附錄002-統(tǒng)計知識基礎(chǔ)

1、附錄2 計量經(jīng)濟(jì)學(xué)的統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計學(xué)2022-6-61問題的提出u首先，假定現(xiàn)在開始選學(xué)計量經(jīng)濟(jì)學(xué)課程的同學(xué)們都已經(jīng)學(xué)習(xí)過數(shù)理統(tǒng)計學(xué)了。即便通過了數(shù)理統(tǒng)計的學(xué)分考試，也意識到數(shù)理統(tǒng)計學(xué)在大學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教學(xué)中，屬于比較困難的一部分。況且，同學(xué)們對數(shù)理統(tǒng)計的掌握可能不是很完備的。u其次，大多數(shù)人對數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)符號的健忘，也提醒我們在進(jìn)一步討論計量經(jīng)濟(jì)學(xué)內(nèi)容之前，必須對數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的基本內(nèi)容進(jìn)行一些溫習(xí)與回顧。2022-6-62解決問題的思路u1請同學(xué)們將數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的書籍拿出來進(jìn)行復(fù)習(xí)。u2在老師講授的內(nèi)容的同時，加強(qiáng)回顧，多思考，多提問。一邊聽課一邊在教科書上進(jìn)行批注，并把教科書上的印刷

2、錯誤（忒多）改正。u3懇請同學(xué)們到圖書館借閱計量經(jīng)濟(jì)學(xué)的參考書。計量經(jīng)濟(jì)學(xué)的分類號是“F224”，計量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論基礎(chǔ)統(tǒng)計學(xué)的分類號是“O212”。u4在大三下以前掌握Windows 9x以及Office97及其以上的應(yīng)用，為畢業(yè)論文和大四謀業(yè)面試打下堅實(shí)的基礎(chǔ)。u4熟悉Internet的使用。，逐步養(yǎng)成通過網(wǎng)絡(luò)了解世界與世界同步。2022-6-63主要內(nèi)容u第一節(jié) 總體、樣本和隨機(jī)函數(shù)u第二節(jié) 對總體的描述隨機(jī)變量的數(shù)字特征u第三節(jié) 對樣本的描述樣本分布的數(shù)字特征u第四節(jié) 隨機(jī)變量的分布總體和樣本的連接點(diǎn)2022-6-64為什么要復(fù)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計學(xué)u假設(shè)同學(xué)們都已經(jīng)學(xué)習(xí)過數(shù)理統(tǒng)計學(xué)。u即便如此，數(shù)

3、理統(tǒng)計學(xué)在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，屬于比較難的部分，而且是研修高級課程必不可少的準(zhǔn)備。u而且許多同學(xué)或許對于大部分同學(xué)，他們對于數(shù)學(xué)公式與數(shù)學(xué)符號的健忘，也提醒我們有必要在展開計量經(jīng)濟(jì)學(xué)討論之前，對本課程中經(jīng)常使用到的數(shù)理統(tǒng)計學(xué)基本內(nèi)容事先進(jìn)行一些溫習(xí)和回顧。2022-6-65數(shù)理統(tǒng)計學(xué)在計量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的地位u事實(shí)上不懂得數(shù)理統(tǒng)計學(xué)就不可能學(xué)習(xí)和研究計量經(jīng)濟(jì)學(xué)。u數(shù)理統(tǒng)計學(xué)是計量經(jīng)濟(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，它為計量經(jīng)濟(jì)學(xué)提供了唯一而有效的方法。u此外，從某種意義上來說，計量經(jīng)濟(jì)學(xué)就是使數(shù)理統(tǒng)計學(xué)在建立經(jīng)濟(jì)模型中得以應(yīng)用的一門科學(xué)。2022-6-66復(fù)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計學(xué)必須注意u建議同學(xué)們將已經(jīng)學(xué)過的西方經(jīng)濟(jì)學(xué)、 數(shù)理統(tǒng)計學(xué)

4、、線性代數(shù)和Windows 95進(jìn)行一次認(rèn)真地復(fù)習(xí)。u復(fù)習(xí)時，注重西方經(jīng)濟(jì)學(xué)的宏觀部分，注重數(shù)理統(tǒng)計學(xué)學(xué)科體系的邏輯結(jié)構(gòu)分析、注重數(shù)理統(tǒng)計方法的闡述、注重數(shù)理統(tǒng)計公式、定義和定理的內(nèi)在涵義及其相互關(guān)系，注重線性代數(shù)的求逆和相似形部分，注重Windows 95的基本操作部分。u在今后的學(xué)習(xí)中，注意經(jīng)濟(jì)學(xué)基本理論及其應(yīng)用，注意數(shù)理統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)與計量經(jīng)濟(jì)學(xué)的聯(lián)系與活用，注意線性代數(shù)與統(tǒng)計量的計量與檢驗(yàn)。2022-6-67第一節(jié) 總體、樣本和隨機(jī)函數(shù)u四個基本定義與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)u一、隨機(jī)變量的分布u二、二元隨機(jī)變量u三、獨(dú)立性u四、隨機(jī)變量函數(shù)和分布2022-6-68四個基本定義與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的邏

5、輯結(jié)構(gòu)u總體和個體u樣本和樣本容量u隨機(jī)變量u統(tǒng)計量u數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)2022-6-69總體（集合）和個體（構(gòu)成集合的元素）u研究對象的全體稱為總體或母體，組成總體的每個基本單位稱為個體。注意：u（1）按組成總體個體的多寡分為：有限總體和無限總體；u（2）總體具有同質(zhì)性：每個個體具有共同的觀察特征，而與其它總體相區(qū)別；u（3）度量同一對象得到的數(shù)據(jù)也構(gòu)成總體，數(shù)據(jù)之間的差異是絕對的，因?yàn)榇嬖诓豢上碾S機(jī)測量誤差；u（4）個體表現(xiàn)為某個數(shù)值是隨機(jī)的，但是，它們?nèi)〉媚硞€數(shù)值的機(jī)會是不同的，即它們按一定的規(guī)律取值，即它們的取值與確定的概率相對應(yīng)。2022-6-610樣本和樣本容量u總體中抽出若

6、干個個體組成的集體稱為樣本。樣本中包含的個體的個數(shù)稱為樣本的容量，又稱為樣本的大小。u注意：抽樣是按隨機(jī)原則選取的，即總體中每個個體有同樣的機(jī)會被選入樣本。2022-6-611隨機(jī)變量u根據(jù)概率不同而取不同數(shù)值的變量稱為隨機(jī)變量（Random Variable）。u注意：u（1）一個隨機(jī)變量具有下列特性：RV可以取許多不同的數(shù)值，取這些數(shù)值的概率為p，p滿足：0=p=1。u（2）隨機(jī)變量以一定的概率取到各種可能值，按其取值情況隨機(jī)變量可分為兩類：離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量的取值最多可列多個；連續(xù)型隨機(jī)變量的取值充滿整個數(shù)軸或者某個區(qū)間。u（3）本書中，隨機(jī)變量用x、y、等符

7、號表示2022-6-612離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量 10 20 30 40 501.0概率概率xx1.0離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量2022-6-613總體與隨機(jī)變量的關(guān)系u表示總體狀況的數(shù)量特征，在總體中是參差不齊的，往往以一定的概率取不同的數(shù)值，顯然對于這樣的數(shù)值我們采用一般的變量是無法加以描述的。但是?？梢圆捎靡环N特殊的變量來表示它們。這個特殊變量就是隨機(jī)變量。因?yàn)?，根?jù)隨機(jī)變量的定義，隨機(jī)變量以一定的概率取許多不同的值，而且概率p滿足：0=p=1。例如，一批燈泡的壽命可以取許多不同的數(shù)值，每個燈泡的取值不一定完全相同，但它們是按一定概率進(jìn)行分布的，但它們卻是以一定的概率取某個壽命

8、值。由此看來，隨機(jī)變量并不是一個隨便變的量。u由于我們主要研究總體的數(shù)量特征，可以直接用隨機(jī)變量來表示所研究的總體。2022-6-614總體、隨機(jī)變量、樣本間的聯(lián)系u總體就是一個隨機(jī)變量，所謂樣本就是n個（樣本容量n）相互獨(dú)立且與總體有相同分布的隨機(jī)變量x1，xn。u每一次具體抽樣所得的數(shù)據(jù)，就是n元隨機(jī)變量的一個觀察值，記為（X1，Xn）。u通過總體的分布可以把總體和樣本連接起來。2022-6-615從兩個角度來描述總體（隨機(jī)變量）中個體的取值u（1）動態(tài)概率隨機(jī)地選取一個個體取某個具體數(shù)值的可能性；u（2）靜態(tài)分布個體取某個數(shù)值，從全局來看這個具體的數(shù)值（可能不只一個個體取這同一個數(shù)值）出

9、現(xiàn)的次數(shù)占全體個體個數(shù)的比例，形象地說就是這個具體的數(shù)值在數(shù)軸的這個位置上分布了多少。u分布也好、概率也好它們在度量上是一致的。u這只是就離散型隨機(jī)變量的通俗示意。2022-6-616總體分布是總體和樣本的連接點(diǎn)u所謂分布，它是從全局而言的。通俗地說，分布就是某個對象在什么地方，堆積了多少。u任何一個隨機(jī)變量都有自己的分布，這個什么地方就是在數(shù)軸上取什么值，堆積多少就是在那里占有的比例是多少或者概率有多大。u總體可以表示為隨機(jī)變量，并具有自身的分布。u樣本則是相互獨(dú)立與總體具有相同分布的n元隨機(jī)變量。因此，總體分布是總體和樣本的連接點(diǎn)。從而，可以通過對樣本特征的研究達(dá)到對總體進(jìn)行研究的目的。因

10、為它們具有相同的分布。u須知，如果對于一個隨機(jī)變量完全掌握了它的分布規(guī)律，就完全明白無誤了。2022-6-617為什么樣本是與所來自的總體具有相同的分布的隨機(jī)變量u因?yàn)闃颖揪哂卸匦裕簎一是指某一次具體的抽樣的具體的數(shù)值（X1，Xn）；u二是指一次抽樣的可能結(jié)果，它的每一次觀察都是隨機(jī)地從總體中（每一個個體有同樣的機(jī)會被選入）抽取一個，所以它是一組隨機(jī)變量（x1，x2，xn） u而且，每一次抽樣都來自同一總體（分布），也就是每一次抽樣都帶來了與總體一樣的分布信息。所以，樣本與所來自的總體分布相同。u由于總體分布完整的描述了總體的信息，有時我們也直呼總體為分布，不加區(qū)別地使用總體或分布。2022

11、-6-618統(tǒng)計量u設(shè)（x1，x2，xn）為一組樣本觀察值，函數(shù)f（ x1，x2，xn ）若不含有未知參數(shù)，則稱為統(tǒng)計量。u統(tǒng)計量一般是連續(xù)函數(shù)。由于樣本是隨機(jī)變量，因而它的函數(shù)也是隨機(jī)變量，所以，統(tǒng)計量也是隨機(jī)變量。u統(tǒng)計量一般用它來提取或壓榨由樣本帶來的總體信息。就是統(tǒng)計量。樣本方差1122ninixxs2022-6-619樣本與總體之間的關(guān)系u樣本是總體的一部分，是對u總體隨機(jī)抽樣后得到的集合。u對觀察者而言，總體是不u了解的，了解的只是樣本u的具體情況。我們所要做u的就是通過對這些具體樣u本的情況的研究，來推知整u個總體的情況。Xn+1XnX1樣本總體2022-6-620數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的邏

12、輯結(jié)構(gòu)u（1）總體和樣本u引入一個隨機(jī)變量來描述總體u（2）對總體的描述：隨機(jī)變量的數(shù)字特征u（3）對樣本的描述：樣本分布的數(shù)字特征u（4）總體與樣本的連接點(diǎn)：隨機(jī)變量的分布u（5）如何用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征及數(shù)據(jù)生成過程中的各種參數(shù) a 估計量的優(yōu)良性 b 估計方法 c 對估計量的檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn) xVarxExx2方差數(shù)學(xué)期望，描述樣本的離散程度樣本方差，描述樣本的一般水平樣本平均數(shù)sX22022-6-621a 估計量的優(yōu)良性u1、無偏性u2、有效性u3、均方誤最小u4、一致性2022-6-622b 估計方法u u u u u u u 矩法最大似然法最小二乘法最小卡平方法總體分布未

13、知正態(tài)總體一般總體（大樣）已知方差方差未知一般總體（大樣）正態(tài)總體估計期望單個總體兩個總體估計方差（常用小樣本下，正態(tài)總體估計其它參數(shù)）點(diǎn)估計區(qū)間估計2022-6-623c 對估計量的檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)u1.對總體分布特征的假設(shè)檢驗(yàn)u（1）一個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)a 檢驗(yàn)均值：已知方差和未知方差b 檢驗(yàn)方差：未知均值（雙尾和單尾）u（2）兩個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)a 檢驗(yàn)均值：未知方差但可假設(shè)其相等b 檢驗(yàn)方差：未知均值（雙尾和單尾）u（3）總體分布的假設(shè)檢驗(yàn)a 總體為離散型分布b 總體為連續(xù)型分布u2.對各種系數(shù)、參數(shù)估計值的假設(shè)檢驗(yàn)2022-6-624一、隨機(jī)變量的分布2022-6-625（一）離散型

14、隨機(jī)變量的分布u定義：如果隨機(jī)變量只取有限個或可列多個可能值，而且以確定的概率取這些值，則稱為離散型隨機(jī)變量。u通常用分布列表示離散型隨機(jī)變量：u的概率分布也可用一系列等式表示：uP（ =xi）=pi （i=1,2,）稱為的概率函數(shù)。注意這里xi只出現(xiàn)一次。u顯然滿足概率的定義：u離散型隨機(jī)變量的分布就是指它的分布列或概率函數(shù)。1110iiippXx1x2.xi.pp1p2.pi.2022-6-626離散型隨機(jī)變量舉例1u例1 一批產(chǎn)品的廢品率為5%，從中任取一個進(jìn)行檢驗(yàn)，以隨機(jī)變量來描述這一試驗(yàn)并寫出的分布。u以X=0表示“產(chǎn)品為合格產(chǎn)品”，X=1表示“產(chǎn)品為廢品”，那么分布列如下：u其概率

15、函數(shù)p（X=0）=0.95， p（X=1）=0.05，或up（X=i）=（0.05）i（0.95）1-i （ i = 0, 1）X0（合格品）1（廢品）P0.950.052022-6-627離散型隨機(jī)變量舉例2u用隨機(jī)變量X描述擲一顆骰子的試驗(yàn)。u分布的概率函數(shù)為：uP（X=i）= 1/6（i=1，2，3，4，5，6）X123456P1/61/61/61/61/61/62022-6-628（二）隨機(jī)變量的分布函數(shù)u定義：若X是一個隨機(jī)變量（可以是離散的，也可以是非離散的），對任何實(shí)數(shù)x，令F（x）=P（X=x），稱F（x）為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。uF（x），即事件“X=x”的概率，是一個實(shí)函數(shù)

16、。u對任意實(shí)數(shù)x1x2，有uP（x1Xx2）=P（X=x2）- P（X=x1）=F（x2）- F（x1）u由此可知，若已知X的分布函數(shù)，就知道X在任何區(qū)間上取值的概率。所以，分布函數(shù)完整的描述了隨機(jī)變量的變化情況。x2x2f(x)F(x)Xx1x12022-6-629分布函數(shù)F（x）的性質(zhì) xixxxxFxFxFFxFFxFxFxip足關(guān)系：分布函數(shù)與概率函數(shù)滿。且在間斷點(diǎn)上右連續(xù)至多有可列多個間斷點(diǎn)）（）（為不減函數(shù)）（，）對一切（4103210,1limlim2022-6-630分布函數(shù)舉例u例3 求例1中的分布函數(shù)u例4 求例2中的分布函數(shù) 111095. 000 xxxxXPxF 61

17、656/5546/4436/3326/2216/110 xxxxxxxxXPxF01F(x)x xxiipxF2022-6-631（三）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布u定義：對于任何實(shí)數(shù)x，如果隨機(jī)變量X的分布函數(shù)uF（x）可以寫成u概率分布密度函數(shù)的性質(zhì)： 。常寫成概率分布密度函數(shù)，也的為為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱，則稱其中xXXxXxdttxFx0 。有的連續(xù)點(diǎn)上，并且在顯然）（）（xxFxdxxbXaPdxxxba12012022-6-632為什么(x)稱為概率分布密度函數(shù) 的概率大小。附近取值在能夠反映分布的密集程度。但是點(diǎn)概率在值的概率，而是取不是表明xXxxXxXxxxxXxPxxFxxFxxxF

18、xxlimlim002022-6-633連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)舉例 bxbxaabaxaxxFdttxFababdxdxxxFbaXbxaxXx1011,05又因?yàn)榻?。上的均勻分布。試求服從區(qū)間則稱其它有密度函數(shù)若例a x ba x bF(x)(x)2022-6-634（四）分布函數(shù)、概率函數(shù)、密度函數(shù)三者的關(guān)系u分布函數(shù)既適用于離散型也適用于連續(xù)型，是描述各種類型隨機(jī)變量最一般的共同形式。但是，它不夠直觀。u概率函數(shù)對于離散型的描述很直觀。u概率密度函數(shù)的大小能夠反映X在x附近取值的概率的大小，從而比分布函數(shù)更直觀。u所以，在實(shí)際應(yīng)用中我們分別用概率函數(shù)和密度函數(shù)對離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量進(jìn)行

19、描述。2022-6-635二、二元隨機(jī)變量un元隨機(jī)變量的定義：每次試驗(yàn)同時處理n個隨機(jī)變量（X1，X2，Xn），它們的取值隨試驗(yàn)的進(jìn)行而變化。如果對任何一組實(shí)數(shù)（x1，x2，xn），事件“X1x1，X2x2， Xnxn”有著確定的概率，則稱n個隨機(jī)變量（X1，X2，Xn）總體為一個n元隨機(jī)變量。un元隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義： n元函數(shù)uF（ x1，x2，xn ）= P(X1x1，X2x2， Xnxn)u（x1，x2，xn）屬Rn，為n元隨機(jī)變量分布函數(shù)。u離散二元隨機(jī)變量的定義：如果二元隨機(jī)變量（X,Y）所有可能取值為有限或可列多個，并且以確定的概率取各個不同數(shù)值，則稱（X,Y）為二元隨機(jī)變

20、量。2022-6-636(X，Y)的聯(lián)合分布表和聯(lián)合分布函數(shù)u(X，Y)為離散型的二元隨機(jī)變量，通常用聯(lián)合分布函數(shù)與聯(lián)合分布表表示。(X,Y)的概率分布表X Yy1y2yjX的邊際分布x1p11p12p1jp1.x2p21p22p2jp2.xipi1pi2pijpi.Y的邊際分布p.1p.2p.j1稱 p(X=xi,Y=yj)=pij (i,j=1,2,.)為(X,Y)的概率分布上式也稱為(X,Y)的聯(lián)合分布。2022-6-637離散二元分布函數(shù)的示例u例6 同一品種的5個產(chǎn)品中，有2個正品，3個次品，每次從中抽取一個進(jìn)行質(zhì)量檢查，不放回的抽取，連續(xù)兩次。令“Xi=0”表示第i次抽取到正品，而

21、“Xi=1”表示第i次抽取到次品，寫出(X1,X2)的分布。u解 p(X1=0,X2=0)= p(X1=0)P(X2=0)=(2/5)(1/4)=1/10u p(X1=0,X2=1)=p(X1=0)P(X2=1)=(2/5)(3/4)=3/10u p(X1=1,X2=0)=p(X1=1)P(X2=0)=(3/5)(2/4)=3/10u p(X1=1,X2=1)=p(X1=1)P(X2=1)=(3/5)(2/4)=3/10(X1,X2)的概率分布表X1 X201X1邊際分布01/103/102/513/103/103/5X2邊際分布2/53/512022-6-638連續(xù)二元隨機(jī)變量的定義 bad

22、cxydxdyyxdYcbXapdcbadsdttsyxyxyxYXyxYXdsdttsyxFyxyxFYXyx,1,20,1,),(,),(,有顯然，對于任意實(shí)數(shù)）（，）對于一切實(shí)數(shù)（的性質(zhì)：的聯(lián)合密度函數(shù)。與為稱。是二元連續(xù)型隨機(jī)變量則稱都有：，對于任意實(shí)數(shù)的分布函數(shù)，使得二元變量如果存在一個非負(fù)函數(shù)2022-6-639三、獨(dú)立性u（一）事件的獨(dú)立性u（二）隨機(jī)變量的獨(dú)立性2022-6-640（一）事件的獨(dú)立性u定義1.12事件的獨(dú)立性的定義u如果事件A發(fā)生的可能性不受事件B發(fā)生與否的的影響，即P(A/B)=P(A)，則稱事件A對于事件B獨(dú)立。u顯然，若事件A對于事件B獨(dú)立，事件B對于事件

23、A也一定獨(dú)立，我們稱事件A與事件B相互獨(dú)立。uA與B獨(dú)立的充分必要條件是：u P（AB）=P（A）P（B）2022-6-641（二）隨機(jī)變量的獨(dú)立性u定義1.13隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義u 對于任何實(shí)數(shù)x,y，如果二元隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)等于X和Y的邊際分布的乘積，即u F(x,y) = FX(x) . FY(y)u則稱X與Y相互獨(dú)立。u定義1.14邊際分布的定義u離散型二元隨機(jī)變量(X,Y)中，分量X（或Y）的概率分布稱為(X,Y)的關(guān)于X（或Y）的邊際分布，邊際分布又稱邊緣分布。2022-6-642四、隨機(jī)變量函數(shù)的概念和分布u定義1.15 隨機(jī)變量函數(shù)的定義u 設(shè)f

24、(x)是定義在隨機(jī)變量X的一切可能取值集合上的函數(shù)。如果對于X的每一個可能值x，都有另一個隨機(jī)變量Y的取值y=f(x)與之相對應(yīng)，則稱Y為X的函數(shù)，記作Y=f(X)。u 我們常常遇到一些隨機(jī)變量，它們的分布往往難于直接得到（例如滾珠體積的測量值等），但與它們有關(guān)系的另一個隨機(jī)變量的分布卻是容易知道的（如滾珠直徑的測量值）。因此，就要研究兩個隨機(jī)變量之間的關(guān)系，然后通過它們之間的關(guān)系，由已知隨機(jī)變量的分布求出與之有關(guān)的其它隨機(jī)變量的分布。其間的關(guān)系通常用函數(shù)關(guān)系表示。2022-6-643第二節(jié) 對總體的描述隨機(jī)變量的數(shù)字特征u一、數(shù)學(xué)期望u二、方差u三、數(shù)學(xué)期望與方差的圖示2022-6-644一

25、、數(shù)學(xué)期望u研究數(shù)字特征的必要性u兩個最重要的數(shù)字特征u（1）數(shù)學(xué)期望u（2）方差2022-6-645研究數(shù)字特征的必要性u總體就是一個隨機(jī)變量。對總體的描述就是對隨機(jī)變量的描述。隨機(jī)變量的分布就是對隨機(jī)變量最完整的描述。但是，u（1）求出總體的分布往往不是一件容易的事情；u（2）而且，在很多情況下，我們并不需要全面考察隨機(jī)變量的變化情況，只需要了解總體的一些綜合指標(biāo)。一般說來，常常需要了解總體的一般水平和它的離散程度；u（3）如果了解總體的一般水平和離散程度，就已經(jīng)對總體有了粗略的了解了；u（4）在很多情況下，了解這兩個數(shù)字特征還是深入求出總體分布的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。u由此看來，研究隨機(jī)變量的數(shù)字

26、特征是十分必要的。2022-6-646數(shù)學(xué)期望的定義u定義2.1離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義u假定有一個離散型隨機(jī)變量X有n個不同的可能取值x1,x2,xn，而p1,p2,pn是X取這些值相應(yīng)的概率，則這個隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望定義如下：u數(shù)學(xué)期望描述的是隨機(jī)變量（總體）的一般水平。u定義2.2連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義 的數(shù)學(xué)期望。稱為絕對收斂，則，若積分有分布密度函數(shù)若連續(xù)型隨機(jī)變量XdxxxxEdxxxxX 平均數(shù)。的所有可能取值的加權(quán)是隨機(jī)變量實(shí)際上，XXExEniiinnxpxpxpxp122112022-6-647u數(shù)學(xué)期望是最容易發(fā)生的，因而是可以期待的。它反映數(shù)據(jù)集中的趨勢。數(shù)

27、量概率10.10.120.10.230.41.240.20.850.213.3父親釣魚的試驗(yàn)數(shù)學(xué)期望2022-6-648數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)u（1）如果a、b為常數(shù)，則u E(aX+b)=aE(X)+bu（2）如果X、Y為兩個隨機(jī)變量，則u E(X+Y)=E(X)+E(Y)u（3）如果g(x)和f(x)分別為X的兩個函數(shù)，則 u Eg(X)+f(X)=Eg(X)+Ef(X)u（4）如果X、Y是兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量，則u E(X.Y)=E(X).E(Y) 2022-6-649求離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望舉例u例1 甲、乙兩射手在一次射擊中的得分（分別用X、Y表示）的分布率如下：u試比較兩射手的射擊技術(shù)水平，

28、并計算如果二人各發(fā)一彈，他們得分和的估計值。u解 EX=1 0.4+2 0.1+3 0.5=2.1u EY=1 0.1+2 0.6+3 0.3=2.2u E(X+Y)=2.1+2.2=4.3u EXEY 乙射手射擊水平比較高u 二人各發(fā)一彈，得分總和最可能在4.3分左右（即4分或5分）X123P0.40.10.5Y123P0.10.60.32022-6-650二、方差u定義2.4 離均差的定義u 如果隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)存在，稱uX-E(X) 為隨機(jī)變量X的離均差。顯然，隨機(jī)變量離均差的數(shù)學(xué)期望是0，即u E X-E(X) = 0u定義2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量的方差u定義2.5 隨機(jī)變量

29、離均差平方的數(shù)學(xué)期望，叫隨機(jī)變量的方差，記作Var(x),或D(x)。方差的算術(shù)平方根叫標(biāo)準(zhǔn)差。 dxxXVXXxEx2的方差以下式給出：為連續(xù)型隨機(jī)變量，則若 xEExVarxVxxExx2222022-6-651方差的意義u（1）離均差和方差都是用來描述離散程度的，即描述X對于它的期望的偏離程度，這種偏差越大，表明變量的取值越分散。u（2）一般情況下，我們采用方差來描述離散程度。因?yàn)殡x均差的和為0，無法體現(xiàn)隨機(jī)變量的總離散程度。事實(shí)上正偏差大亦或負(fù)偏差大，同樣是離散程度大。方差中由于有平方，從而消除了正負(fù)號的影響，并易于加總，也易于強(qiáng)調(diào)大的偏離程度的突出作用。2022-6-652方差的性質(zhì)

30、u（1）Var(c )=0u（2）Var(c+x)=Var(x )u（3）Var(cx)=c2Var(x)u（4）x,y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則uVar(x+y)=Var(x )+Var(y )=Var(x-y)u（5）Var(a+bx)=b2Var(x)u（6）a,b為常數(shù)，x,y為兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)u（7）Var(x)=E(x2)-(E(x)22022-6-653例2 計算本節(jié)例1中甲射手的方差u例1 甲、乙兩射手在一次射擊中的得分（分別用X、Y表示）的分布率如下：uE(X)=2.1uVar(X)=（- 1.1） 2 0.4+（-0

31、.1）2 0.1+0.92 0.5u = 0.89X123P0.40.10.5Y123P0.10.60.32022-6-654三、數(shù)學(xué)期望與方差的圖示u數(shù)學(xué)期望描述隨機(jī)變量的集中程度，方差描述隨機(jī)變量的分散程度。u1方差同、期望變大 2期望同、方差變小510552022-6-655第三節(jié) 對樣本的描述樣本分布的數(shù)字特征u一、樣本分布函數(shù)u二、樣本平均數(shù)u三、樣本方差2022-6-656一、樣本分布函數(shù) 數(shù)。，稱它們?yōu)闃颖痉植己救萘康膫€數(shù)除以樣個觀察值中不超過等于樣本的這里，令排列為按大小的一組觀察值，把它們?yōu)榭傮w設(shè)nxnxxxnkxnxxFxxxxxxFxxxxxxnnkknnn*1*2*1

32、*1*2*121110,2022-6-657樣本分布函數(shù)舉例隨機(jī)觀察總體X10個數(shù)據(jù)如下及其排序X*X3.22.5-42.5023.22.542X*-40222.52.52.53.23.24求樣本分布函數(shù)。 4142 . 310/92 . 3310/835 . 210/75 . 2210/42010/20410/14010 xxxxxxxxxF2022-6-658二、樣本平均數(shù)u總體的數(shù)字特征是一個固定不變的數(shù)，稱為參數(shù)；樣本的數(shù)字特征是隨抽樣而變化的數(shù)，是一個隨機(jī)變量，稱為統(tǒng)計量。u定義3.1樣本平均數(shù)的定義u樣本平均數(shù)用來描述樣本的平均水平（一般Common）水平。為樣本平均數(shù)。，稱對于樣

33、本niinxxxxnx1211,2022-6-659三、樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差u定義3.2 樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義xxsxxxxxxxxsxxxnnniinsinniiniinininin2122212121212221111111,。來描述樣本離散程度的樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差是用差。分別為樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)以及，稱對于樣本2022-6-660第四節(jié) 隨機(jī)變量的分布總體和樣本的連接點(diǎn)u一、幾種重要的分布u二、各種分布之間的聯(lián)系u三、分布是總體和樣本之間的連接點(diǎn)u學(xué)習(xí)的重點(diǎn)應(yīng)放在確定X服從什么分布，和各種分布的聯(lián)系上。2022-6-661一、幾種重要的分布u如果一個隨機(jī)變量的分布已經(jīng)確定，那么這個隨機(jī)變量的一切

34、性質(zhì)對于我們便都是已知的。因?yàn)殡S機(jī)變量的分布是對隨機(jī)變量最完整的描述。u例如X是廣西十萬大山中樹木的高度， 它的分布函數(shù)為F(x)=P(X=x)。此時，你對任意給定的高度x，都確知不超過這個高度的樹木在整個十萬大山中所占的比例，你還會說整個十萬大山樹木高度的情況不清楚嗎？u再如，已知X服從數(shù)學(xué)期望和方差已知的正態(tài)分布，那么你便了解這個X自身的一切性質(zhì)。可以通過查正態(tài)分布表確定研究中所需的一切數(shù)據(jù)。u分布的數(shù)學(xué)形式和圖形屬“技術(shù)問題”，精力應(yīng)集中于X究竟屬于何種分布上。2022-6-6621.分布u（1） 分布的定義u（2）定理4.1 分布的數(shù)學(xué)期望和方差 。這個積分收斂，且有當(dāng)。這里，分布，記

35、作服從則稱具有密度函數(shù)如果連續(xù)型隨機(jī)變量1, 0000, 0, 0011dxxrrdxrrxrxrxexexxrxrr2rVarrE2022-6-6632. 指數(shù)分布u（1）指數(shù)分布的定義u（2）定理4.2 指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差 00011 . 4xxxxre：指數(shù)分布的密度函數(shù)為分布稱為指數(shù)分布，此時的中如果在定義211VarE2022-6-6643. 2 分布u（1）定義4.3 2 分布的定義u（2）定理4.3分布的和仍然服從分布 0002121,22122222xxnxnnnnrexxn。密度函數(shù)為分布，記作的個自由度分布稱為具有的為正整數(shù)分布。的，服從參數(shù)為則它們的和，相互獨(dú)立，且

36、若rrxxxrxxxnniinni1211, 2 , 1,2022-6-665定理4.3推論： 2 分布的和仍然服從 2 分布u 若X1,X2,Xn相互獨(dú)立，且Xi服從具有ni（i=1,2,，n）個自由度的 2 分布，則它們的和X1+X2+Xn 服從具有 ni 個自由度的 2 分布。2022-6-6664. 正態(tài)分布u定義4.4正態(tài)分布的定義u定理4.4 正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和方差u定義4.5 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 。服從正態(tài)分布，簡記為則稱為常數(shù)，、的概率密度為若連續(xù)型隨機(jī)變量22,02122Nxxe2,VarE方差，正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望 exxN222211 , 010。密度函數(shù)為記作正態(tài)分布，的正態(tài)分布，稱為標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)2022-6-667