函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系

1、函數(shù)、方程和不等式的關(guān)系很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中把函數(shù)、方程和不等式看作三個(gè)獨(dú)立的知識點(diǎn)。實(shí)際上，他們之間的聯(lián)系非常緊密。如果能熟練地掌握三者之間的聯(lián)系，并在做題時(shí)靈活運(yùn)用，將會(huì)有事半功倍的收效。函數(shù)與方程之間的關(guān)系。先看函數(shù)解析式：，這是一個(gè)一次函數(shù)，圖像是一條直線。對于這個(gè)函數(shù)而言，是自變量，對應(yīng)的是圖像上任意點(diǎn)的橫坐標(biāo)；是因變量，也就是函數(shù)值，對應(yīng)的是圖像上任意點(diǎn)的縱坐標(biāo)。如果令，上面的解析式也就變成了，也就是一個(gè)一元一次方程了。我們知道，一般在求一個(gè)函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)的時(shí)候，令（同理求一個(gè)函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)的時(shí)候，令）。所以上面的意義可以這樣表達(dá)：將函數(shù)解析式中的變?yōu)椋敲淳偷玫较鄳?yīng)的方程。這個(gè)方

2、程的解也就是原先的函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。這就是函數(shù)解析式與方程之間的關(guān)系，它適用于所有的函數(shù)解析式。舉例說明如下：例如函數(shù)的圖像如右所示：該函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，也就是在函數(shù)解析式中，令即可。令也就意味著將一元一次函數(shù)變成了一元一次方程，其解和一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是相同的。接下來推廣到二次函數(shù)：例如函數(shù)的圖像如右圖所示：很容易驗(yàn)證，該函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)正是方程的解。 如果右邊的函數(shù)圖象是通過列表、描點(diǎn)、連線的方式作出來的，雖然比較精確，但過程十分繁瑣。在實(shí)際中，很多時(shí)候并不要求我們把函數(shù)圖象作得很精準(zhǔn)。有時(shí)候只需要作出大致圖像即可。既然上面講述了函數(shù)圖象與對應(yīng)的方程之間的關(guān)系

3、，我們可不可以通過利用方程的根來繪制對應(yīng)的函數(shù)圖象呢？函數(shù)對應(yīng)的方程是，先求出這個(gè)方程的兩個(gè)解。很容易根據(jù)十字相乘法得出該方程的兩個(gè)解分別為和2。這樣，根據(jù)函數(shù)解析式與方程之間的關(guān)系，也就得出了函數(shù)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)和。有了與橫坐標(biāo)兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，還知道了開口方向（二次項(xiàng)前面的系數(shù)，所以開口向上），則該二次函數(shù)的大致圖像就容易作出了。以上的結(jié)論可不可以進(jìn)一步推廣呢？先看接下來這個(gè)函數(shù)解析式，如果作這樣一個(gè)三次函數(shù)（三次或三次以上就叫高次函數(shù)）的圖像，用列表、描點(diǎn)、連線的方法是非常復(fù)雜的，甚至無法作出。如果我們采用上面的思想，先求出對應(yīng)的方程的根，很容易得出該方程的三個(gè)根：。知道了三個(gè)根還不行，還必

4、須知道開口方向，由于三次函數(shù)和二次函數(shù)不同，所以不可能通過三次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)來確定開口方向。在實(shí)際中，我們可以發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律：如果三次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)、最右邊一個(gè)交點(diǎn)的右邊部分圖像是在軸上面的。如果三次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，最右邊一個(gè)交點(diǎn)的右邊部分圖像是在軸下面的。那么函數(shù)的大致圖像如下：函數(shù)的大致圖像如下：通過以上函數(shù)圖象：我們可以總結(jié)出作高次函數(shù)大致圖像的步驟：（1） 求出高次函數(shù)所對應(yīng)的方程的根，并在數(shù)軸上（不需要建立坐標(biāo)系）從小到大依次表示出來。（2） 如果最高次項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則按照從右到左，從上到下依次穿過。如果最高次數(shù)的系數(shù)是負(fù)數(shù)，則按照從右到左，從下到上依次穿過。 函數(shù)與不等式之間的關(guān)系函數(shù)

5、解析式：中，如果變?yōu)椋ǖ那闆r類似）或（的情況類似），那么就是不等式了。實(shí)際上，以上兩個(gè)不等式分別對應(yīng)一次函數(shù)的圖像在軸上方和下方的情況。而不等式和的解分別是一次函數(shù)的圖像上方部分對應(yīng)的自變量的范圍和下方部分對應(yīng)的自變量的范圍。例如不等式所對應(yīng)的是一次函數(shù)在軸上方部分的圖像。該不等式的解為在軸上方部分的圖像所對應(yīng)的自變量的范圍，即。在二次函數(shù)中，這種不等式和函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系同樣適用。例如：的圖像如右圖所示：不等式的解為二次函數(shù)圖像上在軸上方的部分，不等式的解為：或。同理的解為。這也就是二次不等式“二次項(xiàng)的系數(shù)大于零，后面是大于號的取兩邊（即小于最小根，大于最大根），后面是小于號的取中間（大于最小根

6、，小于最大根）”的性質(zhì)。對于二次項(xiàng)系數(shù)小于零的不等式，可以通過在兩邊同時(shí)乘以-1將二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)。 從上面的現(xiàn)象可以得出函數(shù)和不等式的關(guān)系：不等式對應(yīng)的是函數(shù)圖像上在軸上方的部分，不等式的解就是函數(shù)圖像上在軸上方的部分所對應(yīng)的自變量的取值范圍。不等式對應(yīng)的是函數(shù)圖像上在軸下方的部分，不等式的解就是函數(shù)圖像上在軸下方的部分所對應(yīng)的自變量的取值范圍。對于多次不等式，例如，首先在數(shù)軸上作出函數(shù)的大致圖像（前面已介紹），然后取圖像在軸上方部分對應(yīng)的的取值范圍。所以不等式的解為或。同理也可以解次不等式。 一元二次方程和一元二次不等式的關(guān)系如果將一元二次方程中的“=”改為“”或“”，則可變?yōu)橐辉尾?/p>

7、等式。解一元二次不等式的步驟：1、 二次項(xiàng)為負(fù)數(shù)的，首先要在兩邊同時(shí)乘以-1將二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)（注意不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)負(fù)數(shù)后，不等號要變號）。如要通過兩邊同乘以-1變?yōu)椤?、 解出不等式對應(yīng)的方程的兩個(gè)根。如解出方程的兩根分別為。3、 如果是大于號，解為：最小根或最大根。如果是小于號，解為：最小根最大根。例如的解為：。 一元二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式之間的關(guān)系在圖像上的表示在實(shí)際中，我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣的方程：或這樣的不等式：。結(jié)果是都是無解。也會(huì)遇到，解為全體實(shí)數(shù)。這就說明一元二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式在圖像上還存在著某種明顯的關(guān)系。我們分別作出函數(shù)的六種可能圖像

8、。第一種：當(dāng)時(shí)，圖像為： 從圖像我們可以看出，該圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，也就是說方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（設(shè)為，且），的解為：，的解為：或。所以可以得出這樣的結(jié)論：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（設(shè)為，且），的解為：，的解為：或。第二種：當(dāng)時(shí)，圖像為：從圖像我們可以看出，該圖像與軸有一個(gè)交點(diǎn)，也就是說方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（設(shè)為，且），的解集為：，的解為：或即。所以可以得出這樣的結(jié)論：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（設(shè)為，且），的解集為：，的解為：或即。第三種：當(dāng)時(shí)，圖像為：從圖像我們可以看出，該圖像與軸沒有交點(diǎn)，也就是說方程沒有實(shí)數(shù)根，的解為：，的解為：。所以可以得出這樣的結(jié)論：當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根

9、； 的解為：，的解為：。第四種：當(dāng)時(shí)，圖像為：從圖像我們可以看出，該圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，也就是說方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（設(shè)為，且），的解為：或，的解為：。所以可以得出這樣的結(jié)論：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（設(shè)為，且），的解為：或，的解為：。第五種：當(dāng)時(shí)，圖像為：從圖像我們可以看出，該圖像與軸有一個(gè)交點(diǎn)，也就是說方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（設(shè)為，且），的解集為：或即，的解為：。所以可以得出這樣的結(jié)論：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（設(shè)為，且），的解集為：或即，的解為：。第六種：當(dāng)時(shí)，圖像為：從圖像我們可以看出，該圖像與軸沒有交點(diǎn)，也就是說方程沒有實(shí)數(shù)根，的解為：，的解為：。所以可以得出這樣的結(jié)論

10、：當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根，的解為：，的解為：?？偨Y(jié)：值得注意的是，如果對于一元二次函數(shù)無論自變量取什么值，函數(shù)值都大于零，那么這就屬于上面六種情況中的第三種情況，則有；如果對于一元二次函數(shù)無論自變量取什么值，函數(shù)值都小于零，那么這就屬于上面六種情況中的第六種情況，則有：。 例題精講1、 已知的解集為，試求的值。解析：首先，如果，則不等式的解應(yīng)該是“兩邊”，不應(yīng)該是“中間”，所以必定有。這并不影響做題。由題意值：、是方程的兩根。根據(jù)韋達(dá)定理（即根與系數(shù)關(guān)系，即，）得：，。解得：，。2、 設(shè)二次函數(shù)，（1）若存在實(shí)數(shù)使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是多少？（2）若對任意實(shí)數(shù)使得不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是