第10章動量定理

1、動力學普遍定理概述動力學普遍定理概述對對質點系質點系動力學問題：理論上講，動力學問題：理論上講，n個質點列出個質點列出3n個微分方程，個微分方程， 聯(lián)立求解即可。聯(lián)立求解即可。 1、聯(lián)立求解微分方程、聯(lián)立求解微分方程(尤其是積分問題尤其是積分問題)非常困難。非常困難。實際上存在兩個問題：實際上存在兩個問題：2、大量的問題中，不需要了解每一個質點的運、大量的問題中，不需要了解每一個質點的運 動動,僅需要研究質點系整體的運動情況。僅需要研究質點系整體的運動情況。 從本章起從本章起, 將要講述解答動力學問題的其它方將要講述解答動力學問題的其它方法法, 而首先要討論的是而首先要討論的是動力學普遍定理：

2、動力學普遍定理：質點和質點系的動量定理質點和質點系的動量定理動量的改變與力的沖動量的改變與力的沖量之間的關系。量之間的關系。動量定理動量定理動量矩定理動量矩定理動能定理。動能定理。本章中研究內(nèi)容：本章中研究內(nèi)容：質點系動量定理的另一形式質點系動量定理的另一形式質心運動定理。質心運動定理。 101 動量與沖量動量與沖量 102 動量定理動量定理 103 質心運動定理質心運動定理 第十章第十章 動量定理動量定理10-1 10-1 動量與沖量動量與沖量1.1.質點的動量：質點的動量：質點的質量與速度的乘積質點的質量與速度的乘積 mv 稱為質點的動量。稱為質點的動量。 動量是度量物體機械運動強弱的一個

3、物理量。動量是度量物體機械運動強弱的一個物理量。例：槍彈：速度大，質量??；例：槍彈：速度大，質量?。?船：速度小，質量大。船：速度小，質量大。 一、動量一、動量注注：動量是瞬時矢量，方向與：動量是瞬時矢量，方向與v 相同。單位相同。單位:kg:kg m/sm/s。2.2.質點系的動量：質點系的動量：iivmP vv CiiMm即：質點系的質量與其質心速度的乘積就等于即：質點系的質量與其質心速度的乘積就等于質點系的動量。質點系的動量。CiivMvmPMrmriiC質點系中所有各質點的動量的矢量和質點系中所有各質點的動量的矢量和。由由兩邊求導兩邊求導求剛體的動量求剛體的動量ccv0cvcLcvcC

4、vMP 2LMPcMvP 0cMvP 對于 剛體系統(tǒng)的動量也同樣成立。剛體系統(tǒng)的動量也同樣成立。CCzzCCyyCCxxzMMvPyMMvPxMMvP向三個坐標軸投影向三個坐標軸投影注注： 沖量表示力在其作用時間內(nèi)對物體作用的累積沖量表示力在其作用時間內(nèi)對物體作用的累積效應的度量。效應的度量。二沖量二沖量力與其作用時間的乘積稱為力的沖量力與其作用時間的乘積稱為力的沖量例如，推動車子時，較大的力作用較短的時間，與例如，推動車子時，較大的力作用較短的時間，與較小的力作用較長的時間，可得到同樣的總效應。較小的力作用較長的時間，可得到同樣的總效應。tFI)(12ttFI1力是常矢量力是常矢量：F變力的

5、沖量變力的沖量：21ttdtFIdtFId2力是變矢量：（包括大小和方向的變化）力是變矢量：（包括大小和方向的變化）元沖量元沖量：在dt時間間隔內(nèi)力F的沖量 3合力的沖量：合力的沖量： ittittttiRIdtFdtFdtFI212121沖量的單位沖量的單位：m/skg sm/skg sN2與動量單位同等于各分力沖量的矢量和等于各分力沖量的矢量和212121 , ,ttttttzzyyxxdtFIdtFIdtFI10-2動量定理動量定理一質點的動量定理 Fdtvdmam質點的動量對時間的導數(shù)等于作用于質點的力質點的動量對時間的導數(shù)等于作用于質點的力質點的動量定理質點的動量定理Fvmdtd)(

6、 當質量不變時當質量不變時（在某一時間間隔內(nèi)，動量的增量等于力在該時（在某一時間間隔內(nèi)，動量的增量等于力在該時間內(nèi)的沖量）間內(nèi)的沖量）IddtFvmd)(IdtFvmvmtt2112微分形式：微分形式：（動量的微分等于力的元沖量）積分形式積分形式：投影形式：投影形式：xxFmvdtd)(yyFmvdtd)(zzFmvdtd)(2112ttxxxxdtFImvmv2112ttyyyydtFImvmv2112ttzzzzdtFImvmv則常量，質點沿則常量，質點沿 x 軸的運動是慣軸的運動是慣性運動性運動xmv二、質點的動量守恒二、質點的動量守恒0F若若0 xF若若vm則常矢量，質點作慣性運動則常

7、矢量，質點作慣性運動一、質點系的動量定理一、質點系的動量定理對質點系內(nèi)任一質點對質點系內(nèi)任一質點 i，)()()(eiiiiiFFvmdtd對整個質點系：對整個質點系： )()()(eiiiiiFFvmdtd)(eiFdtPd質點系的動量定理質點系的動量定理10-3質點系的動量定理質點系的動量定理質點系動量對時間的導數(shù)等于作用在質質點系動量對時間的導數(shù)等于作用在質點系上所有外力的矢量和。點系上所有外力的矢量和。 )0( iiF質點系動量的微分等于作用在質點系上所有外力質點系動量的微分等于作用在質點系上所有外力元沖量的矢量和。元沖量的矢量和。在某一時間間隔內(nèi)，質點系動量的改變量等于作在某一時間間

8、隔內(nèi)，質點系動量的改變量等于作用在質點系上的所有外力在同一時間間隔內(nèi)的沖用在質點系上的所有外力在同一時間間隔內(nèi)的沖量的矢量和。量的矢量和。2.2.積分形式積分形式)(12eiIPPeIdtF 1.1.微分形式微分形式eiPi)()(dd3.3.投影形式：投影形式：)(eixxFdtdP)(eiyyFdtdP)(eizzFdtdP21)()(12tteixexxdtFIixPP21)()(12tteiyeyydtFIiyPP21)()(12tteizezzdtFIizPP 錘重Q=300N，從高度H=1.5m處自由落到鍛件上，鍛件發(fā)生變形，歷 時=0.01s， 求錘對鍛件的平均壓力.H研究錘，分

9、析受力:QFN * 錘由高 H 處自由落下所需時間:gH2t y建投影軸，列動量定理:y1y2yImvmv,)(,Ny21FtQI ,0vt0v)(而時間經(jīng)過kNtQF9 .16) 1( N質量為75kg的跳傘運動員，從飛機中跳出后鉛垂下降，待降落100m時將傘張開，從這時起經(jīng)過時間t=3s后降落速度變?yōu)?m/s。求降落傘繩子拉力的合力（平均值）。以人為研究對象.視為質點.人從飛機上跳下至傘張開:ghv211008 . 92sm3 .44傘張開至降落速度達到v2=5m/sxtFmgvvmT12?NFT1718則常量。ixixvmP二、質點系的動量守恒二、質點系的動量守恒, 0)(eiF若, 0

10、)(eixF若iivmP則常矢量。恒矢量0PPnieiIPP1)(001)(nieiI只有外力才能改變質點系只有外力才能改變質點系的動量，內(nèi)力不能改變整的動量，內(nèi)力不能改變整個質點系的動量，但可以個質點系的動量，但可以引起系統(tǒng)內(nèi)各質點動量的引起系統(tǒng)內(nèi)各質點動量的傳遞。傳遞。 特別注意：特別注意：機車的質量為m1，車輛的質量為m2，它們是通過相互撞擊而掛鉤。若掛鉤前，機車的速度為v1，車輛處于靜止，如圖所示。求（1）掛鉤后的共同速度u；（2）在掛鉤過程中相互作用的沖量和平均撞擊力。設掛鉤時間為t秒，軌道是光滑和水平的。以機車和車輛為研究對象系統(tǒng)的動量在水平方向是守恒的ummvm21112111m

11、mvmu以機車為研究對象Ivmum1112121vmmmmItIF tvmmmm12121例例2 質量為M的大三角形柱體, 放于光滑水平面上, 斜面上另放一質量為m的小三角形柱體。求小三角形柱體滑到底時,大三角形柱體的位移。 解解：選選兩物體組成的系統(tǒng)為研究對象研究對象。受力分析受力分析， , 0)(exFxK水平方向常量。ravvvv設大三角塊速度rv小三角塊相對大三角塊速度為 則小三角塊運動分析運動分析， 0)(axmvvM由水平方向動量守恒及初始靜止由水平方向動量守恒及初始靜止；0)()(vvmvMrx)( bamMmSmMmSrx mmMSSmmMvvrxrx 例例3 流體流過彎管時，

12、流體流過彎管時， 在截面在截面A和和B處的平均流速分別為處的平均流速分別為 設流體不可壓縮，流量設流體不可壓縮，流量Q(m3/s)為常量，為常量， 密度為密度為 (kg/m3）。）。),m/s(,21vv求流體對彎管產(chǎn)生的動壓力求流體對彎管產(chǎn)生的動壓力(附加動壓力附加動壓力)。運動分析，設經(jīng)過運動分析，設經(jīng)過 時間時間后，流體后，流體AB運動到位置運動到位置ab，)()(12aBAaBbaBABabPPPPPPP1212 )()(vtQvtQPPPPPAaBbaBaB解：解： 取截面取截面A與與B之間的流體作為研究的質點系。之間的流體作為研究的質點系。受力分析如圖示。受力分析如圖示。靜反力靜反

13、力)(21PPWR)( 12vvQR)()(1221vvQPPWR即即由質點系動量定理；得由質點系動量定理；得RPPWvvQtPdtPdt21120)( lim動反力動反力計算計算 時，常采用投影形式時，常采用投影形式 R)( 12xxxvvQR)( 12yyyvvQR與與 相反的力就是管壁上受相反的力就是管壁上受到的流體作用的動壓力到的流體作用的動壓力 R10-4質心運動定理質心運動定理將將 代入到質點系動量定理，得代入到質點系動量定理，得CvMP )()(eiCFvMdtd若質點系質量不變，若質點系質量不變，或)(eiCFrM 敘述為：敘述為：質點系的質量與加速度的乘積，等于作用質點系的質

14、量與加速度的乘積，等于作用于質點系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。于質點系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。)(eiCFaM則稱為質心運動定理（或質心運動微分方程）稱為質心運動定理（或質心運動微分方程）投影形式：投影形式：。 , , )()()(eizCCzeiyCCyeixCCxFzMMaFyMMaFxMMa 。 0 , , )()(2)(eibeinCCneiCFFvMMaFdtdvMMa 質心運動定理是動量定理的另一種表現(xiàn)形式質心運動定理是動量定理的另一種表現(xiàn)形式, 與質點運動微分方程形式相似。與質點運動微分方程形式相似。 只有外力才能改變質點系質心的運動只有外力才能改變質點系質心

15、的運動, 內(nèi)力不內(nèi)力不能改變質心的運動，但可以改變系統(tǒng)內(nèi)各質能改變質心的運動，但可以改變系統(tǒng)內(nèi)各質點的運動。點的運動。說明：說明：若，則若，則 常矢量，質心作勻速常矢量，質心作勻速直線運動；直線運動； 0)(eiFCCvoa , 若開始時系統(tǒng)靜止，即若開始時系統(tǒng)靜止，即 則常矢量則常矢量,質質心位置守恒。心位置守恒。00CvCr若則若則 常量，質心沿常量，質心沿x方向方向速度不變；速度不變；,)( 0eixFCxCxva , 0若存在若存在 則則 常量，質心在常量，質心在x 軸的位置軸的位置坐標保持不變。坐標保持不變。00CxvCx 4. 質心運動守恒定律質心運動守恒定律 兩人若在地面上拔河，

16、力氣大者必勝。若質量分別為mA,mB的宇航員A和B在太空中拔河，開始時兩人在太空中保持靜止，然后分別抓住繩子的兩端使盡全力相互對拉。若A的力氣大于B的力氣，拔河賽的勝利屬于誰？動量定理在跳高中的應用:動量定理在跳高中的應用:跨越式：一腿向前伸出先過桿，另一腿再過。翻滾式：身體繞縱軸翻滾，水平過桿。背越式：身體彎曲，背部過桿。0VC質心為拋物線0VC橫桿高度0VCC橫桿高度跨越式：1.8m0.3m=1.5m翻滾式：1.8m0.1m=1.7m背越式：1.8m0.1m=1.9m30cm0VCC橫桿高度10cm10cm已知作用于質點系的外力，求質心已知作用于質點系的外力，求質心的運動規(guī)律。的運動規(guī)律。

17、 5 5質心運動定理可求解兩類動力學問題：質心運動定理可求解兩類動力學問題：已知質點系質心的運動已知質點系質心的運動, 求作用于求作用于質點系的外力質點系的外力(包括約束反力包括約束反力)。12121mmbmamxC12122)()(mmsbmslamxC122mmlms21CCxx例例4 電動機的外殼固定在水平基礎上，定子的質量為電動機的外殼固定在水平基礎上，定子的質量為m1, 轉轉子質量為子質量為m2 , 轉子的軸通過定子的質心轉子的軸通過定子的質心O1, 但由于制造誤差但由于制造誤差, 轉子的質心轉子的質心O2到到O1的距離為的距離為e 。求轉子以角速度求轉子以角速度 作勻速轉作勻速轉動

18、時，基礎作用在電動機底動時，基礎作用在電動機底座上的約束反力。座上的約束反力。運動分析：定子質心加速度運動分析：定子質心加速度a1=0，轉子質心，轉子質心O2的加速度的加速度a2=e 2，方向指向，方向指向O1。解解:取整個電動機作為質點系。取整個電動機作為質點系。分析受力，分析受力， 受力圖如圖示。受力圖如圖示。teateayx sin , cos2222根據(jù)質心運動定理，有根據(jù)質心運動定理，有xxeixCixiNtemamFamcos ,2222)( ,)(eiyCiyiFamtemgmgmNtemNyxsin ,cos222122可見，由于偏心引起的動反力是隨時間而變化的周期可見，由于偏心引起的動反力是隨時間而變化的周期函數(shù)。函數(shù)。gmgmNtemamyy212222 sin 例例5 浮動起重船浮動起重船, 船的重量為船的重量為P1=200kN, 起重桿的重起重桿的重量為量為