線性代數(shù)1行列式期末復(fù)習(xí).

1、上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)期末復(fù)習(xí) 第一章上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)1.全排列全排列把把 個(gè)不同的元素排成一列，叫做這個(gè)不同的元素排成一列，叫做這 個(gè)個(gè)元素的元素的全排列全排列（或排列）（或排列）.nnn個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常用個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常用Pn表示表示.nPn )1( n)2( n123 !.n 比如比如5901476328就是就是09這十個(gè)數(shù)字的全排列這十個(gè)數(shù)字的全排列.上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè) 在一個(gè)排列在一個(gè)排列 中，若數(shù)中，若數(shù) 則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序逆序. nstiiiii21stii 例如例如 排列排列32514 中，中， 定義定義 我們規(guī)

2、定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序, n 個(gè)個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序標(biāo)準(zhǔn)次序.2.排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù)3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)定義定義 一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)逆序數(shù).例如例如 排列排列32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序數(shù)為逆序數(shù)為31010故此排列的故此排列的逆序數(shù)為逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)計(jì)算排列逆序數(shù)的方法計(jì)算排列逆序數(shù)的方法逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列奇排列;逆序數(shù)為

3、偶數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列偶排列.3. 排列的奇偶性排列的奇偶性算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù);每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)4、n階行列式的定義階行列式的定義nnnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn212222111211212.)1(21 記記作作的的代代數(shù)數(shù)和和個(gè)個(gè)元元素素的的乘乘積積取取自自不不同同行行不不同同列列的的階階行行列列式式等等于于所所有有個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)組組成成的的由由定義定義).det(ija簡(jiǎn)記作簡(jiǎn)記作的元素的元素稱為行列式稱為行列式數(shù)數(shù))det(i

4、jijaa為這個(gè)排列的逆序數(shù)為這個(gè)排列的逆序數(shù)的一個(gè)排列，的一個(gè)排列，為自然數(shù)為自然數(shù)其中其中tnpppn2121上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)5、對(duì)換的定義定義定義在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余元素不動(dòng)，這種作出新排列的過(guò)程叫做元素不動(dòng)，這種作出新排列的過(guò)程叫做對(duì)換對(duì)換將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，叫做將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，叫做相鄰對(duì)換相鄰對(duì)換定理定理1 1一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性奇偶性上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)行列式的三種表示方法 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212121222

5、21112111 nnqpqpqptaaaD22111 nppptnaaaD21211 上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等?；Q行列式的兩行（列），行列式的值變號(hào)?；Q行列式的兩行（列），行列式的值變號(hào)。如果行列式有兩行（列）相同，則行列式為如果行列式有兩行（列）相同，則行列式為 0 。用數(shù)用數(shù) k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用數(shù)等于用數(shù) k 乘此行列式。乘此行列式。行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號(hào)外面行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號(hào)外面。若行列式有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則行

6、列式等于若行列式有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則行列式等于0 。如果某一行是兩組數(shù)的和，則此行列式就等于兩個(gè)行如果某一行是兩組數(shù)的和，則此行列式就等于兩個(gè)行列式的和，而這兩個(gè)行列式除這一行以外全與原來(lái)行列式的列式的和，而這兩個(gè)行列式除這一行以外全與原來(lái)行列式的對(duì)應(yīng)的行一樣。對(duì)應(yīng)的行一樣。行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一數(shù)行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一數(shù)k后再加后再加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。性質(zhì)性質(zhì)上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)用定義計(jì)算（證明）用定義計(jì)算（證明）二、計(jì)算（證明）行列式2 2用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法3 用行列

7、式的性質(zhì)用行列式的性質(zhì)4 利用范德蒙行列式利用范德蒙行列式 計(jì)算行列式常用方法：計(jì)算行列式常用方法：(1)利用定義利用定義;(2)利用利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值列式的值上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)例例2 2 計(jì)算計(jì)算 階行列式階行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D將第將第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè) abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna上頁(yè)

8、下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)例例3 3nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 設(shè)設(shè),)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 證明證明P14-10P14-10上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)例例4 4 計(jì)算2n階行列式nnddccbbaaD22 P15-11P15-11解解將第將第2n行行依次依次與第與第2n-1、 2n-2、2行對(duì)調(diào)，行對(duì)調(diào)，(共共2n-2次）；次）；將第將第2n列列依次依次與第與第2n-1、 2n-2、2列對(duì)調(diào)，列對(duì)調(diào)，(共共2n-2次）。次）。得：得：dcdcbabadcbaDn0000000

9、02 2(n-1)上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)dcdcbabadcbaDn000000002 由上例結(jié)論，可得)1(222nnDDD)1(2)( nDbcad遞推得)2(222)( nnDbcadD21)3(23)()(DbcadDbcadnn nbcad)( 上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)例例4 證明證明cos100012cos100012cos00cos0002cos100012cosnDn 證證對(duì)階數(shù)對(duì)階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法.,2,1,2cos122cos11cos,cos cos221結(jié)論成立結(jié)論成立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)所以所以因?yàn)橐驗(yàn)?nnDD 上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)得得按按最最后后一一行行展展開開現(xiàn)現(xiàn)將將

10、的的行行列列式式也也成成立立等等于于下下證證對(duì)對(duì)于于階階數(shù)數(shù)的的行行列列式式結(jié)結(jié)論論成成立立假假設(shè)設(shè)對(duì)對(duì)階階數(shù)數(shù)小小于于,.,nDnn.cos221DDDnnn ,)2cos(,)1cos( ,21-n nDnDn由歸納假設(shè)由歸納假設(shè) )2cos()1cos(cos2 nnDn.結(jié)論成立結(jié)論成立所以對(duì)一切自然數(shù)所以對(duì)一切自然數(shù) n;cos)2cos()2cos(cos nnnn 上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)naaaaD001001001111321 例例5 5 計(jì)算計(jì)算n 階行列式階行列式021 naaa，其其中中解解naaaaa00100100011113221 2211cac D爪型行列式爪型行列

11、式上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)nniiaaaaa00000000011113221 )3(11nicacii nniiaaaa221)1( 上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)例例6 6 計(jì)算計(jì)算n 階行列式階行列式0,111111111111111121321 nnaaaaaaaD其中其中解解Dnaaaaaaa0000001111131211 )2(1nirri 上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)nniiaaaaaa000000000111132211 )3(11nicaacii nniiaaaaaa32211)1( nniiaaaaa3211)1( 上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)例例7計(jì)算計(jì)算.43213213213211xaaaaaa

12、xaaaaaxaaaaaxDnnnn 上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)解解列列都都加加到到第第一一列列，得得將將第第1, 3 , 2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxniinniinniinniinD32121212111 上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得.1111)(3222211xaaaxaaaxaaaaxnnnnii 上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè). )()(11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin 23122121111010010001)(后后一一列列，得得倍倍加加到到最最列列的的將將第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，將將第第倍倍加

13、加到到第第列列的的將將第第)(1,3)(12)(121naaa 上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃去后，留下來(lái)的列劃去后，留下來(lái)的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作nijaij1 nija.Mij ，記記ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式ija關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì) ;,0,1jijiDDAaijnkkjki當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) ;,0,1jijiDDAaijnkjkik當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) .,0,1jijiij當(dāng)當(dāng)，當(dāng)當(dāng)其中其中上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)314231315

14、0111111)1( 例例43142313150111253 D13rr 34rr P21-13P21-13D的（的（i,j）元的余子式和代）元的余子式和代數(shù)余子式記為數(shù)余子式記為Mij與與Aij，求，求:14131211)1(AAAA 41312111)2(MMMM解：解：3142313150111111 -2 2 0 21 -1 0 0011222511)1(31 =4上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)41312111)2(MMMM41312111AAAA 3141313150111251 34rr 0010313150111111 0 -1 0 0311501111)1()1(24 =0說(shuō)明：此例利用了余子式與說(shuō)明：此例利用了余子式與aij的值無(wú)關(guān)，而只與下標(biāo)有關(guān)。的值無(wú)關(guān)，而只與下標(biāo)有關(guān)。上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)1. 1. 用克拉默法則解方程組的兩個(gè)條件用克拉默法則解方程組的兩個(gè)條件(1)(1)方程個(gè)數(shù)等于未知