2015屆海淀一模理科數(shù)學附答案

1、海淀區(qū)高三年級第二學期期中練習 數(shù) 學（理） 2015.4 本試卷共4頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）設集合，則（ ）（A）（B）（C）（D）（2）拋物線上的點到其焦點的最短距離為（ ）（A）4（B）2（C）1（D）（3）已知向量與向量的夾角為，則（ ）（A）（B）（C）（D）（4）“”是“角是第一象限的角”的（ ） （A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（5）圓

2、（為參數(shù)）被直線截得的劣弧長為（ ）（A）（B）（C）（D）（6）若滿足則下列不等式恒成立的是（ ）（A）（B）（C）（D）（7）某三棱錐的正視圖如圖所示，則這個三棱錐的俯視圖不可能是（ ）（A）（B）（C）（D）（8）某地區(qū)在六年內(nèi)第年的生產(chǎn)總值（單位：億元）與之間的關系如圖所示，則下列四個時段中，生產(chǎn)總值的年平均增長率最高的是（ ）（A）第一年到第三年（B）第二年到第四年（C）第三年到第五年（D）第四年到第六年二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。（9）已知，其中是虛數(shù)單位，那么實數(shù)= . （10）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為_ （11）已知是等差數(shù)列，那么=_；的最大值為_（1

3、2）在中，若，則的大小為 . （13）社區(qū)主任要為小紅等4名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，小紅必須與2位老人都相鄰，且兩位老人不排在兩端，則不同的排法種數(shù)是 . （用數(shù)字作答）（14）設若存在實數(shù)，使得函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍是 . 三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。（15）（本小題滿分13分）已知函數(shù). （）求的最小正周期及其圖象的對稱軸方程；（）求的單調遞減區(qū)間. （16）（本小題滿分13分）某超市從2014年甲、乙兩種酸奶的日銷售量（單位：箱）的數(shù)據(jù)中分別隨機抽取100個，并按 0，10，（10，20，（20，30，（30，40，（

4、40，50分組，得到頻率分布直方圖如下： 假設甲、乙兩種酸奶獨立銷售且日銷售量相互獨立（）寫出頻率分布直方圖（甲）中的的值；記甲種酸奶與乙種酸奶日銷售量（單位：箱）的方差分別為，試比較與的大小；（只需寫出結論）（）估計在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰有一個高于20箱且另一個不高于20箱的概率； （）設表示在未來3天內(nèi)甲種酸奶的日銷售量不高于20箱的天數(shù)，以日銷售量落入各組的頻率作為概率，求的數(shù)學期望 （17）（本小題滿分14分）如圖1，在直角梯形中，四邊形是正方形. 將正方形沿折起到四邊形的位置，使平面平面，為的中點，如圖2.（）求證：；（）求與平面所成角的正弦值； （）判斷直線與的

5、位置關系，并說明理由圖1圖2 （18）（本小題滿分13分）已知函數(shù). （）求函數(shù)的單調區(qū)間；（）若（其中），求的取值范圍，并說明.（19）（本小題滿分13分）已知橢圓過點，且離心率.（）求橢圓的方程；（）是否存在菱形，同時滿足下列三個條件：點在直線上；點，在橢圓上；直線的斜率等于.如果存在，求出點坐標；如果不存在，說明理由.（20）（本小題滿分14分）有限數(shù)列同時滿足下列兩個條件： 對于任意的（），； 對于任意的（），三個數(shù)中至少有一個數(shù)是數(shù)列中的項.（）若，且，求的值；（）證明：不可能是數(shù)列中的項；（）求的最大值.海淀區(qū)高三年級第二學期期中練習 數(shù)學（理）答案及評分參考 2015.4一、選擇

6、題（共8小題，每小題5分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）B （5）A （6）D （7）C （8）A二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分。有兩空的小題，第一空2分，第二空3分）（9） （10） （11） （12）或 （13） （14）三、解答題（共6小題，共80分） （15）（共13分） 解：（）因為 2分 . 所以 . 4分令，得：. 6分所以 的最小正周期為，對稱軸的方程為.（）. 9分 令， 得：. 所以 的單調遞減區(qū)間為. 13分（16）（共13分）解：（）； 2分. 4分（）設事件：在未來的某一天里，甲種酸奶的銷售量不高于20箱；事件：在未來的某一天里，乙種酸奶的

7、銷售量不高于20箱；事件：在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰好一個高于20箱且另一個不高于20箱. 則，. 6分所以 . 8分 （）由題意可知，的可能取值為0，1，2，3. 9分， ，. 所以的分布列為01230.3430.4410.1890.027 11分所以 的數(shù)學期望.13分另解：由題意可知.所以 的數(shù)學期望. 13分（17）（共14分）證明：（）證明：因為 四邊形為正方形， 所以 . 因為 平面平面，平面平面，平面， 所以 平面. 2分 因為 平面， 所以 . 4分（）解：如圖，以點為坐標原點，分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系. 設，則. 所以 ，. 6分 設

8、平面的一個法向量為. 由得令，得，所以 . 8分設與平面所成角為，則.所以 與平面所成角的正弦值為. 10分（）解：直線與直線平行. 理由如下： 11分由題意得，.所以 . 所以 . 13分因為 ，不重合，所以 . 14分另解：直線與直線平行. 理由如下：取的中點，的中點，連接，.所以 且.因為 為的中點，四邊形是正方形，所以 且.所以 且.所以 為平行四邊形.所以 且.因為 四邊形為梯形，所以 且.所以 四邊形為平行四邊形.所以 且.所以 且.所以 是平行四邊形.所以 ，即. 14分（18）（共13分）解：（）. 2分（）當時，則函數(shù)的單調遞減區(qū)間是. 3分（）當時，令，得. 當變化時，,的

9、變化情況如下表極小值所以 的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是. 5分（）由（）知：當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，函數(shù)至多存在一個零點，不符合題意. 6分當時，因為 在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以 要使，必須，即.所以 . 7分當時，.令，則.當時，所以，在上是增函數(shù).所以 當時，.所以 . 9分因為 ，所以 在內(nèi)存在一個零點，不妨記為，在內(nèi)存在一個零點，不妨記為. 11分因為 在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以 .綜上所述，的取值范圍是. 12分因為 ，所以 . 13分（19）（共13分）解：（）由題意得： 3分解得：所以 橢圓的方程為. 4分（）不存在滿足題意的菱形，理由如下： 5分假設存

10、在滿足題意的菱形.設直線的方程為，線段的中點，點. 6分由得. 8分由 ，解得. 9分因為 ， 所以 . 11分因為 四邊形為菱形，所以 是的中點.所以 點的縱坐標. 12分因為 點在橢圓上，所以 .這與矛盾. 13分所以 不存在滿足題意的菱形. （20）（共14分）解：（）由，得.由，當，時. ,中至少有一個是數(shù)列，中的項，但，故，解得.經(jīng)檢驗，當時，符合題意. 3分（）假設是數(shù)列中的項，由可知：6，10，15中至少有一個是數(shù)列中的項，則有限數(shù)列的最后一項，且.由，. 4分 對于數(shù)，由可知：；對于數(shù)，由可知：. 6分 所以 ，這與矛盾. 所以 不可能是數(shù)列中的項. 7分（）的最大值為，證明如下： 8分（1）令，則符合、. 11分（2）設符合、，則： （）中至多有三項，其絕對值大于1. 假設中至少有四項，其絕對值大于1，不妨設，是中絕對值最大的四項，其中.則對，有，故，均不是數(shù)列