該題提問解：例如：解：例2 設(shè)，當(dāng)a，b，c，d滿足什么條件時(shí)，矩陣A是可逆矩陣？當(dāng)A是可逆矩陣時(shí)，求出。答疑編號：10020402針對該題提問解：A可逆。當(dāng)A可逆時(shí)，例1，例2的結(jié)果可以作為求二階方陣的逆矩陣或伴隨矩陣的公式例如，例3 判斷矩陣是否可逆，求出它的逆矩陣。答疑編號：10020403針對該題

31、提問解（1）由于故矩陣A可逆。（2）逐個(gè)求出代數(shù)余子式和伴隨矩陣：，；。于是。由上例可以看出，當(dāng)n3時(shí)，用伴隨矩陣求逆矩陣計(jì)算量是很大的，特別是當(dāng)n4時(shí)不宜用伴隨矩陣來求逆矩陣。例4 設(shè)A為n階方陣，則。答疑編號：10020404針對該題提問證：由知道。當(dāng)時(shí)，顯然有。例5 若。求A的逆矩陣和A+E的逆矩陣。答疑編號：10020405針對該題提問解：（1） （2）例6 設(shè)A是3階方陣且，求（1）（2）（3）（4）答疑編號：10020406針對該題提問解：（1）（2）（3）（4）2.4分塊矩陣分塊矩陣?yán)碚撌蔷仃嚴(yán)碚撝械闹匾M成部分，在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)會(huì)遇到行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了表示方

32、便和運(yùn)算簡潔，常對矩陣采用分塊的方法，即用一些貫穿于矩陣的橫線和縱線把矩陣分割成若干小塊，每個(gè)小塊叫做矩陣的子塊（子矩陣），以子塊為元素的形式的的矩陣叫分塊矩陣。例如，設(shè)，令，則A的一個(gè)分塊矩陣為這樣A可以看成由4個(gè)子矩陣（子塊）為元素組成的矩陣，它是一個(gè)分塊矩陣。分塊矩陣的每一行稱為一個(gè)塊行，每一列稱為一個(gè)塊列。上述分塊矩陣中有兩個(gè)塊行、兩個(gè)塊列。 mn矩陣的分塊矩陣的一般形式為對于同一個(gè)矩陣可有不同的分塊法。采用不同的分塊方法得到的是不同的分塊矩陣。對于任意一個(gè)mn矩陣，常采用以下兩種特殊的分塊方法：行向量表示法，其中，i=1，2，m；列向量表示法，其中，j=1，2，n。前者也稱為將A按行

33、分塊，后者也稱為將A按列分塊。例如，令，以及，可分別得到A的行分塊矩陣和列分塊矩陣：，。下面我們介紹4種最常用的分塊矩陣的運(yùn)算。需要特別指出的是，分塊矩陣的所有運(yùn)算僅僅是前面所講的矩陣運(yùn)算換了一種形式的表述方法，而并不是另外定義一種新的矩陣運(yùn)算。2.4.1分塊矩陣的加法把mn矩陣A和B作同樣的分塊：，其中，的行數(shù)的行數(shù)；的列數(shù)的列數(shù)，1ir，1js，則例1 設(shè)，都是四階方陣的列向量分塊矩陣。已知和，求出行列式的值。答疑編號：10020501針對該題提問解：根據(jù)分塊矩陣加法的定義知道，A+B的前三列都有公因數(shù)2，利用行列式性質(zhì)2，提出公因數(shù)后可以求出再利用行列式的性質(zhì)5，把它拆開以后，即可求出

34、2.4.2數(shù)乘分塊矩陣數(shù)k與分塊矩陣的乘積為2.4.3分塊矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè)則其轉(zhuǎn)置矩陣為 式中，。分塊矩陣轉(zhuǎn)置時(shí)，不但看做元素的子塊要轉(zhuǎn)置，而且每個(gè)子塊是一個(gè)子矩陣，它內(nèi)部也要轉(zhuǎn)置，這一現(xiàn)象不妨稱為“內(nèi)外一起轉(zhuǎn)”。例2，我們發(fā)現(xiàn)：不但每個(gè)子矩陣的位置作了轉(zhuǎn)置，而且每個(gè)子矩陣的內(nèi)部也作了轉(zhuǎn)置。答疑編號：10020502針對該題提問例3 設(shè)是一個(gè)用列向量表示的mn陣，其中每個(gè)都是m維列向量，則A的轉(zhuǎn)置矩陣是答疑編號：10020503針對該題提問例如，設(shè)，則2.4.4分塊矩陣的乘法和分塊方陣求逆設(shè)矩陣，。利用分塊矩陣計(jì)算乘積AB時(shí)，應(yīng)使左邊矩陣A的列分塊方式與右邊矩陣B的行分塊方式一致，然后把矩陣的子塊當(dāng)做元素來看待，并且相乘時(shí)，A的各