第3章平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜頻域統(tǒng)計(jì)特性

1、2022-6-131平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的譜分析平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的譜分析 2本章要解決的問題本章要解決的問題 v隨機(jī)信號(hào)是否也可以應(yīng)用頻域分析方法隨機(jī)信號(hào)是否也可以應(yīng)用頻域分析方法? v傅里葉變換能否應(yīng)用于隨機(jī)信號(hào)？傅里葉變換能否應(yīng)用于隨機(jī)信號(hào)？ v相關(guān)函數(shù)與功率譜的關(guān)系相關(guān)函數(shù)與功率譜的關(guān)系 v功率譜的應(yīng)用功率譜的應(yīng)用 v采樣定理采樣定理 v白噪聲的定義白噪聲的定義 3一、預(yù)備知識(shí)一、預(yù)備知識(shí)1. 付氏變換付氏變換設(shè)設(shè)x(t)是時(shí)間是時(shí)間t的的非周期信號(hào)非周期信號(hào)，且，且x(t) 滿足滿足 在在 范圍內(nèi)滿足狄利赫利條件范圍內(nèi)滿足狄利赫利條件 )(tx),( 絕對(duì)可積，即絕對(duì)可積，即 )(txdttx )

2、( 信號(hào)的總能量有限，即信號(hào)的總能量有限，即 )(txdttx2)(有限個(gè)極值有限個(gè)極值有限個(gè)斷點(diǎn)有限個(gè)斷點(diǎn)斷點(diǎn)為有限斷點(diǎn)為有限值值3.1 隨機(jī)信號(hào)的譜分析隨機(jī)信號(hào)的譜分析4則則 的傅里葉變換為：的傅里葉變換為： )(txdtetxXtjX)()( 其反變換為：其反變換為： deXtxtjX)(21)(稱稱 為為 的頻譜密度，也簡稱為頻譜。的頻譜密度，也簡稱為頻譜。)(tx)(XX包含：振幅譜包含：振幅譜 相位相位譜譜( )/()jXX e5 5傅里葉級(jí)數(shù)與離散頻譜 周期信號(hào)可分為一個(gè)或幾個(gè)、乃至無窮多個(gè)諧波的迭加。周期信號(hào)可分為一個(gè)或幾個(gè)、乃至無窮多個(gè)諧波的迭加。 圖圖3.1.1 3.1.1

3、 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)分解周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)分解 )(tx t)(A000203時(shí)域)(0頻域 周期信號(hào)的頻譜是離散的62022年6月13日6 傅里葉變換的性質(zhì)1、線性疊加性質(zhì)、線性疊加性質(zhì) 若若 ，則，則2、時(shí)移性質(zhì)、時(shí)移性質(zhì) 若若 ，則，則3、頻移性質(zhì)、頻移性質(zhì) 若若 ，則，則4、時(shí)間伸縮性質(zhì)、時(shí)間伸縮性質(zhì) 設(shè)設(shè) ，a為正實(shí)數(shù)，則為正實(shí)數(shù)，則5、時(shí)間微分性質(zhì)、時(shí)間微分性質(zhì) 若若 ，則，則6、時(shí)間積分性質(zhì)、時(shí)間積分性質(zhì) 若若 ，且，且 ，則，則7、卷積定理、卷積定理 若若 ， ，則，則 及及 )()(11Xtx)()(22Xtx)()()()(22112211XaXatxatxa)()(X

4、tx0)()(0tjeXttx)()(Xtx)()(00 Xetxtj)()(Xtx)(1)(aXaatx)()(Xtx)()(d)(dXjttx)()(Xtx0| )(0X)(1d)(Xjxt)()(11Xtx)()(22Xtx)()()()(2121XXtxtx)()(21)()(2121XXtxtx7常見的傅立葉變換常見的傅立葉變換 t11 2tcos000tsin000 j0, tetj1te222tje00283. 帕塞瓦等式：時(shí)域能量帕塞瓦等式：時(shí)域能量=頻域能量頻域能量dtdeXtxdttxtjX)(21)()(2dtdetxXtjX)()(21dXXXX)()(21*dXX2)

5、(21dXdttxX22)(21)(即即能量譜密能量譜密度度9應(yīng)用截取函數(shù)應(yīng)用截取函數(shù) TtTttxtxT0)()(二、隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度二、隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度10 dTTXEdttXETXTTTT2),(lim21)(21lim22 平均功率平均功率Q 非負(fù)非負(fù)存在存在 dSdttXETQXTTT )(21)(21lim2（1）功率）功率Q為確定值，不是隨機(jī)變量為確定值，不是隨機(jī)變量)( XS（2） 為確定性實(shí)函數(shù)。為確定性實(shí)函數(shù)。注意：注意：22-=( );122TTi RdtWPI RpdRTT 單位電阻( )/()/( )jXXXXXXPfP eP11兩個(gè)結(jié)論：兩個(gè)結(jié)論： )(2t

6、XEAQ1 .21lim.TAT表示時(shí)間平均表示時(shí)間平均 若平穩(wěn)，時(shí)間均方值為：若平穩(wěn)，時(shí)間均方值為：)0()()(22XRtXEtXEAQ dSQX)(2121213功率譜密度：功率譜密度： 描述了隨機(jī)信號(hào)描述了隨機(jī)信號(hào)X(t)的的 功率在各個(gè)不同頻率上的分布功率在各個(gè)不同頻率上的分布 稱為稱為隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)X(t)的功率譜密度。的功率譜密度。 )( XS)( XS對(duì)對(duì) 在在X(t)的整個(gè)頻率范圍內(nèi)積分，的整個(gè)頻率范圍內(nèi)積分，便可得到便可得到X(t)的功率的功率P。 )( XS對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，有：對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，有： 221( )( )( )2XXtE XtSd 均方值：信號(hào)在某瞬時(shí)刻

7、均方值：信號(hào)在某瞬時(shí)刻t的平均功率的平均功率頻率譜密度頻率譜密度X():描述信號(hào)能量在各個(gè)不同頻率上的分布描述信號(hào)能量在各個(gè)不同頻率上的分布14隨機(jī)信號(hào)：平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)隨機(jī)信號(hào)：平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)功率譜密度。功率譜密度。 1. 維納維納辛欽定理辛欽定理 若隨機(jī)信號(hào)若隨機(jī)信號(hào)X(t)是平穩(wěn)的，自相關(guān)函數(shù)是平穩(wěn)的，自相關(guān)函數(shù)R()以及以及 R()絕對(duì)可積，則自相關(guān)函數(shù)與功率譜密絕對(duì)可積，則自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度構(gòu)成一對(duì)付氏變換，即：度構(gòu)成一對(duì)付氏變換，即：deRSjXX)()(deSRjXX)(21)(我們?cè)试S自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度中存在我們?cè)试S自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度中存在函數(shù)函數(shù)

8、三、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系三、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系確定信號(hào)：確定信號(hào)：)()(jXtx信號(hào)信號(hào)頻率譜密度頻率譜密度(頻譜頻譜)15 tX XR XS taX XRa2 XSa2 dttdX XS2 22dRdX nndttXd XnS2 nXnndRd2221 tjetX0 tjXeR00XSX(t)變換的功率譜密度變換的功率譜密度16例例2：平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)為：平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)為 ，A0， ，求隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度。，求隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度。 AeRX)(0 解：應(yīng)將積分按解：應(yīng)將積分按 和和 分成兩部分進(jìn)行分成兩部分進(jìn)行 deAedeAeSjjX00)

9、(0)(0)()(jeAjeAjjjjA11222A1718例例4：設(shè)隨機(jī)信號(hào)：設(shè)隨機(jī)信號(hào) ，其中，其中 皆皆為常數(shù)，為常數(shù)， 為具有功率譜密度為具有功率譜密度 的平穩(wěn)隨的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。求過程機(jī)信號(hào)。求過程 的功率譜密度。的功率譜密度。 ttaXtY0sin)()(0,a)(tX)(XS)(tY解：解： )()(),(tYtYEttRY)(sin)(sin)(00ttaXttaXE2000( )coscos(2)2XaRt dettRASjYY),()(200020( )coscos(2)2( ) cos2jXjXaRAtedaRed )()(4002XXSSa19例例5：設(shè)隨機(jī)信號(hào)：設(shè)隨機(jī)信

10、號(hào) ，其中，其中 是概是概率密度為率密度為 的隨機(jī)變量，的隨機(jī)變量，a和和為實(shí)常數(shù)，為實(shí)常數(shù)，求求X(t)的功率譜密度。的功率譜密度。 tjaetX)( f tXtXERX*)(jeEa2 defaj2 deSRjXX21)( faSX22201. 功率譜密度為非負(fù)的功率譜密度為非負(fù)的,即即 0)(XS3. 功率譜密度是功率譜密度是 的實(shí)函數(shù)的實(shí)函數(shù) 四、平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度四、平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度3. 對(duì)于實(shí)隨機(jī)信號(hào)來說，功率譜密度是對(duì)于實(shí)隨機(jī)信號(hào)來說，功率譜密度是 的偶函數(shù)，的偶函數(shù)，即即)()(XXSS4. 功率譜密度可積，即功率譜密度可積，即 dSX)(213.2 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)

11、信號(hào)的互譜密度聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的互譜密度一、互譜密度一、互譜密度 X(t)、Y(t)各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)22二、互譜密度的性質(zhì)二、互譜密度的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1：)()()(* YXYXXYSSS 性質(zhì)性質(zhì)2： )(Re)(ReXYXYSS)(Re)(ReYXYXSS性質(zhì)性質(zhì)3： )(Im)(ImXYXYSS)(Im)(ImYXYXSS性質(zhì)性質(zhì)5 5： 若若X(t)與與Y(t)不相關(guān)，不相關(guān)，X(t)、Y(t)分分別具有常數(shù)均值別具有常數(shù)均值 和和 ，則，則 XmYm)(2)()(YXYXXYmmSS wSwSwSYXXY2性質(zhì)性質(zhì)6 6： 2324相干函數(shù)的工程應(yīng)用(1) (1

12、) 判斷系統(tǒng)輸出與某特定輸入的相關(guān)程度。判斷系統(tǒng)輸出與某特定輸入的相關(guān)程度。 利用相干函數(shù)，可發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)是否還有其它輸入干擾、系統(tǒng)的線性程度。利用相干函數(shù)，可發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)是否還有其它輸入干擾、系統(tǒng)的線性程度。(2)(2)譜估計(jì)和系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的測(cè)量精度估計(jì)。譜估計(jì)和系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的測(cè)量精度估計(jì)。 在計(jì)算傳遞函數(shù)的幅頻特性及相頻特性時(shí)，輔以相干函數(shù)分析，在計(jì)算傳遞函數(shù)的幅頻特性及相頻特性時(shí)，輔以相干函數(shù)分析， (a) 輸入信號(hào)的功率譜和輸出信號(hào)的功率譜輸入信號(hào)的功率譜和輸出信號(hào)的功率譜 (b) 幅頻特性、相頻特性和相干函數(shù)幅頻特性、相頻特性和相干函數(shù) 25總結(jié)262728五、相關(guān)卷積定理五、相關(guān)卷積定理2

13、930例：兩個(gè)系統(tǒng)如圖所示，請(qǐng)推導(dǎo)兩輸出信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)與例：兩個(gè)系統(tǒng)如圖所示，請(qǐng)推導(dǎo)兩輸出信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)與兩輸入信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系。兩輸入信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系。3132333435解：解： deRSjXYXY)()(deej39dej )3(9j39jSSXYYX39)()(*363.3 離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度一、離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度一、離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度1.1.平穩(wěn)隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù) 設(shè)設(shè)X(n)為廣義平穩(wěn)的離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)，為廣義平穩(wěn)的離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)，具有零均值，其自相關(guān)函數(shù)為具有零均值，其自

14、相關(guān)函數(shù)為:)()()(mnXnXEmRX373. 平穩(wěn)隨機(jī)序列的功率譜密度平穩(wěn)隨機(jī)序列的功率譜密度 ( )( )jm TXXmSRm e奈奎斯特頻率奈奎斯特頻率 時(shí)域離散時(shí)域離散(T)頻域周期頻域周期(其周期其周期T T由時(shí)域離散間隔由時(shí)域離散間隔T T決定決定)T T=2=2q q=2/T=2/T38因?yàn)橐驗(yàn)?為周期函數(shù)，周期為為周期函數(shù)，周期為 ， )( XSq 2deSmRjmXqXqq)(21)(0m在在 時(shí)時(shí)dSRnXEqqXqX)(21)0()(2時(shí)域離散時(shí)域離散(T)頻域周期頻域周期(其周期其周期T T =2=2q q=2/T=2/T)時(shí)域非周期（隨機(jī)信號(hào)）時(shí)域非周期（隨機(jī)信號(hào)

15、）頻域連續(xù)頻域連續(xù)39 ( );mjXXmSzRm zzedzzzSjmRmDXX1)(21)( 性質(zhì)性質(zhì) zSzSXX1)(40例例7：設(shè)：設(shè) ，求，求 和和1,)(aamRmX)(zSX)(XS解：解：mmmmmmXzazazS01)(azzazaz1)1)()1 (2azazza)1)(1 ()1 (12azaza)()(111zzaaaa將將z= 代人上式，即可求得代人上式，即可求得jecos2)(11aaaaSX41二二 確定性信號(hào)的采樣與插值確定性信號(hào)的采樣與插值sin()( )()cnctns ts nTtn 連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間確知信號(hào)確知信號(hào)離散時(shí)間離散時(shí)間確知信號(hào)確知信號(hào)( )

16、S t)(nS采樣定理采樣定理( )()S tS nT 插值插值(低通濾波低通濾波)sin()( )()cnctns ts nTtn ccTT 42 ( )()cRR mT 三、三、 自相關(guān)函數(shù)的采樣自相關(guān)函數(shù)的采樣)2(1)(TnSTSnc時(shí)域離散時(shí)域離散(T)，頻域則為周期延拓，頻域則為周期延拓(T T=2/T=2/T)43443.4 白噪聲白噪聲一、理想白噪聲一、理想白噪聲自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù): 01( )( )2NRN 0001)0()()(NNNRRr自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù): 45總結(jié)：總結(jié)：（1）白噪聲只是）白噪聲只是理想化模型理想化模型，是不存在的。，是不存在的。（2）白噪聲的均方

17、值為無限大）白噪聲的均方值為無限大 )0(2)0()(02 NRtXEN而實(shí)際中的隨機(jī)信號(hào)，其均方值總是有限的。而實(shí)際中的隨機(jī)信號(hào)，其均方值總是有限的。（3）白噪聲在數(shù)學(xué)處理上）白噪聲在數(shù)學(xué)處理上簡單、方便簡單、方便46二、色噪聲二、色噪聲 按功率譜密度函數(shù)來分類隨機(jī)信號(hào)：按功率譜密度函數(shù)來分類隨機(jī)信號(hào)：白噪聲白噪聲色噪聲色噪聲/有色噪聲有色噪聲47小小 結(jié)結(jié) 1.隨機(jī)信號(hào)的時(shí)間無限性隨機(jī)信號(hào)的時(shí)間無限性能量無限，因而隨機(jī)能量無限，因而隨機(jī)信號(hào)的付氏變換不存在，但其功率存在。即：信號(hào)的付氏變換不存在，但其功率存在。即：)()( jXtX 但相關(guān)函數(shù)與功率譜密度構(gòu)成一對(duì)付氏變換，但相關(guān)函數(shù)與功率

18、譜密度構(gòu)成一對(duì)付氏變換，即即( ,)( )XXARt tS若隨機(jī)信號(hào)若隨機(jī)信號(hào)X(t)平穩(wěn)，則平穩(wěn)，則 )()( XXSR48一般過程：一般過程：3. 隨機(jī)信號(hào)的平均功率：隨機(jī)信號(hào)的平均功率： dttXETT)(21lim2即集合平均時(shí)間平均。即集合平均時(shí)間平均。4.特定函數(shù)的付氏變換需記憶。特定函數(shù)的付氏變換需記憶。49總結(jié)定義：n隨機(jī)信號(hào)：信號(hào)在每一時(shí)刻的取值為隨機(jī)變量n確定信號(hào)：信號(hào)在每一時(shí)刻的取值為確定常數(shù)。隨機(jī)信號(hào)的廣義平穩(wěn)性n其均值均值為常數(shù)。n其二階矩二階矩(均方值自相關(guān)的特例)是有限值n其自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)；（若均值為0，則自協(xié)方差=自相關(guān)，方差=均方值，自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)）50總結(jié)廣義平穩(wěn)、嚴(yán)格平穩(wěn)、非平穩(wěn)n廣義平穩(wěn)(2階平穩(wěn))；嚴(yán)格平穩(wěn)(階平穩(wěn))。n廣義平穩(wěn)嚴(yán)格平穩(wěn)；嚴(yán)格平穩(wěn)廣義平穩(wěn)n無廣義平穩(wěn)=非平穩(wěn)平穩(wěn)信號(hào)的廣義遍歷性n總集均值=時(shí)間均值、總集自相關(guān)=時(shí)間自相關(guān)可用一次觀測(cè)數(shù)