高考球例題復(fù)習(xí)精講 (2)

1、典型例題一例1已知地球的半徑為，球面上兩點(diǎn)都在北緯45圈上，它們的球面距離為，點(diǎn)在東經(jīng)30上，求點(diǎn)的位置及兩點(diǎn)所在其緯線圈上所對(duì)應(yīng)的劣弧的長(zhǎng)度分析：求點(diǎn)的位置，如圖就是求的大小，只需求出弦的長(zhǎng)度對(duì)于應(yīng)把它放在中求解，根據(jù)球面距離概念計(jì)算即可解：如圖，設(shè)球心為，北緯45圈的中心為，由兩點(diǎn)的球面距離為，所以=，為等邊三角形于是由，即=又點(diǎn)在東經(jīng)30上，故的位置在東經(jīng)120，北緯45或者西經(jīng)60，北緯45 兩點(diǎn)在其緯線圈上所對(duì)應(yīng)的劣弧說明：此題主要目的在于明確經(jīng)度和緯度概念，及利用球的截面的性質(zhì)和圓的有關(guān)性質(zhì)設(shè)計(jì)計(jì)算方案典型例題二例2用兩個(gè)平行平面去截半徑為的球面，兩個(gè)截面圓的半徑為，兩截面間的距離

2、為，求球的表面積分析：此類題目的求解是首先做出截面圖，再根據(jù)條件和截面性質(zhì)做出與球的半徑有關(guān)的三角形等圖形，利用方程思想計(jì)算可得解：設(shè)垂直于截面的大圓面交兩截面圓于，上述大圓的垂直于的直徑交于，如圖2設(shè)，則，解得說明：通過此類題目，明確球的有關(guān)計(jì)算問題需先將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題，進(jìn)一步熟悉有關(guān)圓的基礎(chǔ)知識(shí)，熟練使用方程思想，合理設(shè)元，列式，求解典型例題三例3自半徑為的球面上一點(diǎn)，引球的三條兩兩垂直的弦，求的值分析：此題欲計(jì)算所求值，應(yīng)首先把它們放在一個(gè)封閉的圖形內(nèi)進(jìn)行計(jì)算，所以應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造熟悉的幾何體并與球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián)解：以為從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)

3、長(zhǎng)方體，則另外四個(gè)頂點(diǎn)必在球面上，故長(zhǎng)方體是球的內(nèi)接長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)是球的直徑=說明：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補(bǔ)形的方法解決立體幾何中體積計(jì)算典型例題四例4試比較等體積的球與正方體的表面積的大小分析：首先抓好球與正方體的基本量半徑和棱長(zhǎng)，找出等量關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為其面積的大小關(guān)系解：設(shè)球的半徑為，正方體的棱長(zhǎng)為，它們的體積均為，則由，由得，即說明：突出相關(guān)的面積與體積公式的準(zhǔn)確使用，注意比較大小時(shí)運(yùn)算上的設(shè)計(jì)典型例題五圖1例5如圖1所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)有兩個(gè)球相外切且又分別與正方體內(nèi)切（1）求兩球半徑之和；（2）球的半徑為多少時(shí)，兩球體積之和最小分析：此題的關(guān)鍵在于作

4、截面，一個(gè)球在正方體內(nèi)，學(xué)生一般知道作對(duì)角面，而兩個(gè)球的球心連線也應(yīng)在正方體的體對(duì)角線上，故仍需作正方體的對(duì)角面 ，得如圖2的截面圖，在圖2中，觀察與和棱長(zhǎng)間的關(guān)系即可解：如圖2，球心和在上，過，分別作的垂線交于圖2則由得，（1）設(shè)兩球體積之和為，則 =當(dāng)時(shí)，有最小值當(dāng)時(shí)，體積之和有最小值典型例題六例6設(shè)正四面體中，第一個(gè)球是它的內(nèi)切球，第二個(gè)球是它的外接球，求這兩個(gè)球的表面積之比及體積之比分析：此題求解的第一個(gè)關(guān)鍵是搞清兩個(gè)球的半徑與正四面體的關(guān)系，第二個(gè)關(guān)鍵是兩個(gè)球的半徑之間的關(guān)系，依靠體積分割的方法來解決的解：如圖，正四面體的中心為，的中心為，則第一個(gè)球半徑為正四面體的中心到各面的距離，

5、第二個(gè)球的半徑為正四面體中心到頂點(diǎn)的距離設(shè)，正四面體的一個(gè)面的面積為依題意得，又即所以說明：正四面體與球的接切問題，可通過線面關(guān)系證出，內(nèi)切球和外接球的兩個(gè)球心是重合的，為正四面體高的四等分點(diǎn)，即定有內(nèi)切球的半徑(為正四面體的高)，且外接球的半徑典型例題七例7把四個(gè)半徑都是1的球中的三個(gè)放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個(gè)球，使它與前三個(gè)都相切，求第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離分析：關(guān)鍵在于能根據(jù)要求構(gòu)造出相應(yīng)的幾何體，由于四個(gè)球半徑相等，故四個(gè)球一定組成正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)且正四面體的棱長(zhǎng)為兩球半徑之和2解：由題意，四球心組成棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，則正四面體的高而第四個(gè)球的

6、最高點(diǎn)到第四個(gè)球的球心距離為求的半徑1，且三個(gè)球心到桌面的距離都為1，故第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離為說明：此類型題目對(duì)培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，并根據(jù)題意構(gòu)造熟悉幾何體都非常有幫助，且還可以適當(dāng)增加一點(diǎn)實(shí)際背景，加強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)典型例題八例8過球面上兩點(diǎn)作球的大圓，可能的個(gè)數(shù)是（）A有且只有一個(gè)B一個(gè)或無窮多個(gè)C無數(shù)個(gè)D以上均不正確分析：對(duì)球面上兩點(diǎn)及球心這三點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行討論當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，可以作一個(gè)大圓；當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，可作無數(shù)個(gè)大圓，故選B答案：B說明：解此易選出錯(cuò)誤判斷A其原因是忽視球心的位置典型例題九例9球面上有3個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的，經(jīng)過3個(gè)點(diǎn)的小圓的周長(zhǎng)為，那么

7、這個(gè)球的半徑為（）ABCD分析：利用球的概念性質(zhì)和球面距離的知識(shí)求解設(shè)球的半徑為，小圓的半徑為，則，如圖所示，設(shè)三點(diǎn)、，為球心，又，是等邊三角形，同樣，、都是等邊三角形，得為等邊三角形，邊長(zhǎng)等于球半徑為的外接圓半徑，答案：B說明：本題是近年來球這部分所出的最為綜合全面的一道題，除了考查常規(guī)的與多面體綜合外，還考查了球面距離，幾乎涵蓋了球這部分所有的主要知識(shí)點(diǎn)，是一道不可多得的好題典型例題十例10半徑為的球內(nèi)接一個(gè)各棱長(zhǎng)都相等的四棱錐求該四棱錐的體積分析：四棱錐的體積由它的底面積和高確定，只需找到底面、高與球半徑的關(guān)系即可，解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是如何選取截面，如圖所示解：棱錐底面各邊相等，底面是菱

8、形棱錐側(cè)棱都相等，側(cè)棱在底面上射影都相等，即底面有外接圓底面是正方形，且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面中心，此棱錐是正棱錐過該棱錐對(duì)角面作截面，設(shè)棱長(zhǎng)為，則底面對(duì)角線，故截面是等腰直角三角形又因?yàn)槭乔虻拇髨A的內(nèi)接三角形，所以，即高，體積說明：在作四棱錐的截面時(shí)，容易誤認(rèn)為截面是正三角形，如果作平等于底面一邊的對(duì)稱截面（過棱錐頂點(diǎn)，底面中心，且與底面一邊平行），可得一個(gè)腰長(zhǎng)為斜高、底為底面邊長(zhǎng)的等腰三角形，但這一等腰三角形并不是外接球大圓的內(nèi)接三角形可見，解決有關(guān)幾何體接切的問題，如何選取截面是個(gè)關(guān)鍵解決此類問題的方法通常是先確定多面體的棱長(zhǎng)（或高或某個(gè)截面內(nèi)的元素）與球半徑的關(guān)系，再進(jìn)一步求解典型例

9、題十一例11在球面上有四個(gè)點(diǎn)、，如果、兩兩互相垂直，且求這個(gè)球的表面積分析：，因而求球的表面關(guān)鍵在于求出球的半徑解：設(shè)過、三點(diǎn)的球的截面半徑為，球心到該圓面的距離為，則由題意知、四點(diǎn)不共面，因而是以這四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐（如圖所示）的外接圓是球的截面圓由、互相垂直知，在面上的射影是的垂心，又，所以也是的外心，所以為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為，是其中心，從而也是截面圓的圓心據(jù)球的截面的性質(zhì)，有垂直于所在平面，因此、共線，三棱錐是高為的球內(nèi)接正三棱錐，從而由已知得，所以，可求得，說明：涉及到球與圓柱、圓錐、圓臺(tái)切接問題，一般作其軸截面；涉及到球與棱柱、棱錐、棱臺(tái)的切接問題，一般過球心及多面體中特殊點(diǎn)或線

10、作截面，把空間問題化為平面問題，進(jìn)而利用平面幾何的知識(shí)尋找?guī)缀误w元素間的關(guān)系典型例題十二例12已知棱長(zhǎng)為3的正四面體，、是棱、上的點(diǎn)，且，求四面體的內(nèi)切球半徑和外接球半徑分析：可用何種法求內(nèi)切球半徑，把分成4個(gè)小體積(如圖)解：設(shè)四面體內(nèi)切球半徑為，球心，外接球半徑，球心，連結(jié)、，則四面體各面的面積為，各邊邊長(zhǎng)分別為，如圖，是直角三角形，其個(gè)心是斜邊的中點(diǎn)設(shè)中心為，連結(jié)，過作平面的垂線，必在此垂線上，連結(jié)、，在直角梯形中，又，解得：綜上，四面體的內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為說明：求四面體外接半徑的關(guān)鍵是確定其球心對(duì)此多數(shù)同學(xué)束手無策，而這主要是因本題圖形的背景較復(fù)雜若把該四面體單獨(dú)移出，則不參發(fā)

11、現(xiàn)其球心在過各面三角形外心且與該三角形所在平面垂直的直線上，另還須注意其球心不一定在四面體內(nèi)部本題在求四面體內(nèi)切球半徑時(shí)，將該四面體分割為以球心為頂點(diǎn)，各面為底面的四個(gè)三棱錐，通過其體積關(guān)系求得半徑這樣分割的思想方法應(yīng)給予重視典型例題十三例13一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)注入水，并放入一個(gè)半徑為的鐵球，這時(shí)水面恰好和球面相切問將球從圓錐內(nèi)取出后，圓錐內(nèi)水平面的高是多少？分析：先作出軸截面，弄清楚圓錐和球相切時(shí)的位置特征，利用鐵球取出后，錐內(nèi)下降部分(圓臺(tái))的體積等于球的體積，列式求解解：如圖，作軸截面，設(shè)球未取出時(shí)，水面高，球取出后，水面高，則以為底面直徑的圓錐容積為，球取

12、出后，水面下降到，水的體積為又，則，解得答：球取出后，圓錐內(nèi)水平面高為說明：抓住水的何種不變這個(gè)關(guān)鍵，本題迅速獲解典型例題十四例14 球面上有三點(diǎn)、組成這個(gè)球的一個(gè)截面的內(nèi)接三角形三個(gè)頂點(diǎn)，其中，、，球心到這個(gè)截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積分析：求球的表面積的關(guān)鍵是求球的半徑，本題的條件涉及球的截面，是截面的內(nèi)接三角形，由此可利用三角形求截面圓的半徑，球心到截面的距離為球半徑的一半，從而可由關(guān)系式求出球半徑解：，是以為斜邊的直角三角形的外接圓的半徑為，即截面圓的半徑，又球心到截面的距離為，得球的表面積為說明：涉及到球的截面的問題，總是使用關(guān)系式解題，我們可以通過兩個(gè)量求第三個(gè)量，也可能

13、是抓三個(gè)量之間的其它關(guān)系，求三個(gè)量例如，過球表面上一點(diǎn)引三條長(zhǎng)度相等的弦、，且兩兩夾角都為，若球半徑為，求弦的長(zhǎng)度由條件可抓住是正四面體，、為球上四點(diǎn)，則球心在正四面體中心，設(shè)，則截面與球心的距離，過點(diǎn)、的截面圓半徑，所以得典型例題十五例15、是半徑為的球的球面上兩點(diǎn)，它們的球面距離為，求過、的平面中，與球心的最大距離是多少？分析：、是球面上兩點(diǎn)，球面距離為，轉(zhuǎn)化為球心角，從而，由關(guān)系式，越小，越大，是過、的球的截面圓的半徑，所以為圓的直徑，最小解：球面上、兩點(diǎn)的球面的距離為，當(dāng)成為圓的直徑時(shí)，取最小值，此時(shí)，取最大值，即球心與過、的截面圓距離最大值為說明：利用關(guān)系式不僅可以知二求一，而且可以

14、借此分析截面的半徑與球心到截面的距離之間的變化規(guī)律此外本題還涉及到球面距離的使用，球面距離直接與兩點(diǎn)的球心角有關(guān)，而球心角又直接與長(zhǎng)度發(fā)生聯(lián)系，這是使用或者求球面距離的一條基本線索，繼續(xù)看下面的例子典型例題十六例16正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為，正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切求球的表面積與體積分析：球與正三棱錐四個(gè)面相切，實(shí)際上，球是正三棱錐的內(nèi)切球，球心到正三棱錐的四個(gè)面的距離相等，都為球半徑這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，而點(diǎn)面距離?？梢杂玫润w積法解決解：如圖，球是正三棱錐的內(nèi)切球，到正三棱錐四個(gè)面的距離都是球的半徑是正三棱錐的高，即是邊中點(diǎn)，在上，的邊長(zhǎng)為，可以得到由等體

15、積法，得：，說明：球心是決定球的位置關(guān)鍵點(diǎn)，本題利用球心到正三棱錐四個(gè)面的距離相等且為球半徑來求出，以球心的位置特點(diǎn)來抓球的基本量，這是解決球有關(guān)問題常用的方法比如：四個(gè)半徑為的球兩兩外切，其中三個(gè)放在桌面上，第四個(gè)球放在這三個(gè)球之上，則第四個(gè)球離開桌面的高度為多少？這里，四個(gè)球的球心這間的距離都是，四個(gè)球心構(gòu)成一個(gè)棱長(zhǎng)為的正四面體，可以計(jì)算正四面體的高為，從而上面球離開桌面的高度為典型例題十七例17求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比分析：首先畫出球及它的外切圓柱、等邊圓錐，它們公共的軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體之間元素的關(guān)系解：如圖，等邊為圓錐的軸截面，此截面截圓柱得正方形，截球面得球的大圓圓設(shè)球的半徑，則它的外切圓柱的高為，底面半徑為；，典型例題十八例18正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，兩側(cè)棱的夾角為，求它的外接球的體積分析：求球半徑，是解本題的關(guān)鍵解：如圖，作底面于，則為正的中心底面，、三點(diǎn)共線，設(shè)，作于，在中，又，在中，說明：解決與