控制工程基礎(chǔ)第二章 數(shù)學(xué)模型-1

1、第第2 2章章 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 模模 型型 為了從理論上對控制系統(tǒng)進為了從理論上對控制系統(tǒng)進 行性能分析，首先要建立系統(tǒng)行性能分析，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。的數(shù)學(xué)模型。 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部各變量系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式，它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式，它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關(guān)系。間的內(nèi)在關(guān)系。 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型有多種形式，這取決于變量和坐標(biāo)系統(tǒng)的選系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型有多種形式，這取決于變量和坐標(biāo)系統(tǒng)的選擇。在時間域，通常采用微分方程或一階微分方程組的形式；在擇。在時間域，通常采用微分方程

2、或一階微分方程組的形式；在復(fù)數(shù)域則采用傳遞函數(shù)形式；而在頻率域采用頻率特性形式。復(fù)數(shù)域則采用傳遞函數(shù)形式；而在頻率域采用頻率特性形式。 必須指出，建立合理的數(shù)學(xué)模型，對于系統(tǒng)的分析和研究極必須指出，建立合理的數(shù)學(xué)模型，對于系統(tǒng)的分析和研究極為重要。由于不可能將系統(tǒng)實際的錯綜復(fù)雜的物理現(xiàn)象完全表達為重要。由于不可能將系統(tǒng)實際的錯綜復(fù)雜的物理現(xiàn)象完全表達出來，因而要對模型的簡潔性與精確性進行折衷的考慮。一般是出來，因而要對模型的簡潔性與精確性進行折衷的考慮。一般是根據(jù)系統(tǒng)的實際結(jié)構(gòu)參數(shù)和系統(tǒng)分析所要求的精度，忽略一些次根據(jù)系統(tǒng)的實際結(jié)構(gòu)參數(shù)和系統(tǒng)分析所要求的精度，忽略一些次要因素，建立既能反映系統(tǒng)

3、內(nèi)在本質(zhì)特性，又能簡化分析計算工要因素，建立既能反映系統(tǒng)內(nèi)在本質(zhì)特性，又能簡化分析計算工作的模型。作的模型。 學(xué)習(xí)目的學(xué)習(xí)目的1. 了解建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般步驟了解建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般步驟2. 掌握拉氏變換和反變換方法掌握拉氏變換和反變換方法3. 掌握建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的各種方法（包括時域、掌握建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的各種方法（包括時域、復(fù)數(shù)域；解析式、圖示式）復(fù)數(shù)域；解析式、圖示式）4. 了解非線性數(shù)學(xué)模型線性化的方法了解非線性數(shù)學(xué)模型線性化的方法 5. 熟悉各種不同物理屬性控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立熟悉各種不同物理屬性控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立過程過程 內(nèi)容提要內(nèi)容提要本章主要闡述控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基

4、本概念、時域本章主要闡述控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基本概念、時域模型模型運動微分方程和復(fù)數(shù)域模型運動微分方程和復(fù)數(shù)域模型傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的建立、數(shù)學(xué)模型的圖示法的建立、數(shù)學(xué)模型的圖示法方框圖和信號流圖方框圖和信號流圖的建立步驟與方法，介紹拉氏變換與拉氏反變換的建立步驟與方法，介紹拉氏變換與拉氏反變換 重重 點點傳遞函數(shù)概念的建立、典型環(huán)節(jié)和控制系統(tǒng)傳遞函傳遞函數(shù)概念的建立、典型環(huán)節(jié)和控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的推導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo) 難難 點點實際物理系統(tǒng)，特別是機械系統(tǒng)傳遞函數(shù)的推導(dǎo)實際物理系統(tǒng)，特別是機械系統(tǒng)傳遞函數(shù)的推導(dǎo) 建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，一般采用解析法或?qū)嶒灧āＫ^解析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，一般采用解析法或?qū)嶒灧ā?/p>

5、所謂解析法建模，即依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理學(xué)定律，理論建模，即依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理學(xué)定律，理論推導(dǎo)出變量間的數(shù)學(xué)關(guān)系式，從而建立數(shù)學(xué)模型。本章僅討論解推導(dǎo)出變量間的數(shù)學(xué)關(guān)系式，從而建立數(shù)學(xué)模型。本章僅討論解析建模方法，關(guān)于實驗法建模將在后面的章節(jié)進行介紹。析建模方法，關(guān)于實驗法建模將在后面的章節(jié)進行介紹。2.1 2.1 控制系統(tǒng)的運動微分方程控制系統(tǒng)的運動微分方程 2.1.1 2.1.1 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟 用解析法列寫系統(tǒng)或元件微分方程的一般步驟是用解析法列寫系統(tǒng)或元件微分方程的一般步驟是： (1)分析系統(tǒng)的工作原理和信號傳遞變換的過程，

6、確定系統(tǒng)分析系統(tǒng)的工作原理和信號傳遞變換的過程，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量。和各元件的輸入、輸出量。 (2)從系統(tǒng)的輸入端開始，按照信號傳遞變換過程，依據(jù)各變量從系統(tǒng)的輸入端開始，按照信號傳遞變換過程，依據(jù)各變量 所遵循的物理學(xué)定律，依次列寫出各元件、部件動態(tài)微分方程。所遵循的物理學(xué)定律，依次列寫出各元件、部件動態(tài)微分方程。 (3)消去中間變量，得到一個描述元件或系統(tǒng)輸入、輸出變量之消去中間變量，得到一個描述元件或系統(tǒng)輸入、輸出變量之間關(guān)系的微分方程。間關(guān)系的微分方程。 (4)寫成標(biāo)準(zhǔn)化形式。將與輸入有關(guān)的項放在等式右側(cè)，與輸出寫成標(biāo)準(zhǔn)化形式。將與輸入有關(guān)的項放在等式右側(cè)，與輸出有關(guān)的項放

7、在等式的左側(cè)，且各階導(dǎo)數(shù)項按降冪排列。有關(guān)的項放在等式的左側(cè)，且各階導(dǎo)數(shù)項按降冪排列。 2.1.2 2.1.2 控制系統(tǒng)微分方程的列寫控制系統(tǒng)微分方程的列寫 1機械系統(tǒng)機械系統(tǒng) 任何任何機械系統(tǒng)機械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型都可以應(yīng)用牛頓定律來建立。機械的數(shù)學(xué)模型都可以應(yīng)用牛頓定律來建立。機械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可以使用系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可以使用質(zhì)量質(zhì)量、彈性彈性和和阻阻尼尼三個要素來描述。三個要素來描述。 (1) 機械平移系統(tǒng)機械平移系統(tǒng) 圖圖2.1所示為常見的所示為常見的質(zhì)量質(zhì)量-彈簧彈簧-阻尼系統(tǒng)阻尼系統(tǒng)，圖中的，圖中的 、 、 分別表示分別表示質(zhì)量質(zhì)量、彈簧剛度彈簧剛

8、度和和粘性阻尼系數(shù)粘性阻尼系數(shù)。以系統(tǒng)在靜止平。以系統(tǒng)在靜止平衡時的那一點為零點，即衡時的那一點為零點，即平衡工作點平衡工作點，這樣的零位選擇消除了重，這樣的零位選擇消除了重力的影響。設(shè)系統(tǒng)的輸入量為外作用力力的影響。設(shè)系統(tǒng)的輸入量為外作用力 ，輸出量為質(zhì)量塊，輸出量為質(zhì)量塊的位移的位移 ?，F(xiàn)研究外力。現(xiàn)研究外力 與位移與位移 之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。 在輸入力在輸入力 的作用下，質(zhì)量塊的作用下，質(zhì)量塊 將有加速度，從而產(chǎn)將有加速度，從而產(chǎn)生速度和位移。質(zhì)量塊的速度和位移使阻尼器和彈簧產(chǎn)生粘性阻生速度和位移。質(zhì)量塊的速度和位移使阻尼器和彈簧產(chǎn)生粘性阻尼力尼力 和彈性力和彈性力 。這兩個力反饋作

9、用于質(zhì)量塊上，影。這兩個力反饋作用于質(zhì)量塊上，影響輸入響輸入 的作用效果，從而使質(zhì)量塊的速度和位移隨時間發(fā)的作用效果，從而使質(zhì)量塊的速度和位移隨時間發(fā)mK tfiB)(otx tfi)(otx tfim tfB tfK tfi 圖圖2.1 機械平移系統(tǒng)力學(xué)模型機械平移系統(tǒng)力學(xué)模型生變化，產(chǎn)生生變化，產(chǎn)生動態(tài)過程動態(tài)過程。 根據(jù)根據(jù)牛頓第二定律牛頓第二定律，有，有 點擊觀看公式推導(dǎo)點擊觀看公式推導(dǎo) 由由阻尼器阻尼器、彈簧彈簧的特性，可寫出的特性，可寫出 由以上三個式子，消去由以上三個式子，消去 和和 ，并寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，得，并寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，得 一般一般 、 、 均為常數(shù)，故式（均為常數(shù)，故式（2.

10、1）為）為二階常系數(shù)線二階常系數(shù)線性微分方程性微分方程。它描述了輸入。它描述了輸入 和輸出和輸出 之間的動態(tài)關(guān)系。之間的動態(tài)關(guān)系。方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)結(jié)構(gòu)參數(shù)；而方程的階次等于系統(tǒng)中獨；而方程的階次等于系統(tǒng)中獨2io2d( )( )( )( )dBKf tftftmxttod( )( )dBftBx tto( )( )KftKx t tfB tfK2oooi2dd( )( )( )( )ddmx tBx tKx tf ttt （2.1） mKB tfi)(otx立的立的儲能元件儲能元件（慣性質(zhì)量、（慣性質(zhì)量、彈簧）的數(shù)量。彈簧）的數(shù)量。 當(dāng)質(zhì)量當(dāng)質(zhì)量 很小可忽略

11、不計很小可忽略不計時，系統(tǒng)由并聯(lián)的時，系統(tǒng)由并聯(lián)的彈簧彈簧和和阻阻尼器尼器組成，如圖組成，如圖2.2所示。所示。 此時，系統(tǒng)的運動方程此時，系統(tǒng)的運動方程為為一階常系數(shù)微分方程一階常系數(shù)微分方程 這說明，這說明， 同一系統(tǒng)由于同一系統(tǒng)由于簡化程度的不同，可以有不簡化程度的不同，可以有不同的同的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型。 ooid( )( )( )dBx tKx tf tt圖圖2.2 彈簧彈簧-阻尼系統(tǒng)力學(xué)模型阻尼系統(tǒng)力學(xué)模型 (2) 機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng) 包含定軸旋轉(zhuǎn)的機械系統(tǒng)用途極其廣泛。其建模方法與平移包含定軸旋轉(zhuǎn)的機械系統(tǒng)用途極其廣泛。其建模方法與平移系統(tǒng)非常相似。只是這里將系統(tǒng)非常相似。只

12、是這里將質(zhì)量質(zhì)量、彈簧彈簧、阻尼阻尼分別變成分別變成轉(zhuǎn)動慣轉(zhuǎn)動慣量量、扭轉(zhuǎn)彈簧扭轉(zhuǎn)彈簧、旋轉(zhuǎn)阻尼旋轉(zhuǎn)阻尼。 圖圖2.3所示為一所示為一機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)，旋轉(zhuǎn)體通過柔性軸（用扭轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)體通過柔性軸（用扭轉(zhuǎn)彈簧彈簧 表示）與齒輪連接。旋轉(zhuǎn)體在粘性介質(zhì)中旋轉(zhuǎn)，因而承表示）與齒輪連接。旋轉(zhuǎn)體在粘性介質(zhì)中旋轉(zhuǎn)，因而承受與旋轉(zhuǎn)速度成正比的阻尼力矩。受與旋轉(zhuǎn)速度成正比的阻尼力矩。 設(shè)齒輪轉(zhuǎn)角設(shè)齒輪轉(zhuǎn)角 為為系統(tǒng)輸入量系統(tǒng)輸入量，旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)角 為為系統(tǒng)輸系統(tǒng)輸出量出量，據(jù)此建立系統(tǒng)的，據(jù)此建立系統(tǒng)的運動微分方程運動微分方程（忽略軸承上的摩擦）。扭（忽略軸承上的摩擦）。扭轉(zhuǎn)彈簧左、右端的轉(zhuǎn)角分

13、別為轉(zhuǎn)彈簧左、右端的轉(zhuǎn)角分別為 、 ，設(shè)它加給旋轉(zhuǎn)體的，設(shè)它加給旋轉(zhuǎn)體的扭矩為扭矩為 （當(dāng)（當(dāng) 時，彈簧的扭矩為零），則時，彈簧的扭矩為零），則 旋轉(zhuǎn)體上除了受彈簧的扭矩外，也受阻尼扭矩旋轉(zhuǎn)體上除了受彈簧的扭矩外，也受阻尼扭矩 作用，作用，因而有因而有扭矩平衡方程扭矩平衡方程 io( ) ( )( )KTtKtt2o2d( )( )( )dKBJtTtT ttK)(it)(ot)(it)(ot)(tTBoi)(tTK和和旋轉(zhuǎn)阻尼特性方程旋轉(zhuǎn)阻尼特性方程 由以上三式整理可得由以上三式整理可得機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)運動微分方程機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)運動微分方程 圖圖2.3 機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)力學(xué)模型機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)力學(xué)模型 o

14、d( )( )dBT tBtt2oooi2dd( )( )( )( )ddJtBtKtKttt （2.2） 2電氣系統(tǒng)電氣系統(tǒng) 電阻電阻 、電感電感 和和電容器電容器 是電路中的三個基本元件。是電路中的三個基本元件。通常利用基爾霍夫定律來建立電氣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。通常利用基爾霍夫定律來建立電氣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 電氣系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型電氣系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 無源電路網(wǎng)絡(luò)無源電路網(wǎng)絡(luò)如圖如圖2.4所示，設(shè)輸入端電壓所示，設(shè)輸入端電壓 為系統(tǒng)輸入量。電容器為系統(tǒng)輸入量。電容器 兩端電壓兩端電壓 為系統(tǒng)輸出量。現(xiàn)研究為系統(tǒng)輸出量?，F(xiàn)研究輸入電壓輸入電壓 和輸出電壓和輸出電壓 之間的關(guān)系。電路中的電流為中之間的關(guān)系。

15、電路中的電流為中間變量。間變量。 RLCCLR)(ituC)(otu)(itu)(otu圖圖2.4 無源電路網(wǎng)絡(luò)無源電路網(wǎng)絡(luò) CLR 根據(jù)根據(jù)基爾霍夫定律基爾霍夫定律，有，有 點擊觀看公式推導(dǎo)點擊觀看公式推導(dǎo) 消去中間變量消去中間變量 ，稍加整理，即得，稍加整理，即得 一般假定一般假定 、 、 都是常數(shù)，則上式為都是常數(shù)，則上式為二階常系數(shù)二階常系數(shù)線性微分方程線性微分方程。若。若 ，系統(tǒng)也可簡化為，系統(tǒng)也可簡化為一階常微分方程一階常微分方程 有源電路網(wǎng)絡(luò)有源電路網(wǎng)絡(luò)如圖如圖2.5所示，設(shè)電壓所示，設(shè)電壓 為系統(tǒng)輸入量，電為系統(tǒng)輸入量，電壓壓 為系統(tǒng)輸出量?，F(xiàn)建立為系統(tǒng)輸出量。現(xiàn)建立 與與 之

16、間的關(guān)系式之間的關(guān)系式。 id ( )1( )( )ddi tuRi tLi tttCo1( )dui ttC)(ti2oooi2dd( )( )( )( )ddLCu tRCu tu tu ttt（2.3） 0LRLC)()()(ddRCiootututut （2.4） )(itu)(otu)(itu)(otuoid( )( )du tRCu tt 圖圖2.5 有源電路網(wǎng)絡(luò)有源電路網(wǎng)絡(luò) 圖中圖中 點為運算放大器的反相輸入端，點為運算放大器的反相輸入端， 為運算放大器為運算放大器的開環(huán)放大倍數(shù)。因為的開環(huán)放大倍數(shù)。因為 且一般且一般 值很大，所以值很大，所以 點電位點電位 運算放大器的輸入阻抗

17、一般都很高，故而可認為運算放大器的輸入阻抗一般都很高，故而可認為 因此，可以得到因此，可以得到 即即 oo( )( )Au tK ut AoKoKoo( )0AuutK )()(21titi oid( )( )du tu tCRt oid( )( )du tRCu tt （2.5） 3流體系統(tǒng)流體系統(tǒng) 流體系統(tǒng)比較復(fù)雜，但經(jīng)過適當(dāng)簡化也可以用流體系統(tǒng)比較復(fù)雜，但經(jīng)過適當(dāng)簡化也可以用微分方程微分方程加以加以描述。描述。 圖圖2.6所示為一簡單的所示為一簡單的液位控制系統(tǒng)液位控制系統(tǒng)。在此系統(tǒng)中，箱體通。在此系統(tǒng)中，箱體通過輸出端的過輸出端的 節(jié)流閥對外節(jié)流閥對外供液。設(shè)流供液。設(shè)流入箱體的流入箱

18、體的流量量 為系為系統(tǒng)輸入量，統(tǒng)輸入量，液面高度液面高度 為輸出為輸出量，下面列量，下面列寫液位波動寫液位波動的的運動微分方程運動微分方程。 i( )q t)(tH圖圖2.6 液位控制系統(tǒng)液位控制系統(tǒng) 根據(jù)流體連續(xù)方程，可得根據(jù)流體連續(xù)方程，可得 式中式中 箱體的截面積。箱體的截面積。 設(shè)液體是不可壓縮的，通過節(jié)流閥的液流是紊流，則其流量設(shè)液體是不可壓縮的，通過節(jié)流閥的液流是紊流，則其流量公式為公式為 式中式中 由節(jié)流閥通流面積和通流口結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q定的由節(jié)流閥通流面積和通流口結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q定的系數(shù)，通流面積不變時系數(shù)，通流面積不變時 為常數(shù)。為常數(shù)。 消去中間變量消去中間變量 得液位波動方程為得液位

19、波動方程為 顯然，式（顯然，式（2.8）是一個）是一個非線性微分方程非線性微分方程。 4模型分析模型分析 將上述系統(tǒng)模型進行比較，可清楚地看到，物理本質(zhì)不同的將上述系統(tǒng)模型進行比較，可清楚地看到，物理本質(zhì)不同的 )()(d)(doitqtqttHA（2.6） A)()(otHatq （2.7） aao( )q t)()(d)(ditqtHattHA （2.8） 系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學(xué)模型。反之，同一數(shù)學(xué)模型可以描述物系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學(xué)模型。反之，同一數(shù)學(xué)模型可以描述物理性質(zhì)完全不同的系統(tǒng)。因此，從控制理論來說，可拋開系統(tǒng)的理性質(zhì)完全不同的系統(tǒng)。因此，從控制理論來說，可拋開系統(tǒng)的物理屬性，用

20、同一方法進行普遍意義的分析研究，這就是物理屬性，用同一方法進行普遍意義的分析研究，這就是信息方信息方法法，從信息在系統(tǒng)中傳遞，從信息在系統(tǒng)中傳遞 、轉(zhuǎn)換的方面來研究系統(tǒng)的功能。而、轉(zhuǎn)換的方面來研究系統(tǒng)的功能。而從動態(tài)性能來看，在相同形式的輸入作用下，數(shù)學(xué)模型相同而物從動態(tài)性能來看，在相同形式的輸入作用下，數(shù)學(xué)模型相同而物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)其輸出響應(yīng)相似，若方程系數(shù)等值則響應(yīng)完全理本質(zhì)不同的系統(tǒng)其輸出響應(yīng)相似，若方程系數(shù)等值則響應(yīng)完全一樣，這樣就有可能利用電系統(tǒng)來模擬其它系統(tǒng)，進行實驗研一樣，這樣就有可能利用電系統(tǒng)來模擬其它系統(tǒng)，進行實驗研究。這就是控制理論中的功能模擬方法的基礎(chǔ)。究。這就是控制理

21、論中的功能模擬方法的基礎(chǔ)。 分析上述系統(tǒng)模型還可以看出，描述系統(tǒng)運動的微分方程的分析上述系統(tǒng)模型還可以看出，描述系統(tǒng)運動的微分方程的系數(shù)都是系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)及其組合系數(shù)都是系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)及其組合 ，這就說明系統(tǒng)的動態(tài)特性，這就說明系統(tǒng)的動態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)。是系統(tǒng)的固有特性，取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)。 用線性微分方程描述的系統(tǒng)，稱為用線性微分方程描述的系統(tǒng)，稱為線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)。如果方程的系。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則稱為數(shù)為常數(shù)，則稱為線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)不是常數(shù)，而；如果方程的系數(shù)不是常數(shù)，而是時間是時間 的函數(shù)，則稱為的函數(shù)，則稱為線性時變系統(tǒng)線

22、性時變系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的特點是具有。線性系統(tǒng)的特點是具有線性性質(zhì)，即服從疊加原理。這個原理是說，多個輸入同時作用線性性質(zhì)，即服從疊加原理。這個原理是說，多個輸入同時作用t于線性系統(tǒng)的總響應(yīng)，等于各輸入單獨作用時產(chǎn)生的響應(yīng)之和。于線性系統(tǒng)的總響應(yīng)，等于各輸入單獨作用時產(chǎn)生的響應(yīng)之和。 用非線性微分方程描述的系統(tǒng)稱為用非線性微分方程描述的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)，如前述的液，如前述的液位控制系統(tǒng)。位控制系統(tǒng)。 在工程實踐中，可實現(xiàn)的線性定常系統(tǒng)，均能用在工程實踐中，可實現(xiàn)的線性定常系統(tǒng)，均能用 階常系階常系數(shù)線性微分方程來描述其運動特性。設(shè)系統(tǒng)的輸入量為數(shù)線性微分方程來描述其運動特性。設(shè)系統(tǒng)的輸

23、入量為 ，系統(tǒng)的輸出量為系統(tǒng)的輸出量為 ，則單輸入、單輸出，則單輸入、單輸出 階系統(tǒng)常系數(shù)線階系統(tǒng)常系數(shù)線性微分方程有如下的一般形式性微分方程有如下的一般形式 （2.9） 式中式中 ， ， ， 和和 ， ， ， 由系統(tǒng)結(jié)由系統(tǒng)結(jié) 構(gòu)參數(shù)決定的實常數(shù)。構(gòu)參數(shù)決定的實常數(shù)。 由于實際系統(tǒng)中總含有慣性元件以及受到能源能量的限制，由于實際系統(tǒng)中總含有慣性元件以及受到能源能量的限制，所以總是所以總是 n)(itx)(otxn1ooo011o1ddd( )dddnnnnnnxxxaaaa x tttt1iii011i1ddd( )dddmmmmmmxxxbbbb x tttt nm 0a1ana0b1bm

24、b2.2 2.2 拉氏變換與反變換拉氏變換與反變換 機電控制工程所涉及的數(shù)學(xué)問題較多，經(jīng)常要解算一些機電控制工程所涉及的數(shù)學(xué)問題較多，經(jīng)常要解算一些線性線性微分方程微分方程。按照一般方法解算比較麻煩，如果用。按照一般方法解算比較麻煩，如果用拉普拉斯變換拉普拉斯變換求求解線性微分方程，可將經(jīng)典數(shù)學(xué)中的微積分運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運解線性微分方程，可將經(jīng)典數(shù)學(xué)中的微積分運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，又能夠單獨地表明初始條件的影響，并有變換表可查找，因算，又能夠單獨地表明初始條件的影響，并有變換表可查找，因而是一種較為簡便的工程數(shù)學(xué)方法。而是一種較為簡便的工程數(shù)學(xué)方法。2.2.1 2.2.1 拉普拉斯變換的定義拉普拉

25、斯變換的定義 如果有一個以時間如果有一個以時間 為自變量的實變函數(shù)為自變量的實變函數(shù) ，它的定義，它的定義 域是域是 ，那么，那么 的拉普拉斯變換定義為的拉普拉斯變換定義為 式中，式中， 是復(fù)變數(shù)，是復(fù)變數(shù)， （、均為實數(shù)），均為實數(shù)）， 稱為稱為拉普拉斯積分拉普拉斯積分； 是函數(shù)是函數(shù) 的拉普拉斯變換，它是一的拉普拉斯變換，它是一個復(fù)變函數(shù)，通常也稱個復(fù)變函數(shù)，通常也稱 為為 的的象函數(shù)象函數(shù)，而稱，而稱 為為 的的原函數(shù)原函數(shù)；L是表示進行拉普拉斯變換的符號。是表示進行拉普拉斯變換的符號。 0edstF sL f tf tt(2.10) t tf0t tfsjs0est)(sF tf)(s

26、F tf tf)(sF 式（式（2.10）表明：拉氏變換是這樣一種變換，即在一定條件）表明：拉氏變換是這樣一種變換，即在一定條件下，它能把一實數(shù)域中的實變函數(shù)變換為一個在復(fù)數(shù)域內(nèi)與之等下，它能把一實數(shù)域中的實變函數(shù)變換為一個在復(fù)數(shù)域內(nèi)與之等價的復(fù)變函數(shù)價的復(fù)變函數(shù) 。 2.2.2 2.2.2 幾種典型函數(shù)的拉氏變換幾種典型函數(shù)的拉氏變換 1.單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù) 的拉氏變換的拉氏變換 單位階躍函數(shù)是機電控制中最常用的典型輸入信號之一，常單位階躍函數(shù)是機電控制中最常用的典型輸入信號之一，常以它作為評價系統(tǒng)性能的標(biāo)準(zhǔn)輸入，這一函數(shù)定義為以它作為評價系統(tǒng)性能的標(biāo)準(zhǔn)輸入，這一函數(shù)定義為 單位階躍函

27、數(shù)如圖單位階躍函數(shù)如圖2.7所示，它表示在所示，它表示在 時刻突然作用時刻突然作用于系統(tǒng)一個幅值為于系統(tǒng)一個幅值為1的不變量。的不變量。 單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)的的拉氏變換拉氏變換式為式為 當(dāng)當(dāng) ，則，則 。 )(sF)0(1)0(0)( 1ttt)( 1 t0t0e1de )( 1)( 1 )(0stststttLsF0)Re(s0elimstt所以所以 2.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 的拉氏變換的拉氏變換 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)也是控制理論中經(jīng)常用到的函數(shù)，其中也是控制理論中經(jīng)常用到的函數(shù)，其中 是常數(shù)。是常數(shù)。 令令 則與求單位階躍函數(shù)則與求單位階躍函數(shù)同理同理，就可求得，就可求得 ssstLst1)

28、1(00e1)( 1（2.11） attf e 0)(0dedeeettLsFtasstatatass1assLsFat11e)(1 （2.12） a圖圖2.7 單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù) 3.正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的拉氏變換正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的拉氏變換 設(shè)設(shè) ， ，則，則 由由歐拉公式歐拉公式，有，有 所以所以 ttfsin)(1ttfcos)(201desinsin)(tttLsFstj2eesinjjtttttsFsttsttdeedeej21)(0j0j1ttsttstsdeedej210)j(0)j( 0ej10ej1j21)j()j(tstsss22j1j1j21sss (2.13) 同

29、理同理 4.單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)(t) 的拉氏變換的拉氏變換 單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)是在持續(xù)時間是在持續(xù)時間 期間幅值為期間幅值為 的的矩形波。其幅值和作用時間矩形波。其幅值和作用時間的乘積等于的乘積等于1，即，即 。如圖如圖2.8所示。所示。 單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)的數(shù)學(xué)表的數(shù)學(xué)表達式為達式為 (2.14） 222cossFsLts)0( t111圖圖2.8 單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù) 0001lim0tttt 和其拉氏變換式為其拉氏變換式為此處因為此處因為 時時 ， ，故積分限變?yōu)椋史e分限變?yōu)?ttLsstde1lim00 00de1limtstt 0t0 sstsss e11li

30、me1lim000! 2111lim220sss1! 21lim220sss (2.15) 5.單位速度函數(shù)的拉氏變換單位速度函數(shù)的拉氏變換 單位速度函數(shù)單位速度函數(shù)，又稱，又稱單位斜坡函數(shù)單位斜坡函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達式為，其數(shù)學(xué)表達式為見圖見圖2.9所示。所示。 單位速度函數(shù)單位速度函數(shù)的的拉氏變換式拉氏變換式為為 00tf ttt 0dettsFst圖圖2.9 單位速度函數(shù)單位速度函數(shù) 利用利用分部積分法分部積分法 令令 則則 所以所以當(dāng)當(dāng) 時，時， ,則則 000dduvuvvu,eddsttutv1dd ,esttuvs tsstsFststde1e000)Re(s0elimstt 021

31、de10stssFst （2.16） 6.單位加速度函數(shù)的拉氏變換單位加速度函數(shù)的拉氏變換 單位加速度函數(shù)單位加速度函數(shù)的數(shù)學(xué)表達式為的數(shù)學(xué)表達式為 如圖如圖2.10所示。所示。其其拉氏變換拉氏變換式為式為 通常并不根據(jù)定義來求解象函數(shù)和原函數(shù)，而可從拉氏變換通常并不根據(jù)定義來求解象函數(shù)和原函數(shù)，而可從拉氏變換表（見附錄表（見附錄A）中直接查出。）中直接查出。 200102tf ttt圖圖2.10 單位加速度函數(shù)單位加速度函數(shù) （2.17） 23112F sLts Re0s 2.2.3 2.2.3 拉氏變換的主要定理拉氏變換的主要定理 根據(jù)拉氏變換定義或查表能對一些標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)進行拉氏變換根據(jù)拉

32、氏變換定義或查表能對一些標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)進行拉氏變換和反變換，但利用以下的定理，則對一般的函數(shù)可使運算簡化。和反變換，但利用以下的定理，則對一般的函數(shù)可使運算簡化。 1.疊加定理疊加定理 拉氏變換拉氏變換也服從線性函數(shù)的也服從線性函數(shù)的齊次性齊次性和和疊加性疊加性。 1）齊次性齊次性 設(shè)設(shè) ，則，則 式中式中 常數(shù)。常數(shù)。 （2）疊加性疊加性 設(shè)設(shè) ， ，則，則 兩者結(jié)合起來，就有兩者結(jié)合起來，就有 這說明這說明拉氏變換拉氏變換是是線性變換線性變換。 sFtfL L af taF s（2.18） a sFtfL11 sFtfL22 1212L ftftF sFs（2.19） 1212L aftbft

33、aF sbFs 2.微分定理微分定理 設(shè)設(shè) 則則 式中式中 函數(shù)函數(shù) 在在 時刻的值，即時刻的值，即初始值初始值。 同樣，可得同樣，可得 的各階導(dǎo)數(shù)的的各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換拉氏變換是是 sFtfL )0()(d)(dfssFttfL)0(f0t tf )0()0()0()(d)(d)0()0()0()(d)(d)0()0()(d)(d1212333222nnnnnnffsfssFsttfLff sfssFsttfLfsfsFsttfL（2.20） tf式中式中 ， ，原函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)在原函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)在 時刻的值。時刻的值。 如果函數(shù)如果函數(shù) 及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值均為零（稱為及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值均為

34、零（稱為零初始零初始條件條件），則），則 各階導(dǎo)數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換拉氏變換為為 3.復(fù)微分定理復(fù)微分定理 若若 可以進行可以進行拉氏變換拉氏變換，則除了在，則除了在 的的極點極點以外，以外，式中，式中， 。同樣有。同樣有 )0(f )0(f 0t tf tf 23nnL ftsF sL fts F sL fts F sL fts F s（2.21） tf)(sF sFsttfLdd （2.22） F sL f t一般地，有一般地，有 4.積分定理積分定理設(shè)設(shè) ，則，則 式中式中 積分積分 在在 時刻的值時刻的值。 當(dāng)當(dāng)初始條件為零初始條件為零時，時， 對對多重積分多重積分是是 sFstft

35、L222dd d11,2,3,dnnnnL t f tF sns （2.23） sFtfL)0(1)(1d)()1(fssFsttfL（2.24） )0()1(fttfd)(0t)(1d)(sFsttfL （2.25） )0(1)0(1)(1d)()1(nnnnnfsfssFsttfL（2.26） 當(dāng)當(dāng)初始條件為零初始條件為零時，則時，則 5.延遲定理延遲定理 設(shè)設(shè) ，且，且 時，時， ，則，則 函數(shù)函數(shù) 為原函數(shù)為原函數(shù) 沿沿時間軸延遲了時間軸延遲了 ，如圖如圖2.11所示。所示。 )(1d)(sFsttfLnnn （2.27） 0t sFtfL 0f t )(e)(sFtfLs（2.28） f t f t圖圖2.11 函數(shù)函數(shù) f t 6.位移定理位移定理 在控制理論中，經(jīng)常遇到在控制理論中，經(jīng)常遇到 一類的函數(shù)，它的一類的函數(shù)，它的象函數(shù)象函數(shù)只需把只需把 用用 代替即可，這相當(dāng)于在復(fù)數(shù)代替即可，這相當(dāng)于在復(fù)數(shù) 坐標(biāo)中，坐標(biāo)中，有一位移有一位移 。 設(shè)設(shè) ，則，則 例如例如 的的象函數(shù)象函數(shù) ，則，則 的的象函數(shù)象函數(shù)為為 7.初值定理初值定理 它表明它表明原函