數(shù)學建模美國賽葉子的重量

1、2012A Cassify Leaf Shape and Estimate for Leaf MassAbstract本文主要從四方面建立模型解決問題。針對第一問我們主要應用相關聚類分析，首先從24個方面對樹木進行一級聚類，然后針對聚類后的樹木類別再分別從8個方面對該樣本樹木的樹葉進行二級聚類分析，這樣我們便從數(shù)學角度說明了葉子為什么會具有各種形狀。針對第二問我們主要應用葉序和葉鑲嵌理論研究葉子的分布和葉子形狀之間的聯(lián)系，根據(jù)前人已經(jīng)證明了的植物的葉片在其實際的鑲嵌角下，覆蓋面積最大，達到一個最大曝光率的生長模式這一結(jié)論，我們通過網(wǎng)格數(shù)計算出下層樹葉偏轉(zhuǎn)不同角度后它的光合作用面積，在計算出總的

2、光合作用曝光率，從而求出最佳曝光率, 根據(jù)最佳的面積曝光率對比樹葉的排列，二者存在相關性。針對第三問，主要研究樹形與葉形的相關性，在這里我們指定3個指數(shù)，分別就葉形指數(shù)1、2和樹形指數(shù)進行最小二乘法的函數(shù)回歸，研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)二者呈現(xiàn)負相關的趨勢。針對第四問，在前面我們已經(jīng)對葉子的形狀進行了分類，故在建立面積估算的模型時，我們能找到一個具有代表性的葉子進行分析，同時我們考慮到同一棵樹葉子的年齡結(jié)構，密度，大小的因素，建立了求單片葉片質(zhì)量的權重函數(shù)，然后主要采用插值和積分的思想，求出單片葉片的面積，然后利用基于L系統(tǒng)的植物建模改進方法估算參數(shù)，結(jié)合單片葉片的質(zhì)量，從而計算出所有葉片的質(zhì)量。Key w

3、ords：因子分析 R型聚類分析 線性回歸 葉序和葉鑲嵌理論 基于L系統(tǒng)的植物模型Problem backgrounds(introduction)葉片有多種多樣的形狀，例如針形、披針形、橢圓形、條形、扇形等。葉是樹木暴露在空氣中表面積最大的器官，和外界環(huán)境的接觸面積也是最大的，因此，外界環(huán)境條件對葉片的形態(tài)結(jié)構有明顯的影響，樹木在進化過程中適應不同的生態(tài)環(huán)境，形成多種生態(tài)類型的葉。在氣候干燥、土壤水分缺乏的干旱環(huán)境中，樹木為了適應干燥的環(huán)境，旱生樹木葉片的結(jié)構特點主要是朝著降低蒸騰和儲藏水分兩個方面發(fā)展。因此旱生樹木的葉通常較小，以減少葉的蒸騰面積。樹木的生長需要能量，獲得能量主要是靠他們的

4、葉子。樹葉在白天進行光合作用，積累有機物。葉子數(shù)量的增加，有利于有機物的積累和樹木的生長。但葉子數(shù)量的增加葉子重疊的陰影將會增大，葉面積指數(shù)降低，從而減小光合作用對有機物的積累并且增加了呼吸作用對于有機物的消耗。因此在長期影響下，樹木會在葉子數(shù)量和葉面積指數(shù)兩方面達到一種均衡。樹葉的形狀不全是為了使重疊的樹蔭最小化，從而使日光照射最大化，而是為了達到最優(yōu)化的目標。粗壯的枝能夠承受較大的壓力，離分支節(jié)點越遠的分枝越短越細。分枝越細，能承受的葉子重量越小，葉片越小。離地面同一高度上同一等級分枝節(jié)間長度越大，樹葉的形狀越大。離地面低的分枝上的葉子與它同一等級的分枝的葉子相比，由于光照強度弱，故為了增

5、強光合作用葉片較大。因此，樹葉在樹上和樹枝上的分布會影響樹葉的形狀?；谶@樣的生物學背景（葉片與樹木的關系密切相互影響），我們建立數(shù)學模型來完成下列題目：“一棵樹的葉子有多重?”怎么能估計樹的葉子（或者樹的任何其它部分）的實際重量?怎樣對葉子進行分類?建立一個數(shù)學模型來對葉子進行描述和分類。模型要考慮和回答下面的問題： ·為什么葉子具有各種形狀？ · 葉子之間要是將相互重疊的部分最小化，以便可以最大限度的接觸到陽光嗎？樹葉的分布以及樹干和枝杈的體積影響葉子的形狀嗎？·就輪廓來講，葉形（一般特征）是和樹的輪廓以及分枝結(jié)構有關嗎？·你將如何估計一棵樹的葉子質(zhì)

6、量？葉子的質(zhì)量和樹的尺寸特征（包括和外形輪廓有關的高度、質(zhì)量、體積）有聯(lián)系嗎？)Problem analysis通過閱讀完題目后，我們將問題劃分為四個小問題去解決：·對不同形狀的葉子進行分類·研究葉子的分布和葉子形狀之間的聯(lián)系·研究樹的輪廓和葉子的形狀之間的聯(lián)系·計算所有葉子的質(zhì)量針對問題一，首先我們從生物學的角度考慮到，不同物種的樹葉有多種多樣的形狀，是環(huán)境長期影響的結(jié)果，如果直接從葉結(jié)構的指標入手對葉形進行分類，過程將相當繁瑣。在這里我們采用兩次聚類，分別涉及到樣本樹木本身對葉形的影響和葉結(jié)構對樹木的影響。我們首先就24個指標對樣本樹木進行分類，分析

7、聚為一類的樣本樹木的葉片特點，然后針對每一類樣本樹木的葉片的8項指標進行二級聚類，根據(jù)聚類結(jié)果，我們進行分析總結(jié)；針對問題二和三，主要是從研究兩方面事物的相關性入手，研究葉子的分布和葉子形狀之間的聯(lián)系時主要采用葉序和葉鑲嵌理論；研究樹的輪廓和葉子的形狀之間的聯(lián)系時，我們主要借助一些描述樹的輪廓和葉子的形狀的參數(shù)進行先處理后擬合，從而從圖表中觀察相關性；針對問題四，我們先從一個標準葉片入手，利用插值和積分求出單個葉片的面積，同時應用基于L系統(tǒng)的植物建模改進方法，然后分析相關系數(shù)來推算葉片的個數(shù)，從而計算出樹葉的總質(zhì)量。Assumptions·在相同的環(huán)境影響下，同種樹木的形態(tài)基本相似，

8、即同一棵樹的樹葉只有大小的區(qū)別·在樹木的生長過程中，外界營養(yǎng)供給充裕，每個腋芽都能正常生長，且側(cè)枝沒有死亡現(xiàn)象。·在樹木的生長過程中，樹木的分支角度在一定范圍內(nèi)變化。Symbols description變量名稱變量含義第j株樹的第i個性狀的數(shù)據(jù)性狀i在n個觀測值中的平均數(shù)性狀i在n個觀測值中的離差R樹形指數(shù)葉形指數(shù)1葉形指數(shù)2性狀p與q之間的相關系數(shù)某種年齡結(jié)構下單片樹葉的面積某種年齡結(jié)構下樹葉的密度Model design and solving ·Model 1:對樹木的一級聚類和對樹葉的二級聚類聚類原理說明：我們主要就有關樹木的24個變量，對樹木進行分類：

9、首先我們先找到有關樹木的幾項參數(shù)：中央直徑（mid-diameter），胸徑（the DBH），樹高(height of tree)，樹冠直徑(crown diameter)，樹冠長度(Crown length)，冠幅平面積(Crown area)，樹冠表面積(Crown surface area)，樹冠體積(Canopy volume)，冠高比(Crown height)，冠徑比(Crown diameter ratio)，側(cè)枝總數(shù)(The total number of branches)。根據(jù)調(diào)查材料，計算出各株樣木的高徑比（樹高/胸徑），胸高形率（中央直徑/胸徑），冠長（樹高-枝下高）

10、，平均輪間距（冠長/枝輪數(shù)），枝條密度（側(cè)枝總數(shù)/冠長），側(cè)枝長粗比（枝長/枝底徑），相對枝徑（枝底徑/胸徑），冠高比（樹冠直徑/樹高），冠徑比（樹冠直徑/胸徑），并以樹冠直徑，計算冠幅面積；以圓錐體公式，計算樹冠體積和樹冠表面積。在聚類之前，由于24個變量，變量維數(shù)較多，操作較為復雜，因此，我們先進行因子分析，對24個變量進行降維處理，簡便操作的同時不影響聚類結(jié)果。下面我們根據(jù)這24個性狀，用R型聚類法對所獲數(shù)據(jù)進行聚類，原理如下：將n株樣本樹木的m個（m=24）性狀數(shù)值表示為矩陣： 表示第j株樹的第i個性狀的數(shù)據(jù)令和分別表示性狀i在n個觀測值中的平均數(shù)和離差，則可將所有的進行標準化轉(zhuǎn)化，得

11、：則相應的矩陣為：性狀p與q之間的相關系數(shù)為： p,q=1.2m相關矩陣為：=由于相關系數(shù)是相似系數(shù)的一種，因此，可以從相關矩陣出發(fā)，作R型（變量）聚類分析。根據(jù)系統(tǒng)聚類原理，以作為類間參數(shù)，先將m個性狀各自看做一類，選擇最相似的兩類合并為一類（即合并值最大的兩個性狀）。如此反復多次，直至所有性狀全部聚為一類為止。那么，新的類間參數(shù)可由類平均法給出。其公式為：同理，我們就有關樹葉的八項指標進行二級聚類：根據(jù)上面樣本樹木的聚類結(jié)果，我們對聚成一類的樣本樹木的葉子形態(tài)從這八項指標進行聚類分析：縱橫軸比（aspect ratio），矩形度(rectangularity)，面積凹凸比(area con

12、vexity)，周長凹凸比(perimeter convexity )，球狀性(sphericity)，圓形度(circularity)，偏心率(eccent ricity)，形狀參數(shù)(form factor)（該八項幾何特征參數(shù)都具有旋轉(zhuǎn)，平移和尺度不變性）根據(jù)這八項指標的聚類結(jié)果，很好的區(qū)分了葉子的形狀。根據(jù)兩次聚類結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)同類樣本樹木的葉片形狀大體相似，說明樹木本身的形態(tài)對著生樹葉的形態(tài)有一定的影響，這一結(jié)論在生物學角度也是成立的；同時我們還發(fā)現(xiàn)，葉片本身的因素，例如葉脈密度，葉片長度，寬度等對葉片的形狀也產(chǎn)生著不容忽視的影響。綜上我們的模型分別從這兩方面就葉片為何有不同的形狀進行

13、了論述。·Model 2: 葉序和葉鑲嵌理論研究葉子的分布和葉子形狀之間的聯(lián)系葉序：葉在莖上排列的方式稱為葉序。植物體通過一定的葉序，使葉均勻地、適合地排列，充分地接受陽光，有利于光合作用的進行。葉鑲嵌：同一個枝上的葉不論是那一種葉序，葉總是不相重疊而成鑲嵌狀態(tài)進行排列的現(xiàn)象。通過王科等對32科64種被子植物分析，得到了葉序和葉鑲嵌的關系。我們選取其中具有代表性的（三葉輪生夾竹桃）一組如下：葉序代表植物相鄰角鑲嵌角輪生夾竹桃120°60°相鄰角：螺旋周的數(shù)目/葉循環(huán)中的葉數(shù)；鑲嵌角：360°/葉循環(huán)中的葉數(shù)。我們經(jīng)過對樹葉形狀的分析，假設一棵樹上的樹葉形

14、狀參數(shù)基本一致，只是大小的區(qū)分問題。文獻9的方法，已經(jīng)證明了植物的葉片在其實際的鑲嵌角下，覆蓋面積最大，達到一個最大曝光率的生長模式。下圖是他們的一個算法的圖形，通過網(wǎng)格數(shù)計算出下層樹葉偏轉(zhuǎn)不同角度后它的光合作用面積，在計算出總的光合作用曝光率。這是示意圖：Figure 1這是曝光率圖： Figure 2第一層，第二層往往形成了一個極大的曝光生長模式，第三層在若以第二層為基準，應該繼續(xù)旋轉(zhuǎn)60°，此時則與第一層重疊（或者說第一層遮住了第三層），所以樹木為了生長必須增大葉的表面積去接受陽光，也就是產(chǎn)生了比例大的樹葉。但此時的曝光量是否最佳就成了我們要研究的問題了。我們對其方法進行改進，

15、將第一層下的樹葉的面積逐漸增大（觀測實物可發(fā)現(xiàn)樹葉的大小從上到下依次變大），觀測是否相同樹木上的不同大小樹葉的組合達到一個曝光率最大的問題。下圖是我們的示意圖：Figure 3再通過計算面積曝光率可以容易得到此時的排列方式最優(yōu)。如下Figure4所以，這也就解釋了為什么樹木自身的分層會導致樹葉的大小不同。·Model 3: 研究樹的輪廓和葉子的形狀之間的聯(lián)系首先我們定義了樹形指數(shù)R和葉形指數(shù)和： 樹形指數(shù)R= =根據(jù)這些指數(shù)，我們研究兩兩變量間的相關性。分別取，作為因變量，R作為自變量，利用最小二乘法進行一元線性回歸，通過觀察P值的大小（與進行比較），來判定擬合的優(yōu)度。下面給出擬合好

16、的函數(shù)，并檢驗了其準確性。Table1樹編號樹形指數(shù)R葉形指數(shù)11.6430.9780.96821.4491.0020.99831.4041.1121.10941.7001.0141.01551.5651.0161.00761.6441.0231.03371.8161.0091.00981.4831.1521.14991.5771.0041.004101.6740.8990.899111.5601.0021.002121.5740.9640.954131.6301.0321.042141.5881.0451.049151.5861.0221.011根據(jù)表1的數(shù)據(jù)分別就R與，R與進行相關性分析，

17、在這里我們采用的是一元線性回歸，得到方差表，擬合度檢驗表以及圖像，如下：樹形指數(shù)與葉形指數(shù)1的相關性（R與）：Table2ANOVA平方和df均方FSig.回歸.0161.0166.805.022殘差.03113.002總計.04714自變量為 樹形指數(shù)。系數(shù)未標準化系數(shù)標準化系數(shù)tSig.B標準誤Beta樹形指數(shù)-.445.171-.586-2.609.022（常數(shù)）1.716.2686.406.000Figure 5由于上表可以得到：P值為0.022小于0.05，所以拒絕原假設，顯著相關，變量之間的函數(shù)式擬和度良好，函數(shù)關系式為：樹形指數(shù)與葉形指數(shù)1的相關性（R與）：Table3ANOVA

18、平方和df均方FSig.回歸.0151.0155.549.035殘差.03413.003總計.04914自變量為 樹形指數(shù)。系數(shù)未標準化系數(shù)標準化系數(shù)tSig.B標準誤Beta樹形指數(shù)-.423.180-.547-2.356.035（常數(shù)）1.680.2825.957.000Figure 6由于上表可以得到：P值為0.035小于0.05，所以拒絕原假設，顯著相關，變量之間的函數(shù)式擬和度良好，函數(shù)關系式為：綜上兩個擬合函數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)第一個函數(shù)的擬合程度更優(yōu)，因此葉形指數(shù)1與樹形指數(shù)有顯著的負相關。·Model 4:計算所有葉片的質(zhì)量我們在第一問中已經(jīng)對樹木和樹葉進行了一個良好的分類了，

19、也就是說對于某一類的樹木，我們可以選取其具有代表性的樹木形狀（其他樹木形狀與其具有一定的相似程度）和葉形狀為例來估算樹葉的總質(zhì)量。對于樹木：不同種類的樹木具有不同的分枝方式，復制的規(guī)律不同。所以我們就分枝方式進行了分析。樹木大致有以下三種分枝方式：Figure7A：頂芽不斷地向上旺盛的生長，形成粗大的主干。而側(cè)芽也生長成側(cè)枝，側(cè)枝再分枝。單軸分枝的主干一般比較挺直，各級側(cè)枝的生長都不如它。楊樹、水杉等植物均為單軸分枝。B：頂芽形成一段枝條后，停止發(fā)育，由離其較近的兩個對生的腋芽同時發(fā)育為一對對生側(cè)枝，然后這對側(cè)枝上的頂芽、腋芽的生長活動又重復著同樣的過程。丁香、石竹、七葉樹等植物均在此列。C頂

20、芽經(jīng)過一段時間的生長后，生長速度減慢或死亡，或分化為花芽，用頂芽下面的腋芽代替頂芽的生長，形成一段枝條。之后，這種分枝上的頂芽又停止生長，其下面的腋芽又來代替，就這樣重復生長。合軸分枝節(jié)間較短，常呈曲折狀。蘋果樹、梨樹、桃樹、杏樹等大多數(shù)被子植物存在這種分枝方式。我們采用基于L系統(tǒng)的植物建模改進方法，它是由美國生物學家A.L.D于1968年提出，后由S為模擬植物而將其引入計算機圖形學?；贚系統(tǒng)的植物建模改進方法側(cè)重于植物拓撲結(jié)構的表達，試圖用抽象出來的規(guī)則描述植物的形態(tài)及生長規(guī)律。通過觀察樹木的整體發(fā)現(xiàn)，樹木都是由主干 、分枝、樹葉這些基本元素組成。之后按照遞歸規(guī)律，即：主干由主干上分生出第

21、一層分支，再由第一層分支上生出第二層分支，一層層分下去直至樹葉。然而，由于現(xiàn)實中樹木第二層以后的分布往往不具有規(guī)律性，也就是不一定呈現(xiàn)單軸分枝的情形了，但是一般都在一定范圍波動。所以綜上，除了特定參數(shù)外，我們加上了主側(cè)枝長度衰減，主側(cè)枝長度衰減的參數(shù)，這樣與實際更相符。Table4參數(shù)名稱類型范圍主干長度衰減系數(shù)double(0,1)主干寬度衰減系數(shù)double(0,1)側(cè)枝長度衰減系數(shù)double(0,1)側(cè)枝寬度衰減系數(shù)double(0,1)枝條頂?shù)装霃奖萪ouble (0,1) 分支數(shù)int(2,n)層次數(shù)int (0,n) 側(cè)枝角度double(0,90位置分布隨機數(shù)組double(0

22、,1)通過榆樹生長特點的調(diào)整確定了隨機的具體范圍：Table5參數(shù)名稱類型范圍主干長度衰減系數(shù)double(0,1)主干寬度衰減系數(shù)double(0,1)側(cè)枝長度衰減系數(shù)double(0,1)側(cè)枝寬度衰減系數(shù)double(0,1)枝條頂?shù)装霃奖萪ouble (0,1) 分支數(shù)int(3,12)層次數(shù)int (0,6) 側(cè)枝角度double(30,80位置分布隨機數(shù)組double(0,1)最終隨機模擬生成了榆樹的形態(tài)：Figure 8對于樹葉：通過查閱資料，我們選取四種常見樹葉，來求單片樹葉的面積。以榆樹葉為例我們運用插值和積分的思想擬合出上下曲線函數(shù)和，橫坐標范圍為a,b，則由積分法得到面積公

23、式為： (1)如圖9（a）, 圖9（b）插值圖：Figure9（a）實物對比圖：Figure9（b）通過計算可以得到樹葉的面積。函數(shù)見附錄1為了減少誤差，選取N片同棵樹相同高度的樹葉，用同樣的方法計算他們的面積，然后取他們面積的平均值作為每種樹葉的單片葉片的面積值： （2）由于葉片的年齡結(jié)構百分比，大小，密度都存在一定的差異，導致不同層數(shù)的樹葉的葉面積不相同，因此我們在這里將其分為三部分考慮：新年葉，壯年葉，老年葉，上式已經(jīng)得到壯年葉的單片葉片的面積，則用同樣的方法可以計算出新年葉的單片葉片的面積，老年葉的單片葉片的面積。最后得到整棵樹的單片葉子的平均質(zhì)量為： （3）我們選取了十片葉子（Tab

24、le5），Table6葉片編號面積（cm）119.35218.26319.36420.41519.42617.44719.33821.37918.421022.31通過公式（1）（2）（3），計算得到了壯年葉片的面積；同理計算得到 ， 下面我們給出一組參數(shù)表，如下Table7變量名稱數(shù)值19.56711.740215.653657%23%20%0.17 0.14 0.12我們經(jīng)過對樹生長的隨機模擬，得到了N=338564片葉子，則該樹的樹葉總質(zhì)量為：代入數(shù)據(jù)后，=897.1kgWeaknesses and strengths of the model我們對葉形的聚類用了因子分析法，減少了變量的

25、數(shù)目，簡化我們研究的工作量。我們利用少數(shù)幾個公共因子去解釋較多個要觀測變量中存在的復雜關系。我們運用L系統(tǒng)模型抓住了樹木生長的規(guī)律，較好地估計了一棵樹的樹葉的質(zhì)量。對于單片葉子面積的計算，考慮了葉片的年齡結(jié)構百分比，大小，密度，使結(jié)果更接近實際，但是沒有考慮到葉子的蜷曲的影響。由于時間緊迫，我們僅對一些植物進行了模擬，沒有找到大量的數(shù)據(jù)對我們的理論進行驗證。Reference1 M 一項有趣的觀察葉形與樹形的相關 呂政濤 山東省萊蕪市2 M A Correlation Cluster Analysis of Metasequoia Numerical Characters, Lu Xudong

26、 Li Shunwen Xu Dongheng Yan Yizang3 M 西瓜數(shù)量性狀間的相關聚類分析，崔光泉，山東省德州農(nóng)科所4 J 中國西瓜甜瓜，1989，第2期5 M 濕地松數(shù)量性狀間的相關聚類分析，涂忠虞，潘明建，樊叢梅，邱龍廣江蘇省林業(yè)科學研究所6 M Study on simulating virtual growth modeling of Sabian vulgaris 姜真杰7 J 基于L系統(tǒng)的植物建模方法改進，中國圖像圖形學報，20028 M 葉序與葉鑲嵌，王科，張淑華，吉林9 M 葉片空間分布對葉片形狀的影響，李正雄，裘哲勇，馮學蕊，浙江杭州Appendix1：f1=

27、p1*x3 + p2*x2 + p3*x + p4;p1 = -0.000119;p2 = 0.04887;p3 = -6.732;p4 = 321.9;f(x) = p1*x3 + p2*x2 + p3*x + p4p1 = -6.917e-005 p2 = 0.0128 p3 = -0.9604 p4 = 148第一段上方函數(shù)0 145p1 = -6.793e-007 p2 = 0.0003849 p3 = -0.07429 p4 = 5.598 p5 = 81.26f(x) = p1*x4 + p2*x3 + p3*x2 + p4*x + p5下方函數(shù)f(x) = p1*x5 + p2*

28、x4 + p3*x3 + p4*x2 + p5*x + p6p1 = 6.377e-008 (-2.975e-006, 3.102e-006) p2 = -2.928e-005 (-0.001487, 0.001428) p3 = 0.005018 (-0.2666, 0.2766) p4 = -0.3741 (-24.91, 24.16) p5 = 8.201 (-1065, 1081) p6 = 278.9 (-1.79e+004, 1.845e+004)s1= 1.0732e+004第二段上方函數(shù)145 221f(x) = p1*x7 + p2*x6 + p3*x5 + p4*x4 +

29、p5*x3 + p6*x2 + p7*x + p8 p1 = -2.057e-009 p2 = 2.681e-006 p3 = -0.001492 p4 = 0.4597 p5 = -84.66 p6 = 9322 p7 = -5.68e+005 p8 = 1.478e+007s1= 6.8797e+006下方函數(shù)f(x) = p1*x8 + p2*x7 + p3*x6 + p4*x5 + p5*x4 + p6*x3 + p7*x2 + p8*x + p9; p1 = -4.824e-011 p2 = 6.906e-008 p3 = -4.309e-005 p4 = 0.0153 p5 = -3.38 p6 = 476 p7 = -4.17e+004 p8 = 2.078e+006 p9 = -4.51e+007第三段上方函數(shù)221 264f(x) = p1*x7 + p2*x6 + p3*x5 + p4*x4 +