工程計算基礎第6章2

1、工程計算基礎第7講1901年龍格(Runge) 給出一個例子: 定義在區(qū)間-1，1上，這是一個光滑函數(shù)，它的任意階導數(shù)都存在，對它在-1，1上作等距節(jié)點插值時，插值多項式情況，見圖:-1-0.500.51-1.00-0.500.000.501.00f(x)n=8n=4從圖中，可見，在靠近-1或1時，余項會隨n值增大而增大，如P12(0.96)=36!但f(0.96)=0.25 22511xxf )(從圖中，還可看見，在0附近插值效果是好的，即余項較小，另一種現(xiàn)象是插值多項式隨節(jié)點增多而振動更多。 這種插值多項式當節(jié)點增加時反而不能更好地接近被插之數(shù)的現(xiàn)象，稱為龍格現(xiàn)象龍格現(xiàn)象。 Lagrang

2、e InterpolationCubic Spline Interpolation這個任意階可導的光滑函數(shù)之所以出現(xiàn)這種現(xiàn)象，跟它在復平面上有x=1/5是奇點有關(guān)。俄羅斯數(shù)學家伯恩斯坦在1916年還給出如下定理：定理1：函數(shù)f(x)=|x|在-1，1上取n+1個等距節(jié)點x0=-1, xn=1,構(gòu)造n次插值多項式Pn (x)，當n增大時，除了-1，0，1，三點外，在-1，1中任何點處Pn(x)都不收斂于|x|。 上述現(xiàn)象和定理，告訴我們用高次插值多項式是不妥當?shù)?，從?shù)值計算上可解釋為高次插值多項式的計算會帶來舍入誤差的增大，從而引起計算失真。因此，實踐上作插值時一般只用一次、二次最多用三次插值多

3、項式。 那么如何提高插值精度呢？采用分段插值是一種辦法。定義 設f(x)是定義在a,b上的函數(shù)，在節(jié)點 a= x0 x1x2xn-1xn=b,的函數(shù)值為 y0 , y1 ,y2 ,yn-1 ,yn ,若函數(shù)(x)滿足條件 (1) (x)在每個子區(qū)間xi , xi+1(i=0,1,2,n-1)上是線性插值多項式; (2) (xi )= yi , i=0,1,2,n (3) (x)在區(qū)間a , b上連續(xù); 則稱(x)是f(x)在a ,b上的分段線性插值多項式。1.問題的提法 分段線性插值問題的解存在唯一.一、分段線性插值多項式一、分段線性插值多項式2.分段線性插值函數(shù)的表達式 由定義， (x)在每

4、個子區(qū)間xi ,xi+1(i=0,1,2,n-1)上是一次插值多項式;111111( )( ),iiiiiiiiiixxxxxL xyyxxxxxxx 分段線性插值曲線圖：y=f(x)x0 x1x2xnXY0101.()inintx xxxy yyyf x已已知知數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)表表用用線線性性插插值值求求例例: :的的近近似似值值。34012345012345:.tnntxxxxxxx xxxyyyyyyyx解解 設設34(1)(1)133441( )( )( ),()()ttxxL xlx ylx yf xL x 、, ,構(gòu)構(gòu)造造插插值值多多式式取取項項兩兩點點0( )( )njnjjL xx y

5、l n n次次L La ag gr ra an ng ge e插插值值多多項項式式為為1110( ),( )( )( )( )hhnhhiiihiL xL xL xlx ylx 將將分分段段線線性性插插值值函函數(shù)數(shù)記記為為將將表表為為其其中中為為分分段段線線性性插插值值基基函函數(shù)數(shù). . ( )1( )12()0hihiijijhllxijlxjxi （）為為分分分分段段線線性性插插值值基基函函數(shù)數(shù)應應滿滿足足段段線線性性 函函數(shù)數(shù)，（ ）101001(),)(hihlxxxxx xlxxx 分分段段線線性性0 0 插插值值基基函函數(shù)數(shù)的的具具 其其余余體體形形式式為為 x0 x1 xi xi

6、+1 , xn0( )hlx111111,( ),1,2,.,10iiiiihiiiiiixxxxxxxxxlxxx xinxx 其余其余x0 xi-1 xi xi+1 xn( )hilx1110( ),hnnnnnnxxlxxxxxx 其其余余x0 x1 xi xn-1 xn( )hnlx11110,( )( )( )( )0,1,2,.,1iinhhhhiiiiiiixx xL xlxlx ylx yyin 分段線性插值函數(shù)可分段表示為:分段線性插值函數(shù)可分段表示為:對，對，3.分段線性插值函數(shù)的余項注意: h隨分段增多而減少，因此用分段插值提高精 度是很好的途徑.定理：設f(x)在a,b

7、上有二階連續(xù)導數(shù)f(x) ， 且| f(x)| m2, 記： h = max |xi+1-xi|,就有估計： |R(x)| =|f(x)- (x) |m2h2/ 8 , xa, b。0.02.h最最大大步步長長 應應取取4( )cos1102f xx 考考慮慮構(gòu)構(gòu)造造一一個個函函數(shù)數(shù)的的等等距距節(jié)節(jié)點點函函數(shù)數(shù)表表，要要使使分分例例：段段線線性性插插值值的的誤誤差差不不大大于于，最最大大步步長長h h應應取取多多大大？2max( )8a x bhRfx 解解：( )cos ,|( )| 1fxxfx 2421|102 1082hRh0101.()inintx xxxy yyyf x已已知知等等

8、距距節(jié)節(jié)點點數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)表表用用分分段段三三次次插插值值求求例例: :的的近近似似值值。34012345012345:.tnntxxxxxxx xxxyyyyyyyx解解 設設23453,( )xxxxLx，構(gòu)構(gòu)造造取取四四點點4429|()| |()()|16 4!tttMR xf xL xh誤差誤差3()()ttf xL x 二二. .分段二次插值與分段三次插值分段二次插值與分段三次插值0101.()inintx xxxy yyyf x已已知知等等距距節(jié)節(jié)點點數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)表表用用分分段段二二次次插插值值求求例例: :的的近近似似值值。34012345012345:.tnntxxxxxxx xxxy

9、yyyyyyx解解 設設4332342433345,2( ),2ttxxxxxxxLxxxxxxxx ，當當時時，取取當當時時，取取取取三三點點2()()ttf xL x 3233|()| |()()|27tttR xf xL xM h 誤誤差差例: 在-4,4上給出等距節(jié)點函數(shù)表，若用分段二次插值計算ex的近似值，要使截斷誤差不超過10-6,問使用函數(shù)表的步長h 應為多少?解：解：設設 xi-1xxi+1, 則有則有 xi-1=xi-h, xi+1=xi+h, x=xi+th (-1t1)過三點過三點 xi-1，xi，xi+1的二次插值誤差為：的二次插值誤差為：22112323441143(

10、 )( )()()()6max(1)max (1)662 369xiiixxteRxepxxxxxxxeet tht theh 4362362 33110100.0065693ehhee 13t 上面介紹的分段低次插值，雖然具有計算簡便，收斂性有保證，數(shù)值穩(wěn)定性又好且易在計算機上實現(xiàn)等優(yōu)點，但它卻不能保證整條曲線的光滑性，從而不能滿足某些工程技術(shù)上的要求，從六十年代開始，首先由于航空、造船等工程設計的需要而發(fā)展起來的樣條插值（spline)方法，既保留了分段低次插值的各種優(yōu)點，又提高了插值函數(shù)的光滑性，在許多領域有越來越廣泛的應用。q 物理樣條的性質(zhì)為了利用多項式插值而克服高次插值的缺陷，引入

11、分段插值方法樣條插值的基本原理樣條插值的基本原理樣條(spline)是富有彈性的細木條或有機玻璃條。早期船舶、汽車、飛機放樣時用壓鐵壓在樣條上的一系列型值點上，調(diào)整壓鐵達到設計要求后繪制其曲線，稱為樣條曲線y(x)。若函數(shù)S(x)C2a,b,且在每個小區(qū)間xj,xj+1上是三次多項式，其中a =x0 x1 xn=b是給定節(jié)點，則稱S(x)是節(jié)點x0，x1， ，xn上的三次樣條函數(shù)。1.三次樣條的定義a.S(x)C2a,bb.S(x)在xj,xj+1上是三次多項式即：三次樣條函數(shù)2.三次樣條插值函數(shù)的定義+ S(xi) = yi3.求解三次樣條插值函數(shù)的已知條件數(shù)和未知條件數(shù)未知參數(shù)個數(shù)4n已知

12、條件個數(shù)插值條件： n+1S(x)C2a,b ：3(n-1)共 計： 4n-2缺少條件，通常在插值區(qū)間的端點給出，稱為邊界條件。4.常用的三種邊界條件1已知兩端的一階導數(shù)值，即：nnfxSfxS )(,)(002已知兩端的二階導數(shù)值，即：nnfxSfxS )(,)(003當f(x)是以xn-x0為周期的周期函數(shù)時，則要求S(x)也是周期函數(shù)，即)0()0()0()0()0()0(000 nnnxSxSxSxSxSxS周期樣條三、 求解方法之一：三轉(zhuǎn)角方程設在a,b上給出插值條件：1.條件xjx0 x1x2xnf(xj)f0f1f2fnjjmxf )(0mnm求三次樣條插值函數(shù) S(x)xjf2

13、x2fnxnf1f0f(xj)x1x0jjmxf )(0mnm思路: (1)首先要補條件：每個區(qū)間上構(gòu)造三次多項式需要四個條件，但現(xiàn)在最多有三個，故要補充條件，形成四個；1m2m)(3xH)(3xH)(3xHx1處:)()(1313 xHxH得到與m0,m1,m2有關(guān)的等式x2處:)()(2323 xHxH得到與m1,m2,m3有關(guān)的等式共n-1個等式(2)補什么條件：這里選一階導數(shù)較合適；(3)如何補？若隨意給，則只能保證構(gòu)造出的插值函數(shù)的函數(shù)值和一階導數(shù)值連續(xù)，但不一定能保證二階導數(shù)值連續(xù)，故只能選那組使二階導數(shù)連續(xù)的一階導數(shù)值。設在a,b上給出插值條件：1.條件xjx0 x1x2xnf(

14、xj)f0f1f2fnjjmxf )(0m1mnm2m求三次樣條插值函數(shù) S(x)設法求出求解過程具體如下：12122211312321)()()()()(2)()(2)()( jjjjjjjjjjjjjjjjjjjmhxxxxmhxxxxyhxxhxxyhxxhxxxs2.求解 mj 的思路由內(nèi)部節(jié)點上的二階導數(shù)連續(xù)求出考慮S(x)在xj , xj+1上的表達式hj=xj+1-xj對S(x)求二階導數(shù)得：)()2(6246426)(13112121jjjjjjjjjjjjjyyhxxxmhxxxmhxxxxS 于是)(624)0(121jjjjjjjjyyhmhmhxS 同理可得S(x)在區(qū)間xj-1 , xj上的二階導數(shù)：)()2(6246426)jjjjjjjjjjjjjyyhxxxmhxxxmhxxxxS于是)(642)0(121111 jjjjjjjjyyhmhmhxS由條件)1,.,1()0()0( njxSxSjj可得)1,.,1()(31)11(21211211111 njhyyhyymhmhhmhjjjjjjjjjjjjj進一步簡化為)1,.1(211 njgmmmjjjjjj nnnnnnnnnfggggfgmmmmm1