（整理版）第五講一元一次方程

1、第五講 一元一次方程根底知識(shí) 一. 一元一次方程:只含有一個(gè)未知數(shù),而且這個(gè)未知數(shù)的最高次數(shù)是一次的方程叫做一元一次方程. 二. 應(yīng)用題中常見(jiàn)類(lèi)型及關(guān)系式: 1. 行程問(wèn)題: 距離 = 速度時(shí)間; 2. 工程問(wèn)題: 工作總量 = 工作效率工作時(shí)間; 3. 濃度問(wèn)題: 溶質(zhì)量 = 濃度溶液量; 4. 復(fù)制和百分率問(wèn)題: 增量 = 根本量增長(zhǎng)率; 5. 分解與合成問(wèn)題: 含量 = 含有率體積; 6. 質(zhì)量問(wèn)題: 質(zhì)量 = 密度體積;7. 作功問(wèn)題: 功 = 功率時(shí)間;例題精析 例1. 解方程 解: 1. 當(dāng) 是方程唯一的解. 2. 當(dāng) (1) 當(dāng) 一切實(shí)數(shù)都是方程的解.(2) 當(dāng), 方程無(wú)解.例2

2、. 解方程解: 先求使絕對(duì)值為零的值,它們是它們將軸分成三個(gè)區(qū)間:1. 當(dāng)是方程的解.2. 當(dāng),一切滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)都是方程的解.3. 當(dāng)條件矛盾,所以方程無(wú)解.綜上所述:滿(mǎn)足-31的一切實(shí)數(shù)都是方程的解.例3. 一個(gè)人在河中劃船,在標(biāo)有A游標(biāo)處遺失了攜帶的救生圈,他繼續(xù)逆流劃行了20分鐘后,發(fā)現(xiàn)救生圈失落,于是倒轉(zhuǎn)船頭尋找,結(jié)果在B處找到,如果AB的距離2千米,那么河水的速度是多少?解: 設(shè)船速米/分,河水速度為米/分.依題意: 所以,水流速度是50米/分.例4. 某人沿著電車(chē)路旁行走,留心到每隔6分鐘,有一輛電車(chē)從他身后開(kāi)到前面去,每隔兩分鐘,一輛電車(chē)由他對(duì)面開(kāi)過(guò)來(lái).假設(shè)該的電車(chē)的速度始終是均勻

3、的,問(wèn)每隔幾分鐘電車(chē)起點(diǎn)站開(kāi)出一輛電車(chē)?解1: 設(shè)每隔分鐘從電車(chē)站開(kāi)過(guò)一輛電車(chē),那么人走6分鐘,追來(lái)的電車(chē)比人晚分鐘,追來(lái)的電車(chē)走分鐘,人走了2分鐘,迎面開(kāi)來(lái)的電車(chē)走了分鐘,人行速度與電車(chē)的速度比為: 所以,每隔3分鐘從電車(chē)起點(diǎn)站發(fā)一輛電車(chē).解2:設(shè)每分鐘從電車(chē)站發(fā)一輛車(chē),又設(shè)電車(chē)速度為,人行速度為,那么有:(1) - (2) ,代入(1)得.所以,每隔3分鐘發(fā)一輛電車(chē).例5, 一個(gè)工人加工一批零件,限期完成,假設(shè)每小時(shí)做10個(gè),就可以超過(guò)任務(wù)3個(gè),假設(shè)每小時(shí)加工11 個(gè),就可以提前1小時(shí)完成,他的任務(wù)是加工多少個(gè)零件?限多少小時(shí)?解:設(shè)他的任務(wù)是加工個(gè)零件,那么有 所以,他的任務(wù)是加工77個(gè)

4、零件,限制8小時(shí).例6. 甲,乙兩臺(tái)打麥機(jī),甲機(jī)工作效率是乙機(jī)的2倍,先用甲機(jī)打完麥子的,然后用乙機(jī)全部打完,所需的時(shí)間比同時(shí)用兩臺(tái)機(jī)器全部打完麥子所需時(shí)間多11天,問(wèn)分別用一臺(tái)機(jī)器打完全部麥子各需多少天?解1: 分析, 如以時(shí)間為基準(zhǔn)找等量關(guān)系,可用 “全量=局部量之和或其推論.設(shè)甲打完全部麥子用天,那么乙打完全部麥子用天.設(shè)全部工作量為1, 那么甲打完全部麥子的所用的時(shí)間為.乙打其余的麥子所用的時(shí)間為,而甲,乙兩臺(tái)機(jī)器同時(shí)打完全部麥子所用的時(shí)間為,所以有:解得(天),即甲機(jī)打完全部麥子需用15天,乙機(jī)需用(天).解2: 如以甲,乙兩機(jī)工作效率為基準(zhǔn)找等量關(guān)系,可設(shè)為甲機(jī)打完全部麥子所需要天

5、數(shù),那么乙打完全部麥子所需天數(shù)為.是甲機(jī)的工作效率,為乙機(jī)工作的效率,是甲,乙兩機(jī)同時(shí)工作的效率.如果再能把到兩機(jī)同時(shí)工作的效率表示出來(lái),那么方程也就列出來(lái)了.依照題意知,甲,乙兩機(jī)同時(shí)工作打完全部麥子所用的時(shí)間為所以甲,乙共同工作的效率為由此可列方程為,解得(天),即甲機(jī)打完全部麥子需15天,乙機(jī)打完全部麥子用天.例7. 甲容器中有純酒精11 千克,乙容器中有水15千克.先將甲容器中一局部純酒精倒入乙容器,使酒精溶于水中,第二次將乙容器中一局部溶液倒入甲容器,這樣甲容器中純酒精含量為62.5%,乙容器中純酒精含量為25%.問(wèn)第二次從乙容器倒入甲容器的溶液多少千克?解:分析 要求出第二次從乙容

6、器倒入甲容器有多少千克,只須求出第一次從甲容器倒入乙容器的純酒精數(shù)即可.設(shè)第一次由甲容器倒入乙容器千克酒精,第二次由乙容器倒入甲容器千克溶液.由得: (千克)同時(shí)甲容器情況,得:于是有: (千克)所以,第二次從乙容器中倒入甲容器6千克溶液.例8. 從兩個(gè)重量分別為千克和千克.且含銅百分?jǐn)?shù)不同的合金上,切下重量相等的兩塊.把所切下的每塊與另一種剩余的合金加在一起熔煉后,兩者含銅百分?jǐn)?shù)相同,問(wèn)切下的重量是多少千克?解:設(shè)切下千克,又設(shè)重千克的銅合金中含銅百分?jǐn)?shù)為,重千克的銅合金含銅百分?jǐn)?shù)為,依題意有:解得: (千克)即切下的重量為千克.例9. 一隊(duì)旅客乘坐汽車(chē),要求每輛汽車(chē)的乘客人數(shù)相等.起初每輛

7、汽車(chē)乘22個(gè)人,結(jié)果剩下一個(gè)人未上車(chē);如果有一輛汽車(chē)空車(chē)開(kāi)走,那么所有乘客正好能平均分乘到其它各車(chē)上.每輛汽車(chē)最多只能容納32個(gè)人,求起初有多少輛汽車(chē)?有多少名旅客?解: 設(shè)起初有汽車(chē)輛,開(kāi)走一輛空車(chē)后,平均每輛車(chē)所乘的旅客為名.由于,依題意有: 因?yàn)闉樽匀粩?shù),所以.當(dāng)不合題意,舍去.當(dāng)這時(shí)旅客人數(shù)為 (人)答:起初有汽車(chē)24輛,有乘客529人.例10. 假設(shè)進(jìn)貨價(jià)降低8%,而售出價(jià)不變,那么利潤(rùn)(按進(jìn)貨價(jià)而定)可由目前的%,增加到.解: 設(shè)原進(jìn)貨價(jià)為,那么下降8%后的進(jìn)貨價(jià)為, 由售價(jià)不變,列方程: 去得: 解得.練習(xí) 1. 解關(guān)于的方程: (1) (2) 2. 設(shè)3. 假設(shè)為定值,關(guān)于的一

8、次方程 無(wú)論取何值,它的根總是1, 求的值.4. 一列火車(chē)通過(guò)長(zhǎng)1500米的大橋需要36秒,它通過(guò)橋頭的哨兵需要4秒,求火車(chē)的長(zhǎng)度?5. 在環(huán)行公路上有一公共汽車(chē)站,每隔一定時(shí)間向兩個(gè)方向同時(shí)發(fā)出一輛車(chē),某人在環(huán)行公路上行走,每隔3分鐘就有一輛公共汽車(chē)與他迎面相遇,每隔6分鐘就有一輛公共汽車(chē)從他背后越過(guò),問(wèn)車(chē)站每隔幾分鐘向各個(gè)方向發(fā)一輛車(chē)?6. 在甲,乙兩個(gè)容器中分別裝有20升和16升濃度不同的鹽水,如果先從甲,乙容器各倒出升鹽水,再分別倒入對(duì)方的容器內(nèi)攪勻,結(jié)果兩容器的鹽水濃度相同,求的值.7. 現(xiàn)在是10點(diǎn)11點(diǎn)之間的某一時(shí)刻,在這之后6分鐘分針的位置與在這之前3分鐘時(shí)針的位置反向成一直線

9、,求現(xiàn)在時(shí)刻?8. 甲,乙兩人今年年齡之和為63, 當(dāng)甲的年齡是乙現(xiàn)在年齡的一半時(shí),乙恰是甲現(xiàn)在的年齡,求甲,乙兩人今年各多少歲?9. 一小船由A港到B港順流需行6小時(shí),由B港到A港逆流需行8小時(shí).(1)假設(shè)小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小時(shí)?(2)當(dāng)小船到B港時(shí),發(fā)現(xiàn)一救生圈在途中掉落在水中,立即返回,1小時(shí)后找到救生圈,問(wèn)救生圈是何時(shí)掉入水中的?10. 某廠去年總產(chǎn)值比總支出多500萬(wàn)元, 而今年方案的總產(chǎn)值比總支出多950萬(wàn)元.今年方案總產(chǎn)值比去年增加15%,而方案總支出比去年減少10%,求今年方案的總產(chǎn)值和總支出?練習(xí)解答 1. 解. (1) 當(dāng)時(shí),方程有唯一解; 當(dāng)時(shí),一切實(shí)

10、數(shù)都是方程的解,(2) 當(dāng)是方程唯一的解; 當(dāng)時(shí),一切實(shí)數(shù)是方程的解.2. 解 由知: , 所以 3. 解:總是方程的根,將代入原方程得: 因?yàn)閷?duì)于一切方程總有根1, 所以有 4. 解: 設(shè)火車(chē)長(zhǎng)為米,依題意列方程: (米)答: 火車(chē)長(zhǎng)為.5. 解1： 設(shè)某人行走速度為米/分,汽車(chē)的速度為米/分,每隔分鐘各發(fā)一輛車(chē).依題意列方程: 解得,代入(1)得.答: 汽車(chē)站每4分鐘發(fā)一輛車(chē).解2： 設(shè)每隔分鐘車(chē)站發(fā)一輛車(chē),那么人走6分鐘,從后邊越過(guò)的汽車(chē)走了分鐘;人走3分鐘,從前面開(kāi)來(lái)的汽車(chē)走了分鐘,人與汽車(chē)速度之比為; 答: 車(chē)站每隔4分鐘發(fā)一輛車(chē).6. 解. 設(shè)甲容器中鹽水濃度為,乙容器中鹽水的濃度為,那么 7. 解:設(shè)現(xiàn)在時(shí)刻為10點(diǎn)分,再過(guò)6分鐘是10點(diǎn)分.因?yàn)榉址N每走1小格(1分),時(shí)針走小格,10 - 12 之間共10小格,在這個(gè)時(shí)間3分鐘前,時(shí)針到12之間共有小格,而時(shí)針與分針?lè)聪虺梢粭l直線,它們之間共30小格(30分鐘),所以有 答:現(xiàn)在是10點(diǎn)15分.8. 解 設(shè)甲今年為歲,那么乙今年為歲，并由題意知：當(dāng)甲為歲時(shí),乙正好為歲,以年齡差為等量關(guān)系,列方程為 答:甲今年27歲,乙今年36歲.9. 解 (1) 設(shè)小船由