概率論第二章21

1、1 1 隨機變量隨機變量2 2 離散型隨機變量及其分布律離散型隨機變量及其分布律3 3 隨機變量的分布函數隨機變量的分布函數4 4 連續(xù)型隨機變量及其概率密度連續(xù)型隨機變量及其概率密度5 5 隨機變量函數的分布隨機變量函數的分布第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布11 1 隨機變量隨機變量一一 隨機變量的概念隨機變量的概念為了更深入地研究隨機現(xiàn)象，就要建立數學為了更深入地研究隨機現(xiàn)象，就要建立數學模型，隨機變量是隨機現(xiàn)象的最基本的數學模型，隨機變量是隨機現(xiàn)象的最基本的數學模型。引入了隨機變量，我們就可以用隨機模型。引入了隨機變量，我們就可以用隨機變量的值表示隨機試驗的結果。變量的值表

2、示隨機試驗的結果。2在實際問題中，隨機試驗的結果可以用數量來在實際問題中，隨機試驗的結果可以用數量來表示，由此引入了隨機變量的概念表示，由此引入了隨機變量的概念 1 1、有些試驗結果本身與數值有關（本身就是、有些試驗結果本身與數值有關（本身就是 一個數）一個數）例如例如 擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數；擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數； 觀察某天從北京下火車的人數；觀察某天從北京下火車的人數； 觀察昆蟲的產卵數觀察昆蟲的產卵數3 2 2、此外，還有些試驗結果看來與數值無關，、此外，還有些試驗結果看來與數值無關， 但我們可以引進一個變量來表示它的各種但我們可以引進一個變量來表示它的各種 結果。也就是說，可

3、以結果。也就是說，可以將試驗結果數值化將試驗結果數值化。正如正如裁判員在運動場上裁判員在運動場上不叫運動員的名字而叫不叫運動員的名字而叫運動員的運動員的號碼一樣，二號碼一樣，二者之間建立了一種對應者之間建立了一種對應關系。這種對應關系在關系。這種對應關系在數學上理解為定義了一數學上理解為定義了一種實值函數。種實值函數。 4例例1 1 袋中有袋中有 3只黑球，只黑球，2只白球，從中任意取出只白球，從中任意取出 3只只 球，觀察球，觀察取出的取出的3只球中的黑球的個數只球中的黑球的個數。我們將。我們將 3只黑球分別記作只黑球分別記作1，2，3號，號，2只白球分別記作只白球分別記作 4，5號，則該試

4、驗的樣本空間為號，則該試驗的樣本空間為123124125134135145=234235245345， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，S分析分析樣本空間樣本空間5記記取出的黑球數為取出的黑球數為 X，則則 X 的可能取值為的可能取值為1，2，3顯然，顯然， X 是一個是一個變量變量。而且，而且， X 取什么值依賴于試驗結果，取什么值依賴于試驗結果，即，即， X 的取值帶有隨機性，的取值帶有隨機性，所以，我們稱所以，我們稱X 為為隨機變量隨機變量。6X 的取值情況可由下表給出：的取值情況可由下表給出：7由上表可以看出：由上表可以看出：1 1、該隨機試驗的每一個結果都對應著變量該隨機試驗的

5、每一個結果都對應著變量 X 的一個確定的取值的一個確定的取值 因此，因此，變量變量 X 是樣本空間是樣本空間S上的函數：上的函數： X = X eeS 2 2、定義了隨機變量后，就定義了隨機變量后，就可以用隨機變量的可以用隨機變量的 取值情況來刻劃隨機事件取值情況來刻劃隨機事件。X2 表示表示至少取出至少取出2個黑球個黑球這一事件，等等。這一事件，等等。 ：eX e= 2 = X = 2表示表示取出取出2個黑球個黑球這一事件；這一事件；例如例如8設隨機試驗的樣本空間設隨機試驗的樣本空間 S = e ，X = X (e)是定義在樣本空間是定義在樣本空間S上的實值上的實值單值函數，稱單值函數，稱

6、X = X (e) 為為隨機變量隨機變量。由此看到，隨機試驗的結果可以用數量來示，由此看到，隨機試驗的結果可以用數量來示，因此引入因此引入隨機變量隨機變量的概念的概念定義定義9e.X(e)sR以上定義了樣本空間到實數域上的一個以上定義了樣本空間到實數域上的一個對應關系對應關系X10 而表示隨機變量所取的值而表示隨機變量所取的值時時, ,一般采用小寫字母一般采用小寫字母x,y,z等等隨機變量通常用大寫字母隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母或希臘字母,等表示等表示111 1、隨機變量隨機變量X 隨試驗結果的不同而取不同的值，隨試驗結果的不同而取不同的值， 因而在試驗之前只知道它可能取值的范

7、圍，因而在試驗之前只知道它可能取值的范圍， 而不能預先肯定它將取哪個值。而不能預先肯定它將取哪個值。2 2、由于試驗結果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是由于試驗結果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是 這種實值函數取每個值和每個確定范圍內的這種實值函數取每個值和每個確定范圍內的 值也有一定的概率。值也有一定的概率。說明說明123 3、對于任意的實數對于任意的實數 x ，集合，集合都是都是隨機事件隨機事件。 ：eX ex = Xx一般地，若一般地，若 L是一個實數集合，是一個實數集合， X L = e : X(e) L 都是都是隨機事件隨機事件。134 4、在許多實際問題中，一個隨機變量在許多實際問題中，一個隨

8、機變量X 的含義的含義 是十分清楚的，所以一般不再關心隨機變量是十分清楚的，所以一般不再關心隨機變量 X 在樣本空間在樣本空間上是如何定義的?？梢哉J為上是如何定義的?？梢哉J為X 的所有取值就是我們的樣本空間。只是在必的所有取值就是我們的樣本空間。只是在必 要的時候才將自變元要的時候才將自變元 e 寫出來。寫出來。14引入了隨機變量，隨機試驗中的各種事件，就引入了隨機變量，隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關系式表達出來。可以通過隨機變量的關系式表達出來?？梢?，隨機事件這個概念實際上是包容在隨機可見，隨機事件這個概念實際上是包容在隨機變量這個更廣的概念內。也可以說，變量這個更廣的概念內。

9、也可以說，隨機事件隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點。則是一種動態(tài)的觀點。就象數學分析中常量與就象數學分析中常量與變量的區(qū)別那樣。變量的區(qū)別那樣。二二 隨機變量的意義隨機變量的意義15隨機變量概念的產生是概率論發(fā)展史上的隨機變量概念的產生是概率論發(fā)展史上的重大事件。引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象重大事件。引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴大為對隨機變量及其取值規(guī)律的的研究擴大為對隨機變量及其取值規(guī)律的研究。研究。16例例2 2 一批產品有一批產品有50 件

10、，其中有件，其中有8件次品，件次品，42 件正品，件正品， 現(xiàn)從中取出現(xiàn)從中取出 6 件件 X 表示表示取出取出6 件產品中的次品數件產品中的次品數 則則X 就是一個隨機變量就是一個隨機變量 它的取值為它的取值為 0，1，2，6 0X 表示取出的表示取出的產品全是正品產品全是正品這一隨機事件這一隨機事件 1X 表示取出的表示取出的產品至少有一件是次品產品至少有一件是次品這一隨機事件這一隨機事件注意注意 X 的取值是有限個！的取值是有限個！17 例例3 3 上午上午 8:009:00 在某路口觀察在某路口觀察 Y 表示表示該時間間隔內通過的汽車數該時間間隔內通過的汽車數 則則Y 就是一個隨機變量

11、就是一個隨機變量 它的取值為它的取值為 0，1， 100Y 表示表示通過的汽車數小于通過的汽車數小于100輛輛這一隨機事件這一隨機事件 50100Y注意注意 Y 的取值是的取值是可列無限可列無限個！個！表示表示通過的汽車數大于通過的汽車數大于50 輛但不超過輛但不超過100輛輛這一隨機事件這一隨機事件18 例例4 4 觀察某生物的壽命（單位：小時）觀察某生物的壽命（單位：小時） Z 表示表示該生物的壽命該生物的壽命 則則Z 就是一個隨機變量就是一個隨機變量 它的取值為所有非負實數它的取值為所有非負實數 1500Z 3000Z 表示該生物的表示該生物的壽命大于壽命大于 3000小時小時這一隨機事

12、件這一隨機事件表示該生物的表示該生物的壽命不超過壽命不超過1500小時小時這一隨機事件這一隨機事件注意注意 Z 的取值是的取值是不可列無限個不可列無限個！19例例5 5 擲一枚硬幣，令擲一枚硬幣，令擲硬幣出現(xiàn)反面擲硬幣出現(xiàn)正面01X則則X 是一個隨機變量是一個隨機變量請問：請問：X 表示什么含義？表示什么含義？20例例6 6 擲一枚骰子，令擲一枚骰子，令出現(xiàn)奇數點出現(xiàn)偶數點01Y6061點數不為點數為Z等等等等注意注意 在同一個樣本空間上可以定義不同的在同一個樣本空間上可以定義不同的 隨機變量隨機變量21一一 離散型隨機變量的概念與性質離散型隨機變量的概念與性質2 2 離散型隨機變量及其分布律

13、離散型隨機變量及其分布律有些隨機變量只能取有些隨機變量只能取有限個有限個或或可列個可列個值值。例如。例如被訪問者的性別、年齡、職業(yè)；一批產品中次被訪問者的性別、年齡、職業(yè)；一批產品中次品個數；一個醫(yī)學試樣中白細胞個數；擲兩個品個數；一個醫(yī)學試樣中白細胞個數；擲兩個骰子第一次得到骰子第一次得到12點的次數；等等點的次數；等等。2212,nxxx 12,xx定義定義 如果隨機變量如果隨機變量 X 只取有限個值只取有限個值或可列個值或可列個值則稱則稱 X 是是離散型隨機變量離散型隨機變量。離散型隨機變量的定義離散型隨機變量的定義23定義定義 設設 X 是是離散型隨機變量，稱離散型隨機變量，稱 ,1k

14、kP Xxpk 離散型隨機變量的分布律離散型隨機變量的分布律為為 X 的的分布律分布律。離散型隨機變量的離散型隨機變量的分布律分布律也常常用如下方式也常常用如下方式表達表達X 1x 2x ， nx P 1p 2p ， np 24說明說明 離散型隨機變量可完全由其分布列來刻劃。離散型隨機變量可完全由其分布列來刻劃。 即即離散型隨機變量可完全由其可能取值以離散型隨機變量可完全由其可能取值以 及取這些值的概率唯一確定。及取這些值的概率唯一確定。分布列的性質分布列的性質 10;1kjjapbp 用這兩條性質判斷用這兩條性質判斷一個函數是否是一個函數是否是概率分布律概率分布律25例例1 1 從從110這

15、這10個數字中隨機取出個數字中隨機取出5個數字，個數字，X 表示表示取出的取出的5個數字中的最大值。試求個數字中的最大值。試求 X 的的 分布列分布列 415105610kCP XkkC ，即即 X 的分布列為的分布列為解解 X 的取值為的取值為5，6，7，8，9，10. 并且并且26例例2 2 將將 1枚硬幣擲枚硬幣擲 3次，次，X 表示表示出現(xiàn)的正面次數出現(xiàn)的正面次數 與反面次數之差。與反面次數之差。 試求試求X 的分布列的分布列。解解 X 的取值為的取值為-3，-1，1，3則則 X 的分布列為的分布列為27例例3 3 設離散型隨機變量設離散型隨機變量 X 的分布列為的分布列為 則則 20

16、12P XP XP XP X 131161616 516 28 345P XP XP X 341616 716 0.5312PXP XP X 311616 416 29例例4 4 設隨機變量設隨機變量 X 的分布列為的分布列為 1124nP Xncn，解解 由分布列的性質，得由分布列的性質，得 11114nnnP Xnc該級數為等比級數，故有該級數為等比級數，故有 11114nnnP Xnc 14114c 所以所以3c 試求試求常數常數c30例例5 5 設一汽車在開往目的地的道路上需經過四盞信設一汽車在開往目的地的道路上需經過四盞信 號燈，每盞信號燈以號燈，每盞信號燈以1/2的概率允許或禁止汽

17、車的概率允許或禁止汽車 通過，以通過，以X 表示汽車首次停下時，它已通過的表示汽車首次停下時，它已通過的 信號燈的盞數，求信號燈的盞數，求 X 的分布列的分布列。( (信號燈的工信號燈的工 作是相互獨立的作是相互獨立的) )PX=3=(1-p)3p31解解 以以 p 表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率，表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率， 則則 X 的分布列為的分布列為 0 1 2 3 4 Xpk p (1-p)p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4 或寫成或寫成 PX= k = (1- p)k p， k = 0,1,2,3 PX= 4 = (1-p)4 32以以 p = 1/2 代入，

18、得代入，得Xpk 0 1 2 3 4 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.062533二二 幾種常用的離散型隨機變量幾種常用的離散型隨機變量設隨機變量設隨機變量X 只取只取 0或或 1兩個值，它的分布律為兩個值，它的分布律為 110, 101kkP Xkppkp ，或或 則稱隨機變量則稱隨機變量 X 服從參數為服從參數為 p的的（0 1）分）分布布或或兩點分布，兩點分布， 1 1、（0 1）分布）分布 1,Xbp記作記作 34兩點分布的兩點分布的應用應用 1P ApP Apq ，X 表示在一次試驗中事件表示在一次試驗中事件A 發(fā)生的次數發(fā)生的次數令令不發(fā)生若事件發(fā)生若事件AAX01

19、 1,Xbp記記則則任何一次試驗，當只考慮任何一次試驗，當只考慮兩個互逆的結果兩個互逆的結果A與與 時，時，或者形象地把兩個互逆結果叫做或者形象地把兩個互逆結果叫做“成功成功”和和“失敗失敗”。就可以用就可以用兩點分布來描述兩點分布來描述A35例例6 6 15件產品中有件產品中有4件次品，件次品，11件正品，從中任取件正品，從中任取1件。件。 X 表示取出的一件產品中的次品數。表示取出的一件產品中的次品數。 則則X 的取值為的取值為 0 或者或者 1，并且，并且 114011515P XP X ，4115Xb 即即，362 2、伯努利試驗、二項分布、伯努利試驗、二項分布（1 1）n 重伯努利試

20、驗重伯努利試驗一般地，設在一次試驗中我們只考慮兩個互逆一般地，設在一次試驗中我們只考慮兩個互逆的結果的結果 A或或 ， 或者形象地把兩個互逆結果或者形象地把兩個互逆結果叫做叫做“成功成功”和和“失敗失敗”。A再設我們重復地進行再設我們重復地進行 n 次獨立試驗次獨立試驗 ： “重復重復” 是指這個試驗中各次試驗條件相同是指這個試驗中各次試驗條件相同，每次試驗成功的概率都是每次試驗成功的概率都是 p，失敗的概率都是，失敗的概率都是 q = 1- p；這樣的這樣的n次獨立重復試驗次獨立重復試驗稱作稱作 n 重伯努利試驗，重伯努利試驗，或稱或稱伯努利概型。它是一種很重要的數學模型。伯努利概型。它是一

21、種很重要的數學模型。“獨立獨立”是指各次試驗的結果互不影響。是指各次試驗的結果互不影響。37對同一目標進行對同一目標進行 n 次射擊，若每次射擊只關心次射擊，若每次射擊只關心“擊中目標擊中目標”與與“未擊中目標未擊中目標” 兩種情況。兩種情況。n重伯努利試驗的例子重伯努利試驗的例子擲擲 n次硬幣，只關心次硬幣，只關心“出現(xiàn)正面出現(xiàn)正面”與與“出現(xiàn)反面出現(xiàn)反面”這兩種情況；這兩種情況；擲擲 n 顆骰子，如果我們對每顆骰子只關心顆骰子，如果我們對每顆骰子只關心“出現(xiàn)出現(xiàn)六點六點”與與“不出現(xiàn)六點不出現(xiàn)六點”這兩種情況；這兩種情況；38分析分析 設在設在n重貝努里試驗中重貝努里試驗中 1P ApP

22、Apq ， 12,neee每一個樣本點可記作每一個樣本點可記作其中每一個其中每一個 只取只取 A 或或 ，ieA2n共共有有個。個。 12,kn knPeeep q 且對于每一個基本事件，有且對于每一個基本事件，有 n 次試驗中，次試驗中，k 次次A出現(xiàn)，出現(xiàn)，n-k 次次A不出現(xiàn)不出現(xiàn)就是一個基本事件，就是一個基本事件，k= 0, 1, 2, , n。39現(xiàn)考慮事件現(xiàn)考慮事件n 重伯努利試驗中事件重伯努利試驗中事件A 恰好發(fā)生恰好發(fā)生k 次次，Bkn 現(xiàn)求概率現(xiàn)求概率 ,n kP BknC在在 n 次試驗中，指定次試驗中，指定 k 次出現(xiàn)次出現(xiàn) A ( (成功成功) )，其余其余 n k 次

23、出現(xiàn)次出現(xiàn) ( (失敗失敗) )，這種指定的方，這種指定的方法有法有 種，即該事件含有種，即該事件含有 個樣本點。個樣本點。AknC 1kkn knknP BC p qqp ，0 ,1,kn 因此因此40 用用X 表示表示 n重伯努利試驗中事件重伯努利試驗中事件 A出現(xiàn)的次數出現(xiàn)的次數，則則()(1)0 ,1,kkn knP XkC ppkn 這就是我們下面要介紹的這就是我們下面要介紹的二項分布二項分布41設隨機變量設隨機變量X 的所有可能值為的所有可能值為0, 1, 2， ，n, 其分布律為其分布律為則稱則稱X 服從服從參數為參數為 n和和 p的的二項分布二項分布， 0,1,0,1kkn k

24、nP XkC p qknp qqp ,Xbnp 記作記作 （2 2）二項分布）二項分布42說明說明1 1、顯然，當顯然，當 n = 1 時時 1Xbp，此時，此時，X 服從兩點分布服從兩點分布這說明，這說明，兩點分布是二項分布的一個特例兩點分布是二項分布的一個特例 0nnkkn knkpqC p q 第第 k+1 項項 kkn knC p q 2 2、稱為二項分布的原因是稱為二項分布的原因是 為二項為二項 展開式展開式433、二項分布的特性、二項分布的特性對于二項分布，當對于二項分布，當 k 增加時，概率增加時，概率 P X = k 先是隨之增加，直至達到最大值，隨后單調先是隨之增加，直至達到

25、最大值，隨后單調減少。減少。(見見 p35 例例2)如下圖所示：如下圖所示：44二項分布的二項分布的概率分布示意圖概率分布示意圖45二項二項分布的分布的應用應用進行進行n重重伯努利伯努利試驗，設在每次試驗中試驗，設在每次試驗中 1P ApP Apq ，X 表示表示在在 n 重重伯努利伯努利試驗中事件試驗中事件 A 發(fā)生的次數發(fā)生的次數 ,Xb np則則46例例7 7 一張考卷上有一張考卷上有5 道選擇題，每道題列出道選擇題，每道題列出4個可能個可能 答案，其中只有一個答案是正確的。答案，其中只有一個答案是正確的。 某學生靠某學生靠 猜測至少能答對猜測至少能答對4 道題道題的概率是多少？的概率是

26、多少？則則答答 5 道題相當于做道題相當于做 5 重伯努利試驗重伯努利試驗解解 每答一道題相當于做一次試驗每答一道題相當于做一次試驗則則15 ,4Xb若若 X 表示該學生靠猜測能答對的題數表示該學生靠猜測能答對的題數令令 A= 答對一道題答對一道題 ，則，則 P(A) = 1/447 45P XP X因此因此 P 至少能答對至少能答對4 道題道題 4P X 4545131444C 0.016 550.250.750,1, 5kkkP XkCk X 的的分布律為分布律為48例例8 8 某人進行射擊，設每次射擊的命中率為某人進行射擊，設每次射擊的命中率為0.02， 獨立射擊獨立射擊400次，試求至

27、少擊中兩次的概率。次，試求至少擊中兩次的概率。解解 射擊一次相當于做一次試驗射擊一次相當于做一次試驗令令 X 表示擊中的次數表示擊中的次數，則，則 X b(400, 0.02)則則射擊射擊 400次次相當于做相當于做 400重伯努利試驗重伯努利試驗 4004000.020.980 ,1, 400kkkP XkCk X 的的分布律為分布律為49因此因此 400399210110.98400 0.020.980.9972P XP XP X 50分析分析 1 1、P X 2 0.003 很小。很小。 如果射手如果射手 在在400次射擊中，擊中目標的次數的確次射擊中，擊中目標的次數的確 不到不到2次，

28、則根據次，則根據實際推斷原理實際推斷原理，有理有理 由懷疑由懷疑 “每次射擊的命中率為每次射擊的命中率為0.02”這一這一 假設有問題假設有問題，即，即認為每次射擊的命中率認為每次射擊的命中率 達不到達不到0.02。 2 2、P X 2 0.9972 很接近于很接近于1。雖然。雖然 每次射擊的命中率很小，但如果射擊每次射擊的命中率很小，但如果射擊400 次，則擊中目標至少次，則擊中目標至少2次幾乎是肯定的。次幾乎是肯定的。 正如我們第一章講的，正如我們第一章講的，當試驗次數足夠當試驗次數足夠 大時，小概率事件遲早要發(fā)生。大時，小概率事件遲早要發(fā)生。513 3、泊松分布泊松分布(Poisson

29、分布分布) !0 ,1,kP Xkekk 0 其中其中 是常數。是常數。則稱則稱X 服從參數為服從參數為 的的泊松泊松分布分布， 設隨機變量設隨機變量X 的所有可能值為的所有可能值為0, 1, 2， ，其分布律為其分布律為 X 記作記作 52泊松泊松分布的應用分布的應用電話總機在電話總機在某一時間間隔內某一時間間隔內收到的呼叫次數；收到的呼叫次數；放射物在放射物在某一時間間隔內某一時間間隔內發(fā)射的粒子數；發(fā)射的粒子數；容器在容器在某一時間間隔內某一時間間隔內產生的細菌數，等等。產生的細菌數，等等。在一定條件下，都是服從在一定條件下，都是服從Poisson分布的分布的 Poisson分布是概率論

30、中重要的分布之一。分布是概率論中重要的分布之一。 自然界及工程技術中的許多隨機指標都服從自然界及工程技術中的許多隨機指標都服從 Poisson分布，例如分布，例如53 12P XP X 解解 隨機變量隨機變量 X 的分布律為的分布律為 ,0 ,1,!kP Xkekk 由已知由已知 12P XP X 4P X 試求試求 例例9 9 設隨機變量設隨機變量X 服從參數為服從參數為 的的Poisson分布，分布， 且已知且已知54得得121!2!ee 由此得方程由此得方程220 得解得解2 （另一個解（另一個解 不合題意，舍去）不合題意，舍去） 0 因此因此223e- -= =0.09022= = 4

31、2244!P Xe 55Poisson定理定理lim0nnnp 設在設在n重貝努里試驗中，以重貝努里試驗中，以 代表事件代表事件A在一次在一次 試驗中發(fā)生的概率，它與試驗總數試驗中發(fā)生的概率，它與試驗總數n 有關。若有關。若 np則則 lim1!kn kkknnnnC ppek 56Poisson定理的應用定理的應用 二項分布與泊松分布關系二項分布與泊松分布關系 由由 Poisson 定理，可知定理，可知( () )Xb np若若， 1!n kkknkP XkC ppek 有有np 令令則當則當 n比較大，比較大，p 比較小時比較小時說明說明 當當 n 20, p 0.05 時，時，近似效果很

32、好近似效果很好。57例例1010 設有設有 80 臺同類型的設備，各臺工作是相互獨立臺同類型的設備，各臺工作是相互獨立 的，發(fā)生故障的概率都是的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺設備的故，且一臺設備的故 障能由一個人處理?？紤]兩種配備維修工人的方障能由一個人處理。考慮兩種配備維修工人的方 法：法： 其一，由其一，由 4 人維護，每人負責人維護，每人負責 20 臺；臺； 其二，由其二，由 3 人，共同維護人，共同維護 80 臺臺 試比較這兩種方法試比較這兩種方法在設備發(fā)生故障時不能及時維在設備發(fā)生故障時不能及時維 修修的概率的概率的大小。的大小。58 020119012020210110.01

33、0.990.010.990.0169P AP XP XP XCC 解解 第一種方法：第一種方法： 以以 X 記記“第第1人負責的人負責的20臺中同一時刻發(fā)生故障臺中同一時刻發(fā)生故障 的臺數的臺數”，則則 X b ( 20，0.01）以以Ai 表示事件表示事件 “第第 i人負責的人負責的20臺中發(fā)生故障不臺中發(fā)生故障不能及時維修能及時維修”則則 80 臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為12341()()P AAAAP A 故故1234()0.0169P AAAA 59 010.20.221010.20.210!1!0.0175P AP XP XP Xee 本問還可以本問還可以用用Poisson 定理所得的近似公式計算定理所得的近似公式計算：由于由于 n = 20, p = 0.01, 則則 = n p = 20 0.01= 0.2因此因此故故1234()0.0175P AAAA 60第二種方法：第二種方法： 以以 Y 記記“80 臺中同一時刻發(fā)生故