示范教案(指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)第課時(shí))

1、2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析有了前面的知識儲(chǔ)備,我們就可以順理成章地學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的概念,作指數(shù)函數(shù)的圖象以及研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).教材為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之外就感受到指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景,先給出兩個(gè)具體例子:GDP的增長問題和碳14的衰減問題.前一個(gè)問題,既讓學(xué)生回顧了初中學(xué)過的整數(shù)指數(shù)冪,也讓學(xué)生感受到其中的函數(shù)模型,并且還有思想教育價(jià)值.后一個(gè)問題讓學(xué)生體會(huì)其中的函數(shù)模型的同時(shí),激發(fā)學(xué)生探究分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、無理數(shù)指數(shù)冪的興趣與欲望,為新知識的學(xué)習(xí)作了鋪墊.本節(jié)安排的內(nèi)容蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法,如推廣的思想(指數(shù)冪運(yùn)算律的推廣)、類比的思想、逼近的思想(有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪

2、)、數(shù)形結(jié)合的思想(用指數(shù)函數(shù)的圖象研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì))等,同時(shí),編寫時(shí)充分關(guān)注與實(shí)際問題的結(jié)合,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn),教學(xué)中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量,盡量利用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情景,為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持.三維目標(biāo)1.通過實(shí)際問題了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景,理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義,根據(jù)圖象理解和掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),體會(huì)具體到一般數(shù)學(xué)討論方式及數(shù)形結(jié)合的思想.2.讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)來自生活,數(shù)學(xué)又服務(wù)于生活的哲理.培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和科學(xué)正確的計(jì)算能力.3.通過訓(xùn)練點(diǎn)評,讓學(xué)生更能熟練指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì).展示函數(shù)圖象,讓學(xué)生通過觀察,進(jìn)

3、而研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡潔美和統(tǒng)一美.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)及其應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的歸納、概括及其應(yīng)用.課時(shí)安排3課時(shí)教學(xué)過程第1課時(shí) 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)導(dǎo)入新課思路1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的,寫出存留污垢y與漂洗次數(shù)x的關(guān)系式,它是函數(shù)關(guān)系式嗎？若是,請計(jì)算若要使存留的污垢不超過原有的,則至少要漂洗幾次？教師引導(dǎo)學(xué)生分析,列出關(guān)系式y(tǒng)=()x,發(fā)現(xiàn)這個(gè)關(guān)系式是個(gè)函數(shù)關(guān)系且它的自變量在指數(shù)的位置上,這樣的函數(shù)叫指數(shù)函數(shù),引出本節(jié)課題.思路2.教師復(fù)習(xí)提問指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),并要求學(xué)生計(jì)算23,20,2-2,16,27,49.再提問怎樣畫函

4、數(shù)的圖象,學(xué)生思考,分組交流,寫出自己的答案8,1, ,2,9,先建立平面直角坐標(biāo)系,再描點(diǎn),最后連線.點(diǎn)出本節(jié)課題.思路3.在本章的開頭,問題（2）中時(shí)間t和碳14含量P的對應(yīng)關(guān)系P=()t,如果我們用x表示時(shí)間,y表示碳14的含量,則上述關(guān)系可表示為y=()x,這是我們習(xí)慣上的函數(shù)形式,像這種自變量在指數(shù)的位置上的函數(shù),我們稱為指數(shù)函數(shù),下面我們給出指數(shù)函數(shù)的確切概念,從而引出課題.推進(jìn)新課新知探究提出問題1.一種放射性物質(zhì)不斷衰減為其他物質(zhì),每經(jīng)過一年剩留量約是原來的84%,求出這種物質(zhì)經(jīng)過x年后的剩留量y與x的關(guān)系式是_.(y=0.84x)2.某種細(xì)胞分裂時(shí),由一個(gè)分裂成兩個(gè),兩個(gè)分裂

5、成四個(gè),四個(gè)分裂成十六個(gè),依次類推,一個(gè)這樣的細(xì)胞分裂x次后,得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y與x的關(guān)系式是_.(y=2x)提出問題(1)你能說出函數(shù)y=0.84x與函數(shù)y=2x的共同特征嗎?(2)你是否能根據(jù)上面兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式給出一個(gè)一般性的概念?(3)為什么指數(shù)函數(shù)的概念中明確規(guī)定a0,a1?(4)為什么指數(shù)函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集?(5)如何根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義判斷一個(gè)函數(shù)是否是一個(gè)指數(shù)函數(shù)？請你說出它的步驟.活動(dòng)：先讓學(xué)生仔細(xì)觀察,交流討論,然后回答,教師提示點(diǎn)撥,及時(shí)鼓勵(lì)表揚(yáng)給出正確結(jié)論的學(xué)生,引導(dǎo)學(xué)生在不斷探索中提高自己的應(yīng)用知識的能力,教師巡視,個(gè)別輔導(dǎo),針對學(xué)生共性的問題集中解決.問題(1)看這兩個(gè)

6、函數(shù)的共同特征,主要是看底數(shù)和自變量以及函數(shù)值.問題(2)一般性的概念是指用字母表示不變化的量即常量.問題(3)為了使運(yùn)算有意義,同時(shí)也為了問題研究的必要性.問題(4)在(3)的規(guī)定下,我們可以把a(bǔ)x看成一個(gè)冪值,一個(gè)正數(shù)的任何次冪都有意義.問題(5)使學(xué)生回想指數(shù)函數(shù)的定義,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義判斷一個(gè)函數(shù)是否是一個(gè)指數(shù)函數(shù),緊扣指數(shù)函數(shù)的形式.討論結(jié)果：(1)對于兩個(gè)解析式我們看到每給自變量x一個(gè)值,y都有唯一確定的值和它對應(yīng),再就是它們的自變量x都在指數(shù)的位置上,它們的底數(shù)都大于0,但一個(gè)大于1,一個(gè)小于1.0.84與2雖然不同,但它們是兩個(gè)函數(shù)關(guān)系中的常量,因?yàn)樽兞恐挥衳和y.(2)對于

7、兩個(gè)解析式y(tǒng)=0.84x和y=2x,我們把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系中的常量用一個(gè)字母a來表示,這樣我們得到指數(shù)函數(shù)的定義:一般地,函數(shù)y=ax(a0,a1)叫做指數(shù)函數(shù),其中x叫自變量,函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R.(3)a=0時(shí),x0時(shí),ax總為0;x0時(shí),ax沒有意義.a0,a1.此解釋只要能說明即可,不要深化.(4)因?yàn)閍0,x可以取任意的實(shí)數(shù),所以指數(shù)函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R.(5)判斷一個(gè)函數(shù)是否是一個(gè)指數(shù)函數(shù),一是看底數(shù)是否是一個(gè)常數(shù),再就是看自變量是否是一個(gè)x且在指數(shù)位置上,滿足這兩個(gè)條件的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù).提出問題(1)前面我們學(xué)習(xí)函數(shù)的時(shí)候,根據(jù)什么思路研究函數(shù)的性質(zhì),對指數(shù)函數(shù)呢?(2)前面我

8、們學(xué)習(xí)函數(shù)的時(shí)候,如何作函數(shù)的圖象?說明它的步驟.(3)利用上面的步驟,作函數(shù)y=2x的圖象.(4)利用上面的步驟,作函數(shù)y=()x的圖象.(5)觀察上面兩個(gè)函數(shù)的圖象各有什么特點(diǎn),再畫幾個(gè)類似的函數(shù)圖象,看是否也有類似的特點(diǎn)?(6)根據(jù)上述幾個(gè)函數(shù)圖象的特點(diǎn),你能歸納出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)嗎?(7)把y=2x和y=()x的圖象,放在同一坐標(biāo)系中,你能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)圖象的關(guān)系嗎?(8)你能證明上述結(jié)論嗎?(9)能否用y=2x的圖象畫y=()x的圖象?請說明畫法的理由.活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧需要研究的函數(shù)的那些性質(zhì),共同討論研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的方法,強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合,強(qiáng)調(diào)函數(shù)圖象在研究函數(shù)性質(zhì)中的作用,注意從

9、具體到一般的思想方法的運(yùn)用,滲透概括能力的培養(yǎng),進(jìn)行課堂巡視,個(gè)別輔導(dǎo),投影展示畫得好的部分學(xué)生的圖象,同時(shí)投影展示課本表21,22及圖2.12,2.13及2.14,及時(shí)評價(jià)學(xué)生,補(bǔ)充學(xué)生回答中的不足.學(xué)生獨(dú)立思考,提出研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的思路,獨(dú)立畫圖,觀察圖象及表格,表述自己的發(fā)現(xiàn),同學(xué)們相互交流,形成對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識,推薦代表發(fā)表本組的集體的認(rèn)識.討論結(jié)果：(1)我們研究函數(shù)時(shí),根據(jù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì),由具體到一般,一般要考慮函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性,有時(shí)也通過畫函數(shù)圖象,從圖象的變化情況來看函數(shù)的性質(zhì).(2)一般是列表,描點(diǎn),連線,借助多媒體手段畫出圖象,用計(jì)算機(jī)作函數(shù)的圖

10、象.(3)列表.x-3.00-2.50-2.00-1.50-1.000.000.501.001.502.00y=2x124作圖如圖2-1-2-1圖2-1-2-1(4)列表.x-2.50-2.00-1.50-1.000.001.001.502.002.50y=()x124作圖如圖2-1-2-2圖2-1-2-2(5)通過觀察圖2121,可知圖象左右延伸,無止境說明定義域是實(shí)數(shù).圖象自左至右是上升的,說明是增函數(shù),圖象位于x軸上方,說明值域大于0.圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,1）,且y值分布有以下特點(diǎn),x0時(shí)0y0時(shí)y1.圖象不關(guān)于x軸對稱,也不關(guān)于y軸對稱,說明函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).通過觀察圖2122

11、,可知圖象左右延伸,無止境說明定義域是實(shí)數(shù).圖象自左至右是下降的,說明是減函數(shù),圖象位于x軸上方,說明值域大于0.圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,1）,x1,x0時(shí)0y1和0a,a1),y=(-4)x,y=x,y=6x3+2.活動(dòng)：學(xué)生觀察,小組討論,嘗試解決以上題目,學(xué)生緊扣指數(shù)函數(shù)的定義解題,因?yàn)閥=x2,y=24x,y=6x3+2都不符合y=ax的形式,教師強(qiáng)調(diào)y=ax的形式的重要性,即a前面的系數(shù)為1,a是一個(gè)正常數(shù)（也可是一個(gè)表示正常數(shù)的代數(shù)式）,指數(shù)必須是x的形式或通過轉(zhuǎn)化后能化為x的形式.解：y=8x,y=(2a-1)x(a,a1),y=(-4)x,y=x是指數(shù)函數(shù);y=x2,y=24x,y=6

12、x3+2不是指數(shù)函數(shù).變式訓(xùn)練函數(shù)y=23x,y=ax+k,y=a-x,y=()-2x(a0,a1)中是指數(shù)函數(shù)的有哪些?答案：y=23x=(23)x,y=a-x=()x,y=()-2x=()-2x是指數(shù)函數(shù).例2比較下列各題中的兩個(gè)值的大小:（1）1.72.5與1.73;(2)0.8-0.1與0.8-0.2;(3)1.70.3與0.93.1.活動(dòng)：學(xué)生自己思考或討論,回憶比較數(shù)的大小的方法,結(jié)合題目實(shí)際,選擇合理的,再寫出（最好用實(shí)物投影儀展示寫得正確的答案）,比較數(shù)的大小,一是作差,看兩個(gè)數(shù)差的符號,若為正,則前面的數(shù)大;二是作商,但必須是同號數(shù),看商與1的大小,再?zèng)Q定兩個(gè)數(shù)的大小;三是計(jì)

13、算出每個(gè)數(shù)的值,再比較大小;四是利用圖象;五是利用函數(shù)的單調(diào)性.教師在學(xué)生中巡視其他學(xué)生的解答,發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)糾正并及時(shí)評價(jià).解法一：用數(shù)形結(jié)合的方法,如第（1）小題,用圖形計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出y=1.7x的圖象,如圖2-1-2-4.圖2-1-2-4在圖象上找出橫坐標(biāo)分別為2.5、3的點(diǎn),顯然,圖象上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)在橫坐標(biāo)為2.5的點(diǎn)的上方,所以1.72.51.73,同理0.8-0.10.93.1.解法二：用計(jì)算器直接計(jì)算：1.72.53.77,1.734.91,所以1.72.51.73.同理0.8-0.10.93.1.解法三：利用函數(shù)單調(diào)性,1.72.5與1.73的底數(shù)是1.7,它們可以看成函數(shù)

14、y=1.7x,當(dāng)x=2.5和3時(shí)的函數(shù)值；因?yàn)?.71,所以函數(shù)y=1.7x在R上是增函數(shù),而2.53,所以1.72.51.73；0.8-0.1與0.8-0.2的底數(shù)是0.8,它們可以看成函數(shù)y=0.8x,當(dāng)x=-0.1和-0.2時(shí)的函數(shù)值；因?yàn)?0.8-0.2,所以0.8-0.11,0.93.10.93.1.點(diǎn)評：在第（3）小題中,可以用解法一、解法二解決,但解法三不適合.由于1.70.3與0.93.1不能直接看成某個(gè)函數(shù)的兩個(gè)值,因此,在這兩個(gè)數(shù)值間找到1,把這兩數(shù)值分別與1比較大小,進(jìn)而比較1.70.3與0.93.1的大小,這里的1是中間值.思考在上面的解法中你認(rèn)為哪種方法更實(shí)用?活動(dòng)：

15、學(xué)生對上面的三種解法作比較,解題有法但無定法,我們要采取多種解法,在多種解法中選擇最優(yōu)解法,這要通過反復(fù)練習(xí),強(qiáng)化來實(shí)現(xiàn).變式訓(xùn)練1.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,按大小順序排列a,b,c.答案：bac(a、b可利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較,而c是大于1的).2.比較a與a的大小（a0且a0）.答案：分a1和0a1兩種情況討論.當(dāng)0aa;當(dāng)a1時(shí),a0且y1.(2)因?yàn)?|x|0,所以只有x=0.因此函數(shù)y=()的定義域是xx=0.而y=()=()0=1,即函數(shù)y=()的值域是yy=1.(3)令0,得0,即0,解得x-1或x1,因此函數(shù)y=10的定義域是xx0.變式訓(xùn)練求

16、下列函數(shù)的定義域和值域:(1)y=();(2)y=;(3)y=ax-1(a0,a1).答案：(1)函數(shù)y=()的定義域是R,值域是,+）;(2)函數(shù)y=的定義域是,+）,值域是0,+）;(3)當(dāng)a1時(shí),定義域是x|x0,當(dāng)0a30.7;對(2)因?yàn)?.75-0.1=1.029186,0.750.1=0.971642,所以0.75-0.10.750.1;對(3)因?yàn)?.80.6=1.422864,0.81.6=0.699752,所以1.80.60.81.6;對(4)因?yàn)?)=2.080084,2=0.659754,所以()2.解法二：利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對兩個(gè)數(shù)進(jìn)行大小的比較:對(1)因?yàn)楹瘮?shù)y=

17、3x在R上是增函數(shù),0.80.7,所以30.830.7;對(2)因?yàn)楹瘮?shù)y=0.75x在R上是減函數(shù),0.1-0.1,所以0.75-0.10.750.1;對(3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知1.80.61.80=1=0.800.81.6,所以1.80.60.81.6;對(4)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知()()0=1=202,所以()2.解法三:利用圖象法來解,具體解法略.點(diǎn)評：在利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對兩個(gè)數(shù)進(jìn)行大小比較時(shí),首先把這兩個(gè)數(shù)看作指數(shù)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較.若兩個(gè)數(shù)不是同一函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值,則尋求一個(gè)中間量,兩個(gè)數(shù)都與這個(gè)中間量進(jìn)行比較,這是常用的比較數(shù)的大小的方法,然后得兩個(gè)數(shù)的大

18、小,數(shù)學(xué)上稱這種方法為“中間量法”.變式訓(xùn)練比較與(a0,a1,nN*,n2)的大小關(guān)系.解：因?yàn)?a,=a,而nN*，n2,所以=0,即.因此：當(dāng)a1時(shí)aa，即；當(dāng)0a1時(shí)aa,即.知能訓(xùn)練課本P58練習(xí) 1、2.【補(bǔ)充練習(xí)】1.下列關(guān)系中正確的是( )A.()()() B.()()()C.()()() D.()()0,a1)對任意的實(shí)數(shù)x,y都有( )A.f(xy)=f(x)f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y)C.f(x+y)=f(x)f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y)答案：C3.函數(shù)y=ax+5+1(a0,a1)恒過定點(diǎn)_.答案：（-5,2）拓展提升探究一：在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=2x,y=3x,y=10x的圖象,比較這三個(gè)函數(shù)增長的快慢.活動(dòng)：學(xué)生深刻回顧作函數(shù)圖象的方法,交流作圖的體會(huì).列表、描點(diǎn)、連線,作出函數(shù)y=2x,y=3x,y=10x的圖象,如圖2-1-2-6.x-2-1012310y=2x0.250.512481024y=3x0.110.331392759049y=10x0.010.111010010001010圖2-1-2-6從表格