工程力學(xué)-第9章圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力變形分析與強(qiáng)度剛度設(shè)計(jì)

1、目錄目錄9.1 9.1 純剪切純剪切9.2 9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析9.3 9.3 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì)強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì)9.1 9.1 純剪切純剪切一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力 將一薄壁圓筒表面用縱向平行線和圓將一薄壁圓筒表面用縱向平行線和圓周線劃分；周線劃分；兩端施以大小相等方向相反兩端施以大小相等方向相反一對(duì)力偶矩一對(duì)力偶矩。 圓周線大小形狀不變，各圓周線間距圓周線大小形狀不變，各圓周線間距離不變；離不變；縱向平行線仍然保持為直線且縱向平行線仍然保持為直線且相互平行，只是傾斜了一個(gè)角度。相互平行，只是傾斜了一個(gè)角度。觀察到

2、：觀察到：結(jié)果說(shuō)明橫截面上沒(méi)有正應(yīng)力結(jié)果說(shuō)明橫截面上沒(méi)有正應(yīng)力9.1 9.1 純剪切純剪切 采用截面法將圓筒截開，橫截面采用截面法將圓筒截開，橫截面上分布有與截面平行的切應(yīng)力。由于上分布有與截面平行的切應(yīng)力。由于壁很薄，可以假設(shè)切應(yīng)力沿壁厚均勻壁很薄，可以假設(shè)切應(yīng)力沿壁厚均勻分布。分布。2eMrr 由平衡方程由平衡方程 ，得，得0zM 22eMr二、切應(yīng)力互等定理二、切應(yīng)力互等定理9.1 9.1 純剪切純剪切 在相互垂直在相互垂直的兩個(gè)平面上，的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力必然成對(duì)切應(yīng)力必然成對(duì)存在，且數(shù)值相存在，且數(shù)值相等；兩者都垂直等；兩者都垂直于兩個(gè)平面的交于兩個(gè)平面的交線，方向則共同線，方向則共

3、同指向或共同背離指向或共同背離這一交線。這一交線。純剪切純剪切 各個(gè)截面上只有切應(yīng)各個(gè)截面上只有切應(yīng)力沒(méi)有正應(yīng)力的情況稱為力沒(méi)有正應(yīng)力的情況稱為純剪切純剪切切應(yīng)力互等定理：切應(yīng)力互等定理：9.1 9.1 純剪切純剪切三、切應(yīng)變?nèi)⑶袘?yīng)變 剪切胡克定律剪切胡克定律 在切應(yīng)力的作用下，在切應(yīng)力的作用下，單元體的直角將發(fā)生微小單元體的直角將發(fā)生微小的改變，這個(gè)改變量的改變，這個(gè)改變量 稱稱為切應(yīng)變。為切應(yīng)變。 當(dāng)切應(yīng)力不超過(guò)材料當(dāng)切應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限時(shí)，切應(yīng)的剪切比例極限時(shí)，切應(yīng)變變 與切應(yīng)力與切應(yīng)力成正比，成正比，這個(gè)關(guān)系稱為這個(gè)關(guān)系稱為剪切胡克定剪切胡克定律律。 GG 剪切彈性模量剪切

4、彈性模量(GN/m2) 各向同性材料，各向同性材料，三個(gè)彈性常數(shù)之間的三個(gè)彈性常數(shù)之間的關(guān)系：關(guān)系：2(1)EG9.2 9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析1.1.變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系觀察變形：觀察變形： 圓周線長(zhǎng)度形狀不變，各圓周線間圓周線長(zhǎng)度形狀不變，各圓周線間距離不變，只是繞軸線轉(zhuǎn)了一個(gè)微小角距離不變，只是繞軸線轉(zhuǎn)了一個(gè)微小角度；度；縱向平行線仍然保持為直線且相互縱向平行線仍然保持為直線且相互平行，只是傾斜了一個(gè)平行，只是傾斜了一個(gè)微小微小角度。角度。圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)：圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)： 圓軸扭轉(zhuǎn)變形前原為平面的橫截面，變形后仍圓軸扭轉(zhuǎn)變形前原為平面的橫截面，變形

5、后仍保持為平面，形狀和大小不變，半徑仍保持為直線；保持為平面，形狀和大小不變，半徑仍保持為直線；且相鄰兩截面間的距離不變。且相鄰兩截面間的距離不變。M Me ex xppqqM Me ex xppqqM Me eM Me e9.2 9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切切應(yīng)力應(yīng)力分析分析_扭轉(zhuǎn)角（扭轉(zhuǎn)角（radrad）_ddxdx微段兩截面的微段兩截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角相對(duì)扭轉(zhuǎn)角邊緣上邊緣上a a點(diǎn)的錯(cuò)動(dòng)距離：點(diǎn)的錯(cuò)動(dòng)距離：aaRddxdRdx邊緣上邊緣上a a點(diǎn)的切應(yīng)變：點(diǎn)的切應(yīng)變： 發(fā)生在垂直于半徑的平面內(nèi)。發(fā)生在垂直于半徑的平面內(nèi)。MeppqqMexdOdcabRdxabppqq9.2 9.2 圓

6、軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析dxd dR距圓心為距圓心為的圓周的圓周上上e e點(diǎn)的錯(cuò)動(dòng)距離：點(diǎn)的錯(cuò)動(dòng)距離：ccddx 距圓心為距圓心為處的處的切應(yīng)變：切應(yīng)變：ddx也發(fā)生在垂直于也發(fā)生在垂直于半徑的平面內(nèi)。半徑的平面內(nèi)。ddx扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角 沿沿x x軸的變化率。軸的變化率。dOdcabRdxabppqqee9.2 9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析2.2.物理關(guān)系物理關(guān)系根據(jù)剪切胡克定律根據(jù)剪切胡克定律GdGGdx距圓心為距圓心為 處的處的切應(yīng)力：切應(yīng)力：垂直于半徑垂直于半徑橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力 與該點(diǎn)到圓心的距離與該點(diǎn)到圓心的距離 成正

7、比。成正比。9.2 9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析3.3.靜力關(guān)系靜力關(guān)系A(chǔ)TdA2AATdAdGdAdxdAIAp2橫截面對(duì)形心的極慣性矩橫截面對(duì)形心的極慣性矩pIdGdxpdTGIdxpTI9.2 9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析公式適用于：公式適用于：1 1）圓桿）圓桿2 2）maxp令令抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù)ptIWRmaxtTW 在圓截面邊緣上，在圓截面邊緣上，有最大切應(yīng)力有最大切應(yīng)力 橫截面上某點(diǎn)的切應(yīng)力的方向與扭橫截面上某點(diǎn)的切應(yīng)力的方向與扭矩方向相同，并垂直于半徑。切應(yīng)力的矩方向相同，并垂直于半徑。切應(yīng)力的大小與其和圓心的距離成正比。

8、大小與其和圓心的距離成正比。實(shí)心軸實(shí)心軸9.2 9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析與與 的計(jì)算的計(jì)算pItW/tpWIR3116DpITmaxtWT空心軸空心軸令令則則9.2 9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析/(/2)tpWID9.2 9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析實(shí)心軸與空心軸實(shí)心軸與空心軸 與與 對(duì)比對(duì)比pItW/tpWIR3116D/(/2)tpWID9.2 9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件：扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件： tmaxmaxWTmaxmaxmax()tTWmaxmaxtTW1. 1. 等截面圓軸：等

9、截面圓軸：2. 2. 階梯形圓軸：階梯形圓軸：9.2 9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析強(qiáng)度條件的應(yīng)用強(qiáng)度條件的應(yīng)用 maxmaxtTW（1）校核強(qiáng)度）校核強(qiáng)度 tmaxmaxWT（2）設(shè)計(jì)截面）設(shè)計(jì)截面 maxtTW （3）確定載荷）確定載荷 tmaxWT9.2 9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析例例3.23.2 由無(wú)縫鋼管制成的汽車傳動(dòng)軸，外徑由無(wú)縫鋼管制成的汽車傳動(dòng)軸，外徑D D=89=89mmmm、壁厚壁厚 =2.5=2.5mmmm，材料為材料為2020號(hào)鋼，使用號(hào)鋼，使用時(shí)的時(shí)的最大扭矩最大扭矩T=T=19301930N Nm m, , =70=7

10、0MPaMPa. .校核此軸校核此軸的強(qiáng)度。的強(qiáng)度。34340.9450.2(1)0.28.9 (10.945 )29tdDWD 6max6193066.7 10 Pa29 1066.7MPa 70MPatTW9.2 9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析例例3.33.3 如把上例中的傳動(dòng)軸改為實(shí)心軸，要求如把上例中的傳動(dòng)軸改為實(shí)心軸，要求它與原來(lái)的空心軸強(qiáng)度相同，試確定其直徑。它與原來(lái)的空心軸強(qiáng)度相同，試確定其直徑。并比較實(shí)心軸和空心軸的重量。并比較實(shí)心軸和空心軸的重量。解：解：當(dāng)實(shí)心軸和空心軸的最大應(yīng)力同當(dāng)實(shí)心軸和空心軸的最大應(yīng)力同 為為 時(shí)，兩軸的許可扭矩分別為時(shí)，兩軸的許

11、可扭矩分別為311 16tTWD34342(1) (90) (1 0.944 ) 1616TD若兩軸強(qiáng)度相等，則若兩軸強(qiáng)度相等，則T T1 1=T=T2 2 ，于是有于是有 3341(90) (1 0.944 )D 153.10.0531Dmmm9.2 9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析224211(0.0531)22.2 1044DAm223 23 2422()(90 10 )(85 10 ) 6.87 1044ADdm 在兩軸長(zhǎng)度相等，材料相同的情況下，兩軸重量之比等于橫截面面在兩軸長(zhǎng)度相等，材料相同的情況下，兩軸重量之比等于橫截面面積之比。積之比。42416.87 10

12、0.3122.2 10AA可見(jiàn)在載荷相同的條件下，空心軸的重量?jī)H為實(shí)心軸的可見(jiàn)在載荷相同的條件下，空心軸的重量?jī)H為實(shí)心軸的3131% % 。實(shí)心軸和空心軸橫截面面積為實(shí)心軸和空心軸橫截面面積為已知：已知：P P7.5kW, 7.5kW, n n=100r/min,=100r/min,最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力不不得超過(guò)得超過(guò)40MPa,40MPa,空心圓軸的內(nèi)外直徑之比空心圓軸的內(nèi)外直徑之比 = = 0.50.5。二軸長(zhǎng)度相同。二軸長(zhǎng)度相同。求求: : 實(shí)心軸的直徑實(shí)心軸的直徑d d1 1和空心軸的外直徑和空心軸的外直徑D D2 2；確；確定二軸的重量之比。定二軸的重量之比。解：解： 首先由軸所傳遞

13、的功率計(jì)算作用在軸上的扭矩首先由軸所傳遞的功率計(jì)算作用在軸上的扭矩實(shí)心軸實(shí)心軸31616 716 20 045m=45mm40 10.dP181,P181,例題例題9-19-17 595499549716 2N m100.xPMTnmax13111640MPaPTTWd9.2 9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析空心軸空心軸d20.5D2=23 mm324616 716 20 046m=46mm 1-40 10.Dmax234221640MPa1PTTWD9.2 9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析確定實(shí)心軸與空心軸的重量之比確定實(shí)心軸與空心軸的重量之比長(zhǎng)度相同

14、的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之比：長(zhǎng)度相同的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之比：28. 15 . 01110461045122332222121DdAA 實(shí)心軸實(shí)心軸d d1 1=45 mm=45 mm空心軸空心軸D D2 246 mm46 mmd d2 223 mm23 mmP P1 1=14kW, =14kW, P P2 2= = P P3 3= = P P1 1/2=7 kW/2=7 kWn n1 1= =n n2 2= 120r/min= 120r/min360r/minr/min12361203113zznn解：解：1 1、計(jì)算各軸的功率與轉(zhuǎn)速、計(jì)算各軸的功率與轉(zhuǎn)速2

15、 2、計(jì)算各軸的扭矩、計(jì)算各軸的扭矩p181p181例題例題9-29-239.2 9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析求求: :各各軸軸橫截面上的最大切應(yīng)力；橫截面上的最大切應(yīng)力； 并校核各軸強(qiáng)度。并校核各軸強(qiáng)度。已知：已知：輸入功率輸入功率P P1 114kW,14kW,P P2 2= = P P3 3= =P P1 1/2/2，n n1 1= =n n2 2=120r/min,=120r/min, z z1 1=36,z=36,z3 3=12;=12;d d1 1=70mm, =70mm, d d 2 2=50mm, =50mm, d d3 3=35mm.=35mm. =3

16、0=30MPaMPa。. .T T1 1=M=M1 1=1114 N m=1114 N mT T2 2=M=M2 2=557 N m=557 N mT T3 3=M=M3 3=185.7 N m=185.7 N m9549xPMTn 1max3-9116 1114EPa16.54MPa7010tTW 2max3-9216 557HPa22.69MPa 5010tTW 3max3-9316 185.7CPa21.98MPa 3510tTW3 3、計(jì)算各軸的橫截面上的、計(jì)算各軸的橫截面上的 最大切應(yīng)力；最大切應(yīng)力；校核各軸校核各軸 強(qiáng)度強(qiáng)度39.2 9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力

17、分析相對(duì)扭轉(zhuǎn)角相對(duì)扭轉(zhuǎn)角抗扭剛度抗扭剛度9.3 9.3 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì)強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì)niPiiiGIlT1單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)剛度條件扭轉(zhuǎn)剛度條件max許用單位扭轉(zhuǎn)角許用單位扭轉(zhuǎn)角pdTdxGIrad/mrad/m180pTGI/ /m m9.3 9.3 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì)強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì)扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件扭轉(zhuǎn)剛度條件扭轉(zhuǎn)剛度條件已知已知T T 、D D 和和 ，校核強(qiáng)度校核強(qiáng)度已知已知T T 和和 ，設(shè)計(jì)截面設(shè)計(jì)截面已知已知D D 和和 ，確定許可載荷確定許可載荷已知已知T T 、D D 和和 / / ，校核剛度校核剛度已知已知T

18、T 和和 / / ，設(shè)計(jì)截面設(shè)計(jì)截面已知已知D D 和和 / / ，確定許可載荷確定許可載荷max tTW3116tWDmaxpTGI413 2pID9.3 9.3 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì)強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì)例題例題3.63.6maxTWt 某傳動(dòng)軸所承受的扭矩某傳動(dòng)軸所承受的扭矩T=200NmT=200Nm，軸的直徑軸的直徑d=40mmd=40mm，材料的材料的 =40MPa=40MPa，剪切彈性模量剪切彈性模量G=80GPaG=80GPa，許可單位長(zhǎng)度轉(zhuǎn)角許可單位長(zhǎng)度轉(zhuǎn)角 / /=1 =1 / /m m。試校核軸的強(qiáng)度和剛試校核軸的強(qiáng)度和剛度。度。9.3 9.3 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的圓軸

19、扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì)強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì) 傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速為傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速為n=500r/min，主動(dòng)輪，主動(dòng)輪A A 輸入功率輸入功率P1=400kW，從動(dòng)輪，從動(dòng)輪C C，B B 分別輸出功率分別輸出功率P2=160kW，P3=240kW。已知。已知=70MPa，=1/m，G=80GPa。 (1)(1)試確定試確定AC AC 段的直徑段的直徑d d1 1 和和BC BC 段的直徑段的直徑d d2 2； (2)(2)若若AC AC 和和BC BC 兩段選同一直徑，試確定直徑兩段選同一直徑，試確定直徑d d； (3)(3)主動(dòng)輪和從動(dòng)輪應(yīng)如何安排才比較合理主動(dòng)輪和從動(dòng)輪應(yīng)如何安排才比較合理? ?1eMA

20、BC2eM3eM1d2d1119549ePTMnmN764050040095492312404580N m400eTMT解：解：1.1.外力偶矩外力偶矩 例題例題3.73.79.3 9.3 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì)強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì) 2.2.扭矩圖扭矩圖 mm2 .82m102 .821070764016 1633631Td按剛度條件按剛度條件mm4 .86m104 .8611080180764032180323429421GTd3.3.直徑直徑d d1 1的選取的選取 按強(qiáng)度條件按強(qiáng)度條件mN7640mN4580 mm4 .861d1eMABC2eM3eM1d2d 31max16dT1803241maxdGT9.3 9.3 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì)強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì) 按剛度條件按剛度條件4.4.直徑直徑d d2 2的選取的選取 按強(qiáng)度條件按強(qiáng)度條件1eMABC2eM3eM1d2dmN7640m