現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法5 優(yōu)化設(shè)計(jì)

1、優(yōu)優(yōu) 化化 設(shè)設(shè) 計(jì)計(jì)第五章第五章 優(yōu)優(yōu) 化化 設(shè)設(shè) 計(jì)計(jì)傳統(tǒng)機(jī)械設(shè)計(jì)中，存在選優(yōu)的思想，受時(shí)間、條件的限制，計(jì)算機(jī)應(yīng)用前用數(shù)學(xué)極小化處理簡(jiǎn)單問題。隨著1946年第一臺(tái)計(jì)算機(jī)問世，傳統(tǒng)設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。優(yōu)化設(shè)計(jì)是以數(shù)學(xué)規(guī)劃理論為基礎(chǔ)，以計(jì)算機(jī)為工具優(yōu)選設(shè)計(jì)參數(shù)的一種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法。5.1 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 的 數(shù) 學(xué) 模 型v下面舉例說明： 用薄鋼板制造一體積為5m3，長(zhǎng)度不小于4m不帶上蓋的貨箱，要求該貨箱的鋼板耗費(fèi)量最小，試確定貨箱的長(zhǎng)X1，寬X2，高X3。X2X1X3v解：鋼板的耗費(fèi)量與貨箱的表面積成正比，優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)是鋼板的耗費(fèi)量最少，即貨箱的表面積S最小，不帶蓋的貨箱表面積vS=

2、X1*X2+2(X2*X3+X1*X3)vS是X1、X2和X3的函數(shù)，稱為目標(biāo)函數(shù)。v參數(shù)X1、X2和X3稱為設(shè)計(jì)變量。v優(yōu)化設(shè)計(jì)就是恰當(dāng)?shù)剡x擇這些參數(shù)(設(shè)計(jì)變量)，使貨箱表面積S(目標(biāo)函數(shù))達(dá)到最小。v選擇這些參數(shù)受到貨箱體積和長(zhǎng)、寬、高限制：vX1*X2*X3=5， X14,X2 0,X3 0v以上限制設(shè)計(jì)變量X1,X2,X3的表達(dá)式，稱為約束條件。v已知：傳動(dòng)比i, 轉(zhuǎn)速n, 傳動(dòng)功率P，大小齒輪的材料，設(shè)計(jì)該齒輪副，使其重量最輕。v分析：(1) 圓柱齒輪的體積(V)與重量(W)的表達(dá)；v (2)設(shè)計(jì)參數(shù)確定：模數(shù)(m)，齒寬(b)，齒數(shù)(z)。v (3)設(shè)計(jì)約束條件：v(a)大齒輪滿足

3、彎曲強(qiáng)度要求；v(b)小齒輪滿足彎曲強(qiáng)度要求；v(c)齒輪副滿足接觸疲勞強(qiáng)度要求；v(d)齒寬系數(shù)要求；v(e)最小齒數(shù)要求。例 問題的數(shù)學(xué)表達(dá)v設(shè)計(jì)變量： x = m z bTv設(shè)計(jì)目標(biāo)：min W=rpb(mz)2+(miz)2/4v約束條件： g1(x)=sF1sF10v g2(x)=sF2 sF20v g3(x)=sH sH10v g4(x)=b 1.2mz0v g5(x)=17 z0建立優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型步驟v1)根據(jù)設(shè)計(jì)要求，應(yīng)用專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗(yàn)等，對(duì)優(yōu)化對(duì)象進(jìn)行分析分析。必要時(shí)，需要對(duì)傳統(tǒng)設(shè)計(jì)中的公式進(jìn)行改進(jìn)，并盡可以反映該專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)代技術(shù)進(jìn)步的成果。v2)對(duì)結(jié)

4、構(gòu)諸參數(shù)進(jìn)行分析，以確定設(shè)計(jì)的原始參數(shù)、設(shè)計(jì)常數(shù)和設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量v3)根據(jù)設(shè)計(jì)要求，確定并構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和相應(yīng)的約束條約束條件件，有時(shí)要構(gòu)造多目標(biāo)函數(shù)v4)必要時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行規(guī)范化規(guī)范化，以消除諸組成項(xiàng)間由于量綱不同等原因?qū)е碌臄?shù)量懸殊的影響5.1.1. 數(shù)學(xué)模型的一般形式：優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型由設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件三部分組成。統(tǒng)一形式： 求變量： x1, x2, , xn使極小化函數(shù)： f (x1, x2, xn)滿足約束條件：gu(x1, x2, , xn)0 (u=1,2, ,m) 不等式約束條件 hv(x1, x2, , xn)=0 (v=1,2, ,p) 等式約束條件 v設(shè)計(jì)

5、變量可用向量表示：v X= x1, x2, , xnTv XRn 向量X屬于n維實(shí)歐氏空間v s.t. (subject to)表示 “滿足于” 。v優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型可表達(dá)為如下的標(biāo)準(zhǔn)形式： min f (X ) XRns.t. gu(X )0 (u=1,2, ,m) hv(X ) = 0 (v=1,2, ,p)v求極大時(shí)將目標(biāo)函數(shù)寫為f(X)即可。同樣，當(dāng)不等式約束條件中的不等號(hào)為“0”時(shí)，只要將不等式兩端同時(shí)乘以“1”，即可得到上述標(biāo)準(zhǔn)形式。 v最優(yōu)化問題也稱數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，若目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)均為設(shè)計(jì)變量的線性函數(shù)時(shí)，稱此設(shè)計(jì)問題為線性優(yōu)化問題或線性規(guī)劃問題。說明：(1) 設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)

6、空間v選擇與目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)密切相關(guān)，能表達(dá)設(shè)計(jì)對(duì)象特征的獨(dú)立參數(shù)和尺寸。vn個(gè)設(shè)計(jì)變量x1, x2, , xn，相互獨(dú)立，形成向量X=x1, x2, , xnT的全體集合構(gòu)成一個(gè)n維實(shí)歐氏空間，稱設(shè)計(jì)空間xn，n稱為設(shè)計(jì)空間的維數(shù)。n=2時(shí)設(shè)計(jì)空間為二維平面。5.1.2. 優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本要素： 約束條件：對(duì)設(shè)計(jì)變量取值時(shí)的限制條件。分為：等式約束： hv(X)=0 (v=1,2, ,p) 不等式約束：gu(X)0 (u=1,2, ,m) 約束邊界所包圍的區(qū)域是設(shè)計(jì)空間中滿足所有不等式約束條件的部分，在這個(gè)區(qū)域中所選擇的設(shè)計(jì)變量是允許的，稱為設(shè)計(jì)可行域。 由是否滿足約束條件將設(shè)計(jì)點(diǎn)分為可行點(diǎn)

7、(內(nèi)點(diǎn))和非可行點(diǎn)(外點(diǎn))。(2)約束條件與可行域vg1(X)=x1+x220vg2(X)=x12x2+10vg3(X)=x10例：x1x2可行域可行域g2(x)g2(x) = 0g3(x) = 0g1(x) = 0將所追求的設(shè)計(jì)目標(biāo)用設(shè)計(jì)變量的形式表達(dá)出來，稱為建立目標(biāo)函數(shù)。一組設(shè)計(jì)變量值在設(shè)計(jì)空間確定一個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)這一點(diǎn)有確定的函數(shù)值。反之，當(dāng)函數(shù)為某一定值時(shí)，如f (X ) = c,則可有無限多組設(shè)計(jì)變量X1, X2, , Xn值與之對(duì)應(yīng)，即有無限多個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)著相同的函數(shù)值。因此這些點(diǎn)在設(shè)計(jì)空間中將組成一個(gè)點(diǎn)集，將此點(diǎn)集稱為等值曲面或等值超曲面(若為二維設(shè)計(jì)空間則稱為等值域)。(3

8、)目標(biāo)函數(shù)與等值域v簡(jiǎn)單二維問題，在平面內(nèi)作出約束可行域，畫出目標(biāo)函數(shù)的等值域，找出最優(yōu)點(diǎn)。v步驟：確定設(shè)計(jì)空間約束可行域目標(biāo)函數(shù)等值線最優(yōu)點(diǎn)v例： min f(X)=x12+x224x1+4 s.t. g1(X) = x1+x220 g2(X) = x12x2+10 g3(X) = x105.1.3 優(yōu)化問題的圖解法圖解法vmin f (X )=x12+x22 4x1+4v s.t. g1(X) = x1+x220v g2(X) = x12x2+10v g3(X) = x10 x1x20123451234f (X ) = 16f (X ) = 1g3(x)g2(x)g1(x)f (X ) =

9、 9X* = 0.58, 1.34T65.2 優(yōu)化方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)5.2.1 梯度(求解出數(shù)的最速下降方向)v定義下列向量： 為函數(shù)f(X)在X(k)點(diǎn)的梯度，簡(jiǎn)記為f，也可記作grad f(X(k)。TnkkkkxXfxXfxXfXf)(,.,)(,)()()(2)(1)()(v(1)函數(shù)在一點(diǎn)的梯度是對(duì)設(shè)計(jì)變量Xi(i=1, 2, n)一階偏導(dǎo)組成的列向量。表示函數(shù)在X(k)點(diǎn)的最陡上升方向，是函數(shù)的一種局部性質(zhì)。反映X(k)鄰近函數(shù)的性質(zhì)，梯度大小是其模長(zhǎng)。v(2)梯度向量f (X(k)與過X(k)點(diǎn)的等值線(或等值面)的切線是正交的。函數(shù)的梯度f具有如下幾個(gè)性質(zhì)：函數(shù)的梯度f具有如下幾個(gè)

10、性質(zhì)：v(3)負(fù)梯度向量f (X(k)是函數(shù)在X(k)點(diǎn)的最速下降方向。v例：求二元函數(shù)f (x1, x2)= x12+x224x1+2x2+5在 X0=2，2T處的梯度及梯度的模。vf(X) 的泰勒二階近式。v其中2f(X(k)是由函數(shù)在點(diǎn)X(k)的所有二階偏導(dǎo)組成的矩陣，稱為函數(shù)f(X)在點(diǎn)X(k)的二階導(dǎo)數(shù)矩陣或Hessian矩陣H(X(k)。( )( )( )( )2( )( )()()() )1)()2kkTkkTkkf Xf Xf XXXXXf XXX 5.2.2 多元函數(shù)的泰勒展開(函數(shù)的近似表達(dá)式)v函數(shù)的二階偏導(dǎo)值對(duì)于變量的偏導(dǎo)次序無關(guān)，是一nn階實(shí)對(duì)稱矩陣。取其前二項(xiàng)，可得

11、函數(shù)的泰勒線性近似式：v f(X)f(X(k)+f(X(k)TXX(k)2( )2( )2( )211212( )2( )2( )2( )221222( )2( )2( )212()()()()()()()()()()kkknkkkknkkknnnf Xf Xf Xxx xx xf Xf Xf Xf Xx xxx xf Xf Xf Xxxxxx v 解：f (X(1) = 3211(1)212213690()336xxf Xxx 12(1)12166 012 0()0660 0 xf Xx 11(1)221111xxXXxx 例：用泰勒展開將函數(shù)f(X)=x13x23+3x12+3x229x1

12、在點(diǎn)X(1)=1，1T 簡(jiǎn)化成線性函數(shù)和二次函數(shù)。v代入得簡(jiǎn)化的線性函數(shù)：二次項(xiàng)：(1)(1)(1)122()()()130 3136Tf Xf Xf XXXxxx (1)2(1)(1)1122211()2112011110026(1)TXXfXXXxxxxx v 簡(jiǎn)化的二次函數(shù)：vf(X)=3x26+6(x11)2=6x1212x1+3x2vX(1)=1,1T代入線性二次函數(shù)都等于3，與原函數(shù)相等。5.2.3.二次函數(shù)：v形式：f (X ) = X T H X / 2 + B X + CvH22階常數(shù)矩陣vC常數(shù)向量vXTHX稱為二次型，H稱二次型矩陣，相當(dāng)于函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)矩陣。v對(duì)于非零向

13、量X： 若 XTHX 0 H 正定 XTHX0 H 半正定 XTHX0v各階主子式大于0是正定矩陣。*20()02H x20002v在 X*處取得極值，其必要條件是:v即在極值點(diǎn)處函數(shù)的梯度為n維零向量。v為了判斷從上述必要條件求得的 X*是否是極值點(diǎn)，需建立極值的充分條件。v根據(jù)函數(shù)在 X*點(diǎn)處的泰勒展開式，考慮上述極值必要條件，可得相應(yīng)的充分條件。12()0TXnffff Xxxxv即要求H(X*)各階主子式均大于零。2*2*2*211212*2*2*2*221222*2*2*212()()()()()()()()()()nnnnnf Xf Xf Xxx xx xf Xf Xf Xf Xx

14、 xxx xf Xf Xf Xxxxxx 正定(1)概念：v對(duì)于多變量、多約束非線性優(yōu)化問題，采用數(shù)值迭代法；對(duì)于極小化問題，采用下降迭代法。初始X(0)產(chǎn)生點(diǎn)列： X(0), X(1), X(2), X(k), X(k+1)v對(duì)應(yīng)目標(biāo)函數(shù)： f(X(0) f(X(1) f(X(k) f(X(k+1) (下降) 且 lim X(k)= X*(目標(biāo)函數(shù)極小點(diǎn))滿足此條件的下降迭代算法具有收斂性，稱點(diǎn)列收斂于極小點(diǎn)X*。5.2.4 下降迭代法：v 優(yōu)化迭代算法格式： X (k+1) = X (k) + a S(k)式中 S(k)搜索方向 a 步長(zhǎng)因子 (2)格式：vX(k+1)取S(k)上的一維極

15、小點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于最優(yōu)步長(zhǎng)因子ak。(1)給定初始點(diǎn) X(k) 和收斂精度e；(2)選取搜索方向S(k);(3)確定步長(zhǎng)因子ak得到X(k+1);(4)收斂判斷 X(k+1)滿足收斂精度， X(k+1)作為最優(yōu)點(diǎn)終止，否則重復(fù)(2)。故迭代算法的核心在于：v(1)確定搜索方向S(k) ;v(2)確定步長(zhǎng)因子a；v(3)給定收斂準(zhǔn)則。5.3 一 維 搜 索 法 v求解一維目標(biāo)函數(shù)f(a)的極小點(diǎn)和極小值的數(shù)值迭代方法稱為一維搜索方法。v從點(diǎn)X(k)出發(fā)，在方向S(k)上的一維搜索數(shù)學(xué)表達(dá)式： min f(X(k)+ a S(k) ) =f(X(k) +ak S(k) ) X(k+1)=X(k)+ ak

16、 S(k) X(k)akS(k)X(k+1)v一維優(yōu)化目的是在既定的X(k)和S(k)下尋求最優(yōu)步長(zhǎng)a(k)使迭代產(chǎn)生新點(diǎn)X(k+1)的函數(shù)值最小。v一維優(yōu)化一般分為兩大步：(1).確定初始搜索區(qū)間a,b,該區(qū)間應(yīng)是包括一維函數(shù)極小值點(diǎn)的單峰區(qū)間。(2).在搜索區(qū)間a,b內(nèi)尋找極小點(diǎn)。v進(jìn)退法思路： 由單峰函數(shù)性質(zhì)可知，在極小點(diǎn)a*左邊函數(shù)值應(yīng)嚴(yán)格下降，在極小值點(diǎn)右邊函數(shù)值應(yīng)嚴(yán)格上升。由此，可以某一個(gè)給定的初始點(diǎn)x0出發(fā)，以初始步長(zhǎng)h0沿著目標(biāo)函數(shù)值下降方向，逐步前進(jìn)(或后退)，直至找到相繼的3個(gè)試點(diǎn)的函數(shù)值按大小大變化為止。5.3.1.確定搜索區(qū)間的方法：進(jìn)退法進(jìn)退法確定搜索區(qū)間的步驟如下：

17、(1)給定初始點(diǎn)x0和初始步長(zhǎng)h；(2)令x1=x0 , x2=x1+h 得兩試點(diǎn)x1，x2計(jì)算函數(shù)值 f1=f(x1) f2=f(x2);(3)比較f1和f2 ，存在兩種情況：F f1 f2F f1f2若存在f1f2 ，取第3個(gè)試點(diǎn)x3=x2+h ，計(jì)算函數(shù)值 f3=f(x3)，比較f2 與f3 ：若f2 f3 ，則找到了x1，x2，x3的函數(shù)值按大小大變化的要求。故有搜索區(qū)間a, b= x1, x3；f3x1xf(x)0hhf2f1x3x2 若f2 f3，將步長(zhǎng)加倍，令h=2h ，x1=x2 , x2=x3 , x3=x2+h ，如此重復(fù)該過程，總能找到相繼3試點(diǎn)的函數(shù)值符合“大-小-大”

18、變化的要求。取左端點(diǎn)為a,右端點(diǎn)為b,從而找到搜索區(qū)間a, b。f3x1xf(x)0hhf2f1x3x22h 若f2 f3，將步長(zhǎng)加倍，令h=2h ，x1=x2 , x2=x3 , x3=x2+h ，如此重復(fù)該過程，總能找到相繼3試點(diǎn)的函數(shù)值符合“大-小-大”變化的要求。取左端點(diǎn)為a,右端點(diǎn)為b,從而找到搜索區(qū)間a, b。f3x1xf(x)0hhf2f1x3x22h若f2f1 作后退計(jì)算。令h=h,將x1，f1 與x2 ，f2 對(duì)調(diào)，并取第3個(gè)試點(diǎn)x3=x2+h ，計(jì)算其函數(shù)值f3= f(x3),比較對(duì)調(diào)后的f2 與f3 ：x1xf(x)0hf2f1x2f3hx3v若f2f3，a,b= x3,

19、 x1;v若f2 f3，將步長(zhǎng)加倍，繼續(xù)作后退運(yùn)算，令h=2h，x1=x2, x2=x3, x3=x2+h，繼續(xù)比較f2與f3，直到相繼3個(gè)試點(diǎn)的函數(shù)值按“大-小-大”變化為止，相應(yīng)的區(qū)間為x3, x1。f3x1xf(x)0hhf2f1x3x22h找到搜索區(qū)間后，便可運(yùn)用一維優(yōu)化算法在區(qū)間內(nèi)找到極小點(diǎn)。例： 用進(jìn)退法確定f(x)=x27x+10 的初始搜索區(qū)間。設(shè)初始點(diǎn)x0=0 ,初始步長(zhǎng)h=1。解： x1=x0=0 f1= f(x1)=10 x2=x1+h=1 f2= f(x2)=4 比較f1 ，f2 ，因f2 f3 ,作前進(jìn)運(yùn)算 h=21=2 x1=x2=1 f1 = f2 =4 x2=x

20、3=2 f2 = f3=0 x3=x2+h=4 f3= f(x3) = 2 比較f2 ，f3 ，因f2 f3 ,作前進(jìn)運(yùn)算 h=22=4 x1=x2=2 f1 =f2=0 x2=x3=4 f2 =f3=2 x3=x2+h=8 f3=f(x3)=18 此時(shí)：x1, x2, x3 三點(diǎn)的函數(shù)值出現(xiàn)了大小的變化，故a=x1=2, b=x3=8 求得初始搜索區(qū)間a,b=2,8v是通過不斷縮短搜索區(qū)間的長(zhǎng)度來尋求一維函數(shù)f(x)的極小點(diǎn)。v原理是：在搜索區(qū)間a,b內(nèi)取兩點(diǎn)x1和x2 (x1 x2)： f(x1) f(x2)，極小點(diǎn)在x1和b間，消去區(qū)間a, x1，得到縮小后新區(qū)間x1,bv不斷重復(fù)上述過

21、程，當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度baf2 。極小點(diǎn)必在區(qū)間x1 ,b內(nèi)，消去區(qū)間a,x1,令a=x1，產(chǎn)生新區(qū)間x1,b，區(qū)間收縮了一次。新區(qū)間的x1點(diǎn)與原區(qū)間x2點(diǎn)重合，令x1=x2，f1=f2 ，這樣可節(jié)省一次函數(shù)計(jì)算。ax1bf1f2x2 (2) 若f1f2。極小值點(diǎn)在區(qū)間a,x2內(nèi)，消去區(qū)間x2,b，令b=x2產(chǎn)生新區(qū)間a,b，區(qū)間縮短一次。同時(shí)，新區(qū)間x2點(diǎn)與原區(qū)間的x1點(diǎn)重合，令x2=x1，f2 =f1。當(dāng)縮短的新區(qū)間長(zhǎng)度小于等于某一精度e，即bae 時(shí)取為近似極小點(diǎn)x*=(a+b)/2。ax1bx2f1f2L(1l)LlLabx1x2(1l)LLabx1x2lLLabx1x2(II) 黃金分割法的

22、區(qū)間收縮率lv每次縮小所得的新區(qū)間長(zhǎng)度與縮小前區(qū)間長(zhǎng)度之比，稱為區(qū)間收縮率，以l表示。v黃金分割法收縮率保持不變，0.618v0.618n(ba)ev 解： (1)采用上節(jié)所求初始區(qū)間a,b=2,8取兩計(jì)算點(diǎn)并計(jì)算出數(shù)值。 x1=a+0.382(ba)=4.292 f1= f(x1)=1.622736 x2=a+0.618(ba)=5.708 f2= f(x2)=2.625264 (2)比較函數(shù)值，縮短搜索區(qū)間 f1e不滿足，繼續(xù)縮短區(qū)間。 各次縮短區(qū)間有關(guān)計(jì)算數(shù)據(jù)如下表：abx1 x2f1f2ba0284.292 5.708 1.6227 2.6253 6125.708 3.416 4.29

23、2 2.24302 1.623 3.708 224.292 2.976 3.416 1.975 2.243 2.29232.975544 4.292 3.414 3.789 2.243 2.166 1.31642.975544 3.7891143.286 3.416 2.2043 2.243 0.813653.286328 3.789114 3.416 3.597 2.2430 2.241 0.502863.286328 3.59705 3.405 3.416 2.24098 2.243 0.3107(3)判斷迭代終止條件 可見，區(qū)間縮短6次后： 區(qū)間長(zhǎng)度為：ba=0.3107f2 加大步長(zhǎng)向

24、前探測(cè)。令 x3=x0+2h=2 f3= f(x3)=18 f2f3，初始區(qū)間找到a,b=0,2。 (2) 用黃金分割法縮小區(qū)間 1) 第一次 x1=0+0.382(20)=0.764 f1=0.282 x2=0+0.618(20)=1.236 f2=2.72 由于f10.2 應(yīng)繼續(xù)縮小。 2) 第二次 x2=x1=0.764 f2 =f1=0.282 x1=0+0.382(1.2360)=0.472 f1=0.317 由于f1 f2 ， a,b=x1 ,b=0.472,1.236 ba=1.2360.472=0.7640.2 應(yīng)繼續(xù)縮小。3) 第三次 f1f2 x1=x2=0.764 f2

25、=f1=0.28 x2=0.472+0.618(1.2360.472)=0.944 f2=0.747 f10.2 4) 第四次 x2=x1=0.764 f2 =f1=0.282 x1=0.472+0.382(0.9440.472)=0.652 f1=0.223 f10.2 5 )第五次 x2=x1=0.652 f2 =f1=0.223 x1=0.472+0.382(0.7640.472)=0.584 f1=0.262 f1f2 故a,b=x1, b=0.584, 0.764 ba=0.7640.584=0.18f2 f2xpx2x1x3f pf 2x1fp f2(1)確定初始搜索區(qū)間a,b和精

26、度e； (2)在區(qū)間a,b內(nèi)取3點(diǎn)：x1=a, x2=0.5(a+b), x3=b計(jì)算它們的函數(shù)值f1= f(x1), f2= f(x2), f3= f(x3)構(gòu)成 3個(gè)插值點(diǎn)p1(x1, f1), p2(x2, f2)和p3(x3, f3)。(3)計(jì)算二次插值函數(shù)的極小值點(diǎn)xp，計(jì)算fp= f(xp)。若本步驟為第一次插值或x2點(diǎn)為初始給定點(diǎn)時(shí)，說明x2和xp不代表前后兩次插值函數(shù)的極小點(diǎn)，不能進(jìn)行終止判斷，進(jìn)行下一步；否則轉(zhuǎn)(5)。(II)二次插值法的迭代過程(4)縮小搜索區(qū)間v比較f2 、fp ，取其小者所對(duì)應(yīng)點(diǎn)為新的x2點(diǎn)，以此點(diǎn)左右鄰點(diǎn)為新的x1 、x3 ，構(gòu)成新的搜索x1, x3x

27、3xpx2x1f pf 2x2x3fpf2xpx2x1x3f pf 2x1x2fpf2(a)xpx2x1x3f pf 2x3fp f2xpx2x1x3f pf 2x1fp f2(b)(5)判斷是否滿足精度要求v|x2 xp |e , |f2 fp|e停止，取x2與xp 中原函數(shù)值較小的點(diǎn)作為極小點(diǎn)，否則返回(4)縮短區(qū)間直至滿足要求。v例：用二次插值法求f(x)=x27x+10的最優(yōu)解，已知初始區(qū)間為2, 8，取終止迭代點(diǎn)距精度e =0.01。 解: (1)確定初始插值結(jié)點(diǎn) x1=a=2， f1= f(x1)=0 x3=b=8, f3= f(x3)=18 x2=4, f2= f(x2)=2 (

28、2) 計(jì)算插值函數(shù)極小點(diǎn) xp=0.5(x1+ x3c1/c2)=3.5 fp= f(xp) =2.25 |xp x2|e (需要再次迭代)v(3)縮短搜索區(qū)間 由于f2 fp , xp x2 故x3=x2=5 f3 =2 x2=xp=3.5 f2=2.25 x1=2 f1=0 計(jì)算xp=3.5 fp=2.25 xp x2=0e x*= xp=3.5 f*= f(xp)=2.25 二次函數(shù)用二次插值，只需一次計(jì)算。v 收斂速度快，有效性好，程序復(fù)雜，可靠性差，適應(yīng)于多值優(yōu)化的一維搜索迭代。v例5.6 用二次插值法求解f(x)=3x34x+2的極小點(diǎn)，x0=0, h=1, e =0.2 解：(1

29、)初始區(qū)間0, 2，另取中點(diǎn)x2=1。 (2)用二次插值法逼近最小點(diǎn)。 x1=0, x2=1, x3=2 得： f1= 2, f2= 1, f3=18得 xp=0.555 fp=0.292 ：v fpf2 , xp0.2, 作二次插值。 在新的區(qū)間內(nèi): x1=0, x2=0.555, x3=1, f1= 2, f2=0.292, f3=1 將其代入得： xp=0.607 fp=0.243 fpx2 a, b=x2, b=0.555, 1 |x2xp| = |0.5550.607|=0.0520.2 故極小值和極小值點(diǎn)為： x*= xp=0.607 f*=0.243 二次插值的收斂速度比黃金分割

30、快得多。5.4 多 維 優(yōu) 化 方 法v多維優(yōu)化方法是進(jìn)行多變量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)值迭代法，有無約束優(yōu)化和約束優(yōu)化兩方面內(nèi)容。v無約束優(yōu)化方法可分為兩類：利用目標(biāo)函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)的信息構(gòu)造搜索方向的算法，稱為導(dǎo)數(shù)法，如梯度法、共軛梯度法。另一類是通過已知點(diǎn)上函數(shù)值的比較構(gòu)造搜索方向的算法，稱為模式法，如Powell法 v約束優(yōu)化方法分為直接法和間接法： 迭代過程逐點(diǎn)考察約束，使迭代點(diǎn)始終局限于可行域內(nèi)的算法稱為直接法，如可行方向法、復(fù)合形法等； 將約束條件引入目標(biāo)函數(shù)，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束問題求解的算法稱為間接法，如懲罰函數(shù)法。5.4.1 梯 度 法 vI.基本原理v 在迭代過程的某一點(diǎn)X

31、(k)處，目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度方向f(X(k)是函數(shù)的最速下降方法，利用這一性質(zhì)，將n維無約束極小化問題轉(zhuǎn)化為一系列沿目標(biāo)函數(shù)負(fù)梯度方向進(jìn)行一維搜索尋優(yōu)的一種方法，即是在每一迭代點(diǎn)X(k)，選取搜索方向S(k)為負(fù)梯度方向： S(k)=f(X(k)或)()()()()(kkkXfXfSv沿S(k)進(jìn)行一維搜索，以確定步長(zhǎng)因子a(k)，找到新的設(shè)計(jì)點(diǎn)X(k+1)=X(k)+a(k)S(k)v梯度法的迭代公式可寫成：v X(k+1) = X(k)a(k) f(X(k)v 或v按照上述迭代公式進(jìn)行一維搜索；每次迭代的初始點(diǎn)取上次迭代的終點(diǎn)，即可使迭代點(diǎn)逐步逼近目標(biāo)函數(shù)極小點(diǎn)。)()()()()()()1

32、(kkkkkXfXfXXaII.梯度法的特點(diǎn))0(X)1(X)2(X)3(X*X*x)()0(xf)0(x v每次沿迭代點(diǎn)函數(shù)值下降最快的方向搜索，稱最速下降法。v缺點(diǎn)：曲折，收斂速度慢。v 對(duì)于圓一次可達(dá)。v 不是圓時(shí)，負(fù)梯度方向不指向圓心，迭代次數(shù)增加，偏心嚴(yán)重，迭代次數(shù)多，形成“鋸齒現(xiàn)象”，開始步長(zhǎng)大，愈接近極小點(diǎn)步長(zhǎng)小，收斂慢。v優(yōu)點(diǎn)：迭代過程簡(jiǎn)單，對(duì)初始點(diǎn)要求不高，只要計(jì)算導(dǎo)數(shù)，只求一階，存儲(chǔ)單元少。5.4.2 共 軛 梯 度 法 vI. 共軛方向的概念與性質(zhì)v 設(shè)H為一正定對(duì)稱矩陣，若有一組非零向量S1 , S2 , Sn滿足：SiTHSj=0稱這組向量關(guān)于矩陣H共軛。若H為單位陣

33、，SiTSj=0 (ij)稱向量Si (i=1,2,n)正交。v X=x1 , x2T 任選初始點(diǎn)X(0)并沿梯度方向S(0)作一維搜索得： X(1)= X(0)+a0 S(0) X(1)的梯度與S(0)垂直，故： f(X(1)T S(0)=0 (1) 求式(1)點(diǎn)X(1)的梯度 f(X(1)=HX(1)+B 從X(1)沿某一下降方向S(1)作一維搜索，同理可得： X(2)= X(1)+a1S(1) f(X(2)=HX(2) +BCXBHXXxfTT21)(例v欲使X(2)成為極小點(diǎn)，則根據(jù)極值必要條件，有： f(X(2)=HX(2)+B=0 H(X(1)+a1S(1)+B=0 f(X(1)+

34、 a1HS(1)=0 上式左乘 S(0)Tf(X(1)+ a1S(0)T HS(1)=0 由a10得： S(0)T HS(1)=0 即要使迭代點(diǎn)X(2)成為正定二元二次函數(shù)的極小點(diǎn)，只需使兩次一維搜索方向S(0)和S(1)關(guān)于函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)矩陣H為共軛。v(1)若S(i) (i=1,2,n)是以H共軛的n個(gè)向量，則對(duì)于正定二次函數(shù)以任意初始點(diǎn)X(0)出發(fā)，依次沿n個(gè)方向進(jìn)行一維搜索，最多n次即可達(dá)到極小點(diǎn)。 v(2)以任意兩個(gè)點(diǎn)X1(0) 與X2(0)出發(fā)，沿同一方向S(0)進(jìn)行一維搜索，可得到兩個(gè)一維極小點(diǎn)X1(1)與X2(1) ，則兩點(diǎn)構(gòu)成向量v S(1)= X1(1) X2(1)與原方向

35、S(0)關(guān)于該函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)共軛。 共軛方向性質(zhì)：共軛方向性質(zhì)：a0 S(0)X(1)S(1)a1S(1)f(X(1)S(1)S(0)X(0)v由X(k)出發(fā)，負(fù)梯度方向作一維搜索:v S(k) = f(X(k) v X(k+1) = X(k) + akS(k)v設(shè)與S(k)共軛的一個(gè)方向S(k+1)由S(k)和X(k+1)的負(fù)梯度方向的線性組合而成，故有：v S(k+1)=f(X(k+1)+ bkS(k) (3)令 f (X) = XTHX/2+BTX+C為函數(shù)的二次展開式。 II. 共軛梯度方向v則： f(X(k)=HX(k)+Bv f(X(k+1)=HX(k+1)+B （4）v相減代入

36、X(k+1)= X(k) + akS(k)，得：v akHS(k)= f(X(k+1)f(X(k)v 將(3)式與上式兩邊相乘，由共軛條件得：vf(X(k+1)+ bk f(X(k)Tf(X(k+1)f(X(k)=0v展開由相鄰兩點(diǎn)梯度的正交關(guān)系，整理得：v共軛梯度法迭代基本式v以相鄰兩點(diǎn)的梯度可以構(gòu)造一個(gè)共軛方向。以這種方式產(chǎn)生共軛方向并進(jìn)行迭代運(yùn)算的算法稱為共軛梯度法。2)(2)1()()()1()1()()()()()()(kkkTkkTkkXfXfXfXfXfXfb(1)( )( )2(1)2( )(1)(1)( )()()()kkkkkkkkkkkXXSf Xf XSf XSabb

37、v(1)給定初始點(diǎn)給定初始點(diǎn)X(0)和收斂精度和收斂精度e e。 v(2)取取X(0)的負(fù)梯度作為搜索方向的負(fù)梯度作為搜索方向S(0)= f(X(0)，置置k = 0。 v(3)沿方向沿方向S(k)作一維搜索得：作一維搜索得：v X(k+1)= X(k)+ a akS(k)v(4)收斂判斷：若收斂判斷：若 f(X(k+1)e e 則令：則令：v X*= X(k+1), f(X*)=f(X(k+1) v結(jié)束迭代；否則轉(zhuǎn)結(jié)束迭代；否則轉(zhuǎn)(5)。III. 共軛梯度法的迭代步驟(5)若若k+1=n(檢驗(yàn)迭代次數(shù)，對(duì)于檢驗(yàn)迭代次數(shù)，對(duì)于n值目標(biāo)函數(shù)，值目標(biāo)函數(shù)，理論上通過理論上通過n次可得最優(yōu)點(diǎn)，由于計(jì)

38、算機(jī)舍入誤次可得最優(yōu)點(diǎn)，由于計(jì)算機(jī)舍入誤差及目標(biāo)函數(shù)性態(tài)的特殊性。往往迭代差及目標(biāo)函數(shù)性態(tài)的特殊性。往往迭代n次達(dá)不次達(dá)不到精度要求。此時(shí)將到精度要求。此時(shí)將X(n)作為作為X(0)返回從第一步計(jì)返回從第一步計(jì)算，有助于消除累積計(jì)算誤差的影響，并且對(duì)非算，有助于消除累積計(jì)算誤差的影響，并且對(duì)非二次目標(biāo)函數(shù)值保證具有良好的收斂性二次目標(biāo)函數(shù)值保證具有良好的收斂性)，則令，則令X(0)= X(k+1)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)(2)，否則轉(zhuǎn)，否則轉(zhuǎn)(6)。v v S(k+1)= f(X(k+1)+b bkS(k)v 令令k=k+1 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)(3)。2)(2)1()()(kkkxfxfb(6)構(gòu)造新的共軛構(gòu)造新的共軛 例：用

39、共軛梯度法求解下列無約束優(yōu)化問題X(0)=1,1T，e =0.1v min f(X)=x12 +2x22 2x1x2 4x1v解：2424422)()0(1221) 0(XxxxxXf24)()0()0(XfS aaa2141)0()0()0()1(SXXv第一次沿S(0)方向進(jìn)行一維搜索，求近似極值點(diǎn)v代入f(X)=(1+4a(0)2+2(12a(0)22(1+4a(0)(12a(0)4(1+4a(0) v令df(a(0)/da(0)=0，得a(0)=0.25。v由此得：5 . 02)1(X2124422)()1(1221)1(XxxxxXf進(jìn)行第二次搜索的共軛方向?yàn)椋?1205)()(2)

40、0(2)1(0 xfxfbv再沿S(1)方向進(jìn)行一維搜索得：5 . 12244121)()0()0()1()1(SXfSb)1()1()1()1()1()1()2(5 . 15 . 0225 . 125 . 02aaaaSXXv代入f(x) ，令df(a(1)/da(1)=0，得a(1)=1 0024442)(24)2(1221)2()2(XxxxxXfXv因f(X(k+1)e， X(2)滿足極值條件，X(2)是極小點(diǎn)， f(X*)=8v共軛梯度法兩次迭代可求得二元二次優(yōu)化問題極小點(diǎn)。5.4.3 鮑鮑 威威 爾爾 法法v 兩次平行搜索產(chǎn)生一個(gè)共軛方向，Powell法就是利用平行搜索逐漸構(gòu)造共軛

41、方向和共軛方向組的方法，能在有限步長(zhǎng)內(nèi)極小化一個(gè)二次函數(shù)，是直接搜索方法中使用效果最佳的一種方法。對(duì)于維數(shù)n20的目標(biāo)函數(shù)求最優(yōu)化問題。此法可獲得滿意效果。v 原始的Powell法是沿著逐步產(chǎn)生的共軛方向進(jìn)行一維搜索的。v 以二維二次目標(biāo)函數(shù)為例來說明。選定初始點(diǎn)X0(1)，初始方向e(0)=1,0T, e(1)= 0,1T，從X0(0)出發(fā)依次沿e(0)、e(1)進(jìn)行一維搜索，求得各自方向上的極值點(diǎn)X0(1)，X0(2)，連接點(diǎn)X0(0)和最后一個(gè)極值點(diǎn)X0(2) ，構(gòu)成第三個(gè)新方向： S(0)= X0(2)X0(0)I.基本迭代格式、原理：S(1)S(0)e(1)S(0)e(1)e(0)x

42、1x2X0(1)X0(2)X0(3)X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)X0(0)vS(0)稱為模式方向稱為模式方向，再沿，再沿S(0)方向進(jìn)行一維搜方向進(jìn)行一維搜索得該方向上的近似極值點(diǎn)索得該方向上的近似極值點(diǎn)X0(3) ，搜索過程，搜索過程就完成了一個(gè)循環(huán)。就完成了一個(gè)循環(huán)。v以第一循環(huán)迭代的終點(diǎn)以第一循環(huán)迭代的終點(diǎn)X0(3)作為第二循環(huán)迭作為第二循環(huán)迭代的起點(diǎn)代的起點(diǎn)X1(0) ，棄去上一個(gè)循環(huán)向量組中的棄去上一個(gè)循環(huán)向量組中的第一個(gè)方向第一個(gè)方向e(0)，將新方向，將新方向S(0)補(bǔ)在最后，構(gòu)成補(bǔ)在最后，構(gòu)成第二個(gè)循環(huán)的搜索方向組第二個(gè)循環(huán)的搜索方向組e(1), S(0)。v分別沿

43、分別沿e(1), S(0)一維搜索一維搜索求得近似極值點(diǎn)求得近似極值點(diǎn)X1(1), X1(2) ，連接連接X1(0)與與X1(2)，構(gòu)成第二個(gè)循環(huán)的一個(gè)新方向：，構(gòu)成第二個(gè)循環(huán)的一個(gè)新方向： S(1)= X1(2)X1(0)v沿沿S(1) 方向作一維搜索所得的近似極值點(diǎn)方向作一維搜索所得的近似極值點(diǎn)X1(3)即為即為第二循環(huán)的最終迭代點(diǎn)，也是下一次迭代的起始點(diǎn)。第二循環(huán)的最終迭代點(diǎn)，也是下一次迭代的起始點(diǎn)。由由圖可知點(diǎn)圖可知點(diǎn)X0(3)(X1(0)，X1(2)是先后兩次沿是先后兩次沿S(0)方向方向一維搜索的極小點(diǎn)。由共軛性質(zhì)知：連接一維搜索的極小點(diǎn)。由共軛性質(zhì)知：連接X1(0) ，X1(2)

44、構(gòu)成的矢量構(gòu)成的矢量S(1) 與與S(0)相共軛。相共軛。v 經(jīng)過二次循環(huán)后，迭代點(diǎn)由初始點(diǎn)經(jīng)過二次循環(huán)后，迭代點(diǎn)由初始點(diǎn)X0(0)依依次沿次沿S(0) ，S(1)方向一維搜索，經(jīng)方向一維搜索，經(jīng)X0(3)(X1(0)到到達(dá)達(dá)X1(3) ，從理論上講，二維二次正定函數(shù)經(jīng)，從理論上講，二維二次正定函數(shù)經(jīng)過這組共軛方向的一維搜索，迭代點(diǎn)已達(dá)到過這組共軛方向的一維搜索，迭代點(diǎn)已達(dá)到函數(shù)的極小點(diǎn)函數(shù)的極小點(diǎn)X*。將此結(jié)構(gòu)推廣至。將此結(jié)構(gòu)推廣至n維二次正維二次正定函數(shù)，即依次沿定函數(shù)，即依次沿n個(gè)個(gè)(S(0) ，S(1)，S(n1)共軛方向一維搜索就能達(dá)到極小點(diǎn)。共軛方向一維搜索就能達(dá)到極小點(diǎn)。Pk:e

45、(k)e(k+1)e(k+2)e(n-1)S(0)S(0)S(k-1)Pk+1: e(k+1)e(k+2)e(n-1)S(0)S(0)S(k-1)S(k)e(1)e(2)e(3)X0(2)X0(0)X0(1)X0(3)S(0)e(1)e(2)e(3)X0(2)X0(0)X0(1)X0(3)S(0)退化原始Powell法存在的問題：v 目前使用目前使用修正算法修正算法，和原始，和原始Powell法的法的主要區(qū)別：主要區(qū)別：在構(gòu)成第在構(gòu)成第k+1次循環(huán)方向組時(shí)，不用淘汰前一循環(huán)中次循環(huán)方向組時(shí)，不用淘汰前一循環(huán)中的第一個(gè)方向的第一個(gè)方向S1(k)的辦法，而是首先解決是否要替換的辦法，而是首先解決是

46、否要替換和替換哪個(gè)方向的問題。和替換哪個(gè)方向的問題。v為此，在得到新方向?yàn)榇?，在得到新方向v Sk(n)= Xk(n)Xk(0) 后后v沿沿Sk(n)找出找出Xk(0) 的的反射點(diǎn)反射點(diǎn)Xk(n+2)： Xk(n+2)=2Xk(n) Xk(0)Xk(0)f3D2Xk(1)Xk(n)Xk(n+2)f2f1x1Sk(n)x2D1v計(jì)算三點(diǎn)的函數(shù)值：計(jì)算三點(diǎn)的函數(shù)值：f1=f(Xk(0)；f2=f(Xk(n)；f3=f(Xk(n+2)v找出前一輪迭代法中找出前一輪迭代法中函數(shù)值下降最多的方向函數(shù)值下降最多的方向m及及下降下降量量m，即：即： vm = max f(Xk(i) f(Xk(i+1) =

47、f(Xk(m1) f(Xk(m)v可以證明：若可以證明：若 f3f1 與與 (f12f2+f3)(f1f2m)20.5m(f1f3)2同時(shí)成立。同時(shí)成立。則表明方向則表明方向Sk(n)與原方向組成線性無關(guān)，與原方向組成線性無關(guān)，可可以用來替換以用來替換。替換對(duì)象就是替換對(duì)象就是m所對(duì)應(yīng)的方向所對(duì)應(yīng)的方向Sk(m)。Xk(0)f3D2Xk(1)Xk(n)Xk(n+2)f2f1x1Sk(n)x2D1Pk:Sk(0)Sk(1)Sk(m-1)Sk(m)Sk(m+1)Sk(n-1)Pk+1:Sk+1(0)Sk+1(1)Sk+1(m-1)Sk+1(m)Sk+1(n-2)Sk(n)v替換算式替換算式: Sk

48、+1(i)= Sk(i) (im) Sk+1(i-1)= Sk(i) (i=m+1, m+2, n-1,) Sk+1(n-1)= Sk(n)v新一輪迭代起點(diǎn)：新一輪迭代起點(diǎn)： Xk+1(0) = Xk(n+1)Sk+1(n-1)Xk(0)f3D2Xk(1)Xk(n)Xk(n+1)Xk(n+2)f2f1X1Sk(n)X2D1v上述兩個(gè)條件上述兩個(gè)條件不不成立，則表明與原方向組中某些方成立，則表明與原方向組中某些方向線性相關(guān)，因此向線性相關(guān)，因此不不進(jìn)行方向替換。此時(shí)仍用原方進(jìn)行方向替換。此時(shí)仍用原方向組進(jìn)行第向組進(jìn)行第k+1輪搜索。輪搜索。v Sk+1(i)= Sk(i) (i=0, 1, n-

49、1,)v第第k+1輪搜索初始點(diǎn)的取法？輪搜索初始點(diǎn)的取法？ 若若 f2f3，Xk+1(0) = Xk(n)； 否則，否則，Xk+1(0) = Xk(n+2)；v步驟：步驟：P177頁頁Xk(0)f3D2Xk(1)Xk(n)Xk(n+2)f2f1X1Sk(n)X2D1v例：試用Powell法求f(X)=x12+2x22 4x1 2x1x2的最優(yōu)解。X0=1,1T ,收斂精度e =0.05。 110111) 0(0) 0(0) 0() 0(0) 0(0) 1 (0aaaeXX110)0(0XXv解： f1=f(X0(0)=3 v第一次循環(huán)：沿坐標(biāo)軸方向e(0)進(jìn)行一維搜索：v代入f(X), f(X

50、)=(1+a0(0)2+24(1+a0(0)2(1+a0(0)v令df(X)/da0(0)=0，得a0(0)=2 則有 v f(X0(1)=713)1(0X1013) 1 (0) 1 () 1 (0) 1 (0)2(0aaeXXv以X0(1)為起點(diǎn)，沿坐標(biāo)軸方向e(1)進(jìn)行一維搜索：v代入f(X)， f(X)=32+2(1+a0(1)24323(1+a0(1)v令df(X)/da0(1)=0,得a0(1)=0.5, 則有5 . 13)2(0Xf(X0(2)=7.5F計(jì)算各個(gè)方向的函數(shù)下降量： 1= f(X0(0) f(X0(1)=3(7)=4 2= f(X0(1) f(X0(2)=7(7.5)

51、=0.5 m=max1, 2=1=425115 . 1322)0(0)2(0)4(0XXX映射點(diǎn)：f1=f(X0(0)=3;f2=f(X0(2)=7.5f3=f(X0(4)=7;v檢驗(yàn)是否滿足終止迭代條件替換條件：f3 f1; (f12f2+f3)(f1f2m)2=1.25f1, 替換條件不成立，繼續(xù)迭代時(shí)取搜索方向仍為原方向e(1), S(0)。由于f2 f3，取X2(0)=X1(2)=3.96, 1.94T 以X2(0)為新起點(diǎn)，方向 e(1), S(0)，進(jìn)行第三循環(huán)迭代。 f(X2(0)=7.996=f198. 196. 3)1(2X沿e(1)方向進(jìn)行一維搜索，得以X2(1)為起點(diǎn)沿S

52、(0)方向進(jìn)行搜索，得988. 19992. 3)2(2X9997. 7)()2(22Xffe0620. 0)0(2)2(2XX收斂判定：不收斂，繼續(xù)迭代。f(X2(1)=7.9992036. 20384. 42)0(2)2(2)4(2XXX996. 7;9987. 7)(13)4(2ffXf映射點(diǎn)： 1= f(X2(0) f(X2(1)=7.996(7.9992)=0.00322= f(X2(1) f(X2(2)=7.9992(7.9997)=0.0005m=max1, 2=1=0.0032判斷搜索方向是否替換： f3f1(f12f2+f3)(f1f2m)2=1.17510-90時(shí)，設(shè)計(jì)點(diǎn)違時(shí)，設(shè)計(jì)點(diǎn)違反了約束，在目標(biāo)函