直角三角形三邊的關(guān)系

1、 2002年在北年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（家大會(huì)（）。在那個(gè)）。在那個(gè)大會(huì)上，到處可以大會(huì)上，到處可以看到一個(gè)簡(jiǎn)潔優(yōu)美看到一個(gè)簡(jiǎn)潔優(yōu)美的圖案在流動(dòng)，那的圖案在流動(dòng)，那個(gè)遠(yuǎn)看像旋轉(zhuǎn)的紙個(gè)遠(yuǎn)看像旋轉(zhuǎn)的紙風(fēng)車(chē)的圖案就是大風(fēng)車(chē)的圖案就是大會(huì)的會(huì)標(biāo)會(huì)的會(huì)標(biāo) 那是采用了那是采用了1700多年前中國(guó)古代數(shù)學(xué)多年前中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來(lái)證明勾股定理的弦圖家趙爽用來(lái)證明勾股定理的弦圖abc1. 直角三角形三邊的關(guān)系直角三角形三邊的關(guān)系三角尺三角尺直角邊直角邊a直角邊直角邊b斜邊斜邊c關(guān)系關(guān)系12三角尺直角邊三角尺直角邊a、直角邊、直角邊b、斜邊、斜邊c關(guān)系關(guān)系 測(cè)量你的兩塊直角三角尺測(cè)量你的

2、兩塊直角三角尺的三邊的長(zhǎng)度，并將各邊的長(zhǎng)的三邊的長(zhǎng)度，并將各邊的長(zhǎng)度填入下表：度填入下表：請(qǐng)猜想三邊的長(zhǎng)度請(qǐng)猜想三邊的長(zhǎng)度a、 b、 c之間的關(guān)系之間的關(guān)系 。 P 、 Q 、 R 的面積有什么關(guān)系？的面積有什么關(guān)系？直角三角形三邊有什么關(guān)系？直角三角形三邊有什么關(guān)系？等腰直角三角形中等腰直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 那么在一般的直角三角形中，兩直角邊的平方和是否等于斜邊的平方呢那么在一般的直角三角形中，兩直角邊的平方和是否等于斜邊的平方呢?ABCPQRP+Q=RAC2+BC2=AB2正方形正方形P的面積的面積 平方厘米；平方厘米；正方形正方形Q的

3、面積的面積 平方厘米；平方厘米；正方形正方形R的面積的面積 平方厘米平方厘米正方形正方形P、 Q、 R的面積之間的關(guān)系的面積之間的關(guān)系是是 直角三角形的三邊的長(zhǎng)度之間直角三角形的三邊的長(zhǎng)度之間存在關(guān)系存在關(guān)系 （每一小方格表示（每一小方格表示1平方厘米）平方厘米）91625P+ Q= RAC2+BC2=AB2在一般的直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方在一般的直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方也成立也成立！ 分分“割割”成若干個(gè)直角邊成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形。為整數(shù)的三角形。25144321R 在方格圖中，在方格圖中，用三角尺畫(huà)出兩條用三角尺畫(huà)出兩條直角邊分別為直角邊分別

4、為5cm、 12cm的直角三角形，的直角三角形，然后用刻度尺量出然后用刻度尺量出斜邊的長(zhǎng)，并驗(yàn)證斜邊的長(zhǎng)，并驗(yàn)證關(guān)系關(guān)系“兩直角邊的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方和等于斜邊的平方平方”對(duì)這個(gè)直角對(duì)這個(gè)直角三角形是否成立三角形是否成立5122552+122= 325252= 325成立成立 對(duì)于任意的直角三角形，如果對(duì)于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為它的兩條直角邊分別為a、 b，斜邊為，斜邊為c，那么一定有那么一定有a2b2c2。勾股定理勾股定理揭示了揭示了直角三直角三角形三邊角形三邊之間的關(guān)系之間的關(guān)系 勾股定理：勾股定理：abc直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方直角三角形兩

5、直角邊的平方和等于斜邊的平方a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b 直角三角形兩直角邊的平方和直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方等于斜邊的平方. .做一做：做一做： P62540026xP的面積的面積 =_X=_X=_24322622x24225BACAB=_AC=_BC=_251520求下列圖中表示邊的未知數(shù)求下列圖中表示邊的未知數(shù)x x、y y、z z的值的值. .8181144144x xy yz z625625576576144144169169X=81+1442Y=169-144Z=625-57622X=15Y=5Z=7S1S2S3S4S5S6S7已知S1=

6、1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值結(jié)論結(jié)論:S1+S2+S3+S4=S5+S6=S7比比一一比比看看看看誰(shuí)誰(shuí)算算得得快！快！3.3.求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng): :可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小結(jié)方法小結(jié):8 8x x171716162020 x x12125 5x x例例1如圖14.1.4，將長(zhǎng)為5.41米的梯子AC斜靠在墻上，長(zhǎng)為2.16米，求梯子上端A到墻的底邊的垂直距離（精確到0.01米）在Rt中，.米，米，.米，米，根據(jù)勾股定理可得根據(jù)勾股定理可得 .（米）（米）答：答： 梯子上端梯子上端A到墻的底邊的垂直距離到墻

7、的底邊的垂直距離 約為約為4.96米米 AC2222 . .5.142.16？解解1. 在Rt中， c， a， ACb， B90（1） 已知a6， b10， 求c；（2） 已知a24， c25， 求b3.小波家買(mǎi)了一部新彩電,小波量了電視機(jī)的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕長(zhǎng)58厘米和寬46厘米，就問(wèn)媽媽彩電是多少英寸,媽媽告訴他: “我們平常所說(shuō)的電視機(jī)多少英寸指的是屏幕對(duì)角線的長(zhǎng)度,1英寸等于2.54厘米,利用你所學(xué)的知識(shí)算一下電視機(jī)是多少英寸的?”練習(xí)練習(xí)2. 如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是3厘米和4厘米，那么這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是多少厘米?用四個(gè)完全相同的直角三角形，然后將它們拼成用四個(gè)完全相同的直角

8、三角形，然后將它們拼成如圖所示的圖形如圖所示的圖形大正方形的面積可以表示為大正方形的面積可以表示為 。又可以表示為又可以表示為 對(duì)比兩種表示方法，看看能不能對(duì)比兩種表示方法，看看能不能得到勾股定理的結(jié)論得到勾股定理的結(jié)論(a+b)2=24abC2a2+ b2c2=(a+b)2cab224用四個(gè)完全相同的直角三角形，還可以拼成如圖用四個(gè)完全相同的直角三角形，還可以拼成如圖所示的圖形所示的圖形大正方形的面積可以表示為大正方形的面積可以表示為 。又可以表示為又可以表示為 對(duì)比兩種表示方法，看看能不能得到勾股對(duì)比兩種表示方法，看看能不能得到勾股定理的結(jié)論定理的結(jié)論22)(abc222cbaab2142

9、2)(abcab214= 讀一讀讀一讀 我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為較長(zhǎng)的直角邊稱為股股，斜邊稱為，斜邊稱為弦弦.圖圖1-1稱為稱為“弦圖弦圖”，最早是由三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為，最早是由三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)作法時(shí)給出的作法時(shí)給出的. 弦弦股股勾勾圖1-1 兩千多年前，古希臘有個(gè)哥拉兩千多年前，古希臘有個(gè)哥拉 斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在國(guó)外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯在國(guó)外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念票。年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念票

10、。定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，1955國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前國(guó)家之一。早在三千多年前 兩千多年前，古希臘有個(gè)畢達(dá)哥拉斯兩千多年前，古希臘有個(gè)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在學(xué)派，他們首先發(fā)

11、現(xiàn)了勾股定理，因此在國(guó)外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定國(guó)外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，1955年年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念郵票。希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念郵票。 我國(guó)是最早了解勾股定理的我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一。早在三千多年前，周?chē)?guó)家之一。早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個(gè)直角，如果勾等于三，尺折成一個(gè)直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被記，它被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作周

12、髀算經(jīng)周髀算經(jīng)中。中。a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b 直角三角形兩直角邊的平方和直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方等于斜邊的平方. .勾勾股股弦弦 勾股定理勾股定理( (畢達(dá)哥拉斯定理畢達(dá)哥拉斯定理) ) 如圖，為了求出位于湖兩岸的兩點(diǎn)如圖，為了求出位于湖兩岸的兩點(diǎn)A、 B之間的距離，之間的距離，一個(gè)觀測(cè)者在點(diǎn)一個(gè)觀測(cè)者在點(diǎn)C設(shè)樁，使三角形恰好為直角三角設(shè)樁，使三角形恰好為直角三角形通過(guò)測(cè)量，得到形通過(guò)測(cè)量，得到AC長(zhǎng)長(zhǎng)160米，長(zhǎng)米，長(zhǎng)128米問(wèn)從點(diǎn)米問(wèn)從點(diǎn)A穿過(guò)湖到點(diǎn)穿過(guò)湖到點(diǎn)B有多遠(yuǎn)有多遠(yuǎn)?如圖如圖14.1.9，在直角三角形中，在直角三角形中，AC米，米

13、，米，米，根據(jù)勾股定理可得根據(jù)勾股定理可得 96（米）（米）答：答： 從點(diǎn)從點(diǎn)A穿過(guò)湖到點(diǎn)穿過(guò)湖到點(diǎn)B有有96米米22BCAC22128160 解解例例如圖，大風(fēng)將一根木制旗如圖，大風(fēng)將一根木制旗桿吹裂，隨時(shí)都可能倒下，桿吹裂，隨時(shí)都可能倒下，十分危急。接警后十分危急。接警后“119”119”迅速趕到現(xiàn)場(chǎng)，并決定從迅速趕到現(xiàn)場(chǎng)，并決定從斷裂處將旗桿折斷?，F(xiàn)在斷裂處將旗桿折斷?，F(xiàn)在需要?jiǎng)澇鲆粋€(gè)安全警戒區(qū)需要?jiǎng)澇鲆粋€(gè)安全警戒區(qū)域，那么你能確定這個(gè)安域，那么你能確定這個(gè)安全區(qū)域的半徑至少是多少全區(qū)域的半徑至少是多少米嗎？米嗎？9m24m?1. 如圖，小方格都是邊長(zhǎng)為如圖，小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，求四邊的正方形，求四邊形形D的面積與周長(zhǎng)的面積與周長(zhǎng)練習(xí)練習(xí)2. 假期中，王強(qiáng)和同學(xué)到某海島上去探寶旅游，按假期中，王強(qiáng)和同學(xué)到某海島上去探寶旅游，按照探寶圖（如圖），他們登陸后先往東走照探寶圖（如圖），他們登陸后先往東走8千米，千米，又往北走又往北走2千米，遇到障礙后又往西走千米，遇到