計算聲學第一章 數值計算中的誤差分析

1、編輯課件1前言l課程目的和任務：課程目的和任務： 通過對一些基本聲學和水聲學水聲學問題的分析和求解，掌握基本聲學理論計算與工程研究中常用的數值計算方法數值計算方法，培養(yǎng)綜合運用聲學專業(yè)知識、數學知識和計算機技術計算機技術解決科學研究中手工所不能解算的問題，具備應用現代計算工具解決工程實際問題的能力。編輯課件2l水聲學主要研究聲波在水下的輻射、傳播與接收輻射、傳播與接收，用以解決與水下目標探測和信息傳輸過程有關的各種聲學問題。聲波是目前在海洋中唯一能夠遠距離傳播的能量輻射形式。因此作為信息載體的聲波，在海洋中所形成的聲場時空結聲場時空結構構，就成為近代水聲學的基本研究內容，而提取海洋中聲場信息的

2、結構是我們用來進行水下探測、識別、通信及環(huán)境監(jiān)測等的手段。前言編輯課件3前言l海洋環(huán)境編輯課件4l波動方程：波動方程：波動方程是聲學量在聲場中滿足的基本關系式，反映了波動特征，也是進行聲場計算的基本關系式。在導出波動方程前，為了使問題簡化，需要對介質和聲波做一些假設：（1）介質是均勻連續(xù)的，即在波長數量級距離內，介質的聲學性質保持不變；（2）介質是理想流體介質，聲波在其中傳播時沒有能量損耗，即忽略介質的粘滯性和熱傳導性；（3）研究小振幅波的傳播規(guī)律，所謂小振幅波是指各聲學量都是一級小量。波動方程是描述波動運動的數學表達式，它由連續(xù)性方程、狀態(tài)方程和運動方程推導得到。 前言編輯課件5l波動方程：

3、波動方程：理想流體介質中小振幅平面波的波動方程為（沿 軸向傳播）：小振幅聲壓在三維坐標下的波動方程為 為拉普拉斯算符，在直角坐標系中 前言x222221tpcxp22221tpcp22222222zyx編輯課件6l海洋聲場的數值預報海洋聲場的數值預報 在建立了能夠反映海洋環(huán)境因素對聲場的制約關系的聲場物理模型（波動方程+定解條件）的基礎上，根據可測海洋環(huán)境參數的測定值或預報值，編寫程序完成數值計算，給出相應海洋環(huán)境條件下的有關場值。近年來，由于計算機的快速發(fā)展，數值計算聲場是一個快速發(fā)展的領域。 海洋聲場的數值預報方法主要有射線算法、簡正波算法、拋物方程（PE）算法、快速場（FFP）算法等，各

4、自有不同的適應范圍。前言編輯課件7前言l函數插值函數插值： 已知一組不同深度處的聲速值，如何得到任意深度處的聲速值？ 深度（m）0.050.0100.0200.0300.0400.0500.0800.0聲速(m/s)1510.51510.41505.81500.81496.01492.01488.11483.21000.01200.02000.03000.04000.01482.61482.41498.01516.61534.8編輯課件8前言1480149015001510152015301540155015601570-5000-4500-4000-3500-3000-2500-2000-1

5、500-1000-5000聲 速 剖 面 圖聲 速 (m/s)深度(m)編輯課件9前言l數值積分數值積分：聲線軌跡計算1z2z210220cos)(coszzdzznr)()(0zcczn聲線從深度傳播到深度所經過的水平距離為編輯課件10前言問題問題：利用射線聲學模型對海洋聲場進行求解 編輯課件11l偽彩色圖偽彩色圖前言編輯課件12前言l三維環(huán)境下聲傳播三維環(huán)境下聲傳播編輯課件13前言l三維海洋環(huán)境下特征聲線求解： 為聲線的位置信息，需要求解，其它參數已知。2221112121211112/122221112222/122111121112222222222222221112121212122

6、2121222111222111cos1cos111sintansintan1tansintansin11tansin)tansin() 1() 1()tansin() 1() 1(sinsinsincoscoscoskkkkhkZkhkkHkhhkkknZhkkknHkrkkrk,1k,2k,1,2,12編輯課件14前言l三維海洋環(huán)境下特征聲線求解（線性方程組、非線性方程、非線性方程組）1. 牛頓法迭代法： 泰勒級數展開式的線性部分近似2. 進化算法： 遺傳算法、模擬退化算法、粒子群算法等編輯課件15前言l曲線擬合曲線擬合：已知目標散射場指向性的實驗測量結果如圖所示，如何比對其與理論計算結果

7、的誤差？130鋁球散射聲場指向性頻率28fkHz6 . 7ka編輯課件16l微分方程求解微分方程求解：隨機共振系統(tǒng)對微弱信號的檢測非線性雙穩(wěn)態(tài)隨機共振系統(tǒng) 利用四階龍格庫塔算法求解前言)(2)cos(03tDtAbxaxx編輯課件17前言l四階龍格庫塔算法1, 1 , 0 ,226143211NnkkkkxxnnnnnubxaxKk311311222nnnukxbkxaKk1322322nnnukxbkxaKk23334)()(nnnukxbkxaKk1, 1ba編輯課件18前言00.511.522.533.54x 104-3-2-10123x 10-3輸 入 周 期 信 號編輯課件19前言0

8、0.511.522.533.54x 104-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2輸 入 周 期 信 號 +噪 聲編輯課件20前言00.511.522.533.54x 104-2-1.5-1-0.500.511.52SR處 理 后 信 號編輯課件21前言l必要性：必要性： 現代科學研究和高技術的發(fā)展越來越需要借助計算機進行數值計算，水聲領域也不例外。l講授的主要內容講授的主要內容：1、數值計算方法數值計算方法：誤差分析、方程組求解、非線性方程求解、插值法、最小二乘與曲線擬合、數值微積分、常微分方程求解；2、進化算法進化算法（方程組求解）：量子粒子群算法；3、虛源法聲場

9、建模虛源法聲場建模。編輯課件22數值計算的對象、任務與特點 l對象對象： 數值計算方法是研究科學與工程技術中數學問題的數值解及其理論的一個分支，涉及代數、微積分、微分方程等的數值解問題。l任務任務： 研究適合在計算機上使用的數值計算方法及相關理論，如方法的收斂性、穩(wěn)定性和誤差分析等；還要根據計算機的特點研究如何設計計算方法做到計算時間短、占用內存小。l學習目的學習目的： 提高應用計算機解決實際問題的能力。 編輯課件23數值計算的對象、任務與特點l數值計算流程數值計算流程：l特點特點： 既具有數學的抽象性與嚴格性，又具有應用的廣泛性與實際實驗的技術性，是一門與計算機緊密結合的實用性很強的有著自身

10、研究方法與理論體系的計算數學課程。 編輯課件24數值計算中的誤差分析l內容提要內容提要： 掌握絕對誤差、相對誤差、有效數字、數值計算的誤差估計以及設計算法的原則。l重點內容重點內容： 絕對誤差、相對誤差、有效數字的概念，數值計算的誤差估計。編輯課件25誤差與數值計算的誤差估計一、誤差的來源與分類一、誤差的來源與分類 將一個數的準確值與其近似值之差稱為誤差誤差。1. 1. 分類分類 過失誤差：過失誤差： 人為造成，可以避免 非過失誤差：非過失誤差： 無法避免，分析產生原因，限制在許可范圍之內編輯課件262 誤差與數值計算的誤差估計2. 2. 誤差來源（非過失誤差）誤差來源（非過失誤差）l模型誤差

11、：模型誤差： 數學模型是通過對實際問題進行抽象和簡化建立的，是一種近似描述。l觀測誤差：觀測誤差： 測量工具精度與測量手段的限制。l舍入誤差：舍入誤差： 計算機位數的限制，由于計算機的字長是有限的，對參與計算的數據和最后得到的計算結果，都必然用有限位小數代替無窮位小數。編輯課件272 誤差與數值計算的誤差估計l截斷誤差截斷誤差： 由數值方法求得的數學問題的近似解與數學模型的精確解之間的誤差，是數值計算方法固有的。 取部分和作近似 截斷誤差：12153)!12(1) 1(! 51! 31sinnnxnxxxx12153)!12(1) 1(! 51! 31)(nnnxnxxxxP)(sin)(xP

12、xxEnn編輯課件28l絕對誤差與絕對誤差限絕對誤差與絕對誤差限絕對誤差：絕對誤差： 設某一量的精確值為 ，其近似值為 ，則稱為近似值 的絕對誤差，簡稱誤差。 時稱 為弱近似值或虧近似值； 時稱 為強近似值或盈近似值。絕對誤差限：絕對誤差限：如果存在 ，使得 ，則稱 為近似值 的絕對誤差限，簡稱誤差限或精度（測量時，測量工具最小刻度的一半）。 越小，表示近似值 的精度越高。在工程技術上常用 表示近似值的精度或精確值的范圍。2 誤差與數值計算的誤差估計x*x*)(xxxE*x0)(*xE0)(*xE*x*x0*)(xxxE*x*x*xx編輯課件292 誤差與數值計算的誤差估計例例：用毫米刻度的尺

13、子測得桌子長度近似值為 mm，由尺子的精度可以知道，近似值的誤差不超過0.5mm，即 表明精確值 在區(qū)間 內，可以寫成絕對誤差限 mm，即絕對誤差限是末位的半個單位。1235*x5 .12355 .12345 . 01235*xxxxx5 .1235, 5 .12345 . 01235x5 . 0編輯課件30l相對誤差和相對誤差限相對誤差和相對誤差限相對誤差：相對誤差：絕對誤差與精確值之比，即 稱為近似值的相對誤差。 實際中，由于精確值 一般無法知道，所以常取 作為近似值 的相對誤差。相對誤差限：相對誤差限：若存在 ，使得 ，則稱 為近似值 的相對誤差限。注意：注意：絕對誤差和絕對誤差限與 有

14、相同的量綱，相對誤差 和相對誤差限是無量綱的，工程中常以百分數來表示。2 誤差與數值計算的誤差估計xxxxxExEr*)()(x*)(xxxxEr*x0*)(xxxxEr*xx編輯課件31例例1.1 國際大地測量學會建議光速采用其含義是絕對誤差限為多少？而其相對誤差限為多少？2 誤差與數值計算的誤差估計smc/2 . 1299792458編輯課件322 誤差與數值計算的誤差估計絕對誤差限：近似值：相對誤差限：sm/2 . 1299792458*c)10002769. 4(101 . 42997924582 . 199*c編輯課件33l有效數字有效數字 如果近似值 的絕對誤差限是某一位的半個單位

15、，就稱其“準確”到這一位，且從該位開始直到 的第一位非零數字共有n位，則稱近似數 有n位有效數字有效數字。 有效數字既能表示近似值的大小大小，又能表示其精確程度精確程度（絕對誤差限）（絕對誤差限）。例例1.2 設 ，其近似值 ，問 有幾位有效數字？如果 ， 有幾位有效數字？2 誤差與數值計算的誤差估計*x*x*x0330551. 0 x033056. 0*x033055. 0*x*x*x編輯課件34練習題l1.指出如下有效數的絕對誤差限、相對誤差限和有效數字位數。 l2.將22/7作為 的近似值，它有幾位有效數字？絕對誤差限和相對誤差限各為多少？ 00.490 ,0490. 0 ,104928

16、9791415926535. 3編輯課件352 誤差與數值計算的誤差估計l有效數字有效數字 設 的近似值 可以寫成如下的標準形式 所以當其絕對誤差限滿足 時，稱近似值 具有 位有效數字。x*x,10)101010(2211*mnnaaax01a)10. 0(21*mnaaaxnmxx1021*xn編輯課件362 誤差與數值計算的誤差估計l結論：結論：如果 ，有 位有效數字，則其相對誤差限為反之，如果 的相對誤差限滿足則 至少有 位有效數字。,10)101010(2211*mnnaaax01an)1(1*1021)(nraxE*x)1(1*10) 1(21)(nraxE*xn編輯課件372 誤差

17、與數值計算的誤差估計l例例1.31.3 要使 的近似值的相對誤差小于 ，至少需取幾位有效數字？20%1編輯課件38l誤差的傳播與估計誤差的傳播與估計 實際的數值計算中，參與運算的數據往往都是近似值，帶有誤差帶有誤差。而在進一步運算中都會產生舍入誤差或截斷誤產生舍入誤差或截斷誤差差，這些誤差在運算過程中會進行傳播傳播，影響計算結果。 2 誤差與數值計算的誤差估計編輯課件39l一元函數的泰勒（泰勒（TaylorTaylor）中值定理）中值定理： 如果函數 在區(qū)間 內有直到 階導數， ，則有其中，拉格朗日型余項（ 介于 之間）。 2 誤差與數值計算的誤差估計 xfba,1nbaxx,0 xRxxkx

18、fxfnnkkk000! ,!1101nnnxxnfxRxx ,0編輯課件402 誤差與數值計算的誤差估計l泰勒（泰勒（TaylorTaylor）公式）公式估計誤差的方法：以二元函數 為例，設 和 分別是 和 的近似值， 是函數值 的近似值。函數 在點 處的Taylor展開式為),(21xxfy *1x*2x1x2x*yy),(21xxf*2*1,xxRxxxfxxxxxxfxxxfxxxfxxxfxxfxxf2*22*222*22*11*2122*11*212*22*2*11*1*2*1212! 21 ),(),(編輯課件412 誤差與數值計算的誤差估計式中 一般都是小量值，如果忽略它們的高

19、階無窮小量，則上式簡化為因此 的絕對誤差為 ),()(),()(*2*22*1*11xExxxExx)()(),(),(*2*2*1*1*2*121xExfxExfxxfxxf*y)()(),(),()(*2*2*1*1*2*121*xExfxExfxxfxxfyyyE編輯課件422 誤差與數值計算的誤差估計系數 分別是一階偏導數在 處的值，稱為 對 的絕對誤差的增長因子增長因子，分別表示絕對誤差 經過傳播后增大或縮小的倍數。 、*1xf*2xf*2*1,xx、*1x*2x*y、)(*1xE)(*2xE編輯課件432 誤差與數值計算的誤差估計 的相對誤差 分別是 對 的相對誤差的增長因子增長因

20、子，表示相對誤差 經過傳播后增大或減小的倍數。 *y)()( )()()()(*2*2*2*1*1*1*2*2*1*1*xExfyxxExfyxyxExfyxExfyyEyErrr、*1*1xfyx*2*2xfyx、*1x*2xy、)(*1xEr)(*2xEr編輯課件44 由此可以得到兩近似數 的和、差、積、商的誤差估計（絕對誤差）為2 誤差與數值計算的誤差估計*2*1,xx)()()(*2*1*2*1xExExxE)()()(*2*1*1*2*2*1xExxExxxE)0( )()()()/(*2*22*2*1*2*1*2*1xxExxxxExxE編輯課件45例例1.4 經過四舍五入得到 ，

21、 ，問他們分別具有幾位有效數字？ ， ， ， 的絕對誤差限分別是多少？2 誤差與數值計算的誤差估計1025. 6*1x115.80*2x*2*1xx *2*1xx *2*1xx*2*1xx編輯課件462 誤差與數值計算的誤差估計解解：記 和 的精確值分別是 和 ，則 分別具有5位有效數字 *1x*2x1x2x,10214*11 xx3*221021 xx,1021)(4*1xE3*21021)(xE00055. 0)()()()()(*2*1*2*1*2*1xExExExExxE00055. 0)()()()()(*2*1*2*1*2*1xExExExExxE007057. 0)()()()(

22、)(*2*1*1*2*2*1*1*2*2*1xExxExxExxExxxE5*22*2*1*1*2*22*2*1*1*2*2*11010995. 0)()()(1)()()(1xExxxExxExxxExxxE編輯課件472 誤差與數值計算的誤差估計例例1.5 測得某電阻兩端的電壓和流過的電流分別為 伏、 安，求電阻的阻值 ，并求 及 。 2220V1 . 010I*R)(*RE)(*REr編輯課件482 誤差與數值計算的誤差估計解解：有 ，已知 伏， 安，得 歐 的絕對誤差：由于 ， ，所以從而 的相對誤差IVR 220*V10*I22*R*R )(100220)(101)()(1)()()

23、(*2*IEVEIEIVVEIIEIRVEVRRE2)(*VE1 . 0)(*IE42. 01 . 01002202101)(100220)(101)(*IEVERE*R%91. 12242. 0)()(*RREREr編輯課件49例例1.6 設 ， ， 都精確到2位小數，估計 的相對誤差。2 誤差與數值計算的誤差估計21. 11x65. 32x81. 93x321xxx編輯課件502 誤差與數值計算的誤差估計解解：所以,1021)(21xE,1021)(22xE231021)(xE,21. 11021)()(2111xxExEr,65. 31021)()(2222xxExEr81. 91021

24、)()(2333xxExEr0293. 0 0.0050.0051.210.0053.65 )()()( )()()()(3211232112321xExExxExxExExxExxxxE00206. 081. 965. 321. 10293. 0)()(321321321xxxxxxExxxEr編輯課件51 在由誤差估計式得出絕對誤差限和相對誤差限的估計時，由于取了絕對值并用三角不等式放大，是按照最壞情形最壞情形得出的，所以結果是保守保守的。 一般來說，為了保證計算結果的精確度，在計算過程中，比結果中所要求的有效數字位數多取多取1位位或或2位位就可以了。2 誤差與數值計算的誤差估計編輯課件5

25、2 計算機只能對有限位數進行計算，從而在運算中產生誤差是不可避免的。許多實際問題的求解往往需要進行成千上萬次的數值計算，為了保證計算結果的可靠性，必須防止誤差的產生、傳播與擴大防止誤差的產生、傳播與擴大。一個好的算法應該是計算量小、精度高，算法穩(wěn)定，在計算過程中占用計算機的存儲單元和工作單元少。3 選用和設計算法時應遵循的原則編輯課件533 選用和設計算法時應遵循的原則選擇算法應遵循的原則：選擇算法應遵循的原則：l1.算法是否穩(wěn)定；l2.算法的邏輯結構是否簡單；l3.算法的運算次數和算法的存儲量是否盡量少。編輯課件54減少運算誤差的幾項措施：減少運算誤差的幾項措施：l1.選用數值穩(wěn)定數值穩(wěn)定的

26、計算公式，控制舍入誤差的傳播； 在數值計算中，對于某一問題選用不同的算法，所得到的結果往往不同，有時甚至大不相同。這主要是由于初始數據的誤差或計算時的舍入誤差在計算過程中的傳播因算法的不同而異。對某一算法，如果初始數據的誤差或舍入誤差對計算結果的影響較小，則稱該算法是數值穩(wěn)定數值穩(wěn)定的；否則，稱為數值不穩(wěn)定數值不穩(wěn)定算法。 3 選用和設計算法時應遵循的原則編輯課件55例例1.7 計算積分解：由 算法一算法一將代入遞推公式分別計算，由于3 選用和設計算法時應遵循的原則10), 2 , 1 , 0( 10ndxxxInn10110111101010ndxxdxxxxIInnnnn), 2 , 1( 1011nInInn