雙等腰三角形教師版

1、雙等腰三角形等腰三角形是幾何題目中常見的基本圖形，兩個等腰三角形為背景的題目也屢見不鮮，多數(shù)為兩個等腰三角形共點旋轉(zhuǎn)，或兩個等腰三角形的底在同一直線上，或兩個等腰三角形的腰在同一直線上，那么有著特殊位置的兩個等腰三角形會有什么結(jié)論那？共腰雙等腰首先我們就一起研究一下兩個共腰的等腰三角形有什么特性及其應(yīng)用。共腰雙等腰是指兩個等腰三角形各有一條腰在同一直線上，而剩余的腰和底不在同一直線上，那么兩個等腰三角形剩余腰與腰的夾角為兩個等腰三角形剩余底與底夾角的2倍。模型一、如圖，AB=AC，AD=AE，求證：BAD=2EDC。AB=AC，設(shè)ABC=ACB=，AD=AE，設(shè)ADE=AED=，其中兩個等腰三

2、角形的一條腰AE與AC共線，那么剩余的底DE與剩余的底BC的夾角EDC=-，那么剩余的腰AB與剩余的腰AD的夾角BAD=ADC-ABC=2-2，BAD=2EDC。模型一變式、如圖，AB=AC，BAD=2EDC，求證：AD=AE。 如圖，AD=AE，BAD=2EDC，求證：AB=AC。模型二、如圖，AB=AC=AD，求證：（1）CAD=2CBD；（2）BAC=2BDC。AB=AD，設(shè)ABD=ADB=，AB=AC，設(shè)ABC=ACB=，其中兩個等腰三角形的一條腰AB與AB共線，那么剩余的底BD與剩余的底BC的夾角DBC=-，那么剩余的腰AC與剩余的腰AD的夾角CAD=BAD-BAC=2-2，CAD=

3、2CBD。同理可證，BAC=2BDC。模型二變式、如圖，AB=AC，CAD=2CBD，求證：AB=AD。 如圖，AB=AC，BAC=2BDC，求證：AB=AC。模型二思考、等腰ABC與等腰ACD也可以看成是兩個共腰的等腰三角形，那么圖中誰是剩余腰與腰的夾角，誰是剩余底與底的夾角，它們之間還是否滿足2倍的關(guān)系？模型三、如圖，AB=AC=AD，求證：（1）CAD=2CBD；（2）BAC=2BDC；（3）BAD=2BCD。AB=AD，設(shè)ABD=ADB=，AB=AC，設(shè)ABC=ACB=，其中兩個等腰三角形的一條腰AB與AB共線，那么剩余的底BD與剩余的底BC的夾角DBC=+，那么剩余的腰AC與剩余的腰

4、AD的夾角CAD=2+2，CAD=2CBD。同理可證BAC=2BDC；BAD=2BCD。模型二與模型三都可以看成點A為BCD的外心。模型一、二、三中兩個等腰三角形不光共腰，它們還共點，那是不是一定要滿足共點這個條件那？模型四、如圖，等腰ABC中，AB=AC，等腰DEF中，DE=DF，圖中AB與DE共線，那么剩余的腰或底在圖中沒有交點，就需要我們找到剩余的腰或底所在直線，進而找到剩余腰與腰的夾角和剩余底與底的夾角，通過前面的方法可證CPF=2FQC。典型例題賞析例1：如圖，RtABC中，AB=AC，D、E分別是BC、AC邊上一點，連接AD、DE，若BAD=2CDE，CD=4，AE=，求AC的長。

5、例1解析：由AB=AC和BAD=2CDE，可得AD=AE=， 解ACD，可得AC=。共腰雙等腰部分例2：如圖，正方形ABCD，過點A作EAF=90，兩邊分別交直線BC于點E，交線段CD于點F，G為AE中點，連接BG，過點G作BG的垂線交對角線AC于點H，連接HF，若CH=3AH，請你探究HF與AF之間的數(shù)量關(guān)系.例2解析：由BG是直角三角形ABE的斜邊中線，得BG=AG，由正方形ABCD，得BAC=45，題中已知BGH=90得BGH=2BAH，由模型二的變式可得GH=GB，為接下來固定圖形起到了至關(guān)重要的作用，設(shè)AH=k，CH=3k，BC=k，連接BH，得BH=k，由GBH為等腰直角三角形，得

6、GB=GH=k，AE=2BG=k，AB=k，得BE=k，由ADFABE，DF=BE=k，AF=k，CF=k，解CFH，得FH=k，得AF=FH.共腰雙等腰部分例3：如圖，在菱形ABCD的對角線AC上取點E，連接BE，使BEC=60，在CD邊上取點F，連接EF，且CEF=ABE，若CF=4，CE=16，求AE的長. 例3解析：本題由菱形構(gòu)成，菱形四條邊相等，所以不缺少等腰三角形，但是CEF=ABE這個條件不知如何使用。連接DE，ABEADE，ABE=ADE，由DA=DC，CEF=ADE，得DE=DF，設(shè)EO=k，BE=2k，DE=DF=2k，DC=BC=2k+4，CO=16-k，BO=k，勾股B

7、OC，得k=5，AE=6。例4：在平面直角坐標系中，拋物線與x軸正半軸交于點A，與y軸交于點B，直線AB的解析式為.（1）求拋物線解析式；（2）P為線段OA上一點（不與O、A重合），過P作PQx軸交拋物線于Q，連接AQ，M為AQ中點，連接PM，過M作MNPM交直線AB于N，若點P的橫坐標為t，點N的橫坐標為n，求n與t的函數(shù)關(guān)系；（3）在（2）的條件下，連接QN并延長交y軸于E，連接AE，求t為何值時，MNAE. （2）共腰雙等腰部分例4解析：有已知可容易得（1）答案。（2）BAO=NMP，MA=MP，得MN=MP，得NMP為等腰直角三角形，過M作x軸的垂線，過N作y軸的垂線，可得NFMMGP

8、，設(shè)點P（t，0）,Q(t，)，由M為AQ中點，MG=，（3）共腰雙等腰部分NF=MG=，所以=OG-NF=。（3）MN=MP=MQ，得NQP=NMP=45，NHQ=AHP=45，得QNH=90，得EQAB，MNAE，由M為AQ的中點，得N為EQ的中點，得AN垂直平分EQ，得AQ=AE，EAO=AEB-90=(45+AEQ)-90=AEQ-45 又AQP=AQE-45，EAO=AQP，EOA=QPA=90，APQOEA，AO=PQ=3，由Q(t，)，得，（舍），。強化訓(xùn)練習(xí)題1、如圖：在ABC中，AB=AC，D、E分別是BC、AC邊上一點，且AD=AE，BAD=68，求CDE的度數(shù).2、如圖，

9、在ABC中，ABC=C，D、E分別在CB、AB的延長線上，連接AD、DE，且E=ADE，若BDE=50，求DAC的度數(shù).3、如圖，在ABC中，線段BC的垂直平分線交AB于點F，垂足為E，D為EF上一點，連接AD、BD、CD，若ACD為等邊三角形，EF=2，求BF的長.4、如圖，在四邊形ABDC中，連接AD、BC，AB=BC=BD， DAC的正切值為，若AB=5，求CD的長.5、如圖，在菱形ABCD中，tanDAB=，AE=AB， AHBE于點H，連接DE交AH于點G，連接BG，BG=10，求BE的長.6、如圖，RtABC中，B=90，BAC=60，點E是AC邊的中點，D為BC上一點，若BA=B

10、D，求sin ADE的值.7、已知，在ABC中，AC=BC，ACB=90，D是AC的中點，E為AC垂直平分線上的動點，連接CE，過E作EFCE，垂足為E，射線EF交直線AB于F，若AC=4，四邊形BCEF的面積為4.5時，求AF的長.8、如圖，在四邊形ABCD中，連接AC、BD，AC=AD=BC，ABC=60，AD=，CD=，求BD的長.9、如圖，等邊ABC中， D為直線BC下方一點，滿足BDC=90，將點C沿直線BD折疊得到點E，連接DE、AE，交射線DB于點F.（1）求證：AEC=30；（2）請你猜想AE、CE、BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.10、如圖，在RtABC中，ACB=90，

11、點O在AB邊上，OB=OC，點D在OC的延長線上，連接AD，點E在AD上，OE交AC于點F，OE=OC，ABC=CAD+30，若OF=4，DE=3，求OD的長.答案：1、CDE=682、DAC=1003、BF=44、CD=5、BE=6、sin ADE=7、AF=或AF=8、BD=89、（1）略；（2）CE+BF=AE10、OD=7共底雙等腰接下來我們就一起研究一下兩個共底的等腰三角形有什么特性及其應(yīng)用。共底雙等腰是指兩個等腰三角形的底在同一直線上，而剩余的腰不在同一直線上，那么兩個等腰三角形腰與腰的夾角等于兩個等腰三角形剩余腰與腰的夾角。模型一、如圖，AB=AC，BD=DE，（1）求證：ABD

12、=CDE；（2）延長ED交AB于F，求證：BDC=BFE。證明：（1）AB=AC，設(shè)ABC=ACB=，DB=DE，設(shè)DBE=DEB=，其中兩個等腰三角形的底BC與BE共線，那么腰AB與腰BD的夾角ABD=ABC-DBE=-，那么剩余的腰AC與剩余的腰DE的夾角CDE=ACB-DEB=-，ABD=CDE。（2）AB=AC，設(shè)ABC=ACB=，DB=DE，設(shè)DBE=DEB=，其中兩個等腰三角形的底BC與BE共線，那么腰AB與腰DE的夾角BFE=180-ABC-DEB=180-，那么剩余的腰AC與剩余的腰BD的夾角BDC=180-ACB-DBE=180-，BDC=BFE。模型一變式、如圖，AB=AC

13、，ABD=CDE，求證：BD=DE。 如圖，BD=DE，ABD=CDE，求證：AB=AC。模型二、如圖，點D為射線CA上一點，點E為BC上一點，AB交DE于F，若AB=AC，DB=DE，求證：（1）ABD=CDE；（2）BDC=BFE。證明：（1）AB=AC，設(shè)ABC=ACB=，DB=DE，設(shè)DBE=DEB=，其中兩個等腰三角形的底BC與BE共線，那么腰AB與腰BD的夾角ABD=DBE -ABC =-，那么剩余的腰AC與剩余的腰DE的夾角CDE=DEB -ACB =-，ABD=CDE。（2）AB=AC，設(shè)ABC=ACB=，DB=DE，設(shè)DBE=DEB=，其中兩個等腰三角形的底BC與BE共線，那

14、么腰AB與腰DE的夾角BFE=180-ABC-DEB=180-，那么剩余的腰AC與剩余的腰BD的夾角BDC=180-ACB-DBE=180-，BDC=BFE。模型二變式、如圖，AB=AC，ABD=CDE，求證：BD=DE。 如圖，BD=DE，ABD=CDE，求證：AB=AC。 如圖，AB=AC，BDC=BFE，求證：BD=DE。如圖，BD=DE，BDC=BFE，求證：AB=AC。模型三、如圖，點D為射線CA上一點，點E為射線CB上一點，若AB=AC，DB=DE，求證：ABD=CDE。證明：AB=AC，設(shè)ABC=ACB=，DB=DE，設(shè)DBE=DEB=，其中兩個等腰三角形的底BC與BE共線，那么

15、腰AB與腰DB的夾角ABD=180-ABC-DBE=180-，那么剩余的腰AC與剩余的腰DE的夾角CDE=180-ACB-DEB=180-，ABD=CDE。模型三思考：圖中兩個等腰三角形的底BC與BE共線，腰AC與腰腰DB的夾角為BDC，那么剩余的腰AB與剩余的腰DE在圖中沒有交點，就需要我們找到剩余的腰或底所在直線，進而找到剩余腰與腰的夾角AFD，通過前面的方法可證BDC=AFD。典型例題賞析例1：如圖，等腰直角ABC，BAC=90，AB=AC，D是AB上一點，連接CD、DE，若CD=DE，求證：BE=AD.例1解析：AB=AC，CD=DE，由共底雙等腰，得BDE=ACD，過D作DFBC交A

16、C于F，導(dǎo)角得CFD=DBE=135，可得CDFEDB，BE=DF，由DF=AD，BE=AD。共底雙等腰部分例2：如圖，ABC為等邊三角形，D為AB上一點，點E為CD延長線上一點，CE=CB，連接BE并延長交CA的延長線于點F，若AD=3，CF=7，求CD的長.例2解析：題目中已經(jīng)具備了等邊三角形ABC和等腰三角形CBE，并且兩個等腰三角形還是共腰的雙等腰，但是并不足以解決求CD的問題，所以我們在CF上取點G，連接BG，使得FG=BG，再構(gòu)造出一個等腰GFB，由CE=CB，形成共底雙等腰，得GBC=FCE，再由題目中的等邊三角形ABC，就出現(xiàn)了我們非常熟悉的ACDBCG，AD=CG=3，F(xiàn)G=

17、CF-CG=7-3=4，由ACDBCG，CD=BG=FG=4。例3：如圖，在半O中，AB為直徑，C在半O上，且，當AB=4時，連接AC.（1）求AC的長；（2）在上有一點D，當時，求AD的長；（3）在（2）的條件下，上有一點E，過E作EF平行AC交AD于F，連接BE、BF，若BE=BF，求AF的長. 例3解析：由已知條件，很容易求出（1）AC=，（2）AD=。共底雙等腰部分（3）題目中已經(jīng)具備等腰三角形BEF，延長EF交AB于P，EFAC，EPB=CAB=45，過E作EMAB于M，構(gòu)造出第二個等腰三角形MEP，由共底雙等腰得，BEM=FBP，過F作FHAB于N，EMBBNF，F(xiàn)N=BM，設(shè)BM

18、=k，則FN=k，由tanDAB=，AN=2k，BN=4-2k，EM=4-2k，BM=k，OM=2-k，連接OE，EMO=90，在OEM中，（取加號時，k2，加號舍去），tanDAB=，AF=。強化訓(xùn)練習(xí)題1、如圖，等邊ABC中，D是BC的中點，P為射線AD上一點，若BPA為等腰三角形，求BPC的度數(shù).2、如圖，等邊ABC中，點D為射線BA上一點，作DE=DC，交直線BC于點EABC的平分線BF，交CD于點F，過點A作AHCD于H，當EDC=30，CF=4，求DH的長.3、如圖，等腰直角ABC，BAC=90，AB=AC，D是射線BA上一點，E是直線BC上一點，連接CD、DE，若CD=DE，BE:BC=1:2，CD=，求BD的長.4、如圖，等腰ABC中，AB=AC，過A作ADAB交BC于D，過D作DEAC于E，過B作BFAC于F，求證：EF=AB.5、如圖、等腰ABC，AB=AC，將線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90得線段AD，交BC于E，過D作AD的垂線交AC延長線于F，若AE=9，DF=8，求