第一類曲線積分

1、曲線積分與曲面積分 積分學(xué)積分學(xué) 定積分二重積分三重積分定積分二重積分三重積分積分域積分域 區(qū)間域區(qū)間域 平面域平面域 空間域空間域 曲線積分曲線積分曲線域曲線域曲面域曲面域曲面積分曲面積分曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分第一類曲線積分第一類曲線積分第二類曲線積分第二類曲線積分第一類曲面積分第一類曲面積分第二類曲面積分第二類曲面積分第一類曲線積分第一類曲線積分第一節(jié)第一節(jié) 第十章第十章 一、第一類曲線積分的概念與性質(zhì)一、第一類曲線積分的概念與性質(zhì)二、第一類曲線積分的計(jì)算法二、第一類曲線積分的計(jì)算法一、第一類曲線積分的概念與性質(zhì)一、第一類曲線積分的概念與性質(zhì)1. 問題的提出問題的提出 曲線形構(gòu)件

2、的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量ABis ),(ii 設(shè)有一位于設(shè)有一位于 xOy 平面上的曲平面上的曲線形狀的構(gòu)件線形狀的構(gòu)件(如圖如圖)，),(yx求構(gòu)件的質(zhì)量求構(gòu)件的質(zhì)量. 采用采用分割，近似，求和，取極分割，近似，求和，取極限限的方法來求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量的方法來求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量:iiis ),( ni10lim M 構(gòu)件分布是構(gòu)件分布是非均勻非均勻的，其線密度為的，其線密度為1 iAiA 1 分割分割,isn 小小弧弧段段的的弧弧長長為為小小段段，分分割割成成.max1inis 2 近似近似iiAA1 ，上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)),(iiiM), 2 , 1(),(nisMiiii 3 求和求和

3、niiiiniisMM11),(4 取極限取極限 niiiisM10),(limABis 1 iAiA),(ii在小弧段在小弧段該弧段該弧段 的質(zhì)量可近似表示為的質(zhì)量可近似表示為 整個(gè)構(gòu)件質(zhì)量的近似值整個(gè)構(gòu)件質(zhì)量的近似值構(gòu)件的質(zhì)量構(gòu)件的質(zhì)量,10nAAA用曲線用曲線AB上的上的任意點(diǎn)任意點(diǎn) 將將AB設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x, y) 在在 xOy 面內(nèi)的分段光滑曲線弧面內(nèi)的分段光滑曲線弧 L的的長長度度為為個(gè)個(gè)小小弧弧段段記記第第iinAAiAAA110., iiiiiiiisfMAA ),(),(1作作乘乘積積上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)的的取取法法無無關(guān)關(guān)，的的分分法法及及點(diǎn)點(diǎn)iML 2. 定義定義

4、10.1上有界上有界. . 將將 L L 任意分成任意分成 n 個(gè)小弧段，設(shè)分點(diǎn)為個(gè)小弧段，設(shè)分點(diǎn)為在在小小弧弧段段記記）（.max, 2 , 11iniisnis niiiisfni1.),(, 2 , 1并作黎曼和并作黎曼和）（即極限值與曲線即極限值與曲線若此和的極限總存在，若此和的極限總存在，令令0則稱該極限值為函數(shù)則稱該極限值為函數(shù) f (x, y)在曲線在曲線L上的上的第一類第一類 niiiiLsfsyxf10),(limd),( 被積函數(shù)被積函數(shù)積分弧段積分弧段積分和式積分和式弧微分弧微分被積表達(dá)式被積表達(dá)式曲線積分曲線積分或或?qū)￠L的曲線積分對弧長的曲線積分，記作，記作注注 1

5、當(dāng)當(dāng)函數(shù)函數(shù) f (x, y)在曲線在曲線L上上連續(xù)連續(xù)時(shí)時(shí), 曲線積分曲線積分 Lsyxfd),(2 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量可以表示為曲線形構(gòu)件的質(zhì)量可以表示為 LsyxMd),(存在存在(充分條件充分條件).上上的的表表示示立立于于當(dāng)當(dāng)Lyxf),(),(yx柱面在點(diǎn)柱面在點(diǎn),處的高時(shí)處的高時(shí).d),( LsyxfS柱柱面面面面積積時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1),( yxf;d LsL弧長弧長3 4 ,軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量軸軸及及曲曲線線弧弧對對yx,d2 LxsyI 曲線弧的質(zhì)心坐標(biāo)曲線弧的質(zhì)心坐標(biāo).dd,dd LLLLssyyssxx xyOL(x, y).d2 LysxI 5 6 的的區(qū)區(qū)別別：與與

6、DLyxfsyxf d),(d),(LyxsyxfL ),(:d),(點(diǎn)點(diǎn).不不獨(dú)獨(dú)立立與與 yx:d),( Dyxf Dyx ),(點(diǎn)點(diǎn).彼彼此此獨(dú)獨(dú)立立與與內(nèi)內(nèi)，在在yxDxyOL(x, y)(x, y)7 1 若積分弧段為若積分弧段為空間曲線弧空間曲線弧 niiiiisfszyxf10),(limd),(3 如果如果L L 是是閉曲線閉曲線 , , 則記為則記為.d),( Lsyxf推廣推廣, ,則函數(shù)則函數(shù)f ( x, y, z )在曲線弧在曲線弧上對弧長的曲線積分為上對弧長的曲線積分為 2 對空間曲線弧對空間曲線弧 有與平面有與平面曲線弧曲線弧類似的類似的重心公式和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式重心公

7、式和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式. .思考：思考： 定積分定積分 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分但定積分中但定積分中dx 可能為負(fù)可能為負(fù).否！否！ baxxfd)(是否可看作對弧長曲線積分的特例是否可看作對弧長曲線積分的特例 ? xO baab要求要求 ds 0, Lsyxfd),( LLsyxfsyxfd),(|d),(|特特別別的的有有 LLsyxgsyxfd),(d),( 21d),(d),(d),(LLLsyxfsyxfsyxf LLLsyxgsyxfsyxgyxfd),(d),(d),(),(組成組成和和由由21LLL1R ，),(),(yxgyxfL 上上在在3. 性質(zhì)性質(zhì)1 線性性質(zhì)：線性性

8、質(zhì)：2 可加性：可加性：3 保序性：保序性： Ltttttfsyxfd)()()(, )(d),(22基本思路基本思路:計(jì)算定積分計(jì)算定積分轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 化化定理定理10.1),(yxf設(shè)設(shè)且且)()(tty 上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù),是定義在光滑曲線弧是定義在光滑曲線弧則曲線積分則曲線積分),(:txL ,d),(存在存在 Lsyxf求曲線積分求曲線積分二、第一類曲線積分的計(jì)算法二、第一類曲線積分的計(jì)算法1. 直接法直接法tttskkttkd)()(122 ,)()(22kkkt ,1kkktt 點(diǎn)點(diǎn)將曲線將曲線L 任意分成任意分成 n 份，設(shè)各分點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)為份，設(shè)各分點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)為kt, ,1kkk

9、tt ),(kk對應(yīng)參數(shù)為對應(yīng)參數(shù)為 ),1 ,0(nk 證證根據(jù)定義根據(jù)定義 kknkksf ),(lim10 Lsyxfd),( Lsyxfd),(tttttfd)()()(),(22 因此因此 nk10lim Lsyxfd),(kkkt )()(22 )(, )(kkf連連續(xù)續(xù)注注意意)()(22tt 則則 nk10limkkkt )()(22 )(, )(kkf注注xdydsdxyo, 0, 0 kkts因此因此積分限積分限必須滿足下限小于上限：必須滿足下限小于上限：! 2 注意到注意到 22)(d)(ddyxs tttd)()(22 x因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換

10、元法換元法”. 1 則則2 如果如果L為極坐標(biāo)形式為極坐標(biāo)形式),()( 則則 Lsyxfd),( )sin)(,cos)(f d)()(22 Lsyxfd),(xxd)(12 baxxf) )(,(),()(bxaxy 1 如果曲線如果曲線 L 的方程為的方程為推廣推廣 3 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為)()(, )(),(:ttztytx szyxfd),(則則ttttd)()()(222 tttf)(),(, )(,d Lsx其中其中 L 是拋物線是拋物線2xy 點(diǎn)點(diǎn)O (0,0)與點(diǎn)與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧之間的一段弧 . 解解)10(:2 xxyL Ls

11、xd 10 xxxd)2(12 xxxd41102 10232)41(121 x)155(121 上點(diǎn)上點(diǎn)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B例例1 計(jì)算計(jì)算計(jì)算半徑為計(jì)算半徑為 R ,中心角為中心角為2的圓弧的圓弧 L 對于它對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的對稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I (設(shè)線密度設(shè)線密度 = 1). 解解 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖,R xyoLsyILd2 RRRd)cos()sin(sin2222 Rdsin23 R0342sin22 )cossin(3R 則則 )(sincos:RyRxL 例例2 計(jì)算曲線積分計(jì)算曲線積分 ,d)(222 szyx其中其中 為螺旋為螺旋的一段弧的

12、一段弧.解解 szyxd)(222tktatat ktatadcossin)()sin()cos(2222220222 ttkakad2022222 02322223 tktaka)43(3222222kaka )20(,sin,cos ttkztaytax線線例例32. 利用對稱性利用對稱性上上連連續(xù)續(xù)，在在曲曲線線設(shè)設(shè)Lyxf),(軸軸對對稱稱性性)1( ),(),(,d),(2),(),(, 0d),(1yxfyxfsyxfyxfyxfsyxfLL.0:1的的部部分分在在 yLL.論論軸軸對對稱稱時(shí)時(shí)，有有類類似似的的結(jié)結(jié)關(guān)關(guān)于于當(dāng)當(dāng)yL軸軸對對稱稱，則則關(guān)關(guān)于于若若xL輪輪換換對對稱稱

13、性性)2(進(jìn)進(jìn)行行交交換換，與與的的方方程程中中，將將若若在在曲曲線線yxL的的方方程程不不變變，則則L LLsxyfsyxfd),(d),(例例4).0()()(,d222222 ayxayxLsxL常數(shù)常數(shù)為雙紐線：為雙紐線：其中其中計(jì)算計(jì)算解解的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程為為：L 2cos22a sd1 求求,2sin2)()(22 a )(2sin)(2 a d)()(d22 s d)()2sin()(224a xyO4 da)(2 由由軸軸對對稱稱性性，2),(),(yxfxyxfxL 軸軸對對稱稱，關(guān)關(guān)于于),(),(yxfxyxfyL 軸軸對對稱稱，關(guān)關(guān)于于sxsxLLd4d1 ):

14、(1在在第第一一象象限限部部分分LLsxLd41 d)(cos)(4240a 222a xyO4 . 0,d22222zyxazyxsxI為為圓圓周周其其中中求求由輪換對稱性由輪換對稱性, , 知知.ddd222 szsysx szyxId)(31222故故 sad32解解例例5將圓周表示成參數(shù)將圓周表示成參數(shù)方程的形式比較困方程的形式比較困難，由表達(dá)形式的難，由表達(dá)形式的對稱性可利用對稱對稱性可利用對稱性計(jì)算性計(jì)算點(diǎn)點(diǎn)(x, y, z)的坐標(biāo)滿足曲線的方程的坐標(biāo)滿足曲線的方程323a ),d2(球球面面大大圓圓周周長長 saaxyx222 求圓柱面求圓柱面22224azyx 被被球球面面.A

15、所截部分面積所截部分面積解解 曲面對稱于曲面對稱于面，面，xoy截取的柱面面積截取的柱面面積A是第一卦限是第一卦限部分面積部分面積倍。倍。的的41A圓柱面的準(zhǔn)線圓柱面的準(zhǔn)線L的參數(shù)方程：的參數(shù)方程：,sin),cos1(taytax .dd,0tast LszAd1 Lsyxad4222ttad)cos1(202 .4d2sin2202atta 柱面面積柱面面積.16421aAA 1. 定義定義kkknkksf ),(lim10 szyxfd),(2. 性質(zhì)性質(zhì)kknkksf ),(lim10 Lsyxfd),( d),(),()1(szyxgzyxf 21d),(d),(d),()2(szy

16、xfszyxfszyxf szyxfd),( szyxgd),(內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)3. 計(jì)算計(jì)算 對參數(shù)方程形式對參數(shù)方程形式, )( , )(, )(:ttytxL Lsyxfd),( 對顯函數(shù)形式對顯函數(shù)形式, )()(:bxaxyL Lsyxfd),( baxxf) )(,(),()(: L Lsyxfd),( )sin)(,cos)(f 對極坐標(biāo)形式對極坐標(biāo)形式tttd)()(22 xxd)(12 d)()(22 ttf)(),( 1.例例5中中 改為改為 0)1()1(2222zyxazyx如何計(jì)算如何計(jì)算?d2sx 解解 令令 11zZyYxX 0 :2222ZYXaZYX, 則則思

17、考題思考題sx d2 sXd)1(2 sX d2 sX d2 sd , 0d)( sZYX sZsYsXddd0d sXaa2323 xyo2. 設(shè)設(shè) C 是由極坐標(biāo)系下曲線是由極坐標(biāo)系下曲線, a 0 及及4 所圍區(qū)域的邊界所圍區(qū)域的邊界, 求求sICyxde22 2e)24( aa a4xy 0yar 解解 分段積分分段積分xIaxde0 de40aa xaxd2e202 備用題備用題例例1-1,d)(syxL 計(jì)計(jì)算算L是以是以A(1,0), B(0,1), C(-1,0)為頂點(diǎn)的三角形的邊界為頂點(diǎn)的三角形的邊界.解解 ACBCABLsyxd)(, 10,1 xxyAB：直直線線xsd2

18、d xxxABd2)1(10 2 , 01,1 xxyBC：直直線線xsd2d xxxBCd2)1(01- 0 xyOABC, 10,1 xxyAB：直直線線xsd2d xxxABd2)1(10 2 , 01,1 xxyBC：直直線線xsd2d xxxBCd2)1(01- 0 , 11, 0 xyAC：直直線線xsdd xxACd011- 0 syxLd)( . 2 .d)432(,1342222 LsyxxyayxL求求，其周長為，其周長為是橢圓是橢圓設(shè)設(shè)故故時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),1243),(22 yxLyx Lsyxxyd)43222（ LLssxyd12d2 Lsxyd)122().(12對對稱稱

19、性性a 解解例例1-2有一半圓弧有一半圓弧Rxcos ),0( 其線密度其線密度 ,2解解RskFxcosdd2 Rkdcos2 RskFysindd2 Rkdsin2 RRoxy 0dcos2 RkFx 0dsin2 RkFy 0cossin2 RkRk4 0sincos2 RkRk2 故所求引力為故所求引力為),(yx,sinRy 求它對原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力求它對原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力. RkRkF2,4 例例2-1 其其中中計(jì)計(jì)算算,d222szyxL 解解),1 , 2 , 1( sL的方向向量的方向向量直線直線 tzttytxL210211的的參參數(shù)數(shù)方方程程：故故tzyxsd

20、d222 ttd6d121222 ttttszyxLd62211d10222222 tttd6266102 69 例例3-1 .312211的的直直線線段段，到到點(diǎn)點(diǎn)，是是點(diǎn)點(diǎn) Lsd d 計(jì)算計(jì)算,d)(222szyxI 其中其中 為球面為球面22yx 解解, 1141)21(21:22 zxyx: 20 2)sin2( 2)cos2( 2)sin2( 18d22920 Id2 cos221 z. 1的的交交線線與與平平面面 zx292 z化為參數(shù)方程化為參數(shù)方程 21cos2 x sin2y 則則例例3-2例例3-3 其中其中L是：是：曲線曲線L的參數(shù)方程是：的參數(shù)方程是：解解,d222

21、Lszyxy計(jì)算計(jì)算. 0, 0,2,4222222 azaxyxazyxtaytaxsin),cos1( . 20,2sin2 ttazttztytxsdddddddd222 ttad2cos12 oxyz2a,sin),cos1 (taytax .20,2sin2 ttazttztytxsdddddddd222 ttad2cos12 Lszyxyd222ttaatad2cos14sin2202 tttdsin2cos12120 2cosd2cos1220tt 02322cos132 t).122(32 L為球面為球面2222Rzyx 坐標(biāo)面的交線坐標(biāo)面的交線 , 求其形心求其形心 . 在第一卦限與三個(gè)在第一卦限與三個(gè)解