數(shù)學分析第二章

1、第二章第二章 數(shù)列極限數(shù)列極限2.1 數(shù)列極限的概念2.2 收斂數(shù)列的性質2.3 數(shù)列極限存在的條件2.1 數(shù)列極限的概念一、概念的引入二、數(shù)列的定義三、數(shù)列的極限四 、應用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極限的方法一、概念的引入一、概念的引入引例 1 如何用漸近的方法求圓的面積S？ 用圓內接正多邊形的面積近似圓的面積S.A1 A2 A3 A1表示圓內接正6邊形面積,A2表示圓內接正12邊形面積,A3表示圓內接正24邊形面積,An表示圓內接正62n-1邊形面積, , . 顯然n越大, An越接近于S. 因此, 需要考慮當n時, An的變化趨勢. 2 2、截丈問題：、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不

2、竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭”;211 X第一天截下的杖長為第一天截下的杖長為;212122 X為為第第二二天天截截下下的的杖杖長長總總和和;2121212nnXn 天天截截下下的的杖杖長長總總和和為為第第nnX211 1二、數(shù)列的定義例如例如;,2,8 ,4,2n;,21,81,41,21n2n21n注意：注意：1.數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列.可看作一可看作一動點在數(shù)軸上依次取動點在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.數(shù)列是整標函數(shù)數(shù)列是整標函數(shù)).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n1( 1) n;,)1(,34,21, 21nnn )

3、1(1nnn , 333, 33, 3 數(shù)列極限來自實踐，它有豐富的實數(shù)列極限來自實踐，它有豐富的實際背景際背景. .我們的祖我們的祖 先很早就對數(shù)列先很早就對數(shù)列進行了研究，早在戰(zhàn)國時期就有了進行了研究，早在戰(zhàn)國時期就有了極限的概念極限的概念 例例1 戰(zhàn)國時代哲學家莊周所著的戰(zhàn)國時代哲學家莊周所著的莊子莊子.天下篇天下篇引用引用過一句話：過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”也也就是說一根一尺就是說一根一尺 長的木棒，每天截去一半，這樣的過長的木棒，每天截去一半，這樣的過程可以一直無限制的進行下去。將每天截后的木棒排程可以一直無限制的進行下去。將每天截后的

4、木棒排成一列成一列, 如圖所示如圖所示, 三、數(shù)列的極限（c11(k)c11(k)） 其長度組成的數(shù)列為其長度組成的數(shù)列為 n21, 024681000.20.40.60.81隨著隨著n 無限的增加無限的增加, 木棒的長度無限的趨近于零。木棒的長度無限的趨近于零。 1nxn1n21031041051061071081091010101110nxO1n21031041051061071081091010101110nxOnxn11nnxOnnxOnxnnxnnx) 1(nO10111213141516171819202120212223242526272829303130313233343536

5、3738394041n11目標不惟一！.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時的

6、變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限問題問題: 當當 無限增大時無限增大時, 是否無限接近于某一是否無限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1

7、(1,1無無限限接接近近于于無無限限增增大大時時當當nxnnn 問題問題: “無限接近無限接近”意味著什么意味著什么?如何用數(shù)學語言如何用數(shù)學語言刻劃它刻劃它.通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察: 例如 當n無限增大時, 如果數(shù)列xn的一般項xn無限接近于常數(shù)a, 則常數(shù)a稱為數(shù)列xn的極限, 或稱數(shù)列xn收斂a, 記為axnnlim. v數(shù)列極限的通俗定義021limnn1) 1(lim1nnnn021limnn, 1) 1(lim1nnnn. 當n無限增大時, xn無限接近于a . 當n無限增大時, |xna|無限接近于0 . 當n無限增大時, |xna|可以任意小, 要多小就能

8、有多小. 當n增大到一定程度以后, |xna|能小于事先給定的任意小的正數(shù).分析 因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xna|能小于事先給定的任意小的正數(shù), 則當n無限增大時, xn無限接近于常數(shù)a. 當n無限增大時, 如果數(shù)列xn的一般項xn無限接近于常數(shù)a, 則數(shù)列xn收斂a. 下頁v數(shù)列極限的精確定義 設xn為一數(shù)列, 如果存在常數(shù)a, 對于任意給定的正數(shù)e , 總存在正整數(shù)N, 使得當nN 時, 不等式 |xna |NeAAnxn目的：eeeAxANnNAxnnn ,0lim時，有使得自然數(shù)要找到一個NeAeAAe 越來越小，N越來越大！nxn例例1. 1)1(lim1 nnnn

9、證證明明證證1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 e e任給任給,1e e nx要要,1e e n只要只要,1e e n或或所以所以,1e e N取取,時時則當則當Nn e e 1)1(1nnn就就有有. 1)1(lim1 nnnn即即分析: 例1例 1. 證明1) 1(lim1nnnn. 證明 |xn1|ennnn1| 1) 1(|1, 所以1) 1(lim1nnnn. 下頁證證明明 因為e 0, 證證明明 因為e 0, 1eNN, 當 nN 時, 有 N, 當 nN 時, 有 axnnlime 0, NN, 當nN時, 有|xna|e . 對于e 0, 要使|xn1|e , 只要|xn1

10、|nnnn1| 1) 1(|1. e 0, 要使|xn1|e , 只要en1, 即e1n. 利用定義驗證數(shù)列極限，有時遇到的不等式利用定義驗證數(shù)列極限，有時遇到的不等式|xna|不易考慮，往往采用把不易考慮，往往采用把|xna|放大的方法。放大的方法。若能放大到較簡單的式子，就較容易從一個比較簡單若能放大到較簡單的式子，就較容易從一個比較簡單的不等式去尋找項數(shù)指標的不等式去尋找項數(shù)指標N放大的原則：放大的原則： 放大后的式子較簡單放大后的式子較簡單 放大后的式子以放大后的式子以0為極限為極限例例 2 證明證明1lim22 nann證明證明1|1|22 nanxn)(222nanna nan21

11、 )1(22 naan則則若若0 e e故故21max,Nae 則當則當n N時，有時，有nannan22211 e e n11lim22 nann例例3. 證證明明 分析，要使分析，要使 （為簡為簡化，限定化，限定 n只要只要 證證. 當當 n N 時有時有由定由定義義 適當予先限定適當予先限定 nn。是允。是允許許的！但最后取的！但最后取 N 時時要保要保證證nn。343lim22nnnennnn12412343222e12n33,12max, 0eeN取ennnn12412343222343lim22nnn. 例例4.證證明明 （K為為正正實實數(shù)）數(shù)）證證：由于：由于 所以對任意所以對任

12、意0，取，取N= , 當當 nN時時, 便有便有 01limknnkknn101k11ee 01kn01limknn例例5.lim),(CxCCxnnn 證證明明為為常常數(shù)數(shù)設設證證Cxn CC ,成成立立e e ,0 e e任任給給所以所以,0 ,n對于一切自然數(shù)對于一切自然數(shù).limCxnn 說明說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結小結: 用定義證數(shù)列極限存在時用定義證數(shù)列極限存在時,關鍵是任意給關鍵是任意給定定 尋找尋找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 e e例例6. 1, 0lim qqnn其中其中證明證明證證, 0 e e任給任給,0e e nn

13、qx,lnlne e qn,lnlnqNe e 取取,時時則當則當Nn ,0e e nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq則則, 10 q若若,lnlnqne e 例例7.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求求證證且且設設證證, 0 e e任給任給.limaxnn 故故,limaxnn ,nNnNxaae使得當時恒有axaxaxnnn 從從而而有有aaxn aaee e 數(shù)列極限的等價定數(shù)列極限的等價定義義: ) 0( , , , , 0 :1kkaaNnNneeD :2D對對0, ce 3:D 對對任正整數(shù)任正整數(shù).1 , , ,maaNnNmn , , , nNn Naae 四四 收斂的否定收斂的否定: aannlim數(shù)列 na發(fā)散 000,0,naNaaee 0nN,有0000,nNaaee 0nN , 有P26 例7五、五、 無窮小數(shù)列無窮小數(shù)列: v定義 極限為0的數(shù)列稱為無窮小量（無窮小量是指一個極限概念，趨向常數(shù)0）v nxnxn命題1. 的極限為n 是無窮小量. 0axyaxnnn)(nnyaxaa變量有極限的充要條件為它可分解為加一個無窮小量