線性代數(shù)1行列式期末復習.

1、上頁下頁結束返回首頁期末復習 第一章上頁下頁結束返回首頁1.全排列全排列把把 個不同的元素排成一列，叫做這個不同的元素排成一列，叫做這 個個元素的元素的全排列全排列（或排列）（或排列）.nnn個不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常用個不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常用Pn表示表示.nPn )1( n)2( n123 !.n 比如比如5901476328就是就是09這十個數(shù)字的全排列這十個數(shù)字的全排列.上頁下頁結束返回首頁 在一個排列在一個排列 中，若數(shù)中，若數(shù) 則稱這兩個數(shù)組成一個則稱這兩個數(shù)組成一個逆序逆序. nstiiiii21stii 例如例如 排列排列32514 中，中， 定義定義 我們規(guī)

2、定各元素之間有一個標準次序我們規(guī)定各元素之間有一個標準次序, n 個個不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標準次序標準次序.2.排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù)3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序上頁下頁結束返回首頁定義定義 一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)逆序數(shù).例如例如 排列排列32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序數(shù)為逆序數(shù)為31010故此排列的故此排列的逆序數(shù)為逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.上頁下頁結束返回首頁計算排列逆序數(shù)的方法計算排列逆序數(shù)的方法逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列奇排列;逆序數(shù)為

3、偶數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列偶排列.3. 排列的奇偶性排列的奇偶性算出排列中每個元素的逆序數(shù)算出排列中每個元素的逆序數(shù);每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).上頁下頁結束返回首頁4、n階行列式的定義階行列式的定義nnnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn212222111211212.)1(21 記記作作的的代代數(shù)數(shù)和和個個元元素素的的乘乘積積取取自自不不同同行行不不同同列列的的階階行行列列式式等等于于所所有有個個數(shù)數(shù)組組成成的的由由定義定義).det(ija簡記作簡記作的元素的元素稱為行列式稱為行列式數(shù)數(shù))det(i

4、jijaa為這個排列的逆序數(shù)為這個排列的逆序數(shù)的一個排列，的一個排列，為自然數(shù)為自然數(shù)其中其中tnpppn2121上頁下頁結束返回首頁5、對換的定義定義定義在排列中，將任意兩個元素對調，其余在排列中，將任意兩個元素對調，其余元素不動，這種作出新排列的過程叫做元素不動，這種作出新排列的過程叫做對換對換將相鄰兩個元素對調，叫做將相鄰兩個元素對調，叫做相鄰對換相鄰對換定理定理1 1一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性奇偶性上頁下頁結束返回首頁行列式的三種表示方法 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212121222

5、21112111 nnqpqpqptaaaD22111 nppptnaaaD21211 上頁下頁結束返回首頁行列式與它的轉置行列式相等。行列式與它的轉置行列式相等?；Q行列式的兩行（列），行列式的值變號?；Q行列式的兩行（列），行列式的值變號。如果行列式有兩行（列）相同，則行列式為如果行列式有兩行（列）相同，則行列式為 0 。用數(shù)用數(shù) k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用數(shù)等于用數(shù) k 乘此行列式。乘此行列式。行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號外面行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號外面。若行列式有兩行（列）的對應元素成比例，則行

6、列式等于若行列式有兩行（列）的對應元素成比例，則行列式等于0 。如果某一行是兩組數(shù)的和，則此行列式就等于兩個行如果某一行是兩組數(shù)的和，則此行列式就等于兩個行列式的和，而這兩個行列式除這一行以外全與原來行列式的列式的和，而這兩個行列式除這一行以外全與原來行列式的對應的行一樣。對應的行一樣。行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一數(shù)行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一數(shù)k后再加后再加到另一行（列）對應的元素上去，行列式的值不變。到另一行（列）對應的元素上去，行列式的值不變。性質性質上頁下頁結束返回首頁用定義計算（證明）用定義計算（證明）二、計算（證明）行列式2 2用數(shù)學歸納法用數(shù)學歸納法3 用行列

7、式的性質用行列式的性質4 利用范德蒙行列式利用范德蒙行列式 計算行列式常用方法：計算行列式常用方法：(1)利用定義利用定義;(2)利用利用性質把行列式化為上三角形行列式，從而算得行性質把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值列式的值上頁下頁結束返回首頁例例2 2 計算計算 階行列式階行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D將第將第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2上頁下頁結束返回首頁 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna上頁

8、下頁結束返回首頁例例3 3nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 設設,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 證明證明P14-10P14-10上頁下頁結束返回首頁例例4 4 計算2n階行列式nnddccbbaaD22 P15-11P15-11解解將第將第2n行行依次依次與第與第2n-1、 2n-2、2行對調，行對調，(共共2n-2次）；次）；將第將第2n列列依次依次與第與第2n-1、 2n-2、2列對調，列對調，(共共2n-2次）。次）。得：得：dcdcbabadcbaDn0000000

9、02 2(n-1)上頁下頁結束返回首頁dcdcbabadcbaDn000000002 由上例結論，可得)1(222nnDDD)1(2)( nDbcad遞推得)2(222)( nnDbcadD21)3(23)()(DbcadDbcadnn nbcad)( 上頁下頁結束返回首頁例例4 證明證明cos100012cos100012cos00cos0002cos100012cosnDn 證證對階數(shù)對階數(shù)n用數(shù)學歸納法用數(shù)學歸納法.,2,1,2cos122cos11cos,cos cos221結論成立結論成立時時當當所以所以因為因為 nnDD 上頁下頁結束返回首頁得得按按最最后后一一行行展展開開現(xiàn)現(xiàn)將將

10、的的行行列列式式也也成成立立等等于于下下證證對對于于階階數(shù)數(shù)的的行行列列式式結結論論成成立立假假設設對對階階數(shù)數(shù)小小于于,.,nDnn.cos221DDDnnn ,)2cos(,)1cos( ,21-n nDnDn由歸納假設由歸納假設 )2cos()1cos(cos2 nnDn.結論成立結論成立所以對一切自然數(shù)所以對一切自然數(shù) n;cos)2cos()2cos(cos nnnn 上頁下頁結束返回首頁naaaaD001001001111321 例例5 5 計算計算n 階行列式階行列式021 naaa，其其中中解解naaaaa00100100011113221 2211cac D爪型行列式爪型行列

11、式上頁下頁結束返回首頁nniiaaaaa00000000011113221 )3(11nicacii nniiaaaa221)1( 上頁下頁結束返回首頁例例6 6 計算計算n 階行列式階行列式0,111111111111111121321 nnaaaaaaaD其中其中解解Dnaaaaaaa0000001111131211 )2(1nirri 上頁下頁結束返回首頁nniiaaaaaa000000000111132211 )3(11nicaacii nniiaaaaaa32211)1( nniiaaaaa3211)1( 上頁下頁結束返回首頁例例7計算計算.43213213213211xaaaaaa

12、xaaaaaxaaaaaxDnnnn 上頁下頁結束返回首頁解解列列都都加加到到第第一一列列，得得將將第第1, 3 , 2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxniinniinniinniinD32121212111 上頁下頁結束返回首頁提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得.1111)(3222211xaaaxaaaxaaaaxnnnnii 上頁下頁結束返回首頁. )()(11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin 23122121111010010001)(后后一一列列，得得倍倍加加到到最最列列的的將將第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，將將第第倍倍加

13、加到到第第列列的的將將第第)(1,3)(12)(121naaa 上頁下頁結束返回首頁在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃去后，留下來的列劃去后，留下來的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作nijaij1 nija.Mij ，記記ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式ija關于代數(shù)余子式的重要性質關于代數(shù)余子式的重要性質 ;,0,1jijiDDAaijnkkjki當當當當 ;,0,1jijiDDAaijnkjkik當當當當 .,0,1jijiij當當，當當其中其中上頁下頁結束返回首頁314231315

14、0111111)1( 例例43142313150111253 D13rr 34rr P21-13P21-13D的（的（i,j）元的余子式和代）元的余子式和代數(shù)余子式記為數(shù)余子式記為Mij與與Aij，求，求:14131211)1(AAAA 41312111)2(MMMM解：解：3142313150111111 -2 2 0 21 -1 0 0011222511)1(31 =4上頁下頁結束返回首頁41312111)2(MMMM41312111AAAA 3141313150111251 34rr 0010313150111111 0 -1 0 0311501111)1()1(24 =0說明：此例利用了余子式與說明：此例利用了余子式與aij的值無關，而只與下標有關。的值無關，而只與下標有關。上頁下頁結束返回首頁1. 1. 用克拉默法則解方程組的兩個條件用克拉默法則解方程組的兩個條件(1)(1)方程個數(shù)等于未知