解析圓錐曲線階段性測試題

1、平面解析幾何階段性測試題_圓錐曲線第卷(選擇題共60分)一、選擇題4若雙曲線1上的一點(diǎn)P到它的右焦點(diǎn)的距離為8，則點(diǎn)P到它的左焦點(diǎn)的距離是_ 答案 4或12解析a24，a2，設(shè)左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，則由定義知|PF1|PF2|4，|PF1|8|4，|PF1|12或4.5設(shè)橢圓1(m>0，n>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y28x的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為_答案1解析拋物線y28x的焦點(diǎn)F(2,0)，由條件得，故選B.已知向量n(4,3)與直線l的方向平行，又知直線l過拋物線x24y的焦點(diǎn)，則直線l與拋物線圍成的封閉圖形面積為_答案 解析由條件知，kl，又l過拋物線x24y的

2、焦點(diǎn)F(0,1)，l的方程為y1x，即3x4y40，由解得l與拋物線兩交點(diǎn)坐標(biāo)為A(1，)，B(4,4)，故所求面積S (x1x2)dx(x2xx3)|.8已知雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線均和圓C：x2y26x50相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為_答案1解析雙曲線的漸近線方程為y±x，圓C的圓心C(3,0)，半徑r2，由條件知，.8已知A、B是雙曲線與一個圓的四個交點(diǎn)中的兩個點(diǎn)，如圖，構(gòu)成等邊三角形ABF2，則雙曲線的離心率為()8以雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F為圓心，作半徑為b的圓F，則圓F與雙曲線的漸近線()A相交B

3、相離C相切D不確定答案C解析雙曲線的焦點(diǎn)F(c,0)到漸近線yx的距離為db，故F與漸近線相切9拋物線y2mx的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(2,2)在此拋物線上，M為線段PF的中點(diǎn)，則點(diǎn)M到該拋物線準(zhǔn)線的距離為()A1B. C2D.答案D解析點(diǎn)P(2,2)在拋物線上，(2)22m，m4，P到拋物線準(zhǔn)線的距離為2(1)3，F(xiàn)到準(zhǔn)線距離為2，M到拋物線準(zhǔn)線的距離為d.10(北京四中期末)曲線x2y|y|1與直線ykx有且僅有兩個公共點(diǎn)，則k的取值范圍是()A1,1 B(，11，)C(1,1) D(，1)(1，)答案C解析方程x2y|y|1，即或，其圖形如圖，若直線ykx與此曲線有且僅有兩個公共點(diǎn)，則1<

4、k<1.設(shè)雙曲線的一個焦點(diǎn)為F，虛軸的一個端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么雙曲線的離心率是()A. B. C. D.答案D解析設(shè)F(c,0)，B(0，b)，則kFB，由條件知·()1，b2ac，又b2c2a2，c2a2ac0，e2e10，e>1，e.12已知P是雙曲線1(b>0)上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是左右焦點(diǎn)，PF1F2的三邊長成等差數(shù)列，且F1PF2120°，則雙曲線的離心率等于()A. B. C. D.答案D解析由條件知，2|PF1|PF2|F1F2|，a2，設(shè)|PF2|t，則|PF1|4t，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22

5、|PF1|·|PF2|·cos120°t2(4t)22×t(4t)·()3t212t16.由2|PF1|PF2|F1F2|得，|F1F2|t8，3t212t16(t8)2，t0，t6.|F1F2|14，e.已知雙曲線1，其右焦點(diǎn)為F，P為其上一點(diǎn)，點(diǎn)M滿足|1，·0，則|的最小值為()A3 B.C2 D.答案B解析|1，F(xiàn)為定點(diǎn)，點(diǎn)M在以F為圓心，1為半徑的圓上，又P在雙曲線上，設(shè)P(x0，y0)，則1，yx16，·0，MFMP，|2|PF|2|MF|2(x05)2y1(x05)2x17x10x08(x0)21，x03或x0

6、3，|3，|min.二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)16已知圓C：x2y26x4y80，以圓C與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別作為雙曲線的一個焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，則適合上述條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_答案1解析在C方程中，令x0得y24y80無解，令y0得x26x80，x2或4，故雙曲線方程中a2，c4，b2c2a212，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.14已知雙曲線的離心率e=54 ，則漸近線的方程為_已知直線axy20與雙曲線x21的一條漸近線平行，則這兩條平行直線之間的距離是_答案解析雙曲線的漸近線方程為y±2x，由條件知a±2，兩平行線2xy20與y2x

7、之間的距離是d.14已知雙曲線1(b>0)的離心率為2，則它的一焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為_答案2解析由條件知，2，b212，b2，一焦點(diǎn)F(4,0)到一條漸近線yx的距離d2.設(shè)雙曲線1(b>a>0)的半焦距為c，直線l過A(a,0)，B(0，b)兩點(diǎn)，若原點(diǎn)O到l的距離為c，則雙曲線的離心率為()A.或2 B2 C.或 D.答案B已知F1、F2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，滿足·0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍為_.已知雙曲線1(a>0，b>0)的兩個焦點(diǎn)為F1、F2，若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍為_.橢圓x2

8、4+y23=1的中心為O，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則OPFP的最大值為_.雙曲線 x216y29=1的中心為O，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為雙曲線左支上任意一點(diǎn)，則OPFP的最小值為_.15若方程x2sin2y2cos1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么的取值范圍是_答案，kZ解析根據(jù)題意知，化簡得，.解得(kZ)三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，且橢圓過點(diǎn)M(1，)(1)求橢圓方程；(2)過點(diǎn)N(，0)作不與y軸垂直的直線l交該橢圓于P，Q兩點(diǎn)，A為橢圓的左頂點(diǎn)，試判斷PAQ的大小是否為定值，并說明理由

9、解析 (1)設(shè)橢圓的方程為1(a>b>0)，由題意c，且橢圓過點(diǎn)M(1，)，橢圓方程為y21.(2)設(shè)直線PQ：xty，由消去x得，(t24)y2ty0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，y1y2，y1y2，又A(2,0)，·(x12，y1)·(x22，y2)(x12)(x22)y1y2(ty1)(ty2)y1y2(t21)y1y2t(y1y2)0，PAQ(定值)18(本小題滿分12分)(文)已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)P(1，)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)F是橢圓C的左焦點(diǎn)，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的

10、位置關(guān)系，并說明理由解析(1)橢圓1(a>b>0)的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)P，即，解得，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)a24，b23，c1.橢圓C的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)以橢圓C的長軸為直徑的圓的方程為x2y24，圓心坐標(biāo)是(0,0)，半徑為2.以PF為直徑的圓的方程為x22，圓心坐標(biāo)是，半徑為.兩圓心之間的距離為2，故以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓內(nèi)切(理)已知動圓過定點(diǎn)P(1,0)，且與直線x1相切(1)求動圓圓心M的軌跡C的方程；(2)設(shè)A、B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個不同點(diǎn)，若OAOB，證明直線AB恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)解析(1)設(shè)圓心M(x，y)由題意知點(diǎn)M到點(diǎn)P

11、的距離等于點(diǎn)M到直線x1的距離，故點(diǎn)M的軌跡C是以P(1,0)為焦點(diǎn)，直線x1為準(zhǔn)線的拋物線軌跡C的方程是y24x.(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為ykxb(k0)代入C的方程并整理得k2x2(2kb4)xb20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.故y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2.由OAOB得x1x2y1y20，即0，解得b4k或b0(舍去)此時，直線AB的方程為：ykx4k，即yk(x4)此時直線AB過定點(diǎn)(4,0)當(dāng)直線AB的斜率不存在時，由OAOB可知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(4，4)、(4,4)此時直線AB也過定

12、點(diǎn)(4,0)綜上所述，直線AB恒過定點(diǎn)(4,0)19(本小題滿分12分)(文)(2011·廣東廣州一模)已知直線y2上有一個動點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作直線l1垂直于x軸，動點(diǎn)P在l1上，且滿足OPOQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，記點(diǎn)P的軌跡為C.(1)求曲線C的方程；(2)若曲線l2是曲線C的一條切線，當(dāng)點(diǎn)(0,2)到直線l2的距離最短時，求直線l2的方程解析(1)設(shè)P(x，y)，則Q(x，2)，OPOQ，kOP·kOQ1.當(dāng)x0時，得·1，化簡得x22y.當(dāng)x0時，P、O、Q三點(diǎn)共線，不符合題意，故x0.曲線C的方程為x22y(x0)(2)解法一：直線l2與曲線C相切，直線l2的斜

13、率存在設(shè)直線l2的方程為ykxb，由得x22kx2b0.直線l2與曲線C相切，4k28b0，即b.由(0,2)到直線l2的距離d·()×2.當(dāng)且僅當(dāng)，即k±時，等號成立，此時b1.直線l2的方程為xy10或xy10.解法二：由x22y，得yx.直線l2與曲線C相切，設(shè)切點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x1，y1)，其中y1x，則直線l2的方程為：yy1x1(xx1)，化簡得x1xyx0.點(diǎn)(0,2)到直線l2的距離d·()×2.當(dāng)且僅當(dāng)，即x1±時，等號成立直線l2的方程為xy10或xy10.(理)(20112012·包頭一中期末)已知橢圓P

14、的中心O在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)A(0,2)，離心率為.(1)求橢圓P的方程；(2)是否存在過點(diǎn)E(0，4)的直線l交橢圓P于點(diǎn)R、T，且滿足·8.若存在，求直線l的方程；若不存在，說明理由解析(1)設(shè)橢圓P的方程為1(a>b>0)由題意得：b2，e，c2，a4，故橢圓P的方程為1.(2)假設(shè)存在滿足題意的直線l.易知當(dāng)直線l的斜率不存在時，不符合題意，故直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為：ykx4.由可得：(34k2)x232kx160，則(32k)24(34k2)×16>0，k2>，設(shè)R(x1，y1)，T(x2，y2)，則，y1

15、y2(kx14)(kx24)k2x1x24k(x1x2)1616，·8，x1x2y1y28，8，k2>，k±，直線l的方程為：y±x4，故存在直線y±x4滿足題意20(本小題滿分12分)(文)(20112012·山東日照模擬)設(shè)橢圓C1和拋物線C2的焦點(diǎn)均在x軸上，C1的中心和C2的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，從每條曲線上各取兩點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：x324y204(1)求曲線C1，C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l與橢圓C1交于不同兩點(diǎn)M、N，且·0，請問是否存在直線l過拋物線C2的焦點(diǎn)F？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由解析

16、(1)由題意(2,0)，一定在橢圓C1上，設(shè)C1方程為1，則a2，橢圓C1上任何點(diǎn)的橫坐標(biāo)|x|2.所以(，)也在C1上，從而b21，C1的方程為y21.從而(3，2)，(4，4)一定在C2上，設(shè)C2的方程為y22px(p>0)，p2，即C2的方程為y24x.(2)假設(shè)直線l過C2的焦點(diǎn)F(1,0)當(dāng)l的斜率不存在時，則M(1，)，N(1，)此時·10，與已知矛盾當(dāng)l的斜率存在時設(shè)為k，則l的方程為yk(x1)代入C1方程并整理得，(14k2)x28k2x4k240.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2，x1x2.y1y2k(x11)k(x21)k2(x1x2x1x

17、21)，·0，x1x2y1y20，k240，k±2，存在符合條件的直線l且方程為y±2(x1)(理)(20112012·襄陽市調(diào)研)已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線xy0相切，過點(diǎn)P(4,0)且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)求·的取值范圍；(3)若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是E，證明：直線AE與x軸相交于定點(diǎn)解析(1)由題意知e，e2，即a2b2，又b，a24，b23，故橢圓的方程為1.(2)由題意知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為yk(x4)

18、，由得：(4k23)x232k2x64k2120.由(32k2)24(4k23)(64k212)>0得：k2<，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2 y1y2k(x14)k(x24)k2x1x24k2(x1x2)16k2，·x1x2y1y2(1k2)·4k2·16k2250k2<，<，·4，)，·的取值范圍是4，)(3)證明：B、E兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，E(x2，y2)，直線AE的方程為yy1(xx1)，令y0得，xx1，又y1k(x14)，y2k(x24)，x，由將代入得：x1，直線AE與x軸交于定點(diǎn)

19、(1,0)21(本小題滿分12分)(文)(20112012·南昌一模)橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為.點(diǎn)P(1，)，A、B在橢圓E上，且m(mR)(1)求橢圓E的方程及直線AB的斜率；(2)當(dāng)m3時，證明原點(diǎn)O是PAB的重心，并求直線AB的方程解析(1)由e21及1，解得a24，b23，橢圓方程為1。設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，由m得(x1x22，y1y23)m(1，)，即，又1，1，兩式相減得kAB××.(2)由(1)知，點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)的坐標(biāo)滿足，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，)，m3，于是x1x213m0，y1y230，因

20、此PAB的重心坐標(biāo)為(0,0)即原點(diǎn)是PAB的重心x1x21，y1y2，AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，又1，1，兩式相減得kAB×，直線AB的方程為y(x)，即x2y20.(理)已知點(diǎn)M(2,0)，N(2,0)，動點(diǎn)P滿足條件|PM|PN|2.記動點(diǎn)P的軌跡為W.(1)求W的方程；(2)若A、B是W上的不同兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求·的最小值解析(1)解法1：由|PM|PN|2知點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線1的右支；其實半軸長a，半焦距c2，虛半軸長b，所以W的方程為1，(x)解法2：設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則|PM|，|PN|，由條件得2，化簡得W的方程為1，其中x.(2)

21、解法1：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)當(dāng)ABx軸，x1x2，y1y2，從而·x1x2y1y2xy2，當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB方程為ykxm，與W的方程聯(lián)立，消去y得(1k2)x22kmxm220，故x1x2，x1x2，所以·x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2m22，因為x1x2>0，所以k21>0，從而·>2綜上，當(dāng)ABx軸時，·取得最小值2.解法2：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)再設(shè)直線AB方程為xmyr，與W的方程聯(lián)立，消去x得(m2

22、1)y22mry(r22)0，故y1y2，y1y2，所以·x1x2y1y2y1y2(my1r)(my2r)(m21)y1y2mr(y1y2)r2(m21)mrr22 .由x1x2>0不難得到0m2<1，于是·22(4)2，當(dāng)且僅當(dāng)m0時，上式中“”成立因此當(dāng)直線AB的方程為xr，即ABx軸時，·取得最小值2.22(本小題滿分14分)(文)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M(x0,0)且橢圓的長半軸長是x0與半焦距的等比中項，4.(1)求橢圓的離心率e；(2)過左焦點(diǎn)F且斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若·2，求橢圓的

23、方程解析(1)設(shè)橢圓方程為1，F(xiàn)(c,0)，則由條件知，x0·ca2，x0，即M.由4得，4(c,0)4c，e.(2)設(shè)直線AB的方程為y(xc)，直線AB與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)由(1)可得a24c2，b23c2.由，消去y得，11x216cx4c20.x1x2，x1x2c2.·(x1，y1)·(x2，y2)x1x2y1y2，且y1·y22(x1c)(x2c)2x1x22c(x1x2)2c2.3x1x22c(x1x2)2c22.即c2c22c22.c21.則a24，b23.橢圓的方程為1.(理)(20112012·南通

24、市調(diào)研)設(shè)A1、A2與B分別是橢圓E：1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，直線A2B與圓C：x2y21相切(1)求證：1；(2)P是橢圓E上異于A1，A2的一點(diǎn)，直線PA1，PA2的斜率之積為，求橢圓E的方程；(3)直線l與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，且·0，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系，并說明理由解析(1)已知橢圓E：1(a>b>0)，A1，A2與B分別為橢圓E的左右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，所以A1(a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，直線A2B的方程是1.因為A2B與圓C：x2y21相切，所以1，即1.(2)設(shè)P(x0，y0)，則直線PA1，PA2的斜率之積為kPA

25、1·k PA2·1，而1，所以b2a2.結(jié)合1，得a24，b2.所以，橢圓E的方程為1.(3)設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)若直線l的斜率存在，設(shè)直線l為ykxm，將ykxm代入1得，1.化簡得，(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20(>0)x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2km()m2.因為·0，所以x1x2y1y20.代入得(a2b2)m2a2b2(1k2)0.結(jié)合(1)的1，得m21k2.圓心到直線l的距離為d1，所以直線l與圓C相切若直線l的斜率不存在，設(shè)直線l：xn.代入1，得y

26、±b.|n|b，a2n2b2(a2n2)解得n±1，所以直線l與圓C相切1(20112012·綏化市一模)若圓C：x2y22x4y30關(guān)于直線2axby60對稱，則由點(diǎn)(a，b)向圓所作的切線長的最小值是()A2B3C4D6答案C解析C：(x1)2(y2)22，圓心C(1,2)在直線2axby60上，ab30，由點(diǎn)P(a，b)向圓引切線，設(shè)切線長為l，則l2|PC|2r2(a1)2(b2)22(b4)2(b2)222b24b182(b1)21616，l4，當(dāng)b1，a2時，lmin4.2(20112012·吉林省延吉市質(zhì)檢)若雙曲線1(a>0，b&g

27、t;0)的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，線段F1F2被拋物線y22bx的焦點(diǎn)分成7:5的兩段，則此雙曲線的離心率為()A.B.C. D.答案C解析由條件知，c3b，c2a2b2，c29(c2a2)，e2，e.3(20112012·重慶模擬)雙曲線y23x21的漸近線方程是()Ay±3x By±xCy±x Dy±x答案C4設(shè)F是橢圓1的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21個不同的點(diǎn)Pi(i1,2,3，)使|FP1|，|FP2|，|FP3|，組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍為_答案解析易知1|FPn|1，若a11，an1，則ana1(n1)dd(n21)，

28、即0<d，當(dāng)d<0時，d<0，故有d.5(20112012·廣東韶關(guān)調(diào)研)設(shè)拋物線C的方程為x24y，M(x0，y0)為直線l：ym(m>0)上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線C的兩條切線MA，MB，切點(diǎn)分別為A，B.(1)當(dāng)M的坐標(biāo)為(0，1)時，求過M，A，B三點(diǎn)的圓的方程，并判斷直線l與此圓的位置關(guān)系；(2)求證：直線AB恒過定點(diǎn)(0，m)解析(1)當(dāng)M的坐標(biāo)為(0，1)時，設(shè)過M點(diǎn)的切線方程為ykx1，代入x24y，整理得x24kx40，令(4k)24×40，解得k±1，代入方程得x±2，故得A(2,1)，B(2,1)，因為M到AB的中點(diǎn)(0,1)的距離為2，從而過M，A，B三點(diǎn)的圓的方程為x2(y1)24.易知此圓與直線l：y1相切(2)證法一：設(shè)切點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，過拋物線上點(diǎn)A(x1，