最優(yōu)化理論第一章

1、最優(yōu)化理論與方法最優(yōu)化理論與方法 優(yōu)化是從處理各種事物的一切可能的方案中，尋求優(yōu)化是從處理各種事物的一切可能的方案中，尋求最優(yōu)的方案。最優(yōu)的方案。 優(yōu)化的原理與方法，在科學(xué)的、工程的和社會的實優(yōu)化的原理與方法，在科學(xué)的、工程的和社會的實際問題中的應(yīng)用，便是優(yōu)化問題。際問題中的應(yīng)用，便是優(yōu)化問題。 1-1 1-1 緒論緒論 歷史上最早記載下來的最優(yōu)化問題可追溯到古希歷史上最早記載下來的最優(yōu)化問題可追溯到古希臘的歐幾里得（臘的歐幾里得（EuclidEuclid，公元前，公元前300300年左右），他指出：年左右），他指出：在周長相同的一切矩形中，以正方形的面積為最大。在周長相同的一切矩形中，以正方

2、形的面積為最大。十七、十八世紀十七、十八世紀微積分微積分的建立給出了求函數(shù)極值的一的建立給出了求函數(shù)極值的一些準則，對最優(yōu)化的研究提供了某些理論基礎(chǔ)。然而，些準則，對最優(yōu)化的研究提供了某些理論基礎(chǔ)。然而，在以后的兩個世紀中，最優(yōu)化技術(shù)的進展緩慢，主要在以后的兩個世紀中，最優(yōu)化技術(shù)的進展緩慢，主要考慮了有約束條件的最優(yōu)化問題，發(fā)展了考慮了有約束條件的最優(yōu)化問題，發(fā)展了變分法變分法。 直到上世紀直到上世紀4040年代初，由于軍事上的需要產(chǎn)生了年代初，由于軍事上的需要產(chǎn)生了運籌學(xué)運籌學(xué)，并使優(yōu)化技術(shù)首先應(yīng)用于解決戰(zhàn)爭中的實際，并使優(yōu)化技術(shù)首先應(yīng)用于解決戰(zhàn)爭中的實際問題，例如轟炸機最佳俯沖軌跡的設(shè)計等

3、。問題，例如轟炸機最佳俯沖軌跡的設(shè)計等。 近十幾年來，最優(yōu)化方法已陸續(xù)用到建筑結(jié)構(gòu)、近十幾年來，最優(yōu)化方法已陸續(xù)用到建筑結(jié)構(gòu)、化工、冶金、鐵路、航天航空、造船、機床、汽車、化工、冶金、鐵路、航天航空、造船、機床、汽車、自動控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)以及電機、電器等工程設(shè)計自動控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)以及電機、電器等工程設(shè)計領(lǐng)域，并取得了顯著效果。領(lǐng)域，并取得了顯著效果。 50年代末年代末數(shù)學(xué)規(guī)劃方法數(shù)學(xué)規(guī)劃方法被首次用于結(jié)構(gòu)最優(yōu)化，并被首次用于結(jié)構(gòu)最優(yōu)化，并成為優(yōu)化設(shè)計中求優(yōu)方法的理論基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)規(guī)劃方法是成為優(yōu)化設(shè)計中求優(yōu)方法的理論基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)規(guī)劃方法是在第二次世界大戰(zhàn)期間發(fā)展起來的一個新的數(shù)學(xué)分支，在第二次

4、世界大戰(zhàn)期間發(fā)展起來的一個新的數(shù)學(xué)分支，線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃是其主要內(nèi)容。線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃是其主要內(nèi)容。 大型電子計算機的出現(xiàn)，使最優(yōu)化方法及其理論蓬大型電子計算機的出現(xiàn)，使最優(yōu)化方法及其理論蓬勃發(fā)展，成為應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個重要分支，并在許多科勃發(fā)展，成為應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個重要分支，并在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中得到應(yīng)用。學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中得到應(yīng)用。人類智能優(yōu)化人類智能優(yōu)化：與人類史同步，直接憑借人類的：與人類史同步，直接憑借人類的直覺或邏輯思維，如黃金分割法、窮舉法和瞎子爬山法等。直覺或邏輯思維，如黃金分割法、窮舉法和瞎子爬山法等。l 第二階段第二階段數(shù)學(xué)規(guī)劃方法優(yōu)化數(shù)學(xué)規(guī)劃方法優(yōu)化：從三百多年前牛頓發(fā)明

5、微：從三百多年前牛頓發(fā)明微積分算起，電子計算機的出現(xiàn)推動數(shù)學(xué)規(guī)劃方法在近五十年來積分算起，電子計算機的出現(xiàn)推動數(shù)學(xué)規(guī)劃方法在近五十年來得到迅速發(fā)展。得到迅速發(fā)展。l 第三階段第三階段工程優(yōu)化工程優(yōu)化：近二十余年來，計算機技術(shù)的發(fā)展：近二十余年來，計算機技術(shù)的發(fā)展給解決復(fù)雜工程優(yōu)化問題提供了新的可能，非數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)＜议_給解決復(fù)雜工程優(yōu)化問題提供了新的可能，非數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)＜议_發(fā)了一些工程優(yōu)化方法，能解決不少傳統(tǒng)數(shù)學(xué)規(guī)劃方法不能勝發(fā)了一些工程優(yōu)化方法，能解決不少傳統(tǒng)數(shù)學(xué)規(guī)劃方法不能勝任的工程優(yōu)化問題。在處理多目標工程優(yōu)化問題中，基于經(jīng)驗任的工程優(yōu)化問題。在處理多目標工程優(yōu)化問題中，基于經(jīng)驗和直覺的方法得

6、到了更多的應(yīng)用。優(yōu)化過程和方法學(xué)研究，尤和直覺的方法得到了更多的應(yīng)用。優(yōu)化過程和方法學(xué)研究，尤其是建模策略研究引起重視，開辟了提高工程優(yōu)化效率的新的其是建模策略研究引起重視，開辟了提高工程優(yōu)化效率的新的途徑。途徑。l 第四階段第四階段現(xiàn)代優(yōu)化方法：現(xiàn)代優(yōu)化方法：如遺傳算法、如遺傳算法、 模擬退火算法、模擬退火算法、 蟻群算法、蟻群算法、 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等，并采用專家系統(tǒng)技術(shù)實現(xiàn)尋優(yōu)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等，并采用專家系統(tǒng)技術(shù)實現(xiàn)尋優(yōu)策略的自動選擇和優(yōu)化過程的自動控制，智能尋優(yōu)策略迅速發(fā)策略的自動選擇和優(yōu)化過程的自動控制，智能尋優(yōu)策略迅速發(fā)展。展。 已知：制造一體積為已知：制造一體積為100m100m3 3

7、，長度不小于，長度不小于5m5m，不，不帶上蓋的箱盒，試確定箱盒的長帶上蓋的箱盒，試確定箱盒的長x x1 1，寬，寬x x2 2，高，高x x3 3，使箱盒用料最省。使箱盒用料最省。 分析：分析：（1 1）箱盒的表面積的表達式；）箱盒的表面積的表達式；（2 2）優(yōu)化變量確定：長）優(yōu)化變量確定：長x x1 1，寬，寬x x2 2，高，高x x3 3 ；（3 3）優(yōu)化約束條件：）優(yōu)化約束條件： （a a）體積要求；）體積要求； （b b）長度要求；）長度要求；x x1 1x x2 2x x3 3箱盒的優(yōu)化問題箱盒的優(yōu)化問題1-2 1-2 優(yōu)化問題示例優(yōu)化問題示例123,x xx122313min2

8、()Sx xx xx x123123500100 xxxx x x優(yōu)化變量：優(yōu)化變量：目標函數(shù)：目標函數(shù)：約束條件：約束條件： 某工廠生產(chǎn)某工廠生產(chǎn)A A 和和B B 兩種產(chǎn)品，兩種產(chǎn)品，A A 產(chǎn)品單位價格產(chǎn)品單位價格為為P PA A 萬元，萬元， B B 產(chǎn)品單位價格為產(chǎn)品單位價格為P PB B 萬元。每生產(chǎn)一個單位萬元。每生產(chǎn)一個單位A A 產(chǎn)品需消耗煤產(chǎn)品需消耗煤a aC C 噸，電噸，電a aE E 度，人工度，人工a aL L 個人日；每生產(chǎn)個人日；每生產(chǎn)一個單位一個單位B B 產(chǎn)品需消耗煤產(chǎn)品需消耗煤b bC C 噸，電噸，電b bE E 度，人工度，人工b bL L 個人日。個

9、人日?，F(xiàn)有可利用生產(chǎn)資源煤現(xiàn)有可利用生產(chǎn)資源煤C C 噸，電噸，電E E 度，勞動力度，勞動力L L 個人日，個人日，欲找出其最優(yōu)分配方案，使產(chǎn)值最大。欲找出其最優(yōu)分配方案，使產(chǎn)值最大。 分析：分析：（1 1）產(chǎn)值的表達式；）產(chǎn)值的表達式；（2 2）優(yōu)化變量確定：）優(yōu)化變量確定： A A 產(chǎn)品產(chǎn)品x xA A， B B 產(chǎn)品產(chǎn)品x xB B ；（3 3）優(yōu)化約束條件：）優(yōu)化約束條件： （a a）生產(chǎn)資源煤約束；）生產(chǎn)資源煤約束； （b b）生產(chǎn)資源電約束；）生產(chǎn)資源電約束； （b b）生產(chǎn)資源勞動力約束；）生產(chǎn)資源勞動力約束；最大產(chǎn)值生產(chǎn)資源分配問題最大產(chǎn)值生產(chǎn)資源分配問題 ,ABxxmaxA

10、ABBPP xP xCACBEAEBLALBa xb xCa xb xEa xb xL優(yōu)化變量：優(yōu)化變量：目標函數(shù)：目標函數(shù)：約束條件：約束條件：1.1.優(yōu)化變量優(yōu)化變量 一個優(yōu)化問題可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來表一個優(yōu)化問題可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來表示，在優(yōu)化過程中進行選擇并最終必須確定的各項示，在優(yōu)化過程中進行選擇并最終必須確定的各項獨立的基本參數(shù)，稱作獨立的基本參數(shù)，稱作優(yōu)化變量優(yōu)化變量，又叫做，又叫做決策變量決策變量。 最優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型是描述實際優(yōu)化問題目標函數(shù)、最優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型是描述實際優(yōu)化問題目標函數(shù)、變量關(guān)系、有關(guān)約束條件和意圖的數(shù)學(xué)表達式，它變量關(guān)系、有關(guān)約束條件和意圖的數(shù)學(xué)表

11、達式，它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進行最反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進行最優(yōu)化的基礎(chǔ)。優(yōu)化的基礎(chǔ)。 優(yōu)化變量的全體實際上是一組變量，可用一個列優(yōu)化變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表示。優(yōu)化變量的數(shù)目稱為優(yōu)化問題的維數(shù)，如向量表示。優(yōu)化變量的數(shù)目稱為優(yōu)化問題的維數(shù)，如n n個優(yōu)化變量，則稱為個優(yōu)化變量，則稱為n n維優(yōu)化問題維優(yōu)化問題。1212 ,Tnnxxx xxxx 按照優(yōu)化變量的取值特點，可分為按照優(yōu)化變量的取值特點，可分為連續(xù)變量連續(xù)變量（例（例如軸徑、輪廓尺寸等）和如軸徑、輪廓尺寸等）和離散變量離散變量（例如各種標準規(guī)格（例如各種標準規(guī)格等）。等）。 圖

12、1-1 優(yōu)化變量所組成的優(yōu)化空間優(yōu)化變量所組成的優(yōu)化空間（a a）二維問題）二維問題 （b b）三維問題）三維問題 只有兩個優(yōu)化變量的二維優(yōu)化問題可用圖（只有兩個優(yōu)化變量的二維優(yōu)化問題可用圖（a a）所示的平面直角坐標表示；有三個優(yōu)化變量的三維所示的平面直角坐標表示；有三個優(yōu)化變量的三維問題可用圖（問題可用圖（b b）所表示的空間直角坐標表示。）所表示的空間直角坐標表示。 優(yōu)化問題的維數(shù)表征優(yōu)化的自由度，優(yōu)化變量愈優(yōu)化問題的維數(shù)表征優(yōu)化的自由度，優(yōu)化變量愈多，則問題的自由度愈大、可供選擇的方案愈多，但多，則問題的自由度愈大、可供選擇的方案愈多，但難度亦愈大、求解亦愈復(fù)雜。難度亦愈大、求解亦愈復(fù)

13、雜。 小型優(yōu)化問題：小型優(yōu)化問題：一般含有一般含有2 21010個優(yōu)化變量；個優(yōu)化變量； 中型中型優(yōu)化優(yōu)化問題：問題：10105050個個優(yōu)化優(yōu)化變量；變量； 大型大型優(yōu)化優(yōu)化問題：問題：5050個以上的個以上的優(yōu)化優(yōu)化變量。變量。 如何選定優(yōu)化變量如何選定優(yōu)化變量？ 任何一項產(chǎn)品，是眾多變量標志結(jié)構(gòu)尺寸的綜合體。變量任何一項產(chǎn)品，是眾多變量標志結(jié)構(gòu)尺寸的綜合體。變量越多，可以淋漓盡致地描述產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，但會增加建模的難度和越多，可以淋漓盡致地描述產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，但會增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過大。所以確定優(yōu)化變量時應(yīng)注意以下幾點：造成優(yōu)化規(guī)模過大。所以確定優(yōu)化變量時應(yīng)注意以下幾點： （1 1）抓主要

14、，舍次要。抓主要，舍次要。 對產(chǎn)品性能和結(jié)構(gòu)影響大的參數(shù)可取為優(yōu)化變量，影響小對產(chǎn)品性能和結(jié)構(gòu)影響大的參數(shù)可取為優(yōu)化變量，影響小的可先根據(jù)經(jīng)驗取為試探性的常量，有的甚至可以不考慮。的可先根據(jù)經(jīng)驗取為試探性的常量，有的甚至可以不考慮。（2 2）根據(jù)要解決問題的特殊性來選擇優(yōu)化變量。根據(jù)要解決問題的特殊性來選擇優(yōu)化變量。 例如，圓柱螺旋拉壓彈簧的優(yōu)化變量有例如，圓柱螺旋拉壓彈簧的優(yōu)化變量有4 4個，即鋼絲直徑個，即鋼絲直徑d d，彈簧中徑，彈簧中徑D D，工作圈數(shù)，工作圈數(shù)n n和自由高度和自由高度H H。在建模中，將材料的許。在建模中，將材料的許用剪切應(yīng)力用剪切應(yīng)力 和剪切模量和剪切模量等作為優(yōu)

15、化常量。在給定徑向空間內(nèi)等作為優(yōu)化常量。在給定徑向空間內(nèi)設(shè)計彈簧，則可把彈簧中徑設(shè)計彈簧，則可把彈簧中徑D D作為優(yōu)化常量。作為優(yōu)化常量。 優(yōu)化問題中有些是工程上所不能接受的，在優(yōu)化優(yōu)化問題中有些是工程上所不能接受的，在優(yōu)化中對優(yōu)化變量取值有一些限制條件，這些限制條件稱中對優(yōu)化變量取值有一些限制條件，這些限制條件稱作作約束條件約束條件，簡稱，簡稱約束約束。 約束又可按其數(shù)學(xué)表達形式分成等式約束和約束又可按其數(shù)學(xué)表達形式分成等式約束和不等式約束兩種類型：不等式約束兩種類型：(1)(1)等式約束等式約束(2)(2)不等式約束不等式約束( )0hx( )0gx根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成：根據(jù)約束

16、的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成：性能約束性能約束針對性能要求而提出的限制條件稱作性能針對性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。例如，選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強度、剛度約束。例如，選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強度、剛度或穩(wěn)定性等要求；或穩(wěn)定性等要求；邊界約束邊界約束只是對設(shè)計變量的取值范圍加以限制的約只是對設(shè)計變量的取值范圍加以限制的約束稱作邊界約束。例如，允許機床主軸選擇的尺寸范圍，束稱作邊界約束。例如，允許機床主軸選擇的尺寸范圍，對軸段長度的限定范圍就屬于邊界約束。對軸段長度的限定范圍就屬于邊界約束。圖圖1-2 1-2 優(yōu)化問題中的約束面（或約束線）優(yōu)化問題中的約束面（或約束線） (a)(a)二變量

17、問題的約束線二變量問題的約束線 (b) (b) 三變量問題的約束面三變量問題的約束面 如圖如圖1-31-3上畫出了滿足兩項約束條件上畫出了滿足兩項約束條件g1（X）=x12x2216 0和和g2（X）2x20的的二維設(shè)計問題的可行域二維設(shè)計問題的可行域D D，它位于，它位于x2 2=2=2的上面和的上面和圓圓 x1 12 2x2 22 2=16=16的圓弧的圓弧ABCABC下面并包括線段下面并包括線段ACAC和圓弧和圓弧ABCABC在內(nèi)。在內(nèi)。圖圖1-3 1-3 約束條件規(guī)定的可行域約束條件規(guī)定的可行域D D 可行域可行域 : : 在優(yōu)化問題中，滿足所有約束條件的點所構(gòu)成在優(yōu)化問題中，滿足所有

18、約束條件的點所構(gòu)成的集合。的集合。 滿足滿足 的約束為起作用約束的約束為起作用約束, ,否則為否則為不起作用的約束不起作用的約束.(.(等式等式約束一定是起作用約束約束一定是起作用約束) )一般情況下，可行域可表示為：一般情況下，可行域可表示為：mjxhluxgxDju, 2 , 10)(, 2 , 10)(不可行域不可行域: :可行點和不可行點可行點和不可行點 D D內(nèi)的點為可行點內(nèi)的點為可行點, ,否則為不可否則為不可行點（外點）。行點（外點）。邊界點與內(nèi)點邊界點與內(nèi)點約束邊界上的可行點為邊界點約束邊界上的可行點為邊界點, ,其其余可行點為內(nèi)點。余可行點為內(nèi)點。起作用的約束與不起作用的約束

19、起作用的約束與不起作用的約束D0)(*Xgu 在優(yōu)化過程中，通過優(yōu)化變量的不斷向在優(yōu)化過程中，通過優(yōu)化變量的不斷向f(X)值改善的方向值改善的方向自動調(diào)整，最后求得自動調(diào)整，最后求得f f( (X X) )值最好或最滿意的值最好或最滿意的X值。在構(gòu)造目標值。在構(gòu)造目標函數(shù)時，目標函數(shù)的最優(yōu)值可能是最大值，也可能是最小值。函數(shù)時，目標函數(shù)的最優(yōu)值可能是最大值，也可能是最小值。在機械設(shè)計中，可作為參考目標函數(shù)的有：在機械設(shè)計中，可作為參考目標函數(shù)的有： 體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結(jié)構(gòu)體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結(jié)構(gòu)運動精度最高、振幅或噪聲最小、成本最低、耗能最小、

20、動運動精度最高、振幅或噪聲最小、成本最低、耗能最小、動負荷最小等等。負荷最小等等。 12()()nf Xf xxx， ， ， 為了對優(yōu)化進行定量評價，必須構(gòu)造包含優(yōu)化變量的評價為了對優(yōu)化進行定量評價，必須構(gòu)造包含優(yōu)化變量的評價函數(shù)，它是優(yōu)化的目標，稱為函數(shù)，它是優(yōu)化的目標，稱為目標函數(shù)目標函數(shù)，以，以f(X)表示。表示。 在優(yōu)化問題中，可以只有一個目標函數(shù)，稱為在優(yōu)化問題中，可以只有一個目標函數(shù)，稱為單目單目標函數(shù)標函數(shù)。當在同一設(shè)計中要提出多個目標函數(shù)時，這種。當在同一設(shè)計中要提出多個目標函數(shù)時，這種問題稱為問題稱為多目標函數(shù)多目標函數(shù)的最優(yōu)化問題。在一般的最優(yōu)化問的最優(yōu)化問題。在一般的最優(yōu)

21、化問題中，多目標函數(shù)的情況較多。目標函數(shù)愈多，建模的題中，多目標函數(shù)的情況較多。目標函數(shù)愈多，建模的綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復(fù)雜。綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復(fù)雜。 在實際工程問題中，常常會遇到在多目標函數(shù)的在實際工程問題中，常常會遇到在多目標函數(shù)的某些目標之間存在矛盾的情況，這就要求建模者正確某些目標之間存在矛盾的情況，這就要求建模者正確處理各目標函數(shù)之間的關(guān)系。處理各目標函數(shù)之間的關(guān)系。 ( )x fc 目標函數(shù)是目標函數(shù)是n n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n n+1+1維空維空間中描述出來。為了在間中描述出來。為了在n n維設(shè)計空間中反映目標函

22、數(shù)的變化情維設(shè)計空間中反映目標函數(shù)的變化情況，常采用目標函數(shù)等值面的方法。況，常采用目標函數(shù)等值面的方法。 目標函數(shù)的等值面（線）數(shù)學(xué)表達式為：目標函數(shù)的等值面（線）數(shù)學(xué)表達式為： c c為一系列常數(shù)，代表一族為一系列常數(shù)，代表一族n n維超曲面。如在二維優(yōu)化維超曲面。如在二維優(yōu)化問題中，問題中，f(x1,x2)=c 代表代表x1-x2平面上的一族曲線。平面上的一族曲線。 對于具有相等目標函數(shù)值的自變量構(gòu)成的平面曲線或?qū)τ诰哂邢嗟饶繕撕瘮?shù)值的自變量構(gòu)成的平面曲線或曲面稱為曲面稱為等值線等值線或或等值面等值面。圖圖1-4 1-4 等值線等值線 圖圖1-41-4表示目標函數(shù)表示目標函數(shù)f（X）與兩

23、個優(yōu)化變量與兩個優(yōu)化變量x1，x2階所構(gòu)成階所構(gòu)成的關(guān)系曲面上的等值線，它是由許多具有相等目標函數(shù)值的點的關(guān)系曲面上的等值線，它是由許多具有相等目標函數(shù)值的點所構(gòu)成的平面曲線。當給目標函數(shù)以不同值時，可得到一系列所構(gòu)成的平面曲線。當給目標函數(shù)以不同值時，可得到一系列的等值線，它們構(gòu)成目標函數(shù)的等值線族。在極值處目標函數(shù)的等值線，它們構(gòu)成目標函數(shù)的等值線族。在極值處目標函數(shù)的等值線聚成一點，并位于等值線族的中心。當目標函數(shù)值的的等值線聚成一點，并位于等值線族的中心。當目標函數(shù)值的變化范圍一定時，等值線愈稀疏說明目標函數(shù)值的變化愈平緩。變化范圍一定時，等值線愈稀疏說明目標函數(shù)值的變化愈平緩。利用等

24、值線的概念可用幾何圖象形象地表現(xiàn)出目標函數(shù)的變化利用等值線的概念可用幾何圖象形象地表現(xiàn)出目標函數(shù)的變化規(guī)律。規(guī)律。 從等值線上，可以清楚地看到函數(shù)值的變化情況。其中從等值線上，可以清楚地看到函數(shù)值的變化情況。其中f=40的等值線就是使的等值線就是使f(x1,x2)=40的各點的各點x1,x2T所組成的連線所組成的連線。 如圖函數(shù)如圖函數(shù) 的等值線圖。的等值線圖。2212121212( ,)60 104f x xxxxxx x圖圖1-5 1-5 等值線等值線12 ,TnXx xx()minf X()0(1,2, )kh Xkl()0(1,2,)jgXjm12min()(),. .()01,2,(

25、)01,2,nnjkf Xf xxxXRst gXjmh Xkl， ， ，求優(yōu)化變量向量求優(yōu)化變量向量使目標函數(shù)使目標函數(shù) 對于復(fù)雜的問題，要建立能反映客觀工程實際的、完對于復(fù)雜的問題，要建立能反映客觀工程實際的、完善的數(shù)學(xué)模型往往會遇到很多困難，有時甚至比求解更為善的數(shù)學(xué)模型往往會遇到很多困難，有時甚至比求解更為復(fù)雜。這時要抓住關(guān)鍵因素，適當忽略不重要的成分，使復(fù)雜。這時要抓住關(guān)鍵因素，適當忽略不重要的成分，使問題合理簡化，以易于列出數(shù)學(xué)模型，這樣不僅可節(jié)省時問題合理簡化，以易于列出數(shù)學(xué)模型，這樣不僅可節(jié)省時間，有時也會改善優(yōu)化結(jié)果。間，有時也會改善優(yōu)化結(jié)果。 最優(yōu)化問題的目標函數(shù)通常為求目

26、標函數(shù)的最小值。若最優(yōu)化問題的目標函數(shù)通常為求目標函數(shù)的最小值。若目標函數(shù)的最優(yōu)點為可行域中的最大值時，則可看成是求目標函數(shù)的最優(yōu)點為可行域中的最大值時，則可看成是求-f（X）的最小值，因為的最小值，因為minmin-f（X）與與max f（X）是等價的。是等價的。1 1）根據(jù)問題要求，應(yīng)用專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗等，對）根據(jù)問題要求，應(yīng)用專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗等，對優(yōu)化對象進行分析。必要時，需要對傳統(tǒng)問題中的公式進行改優(yōu)化對象進行分析。必要時，需要對傳統(tǒng)問題中的公式進行改進，并盡可以反映該專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)代技術(shù)進步的成果。進，并盡可以反映該專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)代技術(shù)進步的成果。2 2）對諸參數(shù)

27、進行分析，以確定問題的原始參數(shù)、優(yōu)化常數(shù)和）對諸參數(shù)進行分析，以確定問題的原始參數(shù)、優(yōu)化常數(shù)和優(yōu)化變量。優(yōu)化變量。3 3）根據(jù)問題要求，確定并構(gòu)造目標函數(shù)和相應(yīng)的約束條件，）根據(jù)問題要求，確定并構(gòu)造目標函數(shù)和相應(yīng)的約束條件，有時要構(gòu)造多目標函數(shù)。有時要構(gòu)造多目標函數(shù)。4 4）必要時對數(shù)學(xué)模型進行規(guī)范化，以消除諸組成項間由于量）必要時對數(shù)學(xué)模型進行規(guī)范化，以消除諸組成項間由于量綱不同等原因?qū)е碌臄?shù)量懸殊的影響。綱不同等原因?qū)е碌臄?shù)量懸殊的影響。 以最低成本確定滿足動物所需營養(yǎng)的最優(yōu)混合飼料。設(shè)每以最低成本確定滿足動物所需營養(yǎng)的最優(yōu)混合飼料。設(shè)每天需要混合飼料的批量為天需要混合飼料的批量為1001

28、00磅，這份飼料必須含：至少磅，這份飼料必須含：至少0.8%0.8%而不超過而不超過1.2%1.2%的鈣的鈣; ;至少至少22%22%的蛋白質(zhì)的蛋白質(zhì); ;至多至多5%5%的粗纖維。假定的粗纖維。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。這些配料的主要營養(yǎng)成主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。這些配料的主要營養(yǎng)成分為：分為：1231231231232323123min0.01640.04630.1250. .1000.3800.0010.0020.012 1000.3800.0010.0020.008 1000.090.500.22 1000.020.080.05 100000Zxxxstxxxxx

29、xxxxxxxxxxx解解: :根據(jù)前面介紹的建模要素得出此問題的數(shù)學(xué)模型如下根據(jù)前面介紹的建模要素得出此問題的數(shù)學(xué)模型如下: :設(shè)設(shè) 是生產(chǎn)是生產(chǎn)100100磅混合飼料磅混合飼料所須的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。所須的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。321xxx對于最優(yōu)化問題一般可作如下分類：對于最優(yōu)化問題一般可作如下分類：還有其它的一些劃分方法：還有其它的一些劃分方法： 如按優(yōu)化變量的性質(zhì)分：連續(xù)變量、離散變量、整數(shù)變?nèi)绨磧?yōu)化變量的性質(zhì)分：連續(xù)變量、離散變量、整數(shù)變量規(guī)劃問題量規(guī)劃問題: : 二次規(guī)劃、幾何規(guī)劃、隨機規(guī)劃等。二次規(guī)劃、幾何規(guī)劃、隨機規(guī)劃等。約束無約束動態(tài)問題非線性規(guī)劃線

30、性規(guī)劃約束問題維問題一維問題非線性問題線性問題無約束問題靜態(tài)問題最優(yōu)化問題nl無約束優(yōu)化無約束優(yōu)化問題就是在沒有限制的條件下，對優(yōu)化變問題就是在沒有限制的條件下，對優(yōu)化變量求目標函數(shù)的極小點。在優(yōu)化空間內(nèi)，目標函數(shù)是量求目標函數(shù)的極小點。在優(yōu)化空間內(nèi)，目標函數(shù)是以等值面的形式反映出來的，則以等值面的形式反映出來的，則無約束優(yōu)化問題的極無約束優(yōu)化問題的極小點即為等值面的中心。小點即為等值面的中心。l約束優(yōu)化約束優(yōu)化問題是在可行域內(nèi)對設(shè)計變量求目標函問題是在可行域內(nèi)對設(shè)計變量求目標函數(shù)的極小點，此極小點在數(shù)的極小點，此極小點在可行域內(nèi)或在可行域邊界可行域內(nèi)或在可行域邊界上。上。等值線等高線等值線等

31、高線：等值線等高線：它是由許多具有相它是由許多具有相同目標函數(shù)值的點同目標函數(shù)值的點所構(gòu)成的平面曲線所構(gòu)成的平面曲線目標函數(shù)的等值線目標函數(shù)的等值線數(shù)學(xué)表達式為：數(shù)學(xué)表達式為：()xfc2212111222123142min( )44 s.t.( )20( )10( )0( )0 xxxxx Fxxxgxxgxxgxgx例例1 1：如下二維非線性規(guī)劃問題：如下二維非線性規(guī)劃問題 通過二維約束優(yōu)化問題的幾何求解來直觀地描述優(yōu)化問通過二維約束優(yōu)化問題的幾何求解來直觀地描述優(yōu)化問題的基本思想。題的基本思想。2212111222123142min( )44 s.t.( )20( )10( )0( )0

32、Fxxxgxxgxxgxgx xxxxx 目標函數(shù)等值線是以點（目標函數(shù)等值線是以點（2 2，0 0）為圓心的一組同心圓。）為圓心的一組同心圓。 如不考慮約束，本例的無約束最優(yōu)解是：如不考慮約束，本例的無約束最優(yōu)解是：*(2,0)x，*()0Fx約束方程所圍成的可行域是約束方程所圍成的可行域是D D。01234-1f(x)=3.821x1x2DAx*=0.58, 1.34Tg1(x)=0g3(x)=0g2(x)=0g4(x)=0221212min21. .50 s txxxxl由圖易見約束直線與等值線的切點是最優(yōu)點，利用解析幾由圖易見約束直線與等值線的切點是最優(yōu)點，利用解析幾何的方法得該切點為

33、何的方法得該切點為 ， 對應(yīng)的最優(yōu)值為對應(yīng)的最優(yōu)值為 l (見圖）見圖）*3,2TX 2fXx2x12f 1f O解：先畫出目標函數(shù)等值線，再畫出約束曲線，本處約束曲線解：先畫出目標函數(shù)等值線，再畫出約束曲線，本處約束曲線是一條直線，這條直線就是可行集。而最優(yōu)點就是可行域上使是一條直線，這條直線就是可行集。而最優(yōu)點就是可行域上使等值線具有最小值的點。等值線具有最小值的點。122122122122min21. 5050,0 xxs t xxxxxxx解：解：先畫出等式約束曲線先畫出等式約束曲線 的圖形。的圖形。 這是一條拋物線，如圖這是一條拋物線，如圖052221xxx再畫出不等式約束區(qū)域，如圖

34、（選定哪側(cè)區(qū)域）再畫出不等式約束區(qū)域，如圖（選定哪側(cè)區(qū)域）最后畫出目標函數(shù)等值線，特別注意可行集邊界點，最后畫出目標函數(shù)等值線，特別注意可行集邊界點，x1x2123456135ABCD2122125050 xxxxx( 4 1)TX，4fXl得出：得出：x1x2123456135ABCD 解析法解析法數(shù)值解法數(shù)值解法解析法：解析法：即利用數(shù)學(xué)分析即利用數(shù)學(xué)分析( (微分、變分等）的方法，微分、變分等）的方法，根據(jù)根據(jù)函數(shù)（泛函）極值的必要條件和充分條件求出其最優(yōu)解析函數(shù)（泛函）極值的必要條件和充分條件求出其最優(yōu)解析解的求解方法解的求解方法 。在目標函數(shù)比較簡單時，求解還可以。在目標函數(shù)比較簡單

35、時，求解還可以。 局限性：局限性：工程優(yōu)化問題的目標函數(shù)和約束條件往往比較復(fù)工程優(yōu)化問題的目標函數(shù)和約束條件往往比較復(fù)雜，有時甚至還無法用數(shù)學(xué)方程描述，在這種情況下應(yīng)用數(shù)雜，有時甚至還無法用數(shù)學(xué)方程描述，在這種情況下應(yīng)用數(shù)學(xué)分析方法就會帶來麻煩。學(xué)分析方法就會帶來麻煩。 最優(yōu)化方法是與近代電子計算機的發(fā)展緊密相聯(lián)系的，數(shù)最優(yōu)化方法是與近代電子計算機的發(fā)展緊密相聯(lián)系的，數(shù)值計算法比解析法更能適應(yīng)電子計算機的工作特點，因為數(shù)值計值計算法比解析法更能適應(yīng)電子計算機的工作特點，因為數(shù)值計算的迭代方法具有以下特點：算的迭代方法具有以下特點： 1 1）是數(shù)值計算而不是數(shù)學(xué)分析方法；）是數(shù)值計算而不是數(shù)學(xué)分

36、析方法； 2 2）具有簡單的邏輯結(jié)構(gòu)并能進行反復(fù)的同樣的算術(shù)計算；）具有簡單的邏輯結(jié)構(gòu)并能進行反復(fù)的同樣的算術(shù)計算； 3 3）最后得出的是逼近精確解的近似解。）最后得出的是逼近精確解的近似解。這些特點正與計算機的工作特點相一致。這些特點正與計算機的工作特點相一致。數(shù)值解法數(shù)值解法這是一種數(shù)值近似計算方法，又稱為這是一種數(shù)值近似計算方法，又稱為數(shù)值迭代數(shù)值迭代方法方法。它是根據(jù)目標函數(shù)的變化規(guī)律，以適當?shù)牟介L沿著能使目。它是根據(jù)目標函數(shù)的變化規(guī)律，以適當?shù)牟介L沿著能使目標函數(shù)值下降的方向，逐步向目標函數(shù)值的最優(yōu)點進行探索，逐標函數(shù)值下降的方向，逐步向目標函數(shù)值的最優(yōu)點進行探索，逐步逼近到目標函數(shù)的最優(yōu)點或直至達到最優(yōu)點。數(shù)值解法（迭代步逼近到目標函數(shù)的最優(yōu)點或直至達到最優(yōu)點。數(shù)值解法（迭代法）是優(yōu)化設(shè)計問題的基本解法。法）是優(yōu)化設(shè)計問題的基本解法。 其中也可能用到解