矩陣論—特征值和特征向量

1、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 陳建華陳建華矩矩 陣陣 論論機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1.1 特征值和特征向量特征值和特征向量一、方陣的特征值和特征向量一、方陣的特征值和特征向量二、線性變換的特征值和特征向量二、線性變換的特征值和特征向量機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1、定義、定義假設(shè)假設(shè) A 是是 n 階方陣，如果存在數(shù)階方陣，如果存在數(shù) 和非零向量和非零向量 X，使得，使得AX= X稱稱 是矩陣是矩陣 A 的一個(gè)特征值，的一個(gè)特征值， X 是是對應(yīng)于對應(yīng)于 的一個(gè)特征向量。的一個(gè)特征向量。一、方陣的特征值和特征向量一、方陣的特征值和特征向量機(jī)動(dòng)

2、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 AX = X非零非零向量向量特征向量特征向量對應(yīng)對應(yīng) 特征值特征值n階方陣階方陣對應(yīng)于特征值對應(yīng)于特征值 的特征向量不唯一。的特征向量不唯一。注：注：2、求法、求法AX = X( EA)X = 0| EA| = 0特征方程特征方程| EA| = a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann 特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式 EA特征矩陣特征矩陣 特征值特征值特征向量特征向量 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 為為A的特征值的特征值 | EA| = 0. (2) X為為A的對應(yīng)于的對應(yīng)于 的的特征向量特征

3、向量 ( EA)X = 0, X為非零向量為非零向量. 求特征值和特征向量的步驟：求特征值和特征向量的步驟：(1) 寫出寫出A的特征方程的特征方程| E A| 0;(2) 求出求出A的的n個(gè)特征值個(gè)特征值 1, 2 n;(3) 對每一特征值對每一特征值 i，求解對應(yīng)的方程組，求解對應(yīng)的方程組( iE A)X 0 方程組的非零解就是方程組的非零解就是 i的所有特征向量的所有特征向量.定理定理1例例1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: A的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為求矩陣求矩陣的特征值和特征向量的特征值和特征向量.所以所以A的特征值為的特征值為 1=2, 2= 3= 1.對于對于 1=2,

4、 解方程組解方程組(2EA)X = 0,110430102EA 3102410100EA 100010000,(),()221 110430102A 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 p1=(0, 0, 1)T.對應(yīng)于對應(yīng)于 1=2的特征向量為的特征向量為k1p1 (0 k1 R).得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系對于對于 2= 3=1,解方程組解方程組 (EA)X= 0,210420101EA 101012000,得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系p2=(1, 2, 1)T.對應(yīng)于對應(yīng)于 2= 3 =1的特征向量為的特征向量為k2p2 (0 k2 R).于是，于是，于是，于是，機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3

5、、性質(zhì)、性質(zhì)（1） 2是是A2 的特征值的特征值;（2 2） -1是是A-1 的特征值；的特征值；（3）a+k 是是aE+kA 的特征值（的特征值（a, k為常數(shù)）。為常數(shù)）。且且 X 仍為仍為 A2 , A-1 , aE+kA 的分別對應(yīng)于特征值的分別對應(yīng)于特征值 2 , -1, a+k 的特征向量的特征向量。設(shè)設(shè) 是方陣是方陣A的的特征值，特征值，X為為A 的對應(yīng)于的對應(yīng)于性質(zhì)性質(zhì)1 的特征向量，則的特征向量，則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特征值為特征值為 1=2, 2= 3= 1. 1+ 2+ 3= 4 1 2 3= 2a11+ a22+ a33= |A|.觀察例觀察例1 111

6、0430102A 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)設(shè)A = (aij)n n的特征值為的特征值為 1, , n, 則則 (1) 1 + + n = a11+ann， (2) 1 2 n = |A|, 其中其中a11+ann 稱為稱為A 的跡，記作的跡，記作tr(A).性質(zhì)性質(zhì)2證明：證明：f( ) = a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann = - 1 - n .f( ) = n- (a11+ann ) n-1 +(-1)n|A|f( ) = n- ( 1+ n ) n-1 +(-1)n ( 1 n )比較上述兩式比較上述兩式 n-1n-1項(xiàng)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)

7、，可得結(jié)論。項(xiàng)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，可得結(jié)論。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 A 可逆可逆當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 1, , n全不為零全不為零.的確是方陣的一個(gè)的確是方陣的一個(gè) 特征特征 .推論推論由此可知由此可知,特征值可以刻畫方陣的可逆性特征值可以刻畫方陣的可逆性,（3）AT 特征值為特征值為 1, , n；（4）AH 特征值為特征值為12.n ， ，機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)設(shè) 是方陣是方陣A的的特征值，特征值，X為為A 的對應(yīng)于的對應(yīng)于性質(zhì)性質(zhì)3 的特征向量，的特征向量，-1-110( )=+mmmmg xb xbxb x b則則 對應(yīng)的特征向量。對應(yīng)的特征向量。( )( )gg

8、AX 是是的的特特征征值值，是是P3,定理1.2例例2 2已知三階方陣已知三階方陣A有特征值有特征值1，2，3，求，求|E+2A|.例例3 3（1） m是是Am的特征值的特征值;（2 2）| |A|/|/ 是是A*的特征值；的特征值；設(shè)設(shè) 是方陣是方陣A的的特征值，特征值，X為為A 的對應(yīng)于的對應(yīng)于 的特征向量，證明：的特征向量，證明：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 性質(zhì)性質(zhì)4設(shè)設(shè) i是方陣是方陣A的的特征值，它特征值，它的代數(shù)重?cái)?shù)是的代數(shù)重?cái)?shù)是ni幾何維數(shù)是幾何維數(shù)是si，則，則1.iisn121212( )=( -) ( -)( -)(+= )tnnnAttfnnnn 其中：其中：Si

9、 是是A的屬于的屬于 i的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù),= - (- ).iisn RE A 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如果如果 分別是分別是 A 的屬于互不相同的特征值的屬于互不相同的特征值12,kXXX的特征向量，則的特征向量，則 線性無關(guān)線性無關(guān).12,k 證：對證：對k作數(shù)學(xué)歸納法作數(shù)學(xué)歸納法. .性質(zhì)性質(zhì)512,kXXX推論推論特征值特征值 的線性無關(guān)的特征向量，的線性無關(guān)的特征向量，i 1,2, ,ik 則向量則向量 線性無關(guān)線性無關(guān). .11111,krkkr 是是 A 的不同特征值，而的不同特征值，而 是屬是屬于于12,k 12,iiiir機(jī)動(dòng)

10、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4 4對于對于n階方陣階方陣A,B, 證明：證明： ()= ().tr ABtr BA思考題對于對于n階方陣階方陣A,B, 等式等式 AB-BA=E 是否成立是否成立？二、線性變換的特征值和特征向量二、線性變換的特征值和特征向量設(shè)是數(shù)域設(shè)是數(shù)域P上線性空間上線性空間V的一個(gè)線性變換，的一個(gè)線性變換， 則稱則稱為為 的一個(gè)的一個(gè)特征值特征值，稱為的屬于特征值，稱為的屬于特征值0 0( ), 若對于若對于P中的一個(gè)數(shù)存在一個(gè)中的一個(gè)數(shù)存在一個(gè)V的非零向量的非零向量, 0, 使得使得的的特征向量特征向量. 0 幾何意義：特征向量經(jīng)線性變換后方向保持幾何意義：特征向量

11、經(jīng)線性變換后方向保持由此知，特征向量不是被特征值所唯一確定的，由此知，特征向量不是被特征值所唯一確定的， 00()( )()()kkkk 相同相同 或相反或相反0(0) 0(0). 0( )0,0. 時(shí)時(shí) 若若 是是 的屬于特征值的特征向量，則的屬于特征值的特征向量，則 0 也是也是 的屬于的特征向量的屬于的特征向量. (,0)kkP k 0 但是特征值卻是被特征向量所唯一確定的，即但是特征值卻是被特征向量所唯一確定的，即若且，則若且，則( )( ) . 設(shè)設(shè) 是是V的一組基，的一組基，12dim,nVn 線性變換在這組基下的矩陣為線性變換在這組基下的矩陣為A. 12,n 下的坐標(biāo)記為下的坐標(biāo)

12、記為 010,nxx 設(shè)是的特征值，它的一個(gè)特征向量在基設(shè)是的特征值，它的一個(gè)特征向量在基0 則則 在基下的坐標(biāo)為在基下的坐標(biāo)為( ) 010,nxAx 12,n 而而 的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是0 0100,nxx 0010100,nnxxAxx 于是于是0( ) 又又0010()0.nxEAx 從而從而 0100,0,nxx 又又即即 是線性方程組是線性方程組 的解，的解，010nxx 0()0EA X 有非零解有非零解. 0()0EA X 所以它的系數(shù)行列式所以它的系數(shù)行列式 00.EA 以上分析說明：以上分析說明：若是的特征值，則若是的特征值，則00.EA 0 反之，若滿足反之，若滿足0P 00

13、,EA 則齊次線性方程組有非零解則齊次線性方程組有非零解. 0()0EA X 若是一個(gè)非零解，若是一個(gè)非零解，0()0EA X 01020(,)nxxx 特征向量特征向量.則向量就是的屬于的一個(gè)則向量就是的屬于的一個(gè)0110nnxx 0 設(shè)設(shè) 是一個(gè)文字，矩陣稱為是一個(gè)文字，矩陣稱為,n nAP EA 111212122212.( )nnnnnnAaaaaaaEAaaaf 稱為稱為A的的特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式. A的的特征矩陣特征矩陣，它的行列式，它的行列式 （是數(shù)域（是數(shù)域P上的一個(gè)上的一個(gè)n次多項(xiàng)式）次多項(xiàng)式）( )Af 矩陣矩陣A的特征多項(xiàng)式的根有時(shí)也稱的特征多項(xiàng)式的根有時(shí)也稱為為A的特征

14、值的特征值, , 若矩陣若矩陣A是線性變換關(guān)于是線性變換關(guān)于V的一組基的矩陣的一組基的矩陣， 而是的一個(gè)特征值，則是特征多項(xiàng)式而是的一個(gè)特征值，則是特征多項(xiàng)式0 ( )Af 0 的根，即的根，即0()0.Af 的一個(gè)特征值的一個(gè)特征值.反之，若是反之，若是A的特征多項(xiàng)式的根，則就是的特征多項(xiàng)式的根，則就是0 0 （所以，特征值也稱（所以，特征值也稱特征根特征根.）而相應(yīng)的線性方程組而相應(yīng)的線性方程組 的非零解也就的非零解也就()0EA X 稱為稱為A的屬于這個(gè)特征值的特征向量的屬于這個(gè)特征值的特征向量. . i) 在在V中任取一組基中任取一組基 寫出寫出 在這組基下在這組基下 12,n 就是的

15、全部特征值就是的全部特征值. ii) 求求A的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式 在在P上的全部根它們上的全部根它們EA 的矩陣的矩陣A .iii) 把所求得的特征值逐個(gè)代入方程組把所求得的特征值逐個(gè)代入方程組()0EA X 的全部線性無關(guān)的特征向量在基的全部線性無關(guān)的特征向量在基 下的坐標(biāo)下的坐標(biāo).) 并求出它的一組基礎(chǔ)解系并求出它的一組基礎(chǔ)解系.(它們就是屬于這個(gè)特征值它們就是屬于這個(gè)特征值12,n 1,1,2,niijjjcir 則則就是屬于這個(gè)特征值就是屬于這個(gè)特征值 的全部線性的全部線性無關(guān)的特征向量無關(guān)的特征向量. 0 而而1122,rrkkk （其中，不全為零（其中，不全為零） 12,rk

16、kkP 就是的屬于就是的屬于 的全部特征向量的全部特征向量.0 111212122212(,),(,),(,)nnrrrnccccccccc如果特征值如果特征值 對應(yīng)方程組的基礎(chǔ)解系為：對應(yīng)方程組的基礎(chǔ)解系為：0 對皆有對皆有(0),V ( ).Kk () .nEkEk 所以，所以，V中任一非零向量皆為數(shù)乘變換中任一非零向量皆為數(shù)乘變換K的特征向量的特征向量.例例1 1.在線性空間在線性空間V中，數(shù)乘變換中，數(shù)乘變換K在任意一組基下在任意一組基下的矩陣都是數(shù)量矩陣的矩陣都是數(shù)量矩陣kE，它的特征多項(xiàng)式是，它的特征多項(xiàng)式是故數(shù)乘法變換故數(shù)乘法變換K的特征值只有數(shù)的特征值只有數(shù)k，且，且1 2 2

17、2 1 2 ,2 2 1A 解：解：A的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式 122212221EA 2(1) (5) 例例2 2.設(shè)線性變換在基設(shè)線性變換在基 下的矩陣是下的矩陣是 123, 求特征值與特征向量求特征值與特征向量. 故的特征值為：（二重）故的特征值為：（二重） 121,5 把把 代入齊次方程組代入齊次方程組 得得 1 ()0,EA X 123123123222022202220 xxxxxxxxx 即即 1230 xxx 它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為： (1,0, 1), (0,1, 1)因此，屬于因此，屬于 的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量為的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量為1 113223,

18、而屬于而屬于 的全部特征向量為的全部特征向量為1 1 12212,(,)kkk kP 不全為零不全為零 因此，屬于因此，屬于5的一個(gè)線性無關(guān)的特征向量為的一個(gè)線性無關(guān)的特征向量為 把把 代入齊次方程組代入齊次方程組 得得 5 ()0,EA X 解得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：解得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為： (1,1,1)3123而屬于而屬于5的全部特征向量為的全部特征向量為3333,(,)kkPk 0 0 123123123422024202240 xxxxxxxxx ： 00V 再添上零向量所成的集合，即再添上零向量所成的集合，即000()( )( )() 設(shè)設(shè) 為為n維線性空間維線性空間V的線性變換的線性變換，為為0 的一個(gè)特征值，令的一個(gè)特征值，令 為的屬于的全部特征向量為的屬于的全部特征向量0V 0 則則 是是V的一個(gè)子空間的一個(gè)子空間, 稱之為的一個(gè)稱之為的一個(gè)特征子空間特征子空間. 0