理論力學(xué)復(fù)習(xí)題_B

1、1理論力學(xué)總結(jié)2第10章要求l定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的任意有限位移，可以繞通過固定點(diǎn)的某一軸經(jīng)過一次轉(zhuǎn)動(dòng)來實(shí)現(xiàn)。l定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體有限位移的順序不可交換.l定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體無限小位移的順序可交換.l定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的角位移不能用矢量表示，但無窮小角位移可以用矢量表示。l定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的角速度角加速度可以用矢量表示。l了解歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程.l了解歐拉動(dòng)力學(xué)方程.l自轉(zhuǎn)進(jìn)動(dòng)章動(dòng)概念.定性理論3l定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體上點(diǎn)的速度和加速度公式應(yīng)用;l能計(jì)算定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩;l能計(jì)算定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能;l能計(jì)算陀螺力矩;l能求解與例10-1和例10-2相同題型的問題。l對(duì)高速自轉(zhuǎn)的陀螺，其對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩近似為定量方面第10章要求ozJ

2、L4陀螺近似理論陀 螺： 滿足條件 的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體。xyJJ一、陀螺規(guī)則進(jìn)動(dòng)的條件問題性質(zhì)：已知運(yùn)動(dòng), 求力 。0()cosozzeJJJM即: , 方向沿節(jié)線.oconstM陀螺規(guī)則進(jìn)動(dòng)的基本公式: 已知運(yùn)動(dòng) 力精確結(jié)果xyz x y zo50()cosozzeJJJM即: , 方向沿節(jié)線.oconstM陀螺規(guī)則進(jìn)動(dòng)的基本公式: 已知運(yùn)動(dòng) 力二、萊沙爾(Henri Resal)定理在定系中:ooddtLM定理: 剛體對(duì)固定點(diǎn) o 的動(dòng)量矩 的端點(diǎn)的速度，等于作用于該剛體的所有外力對(duì)同一點(diǎn)的主矩.oL精確結(jié)果6三、陀螺近似理論0()cosozzeJJJM如果:則:0()cosozzeJJJM

3、zJ如果：090則也有：0()cosozzeJJJM zJ7四、陀螺近似理論的萊沙爾解釋相對(duì)于定系:a () axyzijkxxyyzzJJJoLijk() exeyzzJJJijk則當(dāng)剛體作規(guī)則進(jìn)動(dòng)時(shí)， 的矢端劃出一圓。oLxyz x y zo90ozzJJLkoezJJL8當(dāng)剛體作規(guī)則進(jìn)動(dòng)時(shí)， 的矢端劃出一圓。oLxyz zooLddtooLLddtoooLML由萊沙爾定理: zJoL zJoM0()cosozzeJJJM與精確解比較:oezJJL zJoM()(90 )9Cmg例：如圖所示，已知質(zhì)量為m的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)陀螺做規(guī)則進(jìn)動(dòng)( 0為常量)，其質(zhì)心C到球鉸鏈O的距離為L(zhǎng)，該陀螺對(duì)質(zhì)量對(duì)稱

4、軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J，且以 繞 z 軸高速旋轉(zhuǎn)，z 軸與 軸的夾角為 .求：陀螺的進(jìn)動(dòng)角速度 、鉸鏈 O 的約束力在鉛垂方向的分量 和水平方向的分量 F 的大小。要求：畫出受力圖、加速度圖；給出解題基本理論和基本步驟。1zNF解: 1. 取陀螺研究;2. 受力分析:NFF3. 由動(dòng)量矩定理:12sinsinJmgL14. 由動(dòng)量定理(質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理):0NFmg21sinmLF2110zABd0例：質(zhì)量為 m 半徑為 R 的均質(zhì)薄圓盤以勻角速度 繞水平軸 AB 轉(zhuǎn)動(dòng)，AB 軸通過光滑球鉸 A 與鉛垂軸 z 相連接，如圖示。若 AB 軸的長(zhǎng)度為 d=3R 且不計(jì)其質(zhì)量，圓盤作規(guī)則進(jìn)動(dòng)，求水平軸 A

5、B 繞鉛垂軸 z 的進(jìn)動(dòng)角速度大小 以及球鉸鏈 A 水平方向的約束力的大小 . =_； =_。00ABFABF0()cosozzeJJJM陀螺規(guī)則進(jìn)動(dòng)的基本公式: 已知運(yùn)動(dòng) 力精確結(jié)果當(dāng)：0(1)90(2)ozJM11例：確定一個(gè)正方體在空間的位置需要_個(gè)獨(dú)立的參數(shù)。 A：3；B：4；C：5；D：6 .例：在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)的剛性球的自由度是_。 A：3；B：4；C：5；D：6 .12例：如圖所示，定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圓錐在水平固定圓盤上純滾動(dòng)。若圓錐底面中心點(diǎn) D 作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則該圓錐的角速度矢量 與角加速度矢量 的關(guān)系是_ 。A：平行于；B： 垂直于； C：為零矢量；D：為非零矢量。A：平行于A

6、C；B： 垂直于AC且平行于AB； C：垂直于ABC三點(diǎn)確定的平面；D：不能確定。例：如圖所示，定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圓錐在水平固定圓盤上純滾動(dòng)。若圓錐底面中心點(diǎn) D 作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，AC 為圓錐與圓盤接觸的母線。在圖示瞬時(shí)， C 點(diǎn)的加速度矢量 的方向_ 。Ca14例：如圖所示，具有固定點(diǎn) A 的圓錐在固定的圓盤上純滾動(dòng)，圓錐的頂角為90，母線長(zhǎng)為 L，已知圓錐底面中心點(diǎn) D 作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其速度為 v，方向垂直平面 ABC 向外。求圓錐的角速度 、角加速度 和圓錐底面上最高點(diǎn) B 的加速度 的大小。 =_ ， =_， =_。BaBa：自轉(zhuǎn)角速度：進(jìn)動(dòng)角速度16例：若定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體角速度矢量 的大小為非

7、零常量，其方向始終變化，則該剛體的角加速度矢量 可能是_。D： 為非零常矢量。A：；0B： ； ,0 C：；,0 例：圖示薄圓盤半徑為 R，求M點(diǎn)的速度 、轉(zhuǎn)動(dòng)加速度和向軸加速度 的大小。MvRaNaoMaOMv 0() OM 0OM 0MvR0()NMav2200NaR 00()0ROMa 00RaR例：圖示薄圓盤半徑為 R，求M點(diǎn)的速度 、轉(zhuǎn)動(dòng)加速度和向軸加速度 的大小。MvRaNaMMaBMv RBMa aMv19OA例：正棱長(zhǎng)為 L 的正方體形繞 O 點(diǎn)作定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，已知在圖示瞬時(shí)該剛體的角速度 與角加速度 ，求該瞬時(shí)正方體上頂點(diǎn) A 的轉(zhuǎn)動(dòng)加速度的大小 和向軸加速度的大小 . =_；

8、=_ARaARaANaANa20例：正方形剛體繞 O 點(diǎn)作定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，已知在圖示瞬時(shí)其上 A、B兩點(diǎn)的速度方向，如圖所示，則此時(shí)該剛體角速度矢量 平行于_。 A： A、B 兩點(diǎn)連線；B： 平行于 Oz 軸；C： 平行于 Oy 軸；D： 平行于 Ox 軸。OxyzABAvBv21A： 只能確定其角速度矢量所在平面；B： 能求角速度的大小和方向；C： 能求角加速度的大小和方向；D： 能求剛體對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩大小和方向。 OzABAvBv例：已知質(zhì)量為 m 棱長(zhǎng)為 L 的正方形剛體繞 O 點(diǎn)作定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，已知在圖示瞬時(shí)其頂點(diǎn) A、B兩點(diǎn)速度矢量滿足關(guān)系式(垂直于 OAB 平面)方向，且 . 根據(jù)已知條件，

9、能求剛體的哪些物理量？AB vvAuv xyijABOAOBvv,xy 22A： 一定能夠；B： 一定不能夠；C： 不一定能夠。例：若剛體繞 O 點(diǎn)作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，已知某瞬時(shí)其上 A、B 兩點(diǎn)的速度分別為 和 ，且大小均不為零。若 O、A、B 三點(diǎn)均不重合，則_該剛體的角速度。 BvAv原因：若 O、A、B 三點(diǎn)共線。 23例：不論剛體作什么運(yùn)動(dòng)，剛體上任意兩點(diǎn)的速度在兩點(diǎn)連線上的投影_。 A：一定相等；B：一定不相等；C：不一定相等。例：如圖所示，圓盤以勻角速度 繞 CD 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，框架以勻角速度 繞鉛垂軸轉(zhuǎn)動(dòng)。則該定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)圓盤 角速度的大小 =_(方向畫在圖上)， 角加速度的大小 =_(方向畫在

10、圖上)。1z24221z1zz125例：如圖所示，半徑為 R 的圓盤以勻角速度 繞框架上的CD 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，框架以勻角速度 繞鉛垂軸 AB 轉(zhuǎn)動(dòng)。求：圓盤在圖示位置的最高點(diǎn)速度的大小 v，該點(diǎn)的向軸加速度的大小 和轉(zhuǎn)動(dòng)加速度的大小 。 v =_; =_； =_。1zNaNaRaRa26例：如圖所示，圓盤相對(duì)正方形框架 ABCD 以勻角速度 繞 BC 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，正方形框架以勻角速度 繞 AB 軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求該圓盤的絕對(duì)角速度 的大小和絕對(duì)角加速度 的大小。 =_； =_。00227例：如圖所示，圓盤相對(duì)正方形框架 ABCD 以勻角速度每分鐘繞 BC 軸轉(zhuǎn)動(dòng) 2 周，正方形框架以勻角速度每分鐘繞 AB 軸轉(zhuǎn)

11、動(dòng) 2 周。求該圓盤的動(dòng)能及對(duì) B 點(diǎn)的動(dòng)量矩。 2 2rad/s602 2rad/s60=45=0212zJmR221()42xyBCJJmRm28例：勻角速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，其_等物理量一定為常量。 A： 相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩；B： 動(dòng)能；C： 動(dòng)量；D： 對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩。原因：動(dòng)量和動(dòng)量矩是矢量。 29Cmg例：如圖所示，定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)陀螺做規(guī)則進(jìn)動(dòng)(即該陀螺的自轉(zhuǎn)角速度 和進(jìn)動(dòng)角速度 的大小不變，且對(duì)稱軸 z 與鉛垂軸 的夾角 不變)，則該陀螺在運(yùn)動(dòng)過程中，其_保持不變。1z21A： 相對(duì) O 點(diǎn)的動(dòng)量矩；B： 動(dòng)能；C： 動(dòng)量；D： 相對(duì) 軸的動(dòng)量矩。1zE： 相對(duì) z 軸的動(dòng)量矩。

12、30例：質(zhì)心在轉(zhuǎn)軸上的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，當(dāng)其角速度不為零時(shí)，該剛體對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩矢量_。 A： 一定平行于轉(zhuǎn)軸；B： 一定不平行于轉(zhuǎn)軸；C： 不一定平行于轉(zhuǎn)軸。31例：如圖所示，圓柱固連在水平軸 上，并以勻角速度 繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)框架以勻角速度 繞鉛垂軸 CO 轉(zhuǎn)動(dòng)。其中：x,y,z 是圓柱上關(guān)于 點(diǎn)的三個(gè)相互垂直的慣量主軸，且圓柱對(duì)這三根軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 . 則該瞬時(shí)圓柱對(duì) 點(diǎn)的動(dòng)量矩：12OO3O3O,xyzJJJ x z y xJ3_ _ _OLijkcoszJsinyJ32例：如圖所示，正方形框架以勻角速度 繞水平軸 AB 轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)量為 m 半徑為 R 的均質(zhì)圓盤 M 以勻角速度 繞正方

13、形框架上的CD 軸轉(zhuǎn)動(dòng)。且 ，CD 軸到軸承 A、B 的距離皆為 l . 若正方形框架和軸 AB 的質(zhì)量不計(jì)，求框架運(yùn)動(dòng)到鉛垂平面內(nèi)時(shí)，圓盤產(chǎn)生的陀螺力矩的大小 ；以及作用在軸承上的約束力的大小 =_； =_。00gMgMAFAFAF2012gMMR201142AFMRMgl題10-14：題10-17：與例10-2類似。題10-18：求維持圖示運(yùn)動(dòng)所需的 x = ?Am gBm g動(dòng)量矩：212oBm RLoL0ooddtLL由動(dòng)量矩定理：()ooddtLMF2012BBAm Rm gdm gxx35第9、11章要求l能夠利用拉格朗日方程(含第一類)列寫系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程；l能計(jì)算廣義力；l能給

14、出拉格朗日方程的首次積分，并能利用初始條件計(jì)算積分常數(shù)；l能計(jì)算單自由度系統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率，了解共振概念；l能根據(jù)初條件計(jì)算振動(dòng)的振幅與初相位；l了解兩類拉格朗日方程的應(yīng)用場(chǎng)合。gAB6. 質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)可在半徑為 R 的圓環(huán)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，圓環(huán)以常角速度 繞 AB 軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。 為質(zhì)點(diǎn)的廣義坐標(biāo)，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能可表示成 ，其中 (i=0,1,2) 為廣義速度的 i 次齊函數(shù)。求：210TTTTiT2_T 1_T 0_T 2211()(sin )22Tm Rm R21()2m R021(sin )2m R例：質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)圓盤在水平地面上純滾動(dòng)，長(zhǎng)為L(zhǎng)質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB用光

15、滑鉸鏈與圓盤連接，系統(tǒng)在鉛垂平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)如圖所示。不計(jì)空氣阻力和摩擦。求： xABgmgm用系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和廣義速度給出系統(tǒng)的動(dòng)能 T 和勢(shì)能 V (桿在鉛垂位置時(shí)為勢(shì)能零點(diǎn))；若初始時(shí)，桿位于鉛垂位置。=0，圓盤中心A點(diǎn)的速度為u，桿的角速度為零。試給出系統(tǒng)拉格朗日方程的首次積分并確定積分常數(shù)。要求：給出解題的基本理論和基本步驟。 xABg例：滑塊與均質(zhì)圓盤用桿 AB 鉸接在鉛垂平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)如圖所示，其中 AB 桿長(zhǎng)為 l，圓盤半徑為 R，各物件質(zhì)量均為 m . 不計(jì)所有摩擦。求：用系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和廣義速度給出系統(tǒng)的動(dòng)能 T 和勢(shì)能 V ( 桿在鉛垂位置時(shí)為勢(shì)能零

16、點(diǎn))；若初始時(shí)，桿位于鉛垂位置 ，滑塊的速度為u，方向水平向右；圓盤的角速度為 ，轉(zhuǎn)向逆時(shí)針。試給出系統(tǒng)拉格朗日方程的首次積分并確定積分常數(shù)。000,00 xABg例：AB 桿長(zhǎng) l，圓盤半徑 R，各物件質(zhì)量均為m. 不計(jì)所有摩擦。給出系統(tǒng)的動(dòng)能 T 和勢(shì)能 V (桿鉛垂時(shí)勢(shì)能取零)；222222222111cossin22222411cossin24llTmxmxmlmxllmR(1 cos )(1 cos )2lVmgmgl xABg若初始時(shí)，桿位于鉛垂位置。=0，滑塊的速度為u，方向水平向右；圓盤的角速度為。，轉(zhuǎn)向逆時(shí)針。試給出系統(tǒng)拉格朗日方程的首次積分并確定積分常數(shù)。222222222

17、111cossin22222411cossin24(1cos )(1cos )2llLTVmxmxmlmxllmRlmgmgl222222222111cossin22222411cossin24(1cos )(1cos )2llLTVmxmxmlmxllmRlmgmgl有首次積分:12LcxLcTVE1coscos2lmxm xm xlc2212mRc確定積分常數(shù):1coscos2lmxm xm xlc2212mRc222222222111cossin22222411cossin24(1 cos )(1 cos )2llmxmxmlmxllmRlmgmglE初始 , 滑塊速度 u 向右；圓盤角

18、速度 逆時(shí)針。0000,01cmumumu22012cmR222220111102224EmumumumR例：系統(tǒng)在鉛垂平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)如圖所示，其中AB桿長(zhǎng) l，圓盤半徑 R，各物件質(zhì)量均為 m . 不計(jì)所有摩擦。求：用系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和廣義速度給出系統(tǒng)的動(dòng)能 T 和勢(shì)能 V (桿在鉛垂位置時(shí)為勢(shì)能零點(diǎn))；若初始時(shí)，桿位于鉛垂位置 ，滑塊的速度為u，方向水平向右；兩圓盤的角速度均為 ，轉(zhuǎn)向逆時(shí)針。試給出系統(tǒng)拉格朗日方程的首次積分并確定積分常數(shù)。000,00 xABg(1 cos )(1 cos )2lVmgmgl2222222222211 122 211cossin2222411co

19、ssin24TmxmrllmxmlmxllmR xABg123LcxLcLcTVE45解: (1) 以整體為研究對(duì)象；gm(2) 受力分析和運(yùn)動(dòng)分析(3) 利用動(dòng)力學(xué)普遍方程:AogB30P例: 系質(zhì)量為 m 長(zhǎng)為 L 的均質(zhì)桿 OA 和質(zhì)量為 m 長(zhǎng)為 2L 的均質(zhì)桿 AB 用光滑柱鉸連接并懸掛于 O 點(diǎn)，AB 桿的 B 端放在光滑水平面上。若系統(tǒng)初始靜止， OA 桿鉛垂，在鉸鏈 A 上作用一水平推力 P ，求初始時(shí) AB 桿和 OA 桿的角加速度的大小 和 。ABOAgmABOAtBABAaaaBaAa0AB46AogB30Pgmgm加慣性力2OALm2112OAmLOAmL取虛位移Ar(

20、3) 利用動(dòng)力學(xué)普遍方程:21102212AAOAAOAOAArmLPrrmLmLrL34OAPmL例：在同一鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)相同的均質(zhì)桿OA和AB用鉸鏈O和A連接，如圖所示。各桿長(zhǎng)為l，由水平位置無初速釋放，求釋放的初瞬時(shí)兩桿的角加速度。 解：(1) 對(duì)初始位置時(shí)的系統(tǒng)做受力分析，并加上慣性力，設(shè)初始瞬時(shí)兩桿的角加速度均為順鐘向。OAAB,2IOAOAlFm(),2IABOAABlFml21,3IOAOAMml2112IABABMmlIOAFIOAMIABFIABMmgmgIOAFIOAMIABFIABMmgmg(2) 取兩桿的轉(zhuǎn)角 和 為廣義坐標(biāo)。 OAAB(3) 取虛位移0,0ABOA

21、AB022ABIABABIABABllWmgFMIOAFIOAMIABFIABMmgmgOA(3) 取虛位移0,0OAAB02OAIOAOAOAIABOAlWmgMmg lFl 93,77OAABggll F例：初始靜止, 求兩桿的角加速度。 例：拉格朗日方程的循環(huán)積分反映的是質(zhì)點(diǎn)系的_。 A：某個(gè)廣義動(dòng)量守恒；B：廣義能量守恒。例：二自由度線性振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率與系統(tǒng)的_ 有關(guān)。 A：廣義質(zhì)量；B：廣義剛度；C：初始位置；D：初始速度。例：?jiǎn)巫杂啥染€性振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)周期與_有關(guān)。 A：廣義質(zhì)量；B：廣義剛度；C：初始位置；D：初始速度。1km2k2k例：圖示系統(tǒng)的等效彈簧剛度系數(shù)k*=_。

22、例：圖示系統(tǒng)的固有頻率 =_。 212kk212kkmAog例：長(zhǎng)為 l 質(zhì)量為 m 的均質(zhì)桿 OA 用光滑柱鉸鏈懸掛在 o 點(diǎn)，下端與剛度系數(shù)為 k 的水平彈簧連接，桿鉛垂時(shí)彈簧為原長(zhǎng)。求系統(tǒng)在平衡位置附近作微幅擺動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程_。 221 12 3Tml21()(1cos )22lVk lmg2211()22 2lk lmg2211032mlklmglAog例：長(zhǎng)為 l 質(zhì)量為 m 的均質(zhì)桿 OA 用光滑柱鉸鏈懸掛在 o 點(diǎn)，下端與剛度系數(shù)為 k 的水平彈簧連接，桿鉛垂時(shí)彈簧為原長(zhǎng)。求系統(tǒng)在平衡位置附近作微幅擺動(dòng)的固有頻率 =_。 2211032mlklmgl221213klmglml例：質(zhì)量為 m 半徑為 R 的均質(zhì)圓盤可繞其中心水平軸 O 作定軸轉(zhuǎn)動(dòng), 質(zhì)量為 m 的滑塊 A 與圓盤通過鉸鏈用長(zhǎng)為 R 的無質(zhì)量桿 AB 連接，不計(jì)所有摩擦，系統(tǒng)在鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng), 求系統(tǒng)在靜平衡位置附近作微幅振動(dòng)的固有頻率 =_。 oABg2221 11(2 sin )2 22TmRmR 221 12 2mR2 (1cos )VmgR2122mgR例：已知 m, OA=AB=L, 求系統(tǒng)微振動(dòng)固有頻率 xoABg)cos1 (4)sin63