數(shù)學(xué)模型第四版姜啟源第十三章動態(tài)優(yōu)化

1、第十三章第十三章 動態(tài)優(yōu)化模型動態(tài)優(yōu)化模型13.1 速降線與短程線速降線與短程線13.2 生產(chǎn)計劃的制訂生產(chǎn)計劃的制訂13.3 國民收入的增長國民收入的增長13.4 漁船出海漁船出海13.5 賽跑的速度賽跑的速度13.6 多階段最優(yōu)生產(chǎn)計劃多階段最優(yōu)生產(chǎn)計劃 連續(xù)動態(tài)過程的優(yōu)化歸結(jié)為求泛函的極值連續(xù)動態(tài)過程的優(yōu)化歸結(jié)為求泛函的極值. 求泛函極值的常用方法求泛函極值的常用方法: 變分法、變分法、最優(yōu)控制論最優(yōu)控制論. 離散動態(tài)過程的優(yōu)化離散動態(tài)過程的優(yōu)化 動態(tài)規(guī)劃模型動態(tài)規(guī)劃模型.靜態(tài)優(yōu)化問題靜態(tài)優(yōu)化問題優(yōu)化目標(biāo)是數(shù)值優(yōu)化目標(biāo)是數(shù)值最優(yōu)策略是數(shù)值最優(yōu)策略是數(shù)值 函數(shù)對應(yīng)的數(shù)值稱為泛函函數(shù)對應(yīng)的數(shù)

2、值稱為泛函(函數(shù)的函數(shù)函數(shù)的函數(shù)).動態(tài)優(yōu)化問題動態(tài)優(yōu)化問題優(yōu)化目標(biāo)是數(shù)值優(yōu)化目標(biāo)是數(shù)值最優(yōu)策略是最優(yōu)策略是函數(shù)函數(shù)13.1 速降線與短程線速降線與短程線 通過兩個古典問題介紹變分法的基本概念通過兩個古典問題介紹變分法的基本概念, 給出主要結(jié)果給出主要結(jié)果. 速速降降線線問問題題 給定豎給定豎直直平面內(nèi)不在一條垂直線上的兩個點(diǎn)平面內(nèi)不在一條垂直線上的兩個點(diǎn)A, B, 求連接求連接A, B的光滑曲線，使質(zhì)的光滑曲線，使質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿該曲線以點(diǎn)在重力作用下沿該曲線以最最短時間短時間從從A滑到滑到B (摩擦力不計摩擦力不計). A. B若沿陡峭曲線下滑若沿陡峭曲線下滑, 雖路徑加長，但速度增長很

3、快雖路徑加長，但速度增長很快.若沿直線段若沿直線段AB下滑下滑, 路徑雖短路徑雖短, 但速度增長慢但速度增長慢; 速速降降線線問問題題 . A. B建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系xOy, xyy=y(x)O曲線弧長曲線弧長 2d1dsyx能量守恒能量守恒21d()2dsmmgyt質(zhì)點(diǎn)在曲線質(zhì)點(diǎn)在曲線y(x)上的速度上的速度ds/dt 21dd2ytxgy質(zhì)點(diǎn)沿曲線質(zhì)點(diǎn)沿曲線y(x)從從A到到B的時間的時間 1201( ( )d2xyJ y xxgy11)(, 0)0(yxyy求求y(x) 使使 J(y(x) 達(dá)到最小達(dá)到最小. m質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量，g重力加速度重力加速度 A(0,0), B(x1,y1

4、), 曲線曲線AB y=y(x) 滿足條件滿足條件短短程程線線問問題題 . A. Bxyzo給定曲面上的兩個點(diǎn)給定曲面上的兩個點(diǎn)A, B, 求曲面上連接求曲面上連接A, B的最短曲線的最短曲線. 建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系 A(x0, y0, z0 ), B(x1, y1 , z1 )曲線的弧長曲線的弧長 22d1dsyzx曲線的長度曲線的長度 1022( ( ), ( )1dxxJ y x z xyzx求求y =y(x), z =z(x) 使使J(y(x) , z(x)達(dá)到最小達(dá)到最小. 0)(),(,(xzxyxf滿足條件滿足條件曲面方程曲面方程f(x,y,z)=0 f(x,y,z)=0曲面上連

5、接曲面上連接A, B的曲線的曲線 y =y(x), z =z(x) y =y(x) z =z(x)泛函、泛函的變分和極值泛函、泛函的變分和極值自變量自變量t，函數(shù)，函數(shù)x(t), y(t) 函數(shù)、函數(shù)的微分和極值函數(shù)、函數(shù)的微分和極值 泛函、泛函的變分和極值泛函、泛函的變分和極值 1. 對于對于t在某域的任一個值在某域的任一個值, 有有y的一個值與之對應(yīng)的一個值與之對應(yīng), 稱稱y是是t的函數(shù)，記作的函數(shù)，記作y=f(t) 1.對于某函數(shù)集合的每一個函對于某函數(shù)集合的每一個函數(shù)數(shù)x(t), 有有J的一個值與之對應(yīng)的一個值與之對應(yīng), 稱稱J是是x(t)的泛函的泛函, 記作記作J(x(t) 2. t

6、在在t0的增量記作的增量記作 t= t- t0, 微分微分dt= t 2. x(t)在在x0(t)的增量記作的增量記作 x(t)= x(t)-x0(t)， x(t)稱稱x(t)的變分的變分 3. y在在t0的增量記作的增量記作 f= f(t0+ t) - f(t0)， f的線性主部是函數(shù)的線性主部是函數(shù)的微分的微分, 記作記作dy，dy = f (t0)dt 3. 泛函泛函J(x(t)在在x0(t)的增量記的增量記作作 J = J(x0(t)+ x(t)- J(x0(t), J的線性主部稱的線性主部稱泛函的變分泛函的變分,記作記作 J(x0(t) 泛函、泛函的變分和極值泛函、泛函的變分和極值函

7、數(shù)、函數(shù)的微分和極值函數(shù)、函數(shù)的微分和極值 泛函、泛函的變分和極值泛函、泛函的變分和極值 4. 若函數(shù)若函數(shù)y在域內(nèi)在域內(nèi)t點(diǎn)達(dá)到極點(diǎn)達(dá)到極值，則在值，則在t點(diǎn)的微分點(diǎn)的微分dy(t)=0 4. 若泛函若泛函J(x(t)在函數(shù)集合內(nèi)的在函數(shù)集合內(nèi)的x(t)達(dá)到極值達(dá)到極值, 則在則在x(t)的的變分變分 J(x(t)=0 0d ( )()y tf tt 5. y在在t的微分的另一表達(dá)式的微分的另一表達(dá)式5. 泛函泛函J(x(t)在在x(t)的變分可以表為的變分可以表為0)()()(txtxJtxJ泛函泛函J(x(t)在在x(t)達(dá)到極值的必要條件達(dá)到極值的必要條件 0)()(0txtxJ歐拉方

8、程歐拉方程( (最簡泛函極值的必要條件最簡泛函極值的必要條件) )21( ( )( , ( ), ( )dttJ x tF t x tx tt最簡泛函最簡泛函F具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，x(t)為二階可微函數(shù)為二階可微函數(shù) 固定端點(diǎn)條件下的泛函固定端點(diǎn)條件下的泛函 J(x(t)在在x(t)達(dá)到極值的必要條件達(dá)到極值的必要條件: x(t)滿足二階微分方程滿足二階微分方程d0dxxFFt0 xFxFFFxxxxx tx 2211)(,)(xtxxtx兩個任意常數(shù)由兩個任意常數(shù)由 確定確定 歐拉方程歐拉方程用歐拉方程解速降線問題用歐拉方程解速降線問題0 xFxFFFxxxxx tx 1

9、1)(, 0) 0(yxyy1201( ( )d2xyJ y xxgy求求y(x) 使使 達(dá)到最小達(dá)到最小 , 且且歐拉方程歐拉方程yyyyF21),(0 yFyFFFyyyyyxyd()0dyFy FxcFyFycyyyyy)1 (122222/1)1 (cyy)cos1 ()sin(121tcycttcx圓滾線方程圓滾線方程 c2=0, c1由由y(x1)=y1確定確定.橫截條件橫截條件( (變動端點(diǎn)問題變動端點(diǎn)問題) )容許函數(shù)容許函數(shù) x(t)的一個端點(diǎn)固定的一個端點(diǎn)固定: x(t1)=x1，另一個端點(diǎn)，另一個端點(diǎn)在給定曲線在給定曲線 x= (t) 上變動上變動: x(t2)= (t2

10、) (t2可變可變).x(t). A. Bx= (t)txot2歐拉方程在歐拉方程在變動端點(diǎn)的定解條件變動端點(diǎn)的定解條件0)(2 ttxFxF x= (t)垂直于橫軸垂直于橫軸 (t2固定固定)02 ttxF x= (t)平行于橫軸平行于橫軸02 ttxFxF包含多個未知函數(shù)泛函的歐拉方程包含多個未知函數(shù)泛函的歐拉方程21( ( ), ( )( , ( ), ( ), ( ), ( )dttJ x tu tF t x tx tu tu ttdd0,0ddxxuuFFFFtt歐拉方程歐拉方程泛函的條件極值泛函的條件極值21( ( )( , ( ), ( )dttJ u tF t x tu tt)

11、(),(,()(tutxtftx求求u(t) U (容許集合容許集合) 使使J(u(t)在條件在條件下達(dá)到極值下達(dá)到極值, 且且x(t) X (容許集合容許集合) 最優(yōu)控制問題最優(yōu)控制問題: u(t)控制函數(shù)控制函數(shù), x(t)狀態(tài)函數(shù)狀態(tài)函數(shù)(軌線軌線).泛函的條件極值泛函的條件極值21( ( )( , ( ), ( )dttJ u tF t x tu tt)(),(,()(tutxtftx用拉格朗日乘子化為無條件極值用拉格朗日乘子化為無條件極值21( ( ), ( )( , , )( )( , , )dttI x tu tF t x utf t x uxt),()(),(),(uxtftu

12、xtFuxtH21()dttHxt歐拉方程歐拉方程d()()0dd()()0dxxuuHxHxtHxHxt00)(uHtxH),(0)(uxtfxuHxHt由方程組和端點(diǎn)條件解出最優(yōu)控制由方程組和端點(diǎn)條件解出最優(yōu)控制u(t)和最優(yōu)軌線和最優(yōu)軌線x(t).Hamilton函數(shù)函數(shù)13.2 生產(chǎn)計劃的制訂生產(chǎn)計劃的制訂問題問題 生產(chǎn)任務(wù)是在一定時間內(nèi)提供一定數(shù)量的產(chǎn)品生產(chǎn)任務(wù)是在一定時間內(nèi)提供一定數(shù)量的產(chǎn)品. 生產(chǎn)費(fèi)用隨著生產(chǎn)率生產(chǎn)費(fèi)用隨著生產(chǎn)率(單位時間的產(chǎn)量單位時間的產(chǎn)量)的增加而變的增加而變大大. 貯存費(fèi)用隨著已經(jīng)生產(chǎn)出來的產(chǎn)量的增加而變大貯存費(fèi)用隨著已經(jīng)生產(chǎn)出來的產(chǎn)量的增加而變大. 生產(chǎn)計

13、劃用每一時刻的累積產(chǎn)量表示生產(chǎn)計劃用每一時刻的累積產(chǎn)量表示.建模目的建模目的尋求尋求最優(yōu)生產(chǎn)計劃最優(yōu)生產(chǎn)計劃, 使完成生產(chǎn)任務(wù)所需的總費(fèi)用使完成生產(chǎn)任務(wù)所需的總費(fèi)用(生產(chǎn)費(fèi)用與貯存費(fèi)用之和生產(chǎn)費(fèi)用與貯存費(fèi)用之和)最小最小.分析與假設(shè)分析與假設(shè)生產(chǎn)任務(wù)生產(chǎn)任務(wù): t=0開始生產(chǎn)開始生產(chǎn), t=T提供數(shù)量為提供數(shù)量為Q的產(chǎn)品的產(chǎn)品.生產(chǎn)計劃生產(chǎn)計劃(累積產(chǎn)量累積產(chǎn)量): x(t)生產(chǎn)率生產(chǎn)率(單位時間產(chǎn)量單位時間產(chǎn)量):)(txf ddfxx 生產(chǎn)費(fèi)用生產(chǎn)費(fèi)用貯存費(fèi)用貯存費(fèi)用)(txg0( ( ) ( ( )( ( )dTC x tf x tg x tt總費(fèi)用總費(fèi)用 生產(chǎn)率提高一個單位的生產(chǎn)費(fèi)用與

14、生產(chǎn)率成正比生產(chǎn)率提高一個單位的生產(chǎn)費(fèi)用與生產(chǎn)率成正比 貯存費(fèi)用與貯存量成正比貯存費(fèi)用與貯存量成正比)()(2txktxg)()(21txktxf)(tx 模型與求解模型與求解2120( ( )( )( )dTC x tk xtk x ttQTxx)(, 0)0(求求x(t) ( 0, 0 t T)使使C(x(t)最小最小.d0dxxFFt歐拉方程歐拉方程)()(221txktxkF0)(212txkk tTkTkQktkktx1221212444)(考察考察x(t) 0 (0 t T) 的條件的條件txQTO1224/ kTkQ 只有當(dāng)生產(chǎn)任務(wù)只有當(dāng)生產(chǎn)任務(wù)Q 足夠大足夠大時才需要從時才需要

15、從 t=0開始生產(chǎn)開始生產(chǎn).,4/122kTkQ 若若 怎么辦怎么辦? ?0) 0(x 模型模型解釋解釋最優(yōu)生產(chǎn)計劃最優(yōu)生產(chǎn)計劃tTkTkQktkktx1221212444)(0)(212txkk 滿足方程滿足方程221dd( )ddkk xttx)()(21txktxfdd()ddftx)()(2txktxgddfx 邊際成本邊際成本生產(chǎn)費(fèi)用生產(chǎn)費(fèi)用貯存費(fèi)用貯存費(fèi)用2ddgkx邊際貯存邊際貯存最優(yōu)生產(chǎn)計劃在邊際成本的變化率等于邊際貯存時達(dá)到最優(yōu)生產(chǎn)計劃在邊際成本的變化率等于邊際貯存時達(dá)到.生產(chǎn)計劃的制訂生產(chǎn)計劃的制訂 最優(yōu)生產(chǎn)計劃最優(yōu)生產(chǎn)計劃的目標(biāo)函數(shù)只考慮生產(chǎn)費(fèi)用與貯存的目標(biāo)函數(shù)只考慮生產(chǎn)

16、費(fèi)用與貯存 費(fèi)用費(fèi)用, 并對這兩種費(fèi)用作了最簡單的假設(shè)并對這兩種費(fèi)用作了最簡單的假設(shè). 對于泛函極值問題用古典變分法求解對于泛函極值問題用古典變分法求解, 得到得到最優(yōu)最優(yōu)生生 產(chǎn)計劃產(chǎn)計劃x(t)(累積產(chǎn)量累積產(chǎn)量)為二次函數(shù)為二次函數(shù). 實(shí)際條件實(shí)際條件x(t) 0 導(dǎo)致對已知參數(shù)的要求導(dǎo)致對已知參數(shù)的要求:1224/ kTkQ 對函數(shù)施加的閉約束對函數(shù)施加的閉約束, 如對生產(chǎn)率的限制如對生產(chǎn)率的限制 可能導(dǎo)致可能導(dǎo)致古典變分法的失敗古典變分法的失敗.BtxA)( 若參數(shù)不滿足該要求怎樣處理若參數(shù)不滿足該要求怎樣處理?13.3 國民收入的增長國民收入的增長背景和問題背景和問題 國民經(jīng)濟(jì)收入

17、的來源國民經(jīng)濟(jì)收入的來源: 擴(kuò)大再生產(chǎn)的積累擴(kuò)大再生產(chǎn)的積累 資金資金, 滿足人民生活需要的消費(fèi)資金滿足人民生活需要的消費(fèi)資金 . 如何安排積累資金和消費(fèi)資金的比例，如何安排積累資金和消費(fèi)資金的比例， 使國民經(jīng)濟(jì)收入得到最快的增長使國民經(jīng)濟(jì)收入得到最快的增長. 從最優(yōu)控制的角度討論十分簡化的模型從最優(yōu)控制的角度討論十分簡化的模型.一般模型一般模型),()(uxtftx國民經(jīng)濟(jì)收入國民經(jīng)濟(jì)收入 x(t)，其中用于積累資金的部分，其中用于積累資金的部分y(t),求最優(yōu)積累率使國民收入求最優(yōu)積累率使國民收入 x(t)在時間在時間T內(nèi)增長最快內(nèi)增長最快.積累率積累率 u(t)=y(t)/x(t)(ma

18、x,)0(0Txxx),(1uxtfH1000 xTxxxuxtftxuxtfuxtftux)()(),()(),(),()(,國民收入增長率國民收入增長率對偶等價對偶等價,)(,)0(),()(10 xTxxxuxtftx0min( ( )dTJ u tt泛函條件極值泛函條件極值哈密頓函數(shù)哈密頓函數(shù)求解最優(yōu)控制函數(shù)求解最優(yōu)控制函數(shù)u(t)和最優(yōu)狀態(tài)和最優(yōu)狀態(tài)x(t).簡化模型簡化模型)()(/ )(buautxtx假設(shè)假設(shè)討論函數(shù)討論函數(shù)f的具體、簡化形式的具體、簡化形式1, 0)()0()()(0)2()()(xTxxxxbuautxxbuxabuaut描述以上假設(shè)的最簡模型描述以上假設(shè)的

19、最簡模型國民收入相對增長率國民收入相對增長率)(/ )(txtx 積累率積累率u較小時較小時 隨隨u的增加而增加的增加而增加 積累資金擴(kuò)大再生產(chǎn)的促進(jìn)作用積累資金擴(kuò)大再生產(chǎn)的促進(jìn)作用.)(/ )(txtx 隨著隨著u的變大的變大 的增加變慢的增加變慢.)(/ )(txtx u增加到一定程度后增加到一定程度后 反而減小反而減小 消費(fèi)資金太少對國民收入的制約作用消費(fèi)資金太少對國民收入的制約作用.)(/ )(txtx xbuauuxtf)(),(1, 0)()0()()(0)2()()(xTxxxxbuautxxbuabuaut模型模型求解求解1000 xTxxxuxtftxuxtfuxtftux)

20、()(),()(),(),()(,xbuauuxtftx)(),()(對于最簡模型對于最簡模型 不必解泛函不必解泛函極值問題極值問題, 可以直接得到可以直接得到 u=a/2b時時 最大最大.xbuautx)()()(tx 使國民收入使國民收入 x(t)增長最快的最優(yōu)積累率是常數(shù)增長最快的最優(yōu)積累率是常數(shù) u=a/2b2140204( ),( )e,ln2atbxabu tx txTbax結(jié)果結(jié)果解釋解釋13.4 漁船出海漁船出海背景和問題背景和問題 繼續(xù)討論開發(fā)漁業(yè)資源的最大經(jīng)濟(jì)效益模型繼續(xù)討論開發(fā)漁業(yè)資源的最大經(jīng)濟(jì)效益模型. 用出海漁船數(shù)量表示捕撈強(qiáng)度用出海漁船數(shù)量表示捕撈強(qiáng)度, 作為控制函

21、數(shù)作為控制函數(shù). 當(dāng)漁場魚量增長到一定數(shù)量后才出海捕撈當(dāng)漁場魚量增長到一定數(shù)量后才出海捕撈. 用特殊形式的控制函數(shù)將動態(tài)優(yōu)化問題化為用特殊形式的控制函數(shù)將動態(tài)優(yōu)化問題化為 普通的函數(shù)極值普通的函數(shù)極值.模型假設(shè)模型假設(shè) x(t)的自然增長服從的自然增長服從Logistic規(guī)律規(guī)律, 單位時間單位時間 捕撈量與捕撈量與u(t), x(t)成正比成正比. 當(dāng)當(dāng)t 時才派時才派漁船出海漁船出海, 且且u(t)=U(常數(shù)常數(shù)). 魚的出售單價為魚的出售單價為p, 每只漁船單位時間費(fèi)用為每只漁船單位時間費(fèi)用為c, 折扣因子折扣因子 (通貨膨脹率通貨膨脹率)為為 .漁場魚量漁場魚量x(t), 漁船數(shù)量漁船

22、數(shù)量u(t)()()1 ()(txtquNxrxtx x(0)=N/K (K很大很大), t 時時x(t)保持穩(wěn)定保持穩(wěn)定.建模與求解建模與求解 泛函極值問題泛函極值問題目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù): 捕魚業(yè)的長期效益捕魚業(yè)的長期效益)()()1 ()(txtquNxrxtx0( ( )e( ) ( )( )dtJ u tpqx t u tcu tt,01 (1)e( )(1),rtNtKx tqUNtr tUttu,0, 0)(1(1)1(1)erqUKr)1)(1ln(1qUrKrx(t)在在t= 的的連續(xù)性連續(xù)性 函數(shù)極值問題函數(shù)極值問題建模與求解建模與求解目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù): 捕魚業(yè)的長期效益捕魚業(yè)

23、的長期效益0( ( )e( ) ( )( )dtJ u tpqx t u tcu tt)1)(1ln(1qUrKr()e(1/ )dtF UUpqNqUrct()(1/)e/ ,/UUpqNqU rbbc pqNb(1)費(fèi)用費(fèi)用-價格比的下界價格比的下界qbrUbrqUU/ )1 (0/10,8)1 (342rbrbrbqrU)(maxUFtrqUNtx),/1 ()(tUtu,)(模型解釋模型解釋最優(yōu)解應(yīng)在邊際收益等于邊際損失時達(dá)到最優(yōu)解應(yīng)在邊際收益等于邊際損失時達(dá)到)()()()(tcututpqxtuR)/1 ()(crqUpqNUURtrqUNtx),/1 ()(tUtu,)(單位時間

24、利潤單位時間利潤()e(1/ )dtF UUpqNqU rct()e()dtUR Ut( )e( )/( ) ( )F UR UR UU/ )()()(0)(URUURUF短期利潤的增加短期利潤的增加:長期收益的減少長期收益的減少:)()()1()()(UURUUUR0e ()(1)d()/tR UR UtR U 漁漁 船船 出出 海海以漁船數(shù)量以漁船數(shù)量u(t)為控制函數(shù)為控制函數(shù)的最大效益模型的最大效益模型泛函極值泛函極值.假定假定u(t)的特殊形式的特殊形式 , 化為化為函數(shù)極值函數(shù)極值. tUttu,0, 0)(u(t)假定的假定的合理性合理性: 泛函極值問題的解正是取這種形式泛函極值

25、問題的解正是取這種形式.最優(yōu)解在邊際收益等于邊際損失時達(dá)到最優(yōu)解在邊際收益等于邊際損失時達(dá)到, 是短期利益是短期利益與長期利益取得折中的結(jié)果與長期利益取得折中的結(jié)果.13.5 賽跑的速度賽跑的速度背景和問題背景和問題 將賽程分成若干階段將賽程分成若干階段, 根據(jù)賽跑運(yùn)動員的生理根據(jù)賽跑運(yùn)動員的生理 條件對各階段的速度作最恰當(dāng)?shù)陌才艞l件對各階段的速度作最恰當(dāng)?shù)陌才? 以期獲以期獲 得最好的成績得最好的成績. Keller提出一個簡單模型提出一個簡單模型(1974), 根據(jù)根據(jù)4個生理參個生理參 數(shù)從最優(yōu)控制的角度確定各階段的速度函數(shù)數(shù)從最優(yōu)控制的角度確定各階段的速度函數(shù), 并并 可以預(yù)測比賽成績

26、可以預(yù)測比賽成績. 尋求速度安排的最佳策略是復(fù)雜的生理力學(xué)問題尋求速度安排的最佳策略是復(fù)雜的生理力學(xué)問題.問題分析問題分析 運(yùn)動員在賽跑中要克服體內(nèi)外的阻力以達(dá)到運(yùn)動員在賽跑中要克服體內(nèi)外的阻力以達(dá)到 和保持一定速度和保持一定速度, 需要發(fā)揮向前的沖力需要發(fā)揮向前的沖力. 這些能量怎樣分配到賽跑的各個階段這些能量怎樣分配到賽跑的各個階段, 并在到并在到 達(dá)終點(diǎn)前將其全部用完達(dá)終點(diǎn)前將其全部用完. 為沖力作功提供能量的來源為沖力作功提供能量的來源: 賽跑前貯存在體內(nèi)賽跑前貯存在體內(nèi) 的能量的能量, 賽跑中通過氧的代謝作用產(chǎn)生的能量賽跑中通過氧的代謝作用產(chǎn)生的能量. 模型要確定的模型要確定的3個關(guān)

27、系個關(guān)系:沖力與速度沖力與速度 沖力作功與能量來源沖力作功與能量來源速度與比賽成績速度與比賽成績 將最佳成績歸結(jié)成以距離為目標(biāo)將最佳成績歸結(jié)成以距離為目標(biāo), 與速度、與速度、 沖力、能量等函數(shù)有關(guān)的極值問題沖力、能量等函數(shù)有關(guān)的極值問題.模型假設(shè)模型假設(shè) 賽跑中體內(nèi)外的阻力與速度成正比賽跑中體內(nèi)外的阻力與速度成正比, 比例系數(shù)比例系數(shù) -1 賽跑中在氧的代謝下單位時間產(chǎn)生的能量是常數(shù)賽跑中在氧的代謝下單位時間產(chǎn)生的能量是常數(shù) 賽跑前貯存在體內(nèi)供賽跑的能量是常數(shù)賽跑前貯存在體內(nèi)供賽跑的能量是常數(shù)E0 運(yùn)動員能發(fā)揮的最大沖力是運(yùn)動員能發(fā)揮的最大沖力是F 運(yùn)動員具有單位質(zhì)量，初速為零運(yùn)動員具有單位質(zhì)

28、量，初速為零. 比賽成績：比賽成績：“一定距離下時間最短一定距離下時間最短”等價為等價為 “一定時間內(nèi)距離最大一定時間內(nèi)距離最大” .一般模型一般模型)(/tfvv以速度以速度v(t)在時間在時間T內(nèi)跑完賽程內(nèi)跑完賽程D0( ( )( )dTD v tv tt阻力與速度成正比阻力與速度成正比, 比例系數(shù)比例系數(shù) -1單位質(zhì)量運(yùn)動員，初速為零單位質(zhì)量運(yùn)動員，初速為零運(yùn)動員的最大沖力是運(yùn)動員的最大沖力是F0)0(vFtf)(0單位時間產(chǎn)生的能量是單位時間產(chǎn)生的能量是 賽跑前貯存的能量是賽跑前貯存的能量是E0運(yùn)動員賽跑速度運(yùn)動員賽跑速度v(t), 體內(nèi)能量體內(nèi)能量E(t)fvtE)(,)0(0EE0

29、)(tED固定固定, 求求v(t)使使T最小最小T固定固定, 求求v(t)使使D最大最大以以D(v(t)為目標(biāo)的泛函條件極值為目標(biāo)的泛函條件極值 ( ,F, ,E0為已知參數(shù)為已知參數(shù))短跑模型短跑模型用最大沖力用最大沖力F跑全程跑全程, 可取得最好成績可取得最好成績最長的短跑賽程以體內(nèi)能量最長的短跑賽程以體內(nèi)能量E(t)不小于零為標(biāo)準(zhǔn)不小于零為標(biāo)準(zhǔn))(/tfvvFfvtE)(2/(1 e)tF0)0(EE222/0( )()(1 e)tE tEFtFtEE0Otcte/( )(1 e)tv tF(單調(diào)增單調(diào)增),),(Fvttev小小 E增加增加 ,),(Fvttev大大 E減少減少 0)(

30、tEctt/20( )d(e/1)ccttccDv ttFt 最遠(yuǎn)距離最遠(yuǎn)距離(最長的短跑賽程最長的短跑賽程)為為短跑模型短跑模型) 1/(/2ctcteFDcKeller根據(jù)當(dāng)時的世界記錄得到根據(jù)當(dāng)時的世界記錄得到F, 的估計值的估計值:s892. 0,N/kg2 .12Fm291, s6 .27ccDt后來根據(jù)后來根據(jù)1987年約翰遜的百米成績年約翰遜的百米成績(9.83s)修正參數(shù)修正參數(shù):估計用最大沖力跑全程時最長的短跑賽程估計用最大沖力跑全程時最長的短跑賽程s06. 1,N/kg4 .10Fm369, s5 .34ccDt中長跑模型中長跑模型當(dāng)賽程超過當(dāng)賽程超過Dc時不能用最大沖力跑

31、全程時不能用最大沖力跑全程將賽程分為將賽程分為3個階段個階段:初始階段初始階段(0 t t1) 用最大沖力跑用最大沖力跑, 在短時間獲得高速度在短時間獲得高速度.中間階段中間階段(t1 t t2) 保持勻速保持勻速.最后階段最后階段(t2 t T) 把體內(nèi)能量用完把體內(nèi)能量用完, 靠慣性沖刺靠慣性沖刺.問題問題: 確定確定t1 ,t2 及及3個階段的速度個階段的速度v1(t), v2(t), v3(t)中長跑模型中長跑模型初始階段初始階段用最大沖力跑用最大沖力跑, 與短跑模型相同與短跑模型相同/11( )(1 e),0tv tFtt t1待定待定最后階段最后階段把體內(nèi)能量用完把體內(nèi)能量用完,

32、E(t)=0)(/tfvvfvtE)(中間階段中間階段保持勻速保持勻速2122,)(tttvtvt2, v2待定待定223)(vtv22331 d2 dvvt22()/21/2322( )()e,t tv tvttT 中長跑模型中長跑模型中間階段中間階段2122,)(tttvtv12122130( ( )( )d()( )dtTtD v tv ttv ttv ttfvtE)(/2vvv 0)0(EE/1( )(1 e), 0tv tFtt max2200( )/2( )d /tE tEtvv tt122/2220222210( )/2(1 e) d()/ttE tEtvFtv tt在條件在條件

33、E(t2)=0下求下求v(t)使使D(v(t)最大最大t1, t2, v2待定待定222/ )()(),(tEtvDttvI中長跑模型中長跑模型引入乘子引入乘子 化為無化為無條件極值條件極值泛函極值必要條件泛函極值必要條件確定確定t1, t2, v21/1( )(1 e)tv tF/2v2222()/2()/22ed2()et tTt tttv,/2v1/(1 e)1tF1222/22202210( )/2(1 e) d()/0ttE tEtFttt22()/22222( ()e)T t 模型模型解釋解釋tvt1t2OTv2中長跑模型中長跑模型3 3段速度示意圖段速度示意圖 賽跑的最佳策略是最

34、后把體內(nèi)能量全部用完賽跑的最佳策略是最后把體內(nèi)能量全部用完, 靠慣性靠慣性 沖刺沖刺,這必然導(dǎo)致速度的短暫下降這必然導(dǎo)致速度的短暫下降, 單從賽跑的時間看單從賽跑的時間看 (不考慮比賽的策略不考慮比賽的策略), 這樣做是最優(yōu)的這樣做是最優(yōu)的. Keller對一般模型提出分段解法對一般模型提出分段解法, 不能證明是最優(yōu)的不能證明是最優(yōu)的, 但它是合理的簡化但它是合理的簡化, 在將動力學(xué)與生理學(xué)相結(jié)合在將動力學(xué)與生理學(xué)相結(jié)合, 用用 建模方法探討體育問題上提供了范例建模方法探討體育問題上提供了范例.最后一段最后一段(通常一兩通常一兩秒鐘秒鐘)速度有所下降速度有所下降13.6 多階段最優(yōu)生產(chǎn)計劃多階

35、段最優(yōu)生產(chǎn)計劃離散動態(tài)優(yōu)化問題離散動態(tài)優(yōu)化問題動態(tài)規(guī)劃模型是有效方法動態(tài)規(guī)劃模型是有效方法 問題問題 考察考察T個個時段某產(chǎn)品的時段某產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃生產(chǎn)計劃生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)c0 單件生產(chǎn)成本單件生產(chǎn)成本k 單件每時段單件每時段存貯費(fèi)存貯費(fèi)h0 每時段最大生產(chǎn)能力每時段最大生產(chǎn)能力Xm 每時段最大存貯量每時段最大存貯量Im 第第1時段初有庫存量時段初有庫存量i1 制訂產(chǎn)品生產(chǎn)計劃制訂產(chǎn)品生產(chǎn)計劃(每時段產(chǎn)量每時段產(chǎn)量)使使T個時段的總費(fèi)用最小個時段的總費(fèi)用最小 已知需求量已知需求量dt (t=1,2,T) 例例 T =3, d1=2, d2=1, d3=2, Xm =4,c0=3, k=2,

36、 h0=1, Im =3, i1=1 確定需求問題確定需求問題優(yōu)化模型優(yōu)化模型(最短路最短路)隨機(jī)需求問題隨機(jī)需求問題分析分析與與求解求解 生產(chǎn)費(fèi)用生產(chǎn)費(fèi)用時段時段t初的初的存貯量存貯量it, 時段時段t+1初的存貯量初的存貯量 it+1= it+ xt-dt時段時段t的的存貯費(fèi)存貯費(fèi) h(it)= h0(it+ xt-dt) = it+xt-dt 時段時段t的的產(chǎn)量產(chǎn)量 xt (t=1,2,3)0, 00,23)(0tttttxxxkxcxcxtXm=4 4，itIm=3需求量需求量dt準(zhǔn)備費(fèi)準(zhǔn)備費(fèi)c0=3成本成本k=2存貯費(fèi)存貯費(fèi)h0=1最大生產(chǎn)能力最大生產(chǎn)能力Xm=4最大存貯量最大存貯量

37、Im=3將多時段生產(chǎn)計劃問題簡化為多個單時段問題將多時段生產(chǎn)計劃問題簡化為多個單時段問題 由后向前分解由后向前分解時段時段3初的存貯量初的存貯量i3, 產(chǎn)量產(chǎn)量x3(i3), 最小費(fèi)用最小費(fèi)用f3(i3)1. 最后時段最后時段(時段時段3)需求量需求量d3=2 f3(0)=c(2)= 3+2 2=7為使為使3個時段的總費(fèi)用最小，時段個時段的總費(fèi)用最小，時段3末的存貯量應(yīng)為末的存貯量應(yīng)為0 i3= 0f3(1)=c(1)= 3+2 1=5f3(2)=c(0)=0 x3(0)=2i3= 1x3(1)=1i3= 2x3(2)=0分析分析與與求解求解 2. 時段時段2需求量需求量d2=1 時段時段2初

38、存貯量初存貯量i2, 產(chǎn)量產(chǎn)量x2(i2), 時段時段2,3最小費(fèi)用之和最小費(fèi)用之和時段時段2的費(fèi)用的費(fèi)用: c(x2)+h(i2) i3=i2+x2-1 )1()()(min)(22322222xifihxcifx1i2+x23 i2x2c(x2)h(i2)f3(i2+x2-1)c+ h+ f3f2(i2)，x2(i2)0150712f2(0)=11x2(0)=3027151303920 11*10007 7*f2(1)=7x2(1)=01151511127209200156f2(2)=6x2(2)=021520730020 2*f2(3)=2x2(3)=03. 時段時段1時段時段1初存貯量

39、初存貯量i1=1, 產(chǎn)量產(chǎn)量x1(i1), 需求量需求量d1=2 時段時段13最小費(fèi)用之和最小費(fèi)用之和時段時段1的費(fèi)用的費(fèi)用: c(x1)+h(i1) i2=i2+x2-2 )2()()(min)(11211111xifihxcifx2i2+x25 i1x1c(x1)h=i1+x1-2f2(i1+x1-2)c+ h+ f2f1(i1)，x1(i1)11501116f1(1)=15x1(1)=212717 15*139261714113216f1(1)=15, x1(1)=2i2=i1+x1-2=1+2-2=1i3=i2+x2-1=1+0-1=0最優(yōu)生產(chǎn)計劃：最優(yōu)生產(chǎn)計劃：3個時段的產(chǎn)量為個時段

40、的產(chǎn)量為x1=2，x2=0，x3=2x2(i2)=x2(1)=0 x3(0)=2最短路問題最短路問題 002101231路段1路段2路段1路段3終點(diǎn)多階段生產(chǎn)計劃多階段生產(chǎn)計劃尋找最短路尋找最短路5811145811069172750各路段站點(diǎn)各路段站點(diǎn): i1=1, i2=0,1,2,3, i3=0,1,2, i4=0兩站點(diǎn)距離兩站點(diǎn)距離: 本時段生產(chǎn)費(fèi)本時段生產(chǎn)費(fèi)與存貯費(fèi)之和與存貯費(fèi)之和 路段路段3各站點(diǎn)到終點(diǎn)的最短距離各站點(diǎn)到終點(diǎn)的最短距離: f3(i3)路段路段2各站點(diǎn)到終點(diǎn)的最短距離各站點(diǎn)到終點(diǎn)的最短距離: f2(i2)路段路段1站點(diǎn)站點(diǎn)1到終點(diǎn)到終點(diǎn)的最短距離的最短距離: f1(1

41、)最短路最短路: i1=1, x1(1)=2i2=1, x2(1)=0i3=0, x3(0)=2i4=0 它的子路徑如它的子路徑如 i2=1i3=0i4=0 也是也是最短路最短路確定需求下多時段確定需求下多時段(T時段時段)生產(chǎn)計劃的一般模型生產(chǎn)計劃的一般模型最大生產(chǎn)能力最大生產(chǎn)能力Xm 最大存貯量最大存貯量Im 第第1時段初庫存量時段初庫存量i1 需求量需求量dt, 產(chǎn)量產(chǎn)量xt , 存貯量存貯量it, 生產(chǎn)生產(chǎn)費(fèi)費(fèi)c (xt), 存貯費(fèi)存貯費(fèi)h(it) 1. 根據(jù)對時段根據(jù)對時段T末存貯量的要求，確定末存貯量的要求，確定fT+1(iT+1) 2. 時段時段從后向前從后向前地計算最小費(fèi)用，遞

42、推公式：地計算最小費(fèi)用，遞推公式：1 , 1,),()()(min)(111TTtXxIidxiiifihxcifmtmtttttttttxtttf1(i1)為總費(fèi)用最小值為總費(fèi)用最小值 3.時段時段從前向后從前向后地確定最優(yōu)生產(chǎn)計劃地確定最優(yōu)生產(chǎn)計劃: 由由i1 , xt(it) 及及 it+1= it +xt(it)-dt 得到得到 xt動態(tài)規(guī)劃模型動態(tài)規(guī)劃模型隨機(jī)需求下的多階段生產(chǎn)計劃隨機(jī)需求下的多階段生產(chǎn)計劃 需求量隨機(jī)需求量隨機(jī)存貯量隨機(jī)存貯量隨機(jī)存貯費(fèi)及總費(fèi)用隨機(jī)存貯費(fèi)及總費(fèi)用隨機(jī)優(yōu)化目標(biāo)是總費(fèi)用的期望最小優(yōu)化目標(biāo)是總費(fèi)用的期望最小隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃模型隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃模型隨機(jī)需求隨機(jī)需求:

43、 P(dt=1)=1/3, P(dt=2)=2/3 (t=1,2,3) 存貯費(fèi)的期望值存貯費(fèi)的期望值Eh(it)= h0E (it+ xt-dt) =(it+xt-1)P(dt=1) +(it+xt-2)P(dt=2)=(it+xt-1)/3+2(it+xt-2)/3=it+xt-5/3 對于存貯量對于存貯量i3, 計劃結(jié)束時出售剩余量得到的回報為計劃結(jié)束時出售剩余量得到的回報為s(i3),期望值期望值Es(i3)=1.5(i3+x3-1)/3+2(i3+x3-2)/3=1.5(i3+x3)-2.5 計劃結(jié)束時存貯量隨機(jī)計劃結(jié)束時存貯量隨機(jī), 假定剩余存貯量以假定剩余存貯量以1.5的價格出售的

44、價格出售 隨機(jī)需求下的多階段生產(chǎn)計劃隨機(jī)需求下的多階段生產(chǎn)計劃 1. 最后時段最后時段(時段時段3)時段時段3初的存貯量初的存貯量i3, 產(chǎn)量產(chǎn)量x3(i3), 期望期望費(fèi)用最小值費(fèi)用最小值f3(i3)Es(i3)=1.5(i3+x3)-2.5P(dt=1)=1/3, P(dt=2)=2/3 f3(0)=c(2)-Es(0)=7-1/2=13/2, x3(0)=2f3(1)=c(1)- Es(1)=5-1/2=9/2, x3(1)=1 f3(2)=c(0)- Es(2)=0-1/2=-1/2, x3(2)=0 f3(3)=c(0)- Es(3)=0-2= -2, x3(3)=0 計算計算2.

45、時段時段2 時段時段2,3期望期望費(fèi)用最小值費(fèi)用最小值3/ ) 2(23/ ) 1()()(min)(22322322222xifxifiEhxcifx2i2+x24, x2Xm , i2Imi2x2c(x2)Eh(i2)f3 (i2+x2-1)/3+2 f3 (i2+x2-2)/3c+Eh+ f3f2(i2)，x2(i2)0271/335/679/6f2(0)= 37/3x2(0)=40394/317/679/604117/3-1 37/3*1151/335/667/6f2(1)= 31/3x2(1)=31274/317/667/61397/3-1 31/3*2001/335/6 37/6*f2(2)=37/6x2(2)=02154/317/655/62277/3-125/33004/317/6 25/6*f2(3)= 25/6x2(3)=03157/3-119/33. 時段時段1時段時段1初存貯量初存貯量i1=1 3/ )2(23/ ) 1()()(min)(11211211111xifxifiEhxcifx2i1+x14 i1x1c(x1)Eh(i1)f2 (i1+x1-1)/3+2 f2 (i1+x1-2)/3c+Eh+ f2f1(i1)，x1(i1)1151/3105/9306/18f1(1)=303/18x