雙曲線的標準方程與幾何性質(zhì)—題

1、雙曲線的標準方程與幾何性質(zhì)題 2.3.1雙曲線的標準方程1雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的_等于常數(shù)(小于|F1F2|且不等于零)的點的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點叫做_，_叫做雙曲線的焦距2雙曲線的標準方程焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程焦點F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1_，F(xiàn)2_焦距|F1F2|2c，c2_探究點一雙曲線的定義問題1取一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點，分別固定在點F1，F(xiàn)2上，把筆尖放在點M處，拉開閉攏拉鏈，筆尖經(jīng)過的點可畫出一條曲線，思考曲線滿足什么條件？結(jié)論：平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|且不等

2、于零)的點的軌跡叫做雙曲線這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距問題2雙曲線的定義中強調(diào)平面內(nèi)動點到兩定點的距離差的絕對值為常數(shù)，若沒有絕對值，則動點的軌跡是什么？問題3雙曲線的定義中，為什么要限制到兩定點距離之差的絕對值為常數(shù)2a,2a<|F1F2|?問題4已知點P(x，y)的坐標滿足下列條件，試判斷下列各條件下點P的軌跡是什么圖形？(1)|6；(2)6.探究點二雙曲線的標準方程問題1類比橢圓標準方程的推導過程，思考怎樣求雙曲線的標準方程？問題2兩種形式的標準方程怎樣進行區(qū)別？能否統(tǒng)一？問題3如圖，類比橢圓中a，b，c的意義，你能在y軸上找一點B，使|OB|b嗎？例

3、1(1)已知雙曲線的焦點在y軸上，并且雙曲線過點(3，4)和， 求雙曲線的標準方程；(2)求與雙曲線1有公共焦點，且過點(3，2)的雙曲線方程小結(jié)(1)雙曲線標準方程的求解方法是“先定型，后計算”先看焦點所在的坐標軸是x軸還是y軸，從而設(shè)出相應的標準方程(2)在求雙曲線的方程時，若不知道焦點的位置，則進行討論，或可直接設(shè)雙曲線的方程為Ax2By21 (AB<0)(3)與雙曲線1共焦點的雙曲線的標準方程可設(shè)為1(b2<<a2)跟蹤訓練1(1)過點(1,1)且的雙曲線的標準方程是()A.y21 B.x21Cx21 D.y21或x21(2)若雙曲線以橢圓1的兩個頂點為焦點，且經(jīng)過橢

4、圓的兩個焦點，則雙曲線的標準方程為_探究點三雙曲線定義及標準方程的應用例2已知雙曲線的方程是1，點P在雙曲線上，且到其中一個焦點F1的距離為10，點N是PF1的中點，求|ON|的大小(O為坐標原點)小結(jié)雙曲線的定義是解決與雙曲線有關(guān)的問題的主要依據(jù)在應用時，一是注意條件|PF1|PF2|2a (0<2a<|F1F2|)的使用，二是注意與三角形知識相結(jié)合，經(jīng)常利用正、余弦定理，同時要注意整體運算思想的應用跟蹤訓練2如圖，從雙曲線1的左焦點F引圓x2y23的切線FP交雙曲線右支于點P，T為切點，M為線段FP的中點，O為坐標原點，則|MO|MT|等于()A. B.C. D.例3已知A，B

5、兩地相距2 000 m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚4 s，且聲速為330 m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程小結(jié)(1)解答與雙曲線有關(guān)的應用問題時，不但要準確把握題意，了解一些實際問題的相關(guān)概念，同時還要注意雙曲線的定義及性質(zhì)的靈活應用(2)實際應用問題要注意其實際意義以及在該意義下隱藏著的變量范圍跟蹤訓練32008年5月12日，四川汶川發(fā)生里氏8.0級地震，為了援救災民，某部隊在如圖所示的P處空降了一批救災藥品，今要把這批藥品沿道路PA、PB送到矩形災民區(qū)ABCD中去，已知PA100 km，PB150 km，BC60 km，APB60°，試在災民區(qū)中確定一條界線，使位于界線一側(cè)的點

6、沿道路PA送藥較近，而另一側(cè)的點沿道路PB送藥較近，請說明這一界線是一條什么曲線？并求出其方程1已知A(0，5)、B(0,5)，|PA|PB|2a，當a3或5時，P點的軌跡為A雙曲線或一條直線B雙曲線或兩條直線C雙曲線一支或一條直線D雙曲線一支或一條射線2若k>1，則關(guān)于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲線是A焦點在x軸上的橢圓B焦點在y軸上的橢圓C焦點在y軸上的雙曲線D焦點在x軸上的雙曲線3雙曲線1上一點P到點(5,0)的距離為15，那么該點到(5,0)的距離為 A7 B23 C5或25 D7或234已知動圓M與圓C1：(x4)2y22外切，與圓C2：(x4)2y22內(nèi)切，求

7、動圓圓心的軌跡方程1雙曲線定義中|PF1|PF2|2a (2a<|F1F2|)不要漏了絕對值符號，當2a|F1F2|時表示兩條射線2在雙曲線的標準方程中，a>b不一定成立要注意與橢圓中a，b，c的區(qū)別在橢圓中a2b2c2，在雙曲線中c2a2b2.3用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程時，要先判斷焦點所在的位置，設(shè)出標準方程后，由條件列出a，b，c的方程組如果焦點不確定要分類討論，采用待定系數(shù)法求方程或用形如mx2ny21 (mn<0)的形式求解. 2.3.2雙曲線的幾何性質(zhì)1雙曲線的幾何性質(zhì)標準方程1 (a>0，b>0)1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍對稱性

8、對稱軸：_對稱中心：_對稱軸：_對稱中心：_頂點坐標漸近線離心率e，e(1，)2. 等軸雙曲線實軸和虛軸_的雙曲線叫等軸雙曲線，它的漸近線是_.探究點一雙曲線的幾何性質(zhì)問題1類比橢圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合圖象，你能得到雙曲線1 (a>0，b>0)的 哪些幾何性質(zhì)？例1求雙曲線9y216x2144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程小結(jié)討論雙曲線的幾何性質(zhì)，先要將雙曲線方程化為標準形式，然后根據(jù)雙曲線兩種形式的特點得到幾何性質(zhì)跟蹤訓練1求雙曲線9y24x236的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率 和漸近線方程探究點二由雙曲線的幾何性質(zhì)求標準方程例2求中心在原點，對稱軸

9、為坐標軸，且滿足下列條件的雙曲線方程：(1)雙曲線過點(3,9)，離心率e；(2)過點P(2，1)，漸近線方程是y±3x.小結(jié)由雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線的標準方程，一般用待定系數(shù)法當雙曲線的焦點不明確時，方程可能有兩種形式，此時應注意分類討論，為了避免討論，也可設(shè)雙曲線方程為mx2ny21 (mn>0)，從而直接求得若已知雙曲線的漸近線方程為y±x，還可以將方程設(shè)為 (0)，避免討論焦點的位置跟蹤訓練2求滿足下列條件的雙曲線方程：(1)以2x±3y0為漸近線，且經(jīng)過點(1,2)；(2)離心率為，虛半軸長為2；(3)與橢圓x25y25共焦點且一條漸近線方程為y

10、x0.探究點三雙曲線的離心率例3設(shè)雙曲線1 (0<a<b)的半焦距為c，直線l過A(a,0)，B(0，b)兩點，且原點到直線l的距離為c，求雙曲線的離心率小結(jié)(1)求雙曲線離心率的常見方法：依據(jù)條件求出a，c，利用e；利用e；依據(jù)條件，建立關(guān)于a，b，c的齊次關(guān)系式，消去b轉(zhuǎn)化為離心率e的方程求解(2)求離心率的范圍，常結(jié)合已知條件構(gòu)建關(guān)于a、b、c的不等關(guān)系跟蹤訓練3(1)如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線1 (a>0，b>0)的兩個焦點，A、B是以O(shè)為圓心、以O(shè)F1為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且F2AB是等邊三角形，雙曲線的離心率e_.(2)設(shè)點P在雙曲線1 (a

11、>0，b>0)的右支上，雙曲線兩焦點為F1、F2，|PF1|4|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍為_1已知雙曲線的離心率為2，焦點是(4,0)，(4,0)，則雙曲線的方程為A.1 B.1 C.1 D.12雙曲線的漸近線方程為y±x，則雙曲線的離心率是()A B2 C或 D或3若在雙曲線1 (a>0，b>0)的右支上到原點O和右焦點F的距離相等的點有兩個，則雙曲線的離心率的取值范圍是Ae> B1<e< Ce>2 D1<e<24已知雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線方程為y±x，若頂點到漸近線的距離為1，則雙曲線方程為_1漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)兩方程聯(lián)系密切，把雙曲線的標準方程1 (a>0，b>0)右邊