8.2 一元線(xiàn)性回歸模型及其應(yīng)用(精講)高二數(shù)學(xué)(人教A版2019選擇性必修第三冊(cè))

1、1/13 8.2一元線(xiàn)性回歸模型及其應(yīng)用（精講） 思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖 常見(jiàn)考法常見(jiàn)考法 考點(diǎn)一樣本中心解小題考點(diǎn)一樣本中心解小題 【例【例 1】（2021江西贛州市）某產(chǎn)品在某零售攤位上的零售價(jià)x（元）與每天的銷(xiāo)售量y（個(gè)）統(tǒng)計(jì)如下 表： x 16 17 18 19 y 50 m 34 31 據(jù)上表可得回歸直線(xiàn)方程為y=-6.4x+151,則上表中的m的值為（） A38B39C40D41 3 求回歸方求回歸方程方法程方法 （1）利用公式利用公式求出回歸系數(shù)求出回歸系數(shù) 待定系教法：利用回歸直線(xiàn)過(guò)樣本點(diǎn)的中心求待定系教法：利用回歸直線(xiàn)過(guò)樣本點(diǎn)的中心求系數(shù)系數(shù)* * 一元線(xiàn)性回歸模型及應(yīng)用 最小二最

2、小二乘乘法公式法公式 考法樣本中心解小題） 考法三非一元線(xiàn)性方程） 一元線(xiàn)性回歸模型及應(yīng)用 考法二一元線(xiàn)性方程 2/13 【答案】D 115+m嚴(yán)一一 所以=一6.4x17.5+151，解得m=41.故選：D. 4 【一隅三反】【一隅三反】 1. （2021江西景德鎮(zhèn)市景德鎮(zhèn)一中）隨機(jī)變廖與y的數(shù)據(jù)如表中所列，其中缺少了一個(gè)數(shù)值，已知y 關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程為y=09x+3，則缺少的數(shù)值為（） x 2 3 4 5 6 y 5 6 7 9 A.6B.6.6C.7.5D.8 【答案】A 【解析】設(shè)缺少的數(shù)值為m，由于回歸方程為y= 9x+3過(guò)樣本中心點(diǎn)（x，y） 代入y= .9x4+3=6.6，所

3、以 y= 故選：A. 2.（2021河南信陽(yáng)市）根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù): x 2 3 4 5 6 y 4 2.5 -0.5 -2 -3 得到的回歸方程為 y=bx+a，則（） A.a0，b0 C.a0，b b0D.a0，b0 【答案】B 【解析】由圖表中的數(shù)據(jù)可得，變量y隨著x的增大而減小，則b0， -2+3+4+5+64+2.5-0.5-2-3 【解析】由題意x= 16+17+18+19 4 =17.5 50+m+34+31 4 115+m 4 =6.6 B.a0，b=、：(+02+02+02+12= 量的增加量約為多 參考數(shù)據(jù)：03Q0.55，709Q0.95. y(xx)(yy)回歸方程 y=

4、bx+a 中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為b=I 入 i i=1 y xynxy ii i=1 yx2nx2 i i=1 入 【答案】(1)0.95；答案見(jiàn)解析；(2)y=0.3x+2.5 610 千克. 【解析】(1)由已知數(shù)據(jù)可得 X=2+4+?+&+8=5 所以(x- i i=1 =(-3)x(-1)+(-l)x0+0 x0+lx0+3x1二6 附：相關(guān)系數(shù)公式 i 9/13 =、沁0.95 （戶(hù):刃口J2出“2“ Ei=1Vi=1 因?yàn)閞0.75,所以可用線(xiàn)性回歸模型擬合 y 與 x 的關(guān)系. 工C-x)C-y)6 ii6 (2)b=：一一1 1為為(=20= -3，a=45x0.

5、3=2.5 i i=1 所以回歸方程為y=0.3x+2.5 當(dāng)x=12時(shí)，y=0.3x12+2.5=6.1 即當(dāng)液體肥料每畝使用量為 12 千克時(shí)，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為 610 千克 考點(diǎn)三非一元線(xiàn)性方程考點(diǎn)三非一元線(xiàn)性方程 【例【例 3】（2020全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得5個(gè)樣本點(diǎn)，得到下表及散點(diǎn)圖. 必說(shuō)明理由） （2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果試建立y與x的回歸方程；（計(jì)算結(jié)果保留整數(shù)） （3）在（2）的條件下，設(shè)z=y+x且x自4,+8），試求z的最小值. （1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷J=a+bx與y=c+k-x-1哪一個(gè)適宜作為y關(guān)于x的回歸方程；（給出判斷即可，不 工(x-XX

6、y-亍) ii 所以相關(guān)系數(shù)r= 10/13 (x一x)(xx一 4 4) 1212 xx 12 工(x-X)(y亍)工 i 參考公式：回歸方程ybx+a中，bT 工（-） i i1 xy一nxy ii -i= y-2 x2一nx2 4 【答案】(1)yc+k-x-1；(2)y+1；(3)6 x 【解析】（1）由題中散點(diǎn)圖可以判斷，yc+k-x-1適宜作為y關(guān)于x的回歸方程; t 4 2 1 0.5 0.25 y 16 12 5 2 1 -16+12+5+2+1y7.2 k-4X16+2212+1X5+5X2+25X1一5“55X72空二 4 9.3 42+22+12+0.52+0.252一

7、5x1.552 所以，cy一kt7.2一4x1.551，貝ijy4t+1 入 所以y關(guān)于x的回歸方程是y-+1 x (3)由(2)得zy+x-+x+1，xet4,+a) x z :土+x+1: f4 +x+1 -(x-x)+ :4 -4 2 1x11丿 1x2J 2 12 JU 丿 )4(x-x) 一x+2 2xx （2）令tX-1，則yc+kt，原數(shù)據(jù)變?yōu)?由表可知y與t近似具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，計(jì)算得t4+2+1+5+0.251.55 可得z1一 任取x1、x24，且x1x2，即x1x24 11/13 因?yàn)?x4，則 x一?0 xx 12 16 所以，z z1z z2 12/13 44 所以函

8、數(shù)z=-+x+1在區(qū)間4+8）上單調(diào)遞增則zmin=4+4+1=6 【一隅三反】【一隅三反】 1（2020江蘇省如皋中學(xué)高二月考）某種新產(chǎn)品投放市場(chǎng)一段時(shí)間后，經(jīng)過(guò)調(diào)研獲得了時(shí)間 x（天數(shù)）與銷(xiāo)售單價(jià) y（元）的一組數(shù)據(jù)，且做了一定的數(shù)據(jù)處理（如表），并作出了散點(diǎn)圖（如圖）. 亍1 石 i-L j-1 1C i-i ID 另（叫-町-刃 E-1 1_63 37.8 0_89 0.92. -20.6 18_40 11爐 表中w=,w=乙w ix10i （1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷 y=a+bx，與y=c+d哪一個(gè)更適合作價(jià)格 y 關(guān)于時(shí)間 X 的回歸方程類(lèi)型？（不必 x 入 說(shuō)明理由） （2）根據(jù)判斷結(jié)

9、果和表中數(shù)據(jù)，建立 y 關(guān)于 x 的回歸方程. （3）若該產(chǎn)品的日銷(xiāo)售量g（x）（件）與時(shí)間 x 的函數(shù)關(guān)系為g（x）=二型+120（x&N），求該產(chǎn)品投放 x 市場(chǎng)第幾天的銷(xiāo)售額最高？最高為多少元？ 附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（u，v），（u，v），（u，v），（u，v），其回歸直線(xiàn)v=a+卩u的斜率和截距的最小二乘法 112233nn 13/13 為(v-v)(u-u) ii 為(uu)2 i i=1 【答案】（l）y=c+-更適合作價(jià)格 y 關(guān)于時(shí)間 X 的回歸方程；（2）y=20（1+-）；（3）第 10 天，最高銷(xiāo)xx 售額為 2420 元； 【解析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖知y=c+d更適合作價(jià)格

10、y 關(guān)于時(shí)間 x 的回歸方程類(lèi)型;x 1 (2)令W=；，則y=c+dw x 藝(w-w)(y-y) ii i=1 c=y-dW=37.8-20 x0.89=20，即有y=20(1+丄) x 3）由題意結(jié)合（2）知： 日銷(xiāo)售額為 f(x)=y-g(x)=20(1+-)(120-100 xx 110015 f(x)=20(1+_)(120-)=400(6+_-) xxxx2 11121 若 t=-，令h(t)=6+t5t2=-5(t-)2+ x1020 11121121 t=1時(shí)，h(t)=h()=，即x=10天,f(x)=f(10)=400 x=2420元 10max1020max20 所以該

11、產(chǎn)品投放市場(chǎng)第 10 天的銷(xiāo)售額最高，最高銷(xiāo)售額為 2420 元. 2.（2021江蘇蘇州市）我國(guó)為全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家，制定了從 2021 年到 2025 年的“十四五”規(guī)劃.某企業(yè)為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備增加研發(fā)資金.現(xiàn)該企業(yè)為了了解年研發(fā)資金投入額x（單位：億元）對(duì)年盈利額y（單位：億元）的影響，研究了“十二五”和“十三五”規(guī)劃 發(fā)展期間近 10 年年研發(fā)資金投入額x和年盈利額y.的數(shù)據(jù).通過(guò)對(duì)比分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型： ii 14/13 y=x+px2，y=e+t，其中x，卩，九，t均為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).令ux2， ii 15/13 v=lnyC

12、=1,2,io)，經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù): ii x 藝(x-x)2 i i=1 蘭(y-y)2 i i=1 u v 26 215 65 2 680 5.36 蘭(u-u i i=1 )2 蘭(u-u)(y-y) ii i=1 近(v-J i i=1 b 昱(x-x)(v-v) ii i=1 11250 130 2.6 12 1)請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合程度更好? (2)(i)根據(jù)(1)的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(系數(shù)精確到 0.01) (ii)若希望 2021 年盈利額y為 250 億元，請(qǐng)預(yù)測(cè) 2021 年的研發(fā)資金投入額x為多少億元？(結(jié)果精確到 0.01) 乙(

13、xx)2 i i=1 a=ybx 參考數(shù)據(jù)：In2沁0.693,ln5沁1.609. 一 d八 【答案】(1)模型y=e九+t的擬合程度更好；(2)(i)y=e0-18x+o.56；(i)27.56. 【解析】(1)設(shè)u和y的相關(guān)系數(shù)為r,x和v的相關(guān)系數(shù)為r2，由題意, ii1ii2 i=1 則小lr2，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型y=e兒+t的擬合程度更好. :x)(yy) ii 回歸直線(xiàn) y=a+bx中: r= 1 r= 2 昱(u-u)(y-y) ii 昱(x-x)(v-v) ii 昱(x-x)2昱(v-v)2 ii 130 11250 x2 12 15 =12沁0.92 65x2.613 i=1 附：相關(guān)系數(shù)r= 16/13 (2)(i)先建立v關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程, 17/13 由 y=e九+t，得Iny=t+九x，即v=t+九x 昱(x-X)(v-v) 八ii12 九=-4=1=- -X)265 i t=v-XX=5.3612X26= 65 所以v關(guān)于x的線(xiàn)性