第一章量子力學(xué)基礎(chǔ)知識-4

1、假設(shè) ：態(tài)迭加原理 假設(shè)：如果y1, y2, .,yn是一個微觀體系的可能狀態(tài)，那么它們線性組合所得的狀態(tài)y也是該體系可能存在的狀態(tài)。 c1,c2, ., cn為任意常數(shù)，稱為線性組合系數(shù)iiinnccccyyyyy.2211本征態(tài)物理量的平均值 如果y1, y2, .,yn是對應(yīng)的本證值分別為a1, a2, .,an當(dāng)體系處于y并且已經(jīng)歸一化，物理量A的平均值為 iiiiiiiiiaccAcdAa2*|)()(yyyy非本征態(tài)物理量的平均值 如果y不是物理量A算符的本狀態(tài)，物理量A的平均值為yydAa*1.3 量子力學(xué)的簡單應(yīng)用一維勢箱中粒子的薛定諤方程及解 舉例說明如何用量子力學(xué)的原理、方

2、法和步驟來處理微觀體系的運動狀態(tài)及相關(guān)物理量一維勢箱中粒子的薛定諤方程及解 一維勢箱中粒子： 一質(zhì)量為m，在一維方向上運動的粒子，受如圖所示勢能限制。lxlxxV0, 00,和把粒子限制在區(qū)域中運動，其中V=0在，區(qū)域中，粒子不會出現(xiàn)，概率為0，y為0一維勢箱中粒子的薛定諤方程及解VEVVVhmx)(082222yy在，區(qū)域中，VHamilton算符：082222mVhxyyVdxdmhH82222yyyEVdxdmh22228一維勢箱中粒子的薛定諤方程及解 薛定諤方程為：yyEdxdmh22228082222yyhmEdxd2228hmE設(shè)0222yydxd二階齊次方程xcxcysincos

3、21在區(qū)域中， V0一維勢箱中粒子的薛定諤方程及解0)(, 0)0(lyyxcxcysincos21品優(yōu)波函數(shù)的連續(xù)性和單值條件:x=0:0010sin0cos)0(2121ccccyx=l:0sin)(2lcly0, 021ccxcysin2nl 02c一維勢箱中粒子的薛定諤方程及解2222228lnhmEln,.3 , 2 , 18222nmlhnE波函數(shù)：nl xlncysin2n不能為不能為0 0，也不能為負值，也不能為負值一維勢箱中粒子的薛定諤方程及解102ldxy)2sin(4121sin2xxxdxlcdxxlncl21)(sin20222波函數(shù)：12ydxlncysin2由歸一

4、化條件求c2：箱外y0：一維勢箱中粒子的薛定諤方程及解xlncysin2波函數(shù)：lc22,.3 , 2 , 1sin2nxlnly一維勢箱中粒子的薛定諤方程及解,.3 , 2 , 1sin28222nxlnlmlhnEy綜上所述，一維勢箱的波函數(shù)和能級公式如下：x0, xlyx 00 xl這里得到許多y和許多E，我們用量子數(shù)n來標志它，每個n代表可能存在的一種狀態(tài)，En 代表n狀態(tài)下的能量。一維勢箱中粒子的薛定諤方程及解xlnlmlhnEnysin28,.3 , 2 , 1222.3sin28932sin2842sin281322322221221lxlmlhEnlxlmlhEnlxlmlhE

5、nyyy求解結(jié)果討論（1）能量量子化 相鄰兩能級的間隔) 12(888) 1(222222221nmlhmlhnmlhnEEEn求解結(jié)果討論（2）零點能效應(yīng)l能量最低的狀態(tài)為基態(tài)（n=1）l基態(tài)能量為零點能2218mlhE 求解結(jié)果討論（3）波函數(shù)與幾率密度 粒子沒有運動軌道只有幾率分布，y可為正、負，也可為0，這樣的點為節(jié)點，數(shù)目為n-1求解結(jié)果討論 經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)模型比較經(jīng)典力學(xué)量子力學(xué)速度，能量粒子任意運動，速度、動能和能量為任意非負值，能量連續(xù)能量不能任意，量子化能量最小值0h2/8ml2, 零點能，基態(tài)箱中分布箱內(nèi)所有位置都一樣箱中各處粒子的概率密度不均勻，現(xiàn)波形節(jié)點存在節(jié)點很難

6、想象y可為正、負，也可為0，節(jié)點求解結(jié)果討論.3sin28932sin2842sin281322322221221lxlmlhEnlxlmlhEnlxlmlhEnyyyThe properties of the solutions The particle can exist in many states, y1, y2,. yn Quantization energy The existence of zero-point energy. minimum energy (h2/8ml2) There is no trajectory but only probability distribu

7、tion The presence of nodes量子效應(yīng)求解結(jié)果討論,.3 , 2 , 1sin2nxlnly波函數(shù)：0sin2sin2)()(00dxlxmllxnldxxxlmlnyyl 正交：l 歸一： 之前的推導(dǎo)過程中已引入了歸一化條件)cos()cos(21sinsinbababa一維勢箱體系的各種物理量adadadAayyyyyy*l求一微觀體系某狀態(tài)時某物理量的平均值： If the wave function is an eigenfunction of ：一維勢箱體系的各種物理量3sinsin22022ldxlxnxlxnlxl2sinsin20ldxlxnxlxnlxl

8、xx nncxyy（1）粒子在箱中的平均位置：坐標位置的算符:無本征值！求平均值一維勢箱體系的各種物理量nnxcpyy（2）粒子的動量沿x方向的分量px：Y也不是動量算符的本征函數(shù):求平均值02sinsinsinsin2sin20200lxxllxlxnlihlxndlxnlihdxlxndxdihlxnlp一維勢箱體系的各種物理量yycpx2nnxlhnlxnldxdhpyy222222224sin24222224dxdhpx（3）粒子的動量平方值px2：2222222842121mlhnlhnmpmTVTEx有本征值這表明箱中粒子的px2有確定的值：n2h2/4l2The general

9、steps in the quantum mechanical treatment:a.Obtain the potential energy functions followed by deriving the Hamiltonian operator and Schrdinger equation.b. Solve the Schrdinger equation. (obtain yn and En)c.Study the characteristics of the distributions of yn.d. Deduce the values of the various physi

10、cal quantities of each corresponding state. 隧道效應(yīng)Quantum tunnelling 隧道效應(yīng)由微觀粒子波動性所確定的量子效應(yīng)。 考慮粒子運動遇到一個高于粒子能量的勢壘，按照經(jīng)典力學(xué)，粒子是不可能越過勢壘的； 按照量子力學(xué)可以解出除了在勢壘處的反射外，還有透過勢壘的波函數(shù)，這表明在勢壘的另一邊，粒子具有一定的概率，粒子貫穿勢壘。 隧道效應(yīng)Quantum tunnelling隧道效應(yīng)Quantum tunnellingCLASSICAL MECHANICSQUANTUM MECHANICS隧道效應(yīng)Quantum tunnellingReflecti

11、on and tunnelling of an electron wavepacket directed at a potential barrier. The bright spot moving to the left is the reflected part of the wavepacket. A very dim spot can be seen moving to the right of the barrier. This is the small fraction of the wavepacket that tunnels through the classically f

12、orbidden barrier. Also notice the interference fringes between the incoming and reflected waves. 隧道效應(yīng)Quantum tunnelling 隧道效應(yīng)的應(yīng)用-掃描隧道顯微鏡 STM(scanning tunneling microscopy)隧道效應(yīng)Quantum tunnelling 隧道效應(yīng)的應(yīng)用-掃描隧道顯微鏡 STM(scanning tunneling microscopy)例1：丁二烯的離域效應(yīng)丁二烯有4個C原子，4個電子形成， 兩個定域鍵l一個44離域鍵l離域效應(yīng)：粒子活動范圍擴大，

13、能量降低的效應(yīng)例2：花菁染料的吸收光譜 通式為： 總電子： 2m+4 基態(tài)時，這些電子占據(jù) m+2 個分子軌道 吸收適當(dāng)波長的光，可發(fā)生電子從最高占據(jù)軌道（m+2）向最低空軌道（m+3）的躍遷)52(8)2()3(8222222mmlhmmmlhE例2：花菁染料的吸收光譜 通式為：)52(82mmlhhE)52(8)2() 3(8222222mmlhmmmlhEpm5230. 3)52(822mlmhcmlcpm565248ml例2：花菁染料的吸收光譜 通式為： 計算值與實驗值符合得很好：三維勢箱中粒子三維勢箱中粒子 三維勢箱：長寬高分別為a, b, c 箱中： V(x,y,z)=0 箱外：

14、V(x,y,z)=yyEmh2228yyEzyxmh222222228設(shè) )()()(),(zZyYxXzyxyzyxEEEEEXYZXYZzyxmh222222228三維勢箱中粒子XEXxmhx22228EXYZzZXYyYXZxXYZmh222222228EzZZyYYxXXmh222222228zyxEEEzZZyYYxXXmh222222228YEYymhy22228ZEZzmhz22228三維勢箱中粒子axnaxXXEXxmhxxsin2)(82222cznbynaxnabcXYZzyxysinsinsin822222228cnbnanmhEEEEzyxzyxbynbyYYEYymhy