提升小學(xué)生數(shù)學(xué)思考力

1、成都市科華中路小學(xué) 蒲華良什么是數(shù)學(xué)思考？就是在面臨各種數(shù)學(xué)情境，特別是非數(shù)學(xué)問題時(shí)，就是在面臨各種數(shù)學(xué)情境，特別是非數(shù)學(xué)問題時(shí)，能夠從數(shù)學(xué)的角度，自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識、方法、能夠從數(shù)學(xué)的角度，自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識、方法、思想和觀念去發(fā)現(xiàn)其中存在的數(shù)學(xué)現(xiàn)象和數(shù)學(xué)規(guī)思想和觀念去發(fā)現(xiàn)其中存在的數(shù)學(xué)現(xiàn)象和數(shù)學(xué)規(guī)律，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和思想方法去解決問題。律，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和思想方法去解決問題。數(shù)學(xué)思考的內(nèi)容包括：義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）何為數(shù)學(xué)思考力？l數(shù)學(xué)思考力不等同于數(shù)學(xué)思考力不等同于課標(biāo)中的十課標(biāo)中的十個(gè)核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)。個(gè)核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)思考力不完全等同于數(shù)學(xué)思維能力。數(shù)學(xué)思考力不完全等同于

2、數(shù)學(xué)思維能力。數(shù)學(xué)思維能力表示的是一個(gè)人用數(shù)學(xué)的知識和方法去認(rèn)識事物和解決問題的熟練數(shù)學(xué)思維能力表示的是一個(gè)人用數(shù)學(xué)的知識和方法去認(rèn)識事物和解決問題的熟練程度，數(shù)學(xué)思維能力的形成具有階段性。程度，數(shù)學(xué)思維能力的形成具有階段性。數(shù)學(xué)思考力是指表現(xiàn)在認(rèn)識事物或解決問題過程中調(diào)動(dòng)數(shù)學(xué)知識、思想、觀念和數(shù)學(xué)思考力是指表現(xiàn)在認(rèn)識事物或解決問題過程中調(diào)動(dòng)數(shù)學(xué)知識、思想、觀念和方法的程度。表示的是一種數(shù)學(xué)思考過程狀態(tài)的客觀指標(biāo)，不受評判人的主觀影響。方法的程度。表示的是一種數(shù)學(xué)思考過程狀態(tài)的客觀指標(biāo)，不受評判人的主觀影響。數(shù)學(xué)思考力和數(shù)學(xué)思維能力如同學(xué)力與學(xué)歷的關(guān)系。數(shù)學(xué)思考力和數(shù)學(xué)思維能力如同學(xué)力與學(xué)歷的

3、關(guān)系。數(shù)學(xué)思考力的內(nèi)容（1233+16式）感悟感悟意識意識觀念觀念思想思想方法方法能力能力數(shù)感數(shù)感符號意識符號意識創(chuàng)新意識創(chuàng)新意識應(yīng)用意識應(yīng)用意識空間觀念空間觀念幾何直觀幾何直觀數(shù)據(jù)分析觀念數(shù)據(jù)分析觀念模型思想模型思想運(yùn)算能力運(yùn)算能力推理能力推理能力數(shù)感數(shù)感1 1種感悟種感悟符號意識符號意識創(chuàng)新意識創(chuàng)新意識應(yīng)用意識應(yīng)用意識3 3個(gè)意識個(gè)意識空間觀念空間觀念幾何直觀幾何直觀數(shù)據(jù)分析觀念數(shù)據(jù)分析觀念3 3種觀念種觀念對應(yīng)思想方法假設(shè)思想方法對應(yīng)思想方法假設(shè)思想方法比較思想方法符號化思想方法比較思想方法符號化思想方法類比思想方法轉(zhuǎn)化思想方法類比思想方法轉(zhuǎn)化思想方法分類思想方法集合思想方法分類思想方法

4、集合思想方法統(tǒng)計(jì)思想方法統(tǒng)計(jì)思想方法 可逆思想方法可逆思想方法極限思想方法極限思想方法 整體思想方法整體思想方法化歸思想方法化歸思想方法數(shù)形結(jié)合思想方法數(shù)形結(jié)合思想方法數(shù)學(xué)模型思想方法數(shù)學(xué)模型思想方法變中抓不變的思想方法變中抓不變的思想方法1616種思想方法種思想方法運(yùn)算能力運(yùn)算能力推理能力推理能力（合情推理（合情推理和演繹推理）和演繹推理）2 2項(xiàng)能力項(xiàng)能力 數(shù)感建立數(shù)認(rèn)識的教學(xué)范式。建立數(shù)認(rèn)識的教學(xué)范式。實(shí)物直觀實(shí)物直觀 + + 反復(fù)操作反復(fù)操作 ，數(shù)量體驗(yàn)才到位，數(shù)量體驗(yàn)才到位。 如：長度單位認(rèn)識。讓估算成為檢驗(yàn)數(shù)運(yùn)算的習(xí)慣。讓估算成為檢驗(yàn)數(shù)運(yùn)算的習(xí)慣。靈活多變的心算是培養(yǎng)數(shù)感的有效方法

5、。靈活多變的心算是培養(yǎng)數(shù)感的有效方法。找數(shù)找數(shù)引入數(shù)字符號引入數(shù)字符號說數(shù)說數(shù)畫數(shù)畫數(shù)組數(shù)組數(shù)對比數(shù)對比數(shù)數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。中的數(shù)量關(guān)系。把符號看成可以感知的物體。不同的個(gè)體或同一個(gè)體在不同時(shí)間解釋符號的方式各不相同。讓估算成為檢驗(yàn)數(shù)運(yùn)算的習(xí)慣。 學(xué)生交流學(xué)生交流 生：除以比小的數(shù)，商應(yīng)大于生：除以比小的數(shù)，商應(yīng)大于. . .所以錯(cuò)。所以錯(cuò)。 生：商生：商.

6、 .與除數(shù)與除數(shù). .都比小，相乘后積應(yīng)比小，不等于被除數(shù)，所以商不可能是都比小，相乘后積應(yīng)比小，不等于被除數(shù)，所以商不可能是. . .生：把除法算式變成生：把除法算式變成/ /，商的最高位是十位。而，商的最高位是十位。而. .的商最高位是個(gè)位。生：變成除數(shù)是整數(shù)的除法后，十位商，商應(yīng)是等的商最高位是個(gè)位。生：變成除數(shù)是整數(shù)的除法后，十位商，商應(yīng)是等于十幾。所以錯(cuò)了。于十幾。所以錯(cuò)了。 生：除數(shù)乘商得到四位小數(shù)，僅管末位相乘是要去生：除數(shù)乘商得到四位小數(shù)，僅管末位相乘是要去掉，但不太可能連續(xù)去掉后面的三個(gè)，而變成被除的一位小數(shù)。所以基本可以掉，但不太可能連續(xù)去掉后面的三個(gè)，而變成被除的一位小數(shù)

7、。所以基本可以判斷得數(shù)錯(cuò)了。判斷得數(shù)錯(cuò)了。 生：如果把生：如果把. .改成的話，得到的商是改成的話，得到的商是. .。而。而除以除以. .的商應(yīng)該比除以的商大一些，所以不可能等于的商應(yīng)該比除以的商大一些，所以不可能等于. .。 符號意識適時(shí)表述符號的適時(shí)表述符號的“能指能指”與與“所指所指”。如：速度。如：速度。符號的規(guī)范表達(dá)與自主性表達(dá)。如：怎樣表示符號的規(guī)范表達(dá)與自主性表達(dá)。如：怎樣表示 ? ?用好在過程理解上的符號記錄功能。如：除法豎式。用好在過程理解上的符號記錄功能。如：除法豎式。完整揭示符號的本質(zhì)意義。如完整揭示符號的本質(zhì)意義。如“+”+”與與“- -”。213表示什么？表示什么？兩

8、個(gè)兩個(gè)18表示的表示的 有什么不同？有什么不同？創(chuàng)新意識人數(shù)金字塔人數(shù)金字塔財(cái)富與智慧金字塔財(cái)富與智慧金字塔人類文明的金字塔結(jié)構(gòu)人類文明的金字塔結(jié)構(gòu)越是試圖去復(fù)制別人的成功經(jīng)越是試圖去復(fù)制別人的成功經(jīng)驗(yàn)，你失敗的可能性就越大。驗(yàn)，你失敗的可能性就越大。如果你能從贏家提前為你設(shè)定如果你能從贏家提前為你設(shè)定的思維中跳出來，重點(diǎn)去分析的思維中跳出來，重點(diǎn)去分析贏家的思維方式和行動(dòng)精神，贏家的思維方式和行動(dòng)精神，你就能夠讓自己保持在一個(gè)清你就能夠讓自己保持在一個(gè)清醒的高度上，從容地看清事物醒的高度上，從容地看清事物背后的真正規(guī)律。背后的真正規(guī)律。創(chuàng)新意識“創(chuàng)新型教師創(chuàng)新型教師”才能培養(yǎng)出有創(chuàng)新意識的學(xué)

9、生。才能培養(yǎng)出有創(chuàng)新意識的學(xué)生。（欣賞創(chuàng)新、接納創(chuàng)新、發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新、鼓勵(lì)創(chuàng)新、引導(dǎo)創(chuàng)新）欣賞創(chuàng)新、接納創(chuàng)新、發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新、鼓勵(lì)創(chuàng)新、引導(dǎo)創(chuàng)新）強(qiáng)化強(qiáng)化“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題發(fā)現(xiàn)問題、提出問題”兩個(gè)環(huán)節(jié)。兩個(gè)環(huán)節(jié)。 （提合適的數(shù)學(xué)問題；（提合適的數(shù)學(xué)問題； 可不可以增加條件來提問？）可不可以增加條件來提問？）尊重問題解決的多元化，放得開，收得回。尊重問題解決的多元化，放得開，收得回。五年級提問：五年級提問：買一個(gè)文具盒和一支鉛筆共多少元？買一個(gè)文具盒和一支鉛筆共多少元？ 先買先買1010支鉛筆后還可以買多少支鋼筆？支鉛筆后還可以買多少支鋼筆？應(yīng)用意識教師要明確兩個(gè)指向：用數(shù)學(xué)解釋和解決現(xiàn)實(shí)問題；教師要明確

10、兩個(gè)指向：用數(shù)學(xué)解釋和解決現(xiàn)實(shí)問題；將現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化。將現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化。尋找有挑戰(zhàn)性的現(xiàn)實(shí)情境素材尋找有挑戰(zhàn)性的現(xiàn)實(shí)情境素材數(shù)學(xué)問題要生活化。數(shù)學(xué)問題要生活化。 如：尾巴能接上嗎？如：尾巴能接上嗎？讓學(xué)生帶著讓學(xué)生帶著“任務(wù)任務(wù)”去數(shù)學(xué)化現(xiàn)實(shí)問題。去數(shù)學(xué)化現(xiàn)實(shí)問題。 如：調(diào)查一個(gè)小住了多少戶人？如：調(diào)查一個(gè)小住了多少戶人？空間觀念要接觸實(shí)物，只靠課件學(xué)習(xí)不利于形成空間觀念。 如觀察物體 擺了畫、畫了擺效果最好。想象要細(xì)化，把抽象的過程拆分。精心設(shè)計(jì)習(xí)題，聚焦圖形本質(zhì)屬性的認(rèn)識。加強(qiáng)辨析，讓數(shù)學(xué)思考更有靈活性和深刻性。多做游戲，讓想象和理解變得可見。 如：感知1立方米的大小 空間觀念主要是指根據(jù)

11、物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。認(rèn)識：平移前后形狀和大小不改變，位置改變；認(rèn)識：平移前后形狀和大小不改變，位置改變； 物體平移時(shí)，每一個(gè)點(diǎn)移動(dòng)的方向和距離是相同的。物體平移時(shí)，每一個(gè)點(diǎn)移動(dòng)的方向和距離是相同的。方法：找對應(yīng)點(diǎn)方法：找對應(yīng)點(diǎn)找點(diǎn)的平移路徑找點(diǎn)的平移路徑數(shù)平移距離（格數(shù)）數(shù)平移距離（格數(shù)）難點(diǎn)：如何數(shù)對格數(shù)

12、？難點(diǎn)：如何數(shù)對格數(shù)？被圓紙片蓋住的是一個(gè)角嗎？（二年級）回答是與非都不重回答是與非都不重要，關(guān)鍵是診斷學(xué)要，關(guān)鍵是診斷學(xué)生是否用角的形狀生是否用角的形狀特征去想象。特征去想象。幾何直觀理解上避免誤區(qū)。幾何直觀不是指學(xué)習(xí)點(diǎn)、線、面、體的有關(guān)知識，而是用數(shù)形結(jié)合的思想方法去理解、分析和解決問題。在用幾何直觀解決問題過程中要根據(jù)具體的問題情境選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法。養(yǎng)成把想法畫出來的習(xí)慣：說不清楚畫出來，想不清楚畫出來。 熟練掌握一些典型問題的常規(guī)畫法。如：行程問題、分?jǐn)?shù)問題一般畫線段圖，分?jǐn)?shù)運(yùn)算問題一般畫矩形圖或餅圖。教給一些畫圖的技巧。邊讀題邊補(bǔ)充數(shù)據(jù)和問題，邊分析邊完善圖形。主要是指利用圖形

13、描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀 地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。數(shù)據(jù)分析觀念高度重視：大數(shù)據(jù)時(shí)代到來。實(shí)現(xiàn)中國夢，需要數(shù)據(jù)先鋒。培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析人才，教育任重而道遠(yuǎn)。有七冊教材安排“統(tǒng)計(jì)與概率”知識，用心良苦。區(qū)分一二學(xué)段要求，不可降低，也不能撥高。多讓學(xué)生經(jīng)歷調(diào)查、實(shí)驗(yàn)、分析、猜測、合情推理的過程。

14、多給交流空間：你發(fā)現(xiàn)什么？你認(rèn)為什么？你建議什么？這才是“統(tǒng)計(jì)與概率”教學(xué)的宗旨。只能用合情推理（歸納）不能用演繹推理，不能驗(yàn)證，勿倒置 數(shù)據(jù)，這個(gè)數(shù)據(jù)，這個(gè)2121世紀(jì)人類探索的新連續(xù)，正在被云計(jì)算發(fā)現(xiàn)、征服。世紀(jì)人類探索的新連續(xù)，正在被云計(jì)算發(fā)現(xiàn)、征服。 （大數(shù)據(jù)分析）不再追求精確度，不再追求因果關(guān)系，而是承認(rèn)混雜（大數(shù)據(jù)分析）不再追求精確度，不再追求因果關(guān)系，而是承認(rèn)混雜性，探索相關(guān)關(guān)系。性，探索相關(guān)關(guān)系。 思維轉(zhuǎn)變過來，數(shù)據(jù)就能巧妙地用來激發(fā)新產(chǎn)品和新型服務(wù)。數(shù)據(jù)思維轉(zhuǎn)變過來，數(shù)據(jù)就能巧妙地用來激發(fā)新產(chǎn)品和新型服務(wù)。數(shù)據(jù)正成為巨大的經(jīng)濟(jì)資產(chǎn)，成為新世紀(jì)的礦產(chǎn)和石油，將帶來全新的創(chuàng)業(yè)正成

15、為巨大的經(jīng)濟(jì)資產(chǎn)，成為新世紀(jì)的礦產(chǎn)和石油，將帶來全新的創(chuàng)業(yè)方向、商業(yè)模式和投資機(jī)會(huì)方向、商業(yè)模式和投資機(jī)會(huì) 數(shù)據(jù)挖掘不僅能夠成為公司的競爭力，也將成為國家競爭力的一部數(shù)據(jù)挖掘不僅能夠成為公司的競爭力，也將成為國家競爭力的一部分。通過大數(shù)據(jù)，創(chuàng)建新的產(chǎn)業(yè)群，實(shí)現(xiàn)分。通過大數(shù)據(jù)，創(chuàng)建新的產(chǎn)業(yè)群，實(shí)現(xiàn)“中國制造到中國創(chuàng)造中國制造到中國創(chuàng)造”的改的改變，意義就更大。變，意義就更大。 寬帶資本董事長田溯寧：寬帶資本董事長田溯寧：大數(shù)據(jù)時(shí)代大數(shù)據(jù)時(shí)代序言序言 運(yùn)算能力在具體的問題情境中理解算理。引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)概念和運(yùn)算意義的角度去思考算法。鼓勵(lì)算法多元化，但需要聚焦到基本算法的理解和掌握，以便達(dá)到運(yùn)算的技能

16、。遵循運(yùn)算技能形成的認(rèn)知規(guī)律：懂會(huì)熟活。前一步?jīng)]過關(guān)，不要急于進(jìn)入下一步。抓一次性正確率的診斷與補(bǔ)救，不可盲目追求練習(xí)強(qiáng)度。一定量欠的重復(fù)訓(xùn)練是形成運(yùn)算技能的必要手段。開展豐富多樣的趣味活動(dòng)，激發(fā)孩子的運(yùn)算興趣。運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題。力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題。推理能力合情推理：合情推理： 已有事實(shí)已有事實(shí)_(_(經(jīng)驗(yàn)和直觀）經(jīng)驗(yàn)和直觀）( (歸納和類比歸納和類比) )結(jié)果即：由因索果結(jié)果即

17、：由因索果演繹推理：已有事實(shí)演繹推理：已有事實(shí)( (規(guī)則規(guī)則) )( (邏輯推理法則邏輯推理法則) )結(jié)果即：執(zhí)果索因結(jié)果即：執(zhí)果索因?yàn)槭裁葱W(xué)強(qiáng)調(diào)得多的是合理推理能力？為什么小學(xué)強(qiáng)調(diào)得多的是合理推理能力？ 合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論。培養(yǎng)創(chuàng)新型人才更需要培養(yǎng)合情推理能力。合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論。培養(yǎng)創(chuàng)新型人才更需要培養(yǎng)合情推理能力。 史寧中教授認(rèn)為：演繹推理的主要功能在于驗(yàn)證結(jié)論，而不在于發(fā)現(xiàn)結(jié)論。我們?nèi)笔穼幹薪淌谡J(rèn)為：演繹推理的主要功能在于驗(yàn)證結(jié)論，而不在于發(fā)現(xiàn)結(jié)論。我們?nèi)鄙俚氖歉鶕?jù)情況少的是根據(jù)情況“預(yù)測結(jié)果預(yù)測結(jié)果”的能力，根據(jù)結(jié)果的能力，根據(jù)結(jié)果“探索成因探索成因”的能力

18、。而這正是歸納的能力。而這正是歸納推理能力。推理能力。小學(xué)數(shù)學(xué)推理思想的應(yīng)用表挖掘培養(yǎng)合情挖掘培養(yǎng)合情推理能力的教推理能力的教學(xué)資源。學(xué)資源。（三上）（三上） 在觀察中比較，在觀察中比較，在比較中概括。在比較中概括。積累積累“合情推合情推理理”的學(xué)習(xí)經(jīng)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)掌握計(jì)算方法不是本課最重掌握計(jì)算方法不是本課最重要的教學(xué)目標(biāo)，培養(yǎng)合情推要的教學(xué)目標(biāo)，培養(yǎng)合情推理的能力才是本課的中心目理的能力才是本課的中心目標(biāo)。標(biāo)。難點(diǎn)在規(guī)納這一步。難點(diǎn)在規(guī)納這一步。重點(diǎn)是組織學(xué)生經(jīng)歷重點(diǎn)是組織學(xué)生經(jīng)歷“操作操作觀察觀察猜測猜測類比類比歸納歸納應(yīng)用與拓展應(yīng)用與拓展”這個(gè)數(shù)學(xué)思考的過程，積累這個(gè)數(shù)學(xué)思考的過程，積累

19、解決問題的學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。解決問題的學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。你怎樣處理你怎樣處理這個(gè)部分？這個(gè)部分？掌握一些合掌握一些合情推理情推理 的的步驟和方法步驟和方法觀察異同。觀察異同。猜測或發(fā)現(xiàn)。猜測或發(fā)現(xiàn)。舉例子分析發(fā)現(xiàn)或驗(yàn)證發(fā)舉例子分析發(fā)現(xiàn)或驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)?，F(xiàn)。把發(fā)現(xiàn)用文字、符號、圖把發(fā)現(xiàn)用文字、符號、圖形、表格等表達(dá)出來。形、表格等表達(dá)出來。用你的發(fā)現(xiàn)解決相關(guān)的問用你的發(fā)現(xiàn)解決相關(guān)的問題。題。數(shù)學(xué)思想和方法數(shù)學(xué)思想是宏觀的，在解決問題中起方向性指導(dǎo)作用；數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想是宏觀的，在解決問題中起方向性指導(dǎo)作用；數(shù)學(xué)方法是微觀的，是解決問題的具體策略。方法是微觀的，是解決問題的具體策略。數(shù)學(xué)思想方法不可獨(dú)立教學(xué)，要在解

20、決具體問題的過程中去數(shù)學(xué)思想方法不可獨(dú)立教學(xué)，要在解決具體問題的過程中去讓孩子們?nèi)ジ形蚝腕w會(huì)。不要當(dāng)成一種數(shù)學(xué)知識或一項(xiàng)數(shù)學(xué)讓孩子們?nèi)ジ形蚝腕w會(huì)。不要當(dāng)成一種數(shù)學(xué)知識或一項(xiàng)數(shù)學(xué)技能去教學(xué)。技能去教學(xué)。每一種數(shù)學(xué)思想和方法有各自獨(dú)立的意義，但也有交叉。有每一種數(shù)學(xué)思想和方法有各自獨(dú)立的意義，但也有交叉。有時(shí)會(huì)單用一種數(shù)學(xué)思想和方法，也有時(shí)同時(shí)用幾種思想方法時(shí)會(huì)單用一種數(shù)學(xué)思想和方法，也有時(shí)同時(shí)用幾種思想方法，教學(xué)時(shí)重點(diǎn)體會(huì)一種主流就行。，教學(xué)時(shí)重點(diǎn)體會(huì)一種主流就行。1、對應(yīng)思想方法小學(xué)一般是一一對應(yīng)。小學(xué)一般是一一對應(yīng)。應(yīng)用：在數(shù)軸（線）上表示數(shù)，比多少，三角形底與應(yīng)用：在數(shù)軸（線）上表示數(shù)，比

21、多少，三角形底與高的對應(yīng)，問題解決等高的對應(yīng)，問題解決等建議：操作、畫圖或列表。建議：操作、畫圖或列表。例：（用對應(yīng)思想理解數(shù)量關(guān)系例：（用對應(yīng)思想理解數(shù)量關(guān)系) ) 一本書一本書300300頁，小林看了頁，小林看了5 5天，還剩下天，還剩下100100頁。平均每頁。平均每天看多少頁？天看多少頁？游戲破難點(diǎn)：找對應(yīng)點(diǎn)游戲破難點(diǎn)：找對應(yīng)點(diǎn)2、假設(shè)思想方法理解：改變原數(shù)據(jù)，原來的數(shù)量關(guān)系與邏輯關(guān)系不變，對比前后變化。屬一種轉(zhuǎn)化思想方法。策略：靈活假設(shè)數(shù)據(jù)。例：3、整體思想方法。整體思想方法的長期滲透。整體思想方法的長期滲透。如：結(jié)合具體問題情境從“上位的數(shù)量關(guān)系”到“特殊的數(shù)量關(guān)系”的引導(dǎo)上位數(shù)量

22、關(guān)系：“部分?jǐn)?shù)、部分?jǐn)?shù)與總數(shù)”，“部分?jǐn)?shù)、部分?jǐn)?shù)與相差數(shù)”，“每份數(shù)、份數(shù)與總數(shù)”。如從“每份數(shù)份數(shù)=總數(shù)”到“速度時(shí)間=路程”再到“每時(shí)行的千米數(shù)小時(shí)數(shù)=共行的千米數(shù)”對解題策略的選擇與思考對解題策略的選擇與思考。（例）（例）部分部分+部分部分=整體整體（不同）（不同）部分?jǐn)?shù)部分?jǐn)?shù)+ +部分?jǐn)?shù)部分?jǐn)?shù)= =總數(shù)總數(shù)加數(shù)加數(shù)+ +加數(shù)加數(shù)= =和和（相同）（相同）每份數(shù)每份數(shù)份數(shù)份數(shù)=總數(shù)總數(shù)因數(shù)因數(shù)因數(shù)因數(shù)=積積部分?jǐn)?shù)、部分?jǐn)?shù)與總數(shù)部分?jǐn)?shù)、部分?jǐn)?shù)與總數(shù)部分?jǐn)?shù)、部分?jǐn)?shù)部分?jǐn)?shù)、部分?jǐn)?shù)與相差數(shù)與相差數(shù)每份數(shù)每份數(shù)、份數(shù)與總數(shù)、份數(shù)與總數(shù)部分?jǐn)?shù)、部分?jǐn)?shù)與部分?jǐn)?shù)、部分?jǐn)?shù)與倍數(shù)（分率）倍數(shù)（分率）具體數(shù)量

23、關(guān)系式具體數(shù)量關(guān)系式具體數(shù)量關(guān)系式具體數(shù)量關(guān)系式具體數(shù)量關(guān)系式具體數(shù)量關(guān)系式具體數(shù)量關(guān)系式具體數(shù)量關(guān)系式生：生：. .* *20+1.220+1.2* *30-(22.5+0.86) 30-(22.5+0.86) 生解釋后生解釋后師追問：為什么要加小括號？師追問：為什么要加小括號？生：（生：（. . .）* *20+(1.2-20+(1.2-0.75)0.75)* *30 30 師追問：小括號里各算的什么？師追問：小括號里各算的什么？生：生：. . . .（元），（元），. .* *20=12.8(20=12.8(元），元），. . . .（元），（元），. .* *. .（元），（元），.

24、.+ +. . .（元）。師追問：（元）。師追問：你為什么分步列式不用綜合算式呢？生：綜你為什么分步列式不用綜合算式呢？生：綜合太長了。合太長了。生：（生：（1.51.50.860.86）* *. .（元）（元）（. . .）* *. .（元），（元），. .+ +. . .（元）。（元）。師：對后面三個(gè)同學(xué)的解答你有什么看法？師：對后面三個(gè)同學(xué)的解答你有什么看法？生：它們思路都一樣。但生生：它們思路都一樣。但生3 3分步寫的，容易看分步寫的，容易看懂。生懂。生2 2用綜合式，中途不用計(jì)算，思路容用綜合式，中途不用計(jì)算，思路容易連起來想。生用兩個(gè)綜合算式，每個(gè)算易連起來想。生用兩個(gè)綜合算式，每

25、個(gè)算式不長，比較合適。式不長，比較合適。4、分類思想方法。分類標(biāo)準(zhǔn)的必要性討論。分類標(biāo)準(zhǔn)的必要性討論。強(qiáng)化有序思考意識。強(qiáng)化有序思考意識。例：有序列舉。例：有序列舉。師：你準(zhǔn)備怎樣找出能擺出的三角形？師：你準(zhǔn)備怎樣找出能擺出的三角形？生：找三根，按任意兩邊之和大于第三生：找三根，按任意兩邊之和大于第三邊來判斷。邊來判斷。生：按順序全部排列，然后一個(gè)一個(gè)來生：按順序全部排列，然后一個(gè)一個(gè)來判斷，就能找出所有的三角形了。判斷，就能找出所有的三角形了。3cm,3cm,3cm(3cm,3cm,3cm(能）；能）；3cm,3cm,4cm(3cm,3cm,4cm(能）；能）；cm,3cm,6cm(cm,3

26、cm,6cm(不能）；不能）；3cm,4cm,6cm(3cm,4cm,6cm(能）。能）。師：我們從這一組數(shù)據(jù)中，還可以得到哪師：我們從這一組數(shù)據(jù)中，還可以得到哪些結(jié)論？些結(jié)論？生：能拼出一個(gè)等邊三角形，一個(gè)等腰三生：能拼出一個(gè)等邊三角形，一個(gè)等腰三角形，一個(gè)不等邊三角形，有三根小棒角形，一個(gè)不等邊三角形，有三根小棒不能擺成一個(gè)三角形。不能擺成一個(gè)三角形。 看似一道簡單的鞏固題，師這樣教學(xué)，充分發(fā)揮了這道題在培養(yǎng)學(xué)生思維能力方面的看似一道簡單的鞏固題，師這樣教學(xué)，充分發(fā)揮了這道題在培養(yǎng)學(xué)生思維能力方面的功能。其一，完成了本題的最低要求功能。其一，完成了本題的最低要求“擺出兩種擺出兩種”，達(dá)到了

27、運(yùn)用知識解決實(shí)際問題的，達(dá)到了運(yùn)用知識解決實(shí)際問題的最基礎(chǔ)要求最基礎(chǔ)要求保低；同時(shí)，讓學(xué)生列出所有的情況，再來判斷，撥高了要求，滿足保低；同時(shí)，讓學(xué)生列出所有的情況，再來判斷，撥高了要求，滿足了優(yōu)生的學(xué)習(xí)需求。其二，對五根小棒進(jìn)行有序排列，強(qiáng)化了有序思維意識，培養(yǎng)了了優(yōu)生的學(xué)習(xí)需求。其二，對五根小棒進(jìn)行有序排列，強(qiáng)化了有序思維意識，培養(yǎng)了學(xué)生思維能力。其三：最后追問還可得出什么結(jié)論，從另一個(gè)思維角度來認(rèn)識同一問學(xué)生思維能力。其三：最后追問還可得出什么結(jié)論，從另一個(gè)思維角度來認(rèn)識同一問題，培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)概念來解釋現(xiàn)象的能力和求異思維能力。題，培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)概念來解釋現(xiàn)象的能力和求異思維能力。

28、5、類比思想方法把主要精力放在找共同屬性上。把主要精力放在找共同屬性上。6、符號化思想方法（學(xué)生獨(dú)立完成后，匯報(bào)）（學(xué)生獨(dú)立完成后，匯報(bào)）生生1 1：3 3根小棒，只能擺一種，是等邊三角形。根小棒，只能擺一種，是等邊三角形。4 4根小棒也只能擺一種，等腰三角形。根小棒也只能擺一種，等腰三角形。5 5根小根小棒能擺一種等腰三角形，棒能擺一種等腰三角形，6 6根小棒能擺一根小棒能擺一種等邊三角形。種等邊三角形。師：你是怎么想的呢？師：你是怎么想的呢？生：用生：用1 1表示一根小棒的長，這樣就可以用數(shù)表示一根小棒的長，這樣就可以用數(shù)字來表示長度了。我們把擺的情況寫出字來表示長度了。我們把擺的情況寫出

29、來：來：3 3根：根：1 1，等邊三角形。，等邊三角形。4 4根：，等腰三角形。根：，等腰三角形。5 5根：，（不能）；，（能，根：，（不能）；，（能，等腰三角形）。等腰三角形）。根：，（不能）；，根：，（不能）；，（不能）；，（能，是等邊三（不能）；，（能，是等邊三角形）角形）師：這樣用數(shù)字表示有什么好處呢？師：這樣用數(shù)字表示有什么好處呢？生：用數(shù)字表示長度，簡單清楚。生：用數(shù)字表示長度，簡單清楚。師：你們發(fā)現(xiàn)擺成的三角形有什么特點(diǎn)師：你們發(fā)現(xiàn)擺成的三角形有什么特點(diǎn)? ?生：不是等邊三角形就是等腰三角形。生：不是等邊三角形就是等腰三角形。師：如果小棒的根數(shù)更多，比如師：如果小棒的根數(shù)更多，比

30、如7 7根、根、8 8根、根、9 9根，還有這樣的規(guī)律嗎？請你們試一試。根，還有這樣的規(guī)律嗎？請你們試一試。生：。我們發(fā)現(xiàn)到生：。我們發(fā)現(xiàn)到9 9根時(shí)，不是這樣。出根時(shí)，不是這樣。出現(xiàn)了現(xiàn)了2 2，3 3，4 4這種一般的三角形。這種一般的三角形。用符號記錄思維的過程。用符號記錄思維的過程。7、數(shù)學(xué)模型思想方法【理解理解】反映現(xiàn)實(shí)世界事物特征的數(shù)量關(guān)系或空間形反映現(xiàn)實(shí)世界事物特征的數(shù)量關(guān)系或空間形式都稱為數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型的主要表達(dá)形式是式都稱為數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型的主要表達(dá)形式是數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)符號表達(dá)式和圖表。符號表達(dá)式和圖表?！痉秶秶孔匀粩?shù)列，數(shù)軸表示數(shù)，四則運(yùn)算式，方程自然數(shù)列，數(shù)軸表示數(shù)，四則運(yùn)算式，方程，數(shù)量關(guān)系，字母公式，統(tǒng)計(jì)圖表，用分?jǐn)?shù)表示可能，數(shù)量關(guān)系，字母公式，統(tǒng)計(jì)圖表，用分?jǐn)?shù)表示可能性等。性等?！窘虒W(xué)舉例教學(xué)舉例】如何構(gòu)建方程的數(shù)學(xué)模